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文檔簡介
第頁專題強(qiáng)化1對稱問題在解析幾何中,對稱問題主要分為兩類:一是中心對稱,二是軸對稱.在本章中,對稱主要有以下四種:點(diǎn)點(diǎn)對稱、點(diǎn)線對稱、線點(diǎn)對稱、線線對稱,其中后兩種可以化歸為前兩種類型,所以“點(diǎn)關(guān)于直線對稱”是最重要的類型.對稱問題的解決方法(1)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱問題通常利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式.點(diǎn)P(x,y)關(guān)于Q(a,b)的對稱點(diǎn)為P′(2a-x,2b-y).(2)直線關(guān)于點(diǎn)的對稱直線通常用轉(zhuǎn)移法或取特殊點(diǎn)來求.設(shè)l的方程為Ax+By+C=0(A2+B2≠0)和點(diǎn)P(x0,y0),則l關(guān)于P點(diǎn)的對稱直線方程為A(2x0-x)+B(2y0-y)+C=0.(3)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn),要抓住“垂直”和“平分”.設(shè)P(x0,y0),l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0),P關(guān)于l的對稱點(diǎn)Q可以通過條件①PQ⊥l;②PQ的中點(diǎn)在l上來求得.(4)求直線關(guān)于直線的對稱直線的問題可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對稱問題.【題型目錄】題型一、求點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)題型二、求直線關(guān)于點(diǎn)的對稱直線題型三、求直線關(guān)于直線對稱問題題型四、對稱問題的應(yīng)用題型一、求點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)1.已知的一條內(nèi)角平分線的方程為,兩個(gè)頂點(diǎn)為、,則頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(
)A.B.C.D.【答案】B【分析】計(jì)算出點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo),可求得直線的方程,聯(lián)立直線、的方程,可得出點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為,線段的中點(diǎn)為,則點(diǎn)在直線上,所以,,即,①因?yàn)橹本€與直線垂直,直線的斜率為,則,②聯(lián)立①②可得,,即點(diǎn),,所以,直線的方程為,由題意可知,點(diǎn)為直線、的交點(diǎn),聯(lián)立,解得,因此,點(diǎn)的坐標(biāo)為.2.已知點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為,經(jīng)過點(diǎn)作直線,若直線與連接,兩點(diǎn)的線段總有公共點(diǎn),則直線的斜率的取值范圍為(
)A.B.C.D.【答案】C【分析】利用對稱求出點(diǎn),然后根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)得到,,最后根據(jù)傾斜角與斜率的變化關(guān)系得到范圍.【詳解】設(shè)點(diǎn),有,解得,,,,結(jié)合圖可知,.故選:C.3.圓關(guān)于直線對稱的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為______.【答案】【分析】由題意,整理圓的一般方程為標(biāo)準(zhǔn)方程,明確圓心與半徑,根據(jù)點(diǎn)關(guān)于直線對稱,可得答案.【詳解】由,則,即,半徑為,設(shè)關(guān)于直線的對稱點(diǎn),可得,解得,即,故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為:4.已知入射光線經(jīng)過點(diǎn),被直線反射,反射光線經(jīng)過點(diǎn),求反射光線所在直線的方程.【答案】【分析】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為,解方程組求出的坐標(biāo),然后根據(jù)點(diǎn)斜式即可寫出反射光線所在直線的方程.【詳解】解:設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為,則反射光線所在直線過點(diǎn),所以,解得,,即,又反射光線經(jīng)過點(diǎn),所以,所以所求直線的方程為,即.故答案為:.5.將一張紙沿直線對折一次后,點(diǎn)與點(diǎn)重疊,點(diǎn)與點(diǎn)重疊.(1)求直線的方程;(2)求的值.【答案】(1);(2).【分析】(1)由對折可知中點(diǎn)在上且,利用點(diǎn)斜式即可得到直線方程;(2)由(1)設(shè)所在直線方程為,利用點(diǎn)坐標(biāo)解出的值,再計(jì)算點(diǎn)坐標(biāo)即可.【詳解】(1)因?yàn)椋?,所以線段中點(diǎn)坐標(biāo)為;又因?yàn)?,所以由對折可得,所以直線的方程為即.(2)由(1)得設(shè)直線的方程為,因?yàn)樵谥本€上,代入解得,即直線的方程為,設(shè)直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為,由解得,所以,解得,所以.題型二、求直線關(guān)于點(diǎn)的對稱直線6.直線關(guān)于點(diǎn)對稱的直線方程為(
)A.4x+3y-4=0 B.4x+3y-12=0C.4x-3y-4=0 D.4x-3y-12=0【答案】B【分析】首先設(shè)對稱直線上任意一點(diǎn),得到關(guān)于對稱點(diǎn)為,再代入直線即可得到答案?!驹斀狻吭O(shè)直線關(guān)于點(diǎn)對稱的直線上任意一點(diǎn),則關(guān)于對稱點(diǎn)為,又因?yàn)樵谏?,所以,即。故選:B7.已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為,,,求:(1)邊所在直線的方程;(2)邊所在直線關(guān)于點(diǎn)對稱的直線的方程.【答案】(1)(2)【解析】(1)結(jié)合兩點(diǎn)式即可求解;(2)利用點(diǎn)的對稱性和代換法即可求解;【詳解】(1)由直線方程的兩點(diǎn)式可知,設(shè)直線上任一點(diǎn),有,化簡可得直線的一般方程:.(2)設(shè)為直線上的任意一點(diǎn),則關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)在直線上,,化簡可得直線的方程:.【點(diǎn)睛】本題考查直線方程的求法,求直線關(guān)于點(diǎn)對稱的直線,屬于中檔題題型三、求直線關(guān)于直線對稱問題8.若兩條平行直線:與:之間的距離是,則直線關(guān)于直線對稱的直線方程為(
)A. B.C. D.【答案】A【分析】利用兩條直線平行的性質(zhì)求出n,再利用兩條平行直線間的距離求出m,再由平行線間距離即可求解.【詳解】因?yàn)橹本€:與:,所以,又兩條平行直線:與:之間的距離是,所以解得即直線:,:,設(shè)直線關(guān)于直線對稱的直線方程為,則,解得,故所求直線方程為,故選:A9.一次函數(shù)所表示的直線為,若、關(guān)于x軸對稱,則的傾斜角為___________.【答案】【分析】先求得直線的方程,即可求得直線的斜率,進(jìn)而求得的傾斜角【詳解】設(shè)點(diǎn)為直線上任意一點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為由直線與直線關(guān)于x軸對稱,可知點(diǎn)在直線上,則有,則直線的方程為,則直線的斜率為,設(shè)直線的傾斜角為,則,又,則即直線的傾斜角為故答案為:10.在中,,(1)求AB邊的垂直平分線所在的直線方程;(2)若的角平分線所在的直線方程為,求AC所在直線的方程.【答案】(1);(2).【解析】(1)設(shè)AB邊的垂直平分線為l,求出,即得AB邊的垂直平分線所在的直線方程;(2)設(shè)B關(guān)于直線的對稱點(diǎn)M的坐標(biāo)為,求出即得解.【詳解】(1)設(shè)AB邊的垂直平分線為l,有題可知,,又可知AB中點(diǎn)為,l的方程為,即,(2)設(shè)B關(guān)于直線的對稱點(diǎn)M的坐標(biāo)為;則,解得,所以,由題可知,兩點(diǎn)都在直線AC上,所以直線的斜率為,所以直線的方程為,所以AC所在直線方程為.11.自點(diǎn)發(fā)出的光線l射到x軸上,被x軸反射,其反射光線所在的直線與圓相切,求光線l所在的直線方程.【答案】或【分析】求出關(guān)于軸的對稱圓的方程,根據(jù)直線與圓相切求出直線斜率即可求解.【詳解】由已知可得圓關(guān)于x軸對稱的圓的方程為,其圓心為,則l與圓相切.若直線斜率存在,設(shè),所以,整理得,解得或.即所求直線方程為或.若無斜率時(shí),則方程為,不符合題意;故所求直線為或.題型四、對稱問題的應(yīng)用12.已知點(diǎn),點(diǎn)在軸上,點(diǎn)在直線上,則的周長的最小值為______.【答案】【分析】求出點(diǎn)關(guān)于直線、軸的對稱點(diǎn)、的坐標(biāo),數(shù)形結(jié)合可知周長的最小值為,結(jié)合平面間兩點(diǎn)間的距離公式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為,點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為,如圖所示,連接交于點(diǎn),交軸于點(diǎn),由對稱性可知,,所以,,當(dāng)且僅當(dāng)、、、四點(diǎn)共線時(shí),等號成立,因?yàn)辄c(diǎn)與關(guān)于直線對稱,所以,解得,所以.因?yàn)榕c關(guān)于軸對稱,所以,所以的周長的最小值為.故答案為:.13.唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說:“白日登山望烽火,黃昏飲馬傍交河.”詩中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”,即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā),先到河邊飲馬后再回軍營,怎樣走才能使總路程最短?在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)軍營所在區(qū)域?yàn)?,若將軍從點(diǎn)處出發(fā),河岸線所在直線方程為,并假定將軍只要到達(dá)軍營所在區(qū)域即回到軍營,則“將軍飲馬”的最短總路程為___________.【答案】【分析】先求出點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn),點(diǎn)到圓心的距離減去半徑即為最短.【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn),則的中點(diǎn)為,,故解得,由知軍營所在區(qū)域中心為,要使從點(diǎn)到軍營總路程最短,即為點(diǎn)到軍營最短的距離為,“將軍飲馬”的最短總路程為,故答案為:14.已知點(diǎn),直線.(1)在上求一點(diǎn),使的值最小;(2)在上求一點(diǎn),使的值最大.【答案】(1);(2)【分析】(1)由題意先作出點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn),然后連接,則直線與的交點(diǎn)為所求;(2)連接,則與直線的交點(diǎn)即為所求.【詳解】(1)解:由題意知,點(diǎn)、在直線的同一側(cè).由平面幾何的知識可知,先作出點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn),然后連接,則直線與的交點(diǎn)為所求.設(shè),則且,解得,,,直線的方程為.由,解得,即為所求;(2)連接,則與直線的交點(diǎn)即為所求,易得直線的方程為,聯(lián)立,解得,即為所求.1.在唐詩“白日登山望烽火,黃昏飲馬傍交河”中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題,即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā),先到河邊飲馬后再回到軍營,怎樣走才能使總路程最短?在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)軍營所在區(qū)域?yàn)?,若將軍從點(diǎn)處出發(fā),河岸線所在直線方程為,并假定將軍只要到達(dá)軍營所在區(qū)域即認(rèn)為回到軍營,則當(dāng)“將軍飲馬”的總路程最短時(shí),將軍去往河邊飲馬的行走路線所在的直線方程為(
)A. B.C. D.【答案】B【分析】求圓心C關(guān)于直線的對稱點(diǎn)B的坐標(biāo),結(jié)合圖形分析可得.【詳解】軍營所在區(qū)域?yàn)?,即軍營在以為圓心,1為半徑的圓內(nèi)和圓上.設(shè)圓心C關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為B,則,解得.如圖,由對稱性可知,,所以,當(dāng)將軍去往河邊飲馬的行走路線所在的直線經(jīng)過,兩點(diǎn)時(shí),“將軍飲馬”的總路程最短,因?yàn)?,所以該直線方程為,即.故選:B2.直線ax+y+3a-1=0恒過定點(diǎn)M,則直線2x+3y-6=0關(guān)于點(diǎn)M對稱的直線方程為(
)A.2x+3y-12=0 B.2x+3y+12=0 C.3x-2y-6=0 D.2x+3y+6=0【答案】B【分析】先求出定點(diǎn)M的坐標(biāo),再設(shè)出與直線2x+3y-6=0關(guān)于點(diǎn)M對稱的直線方程,利用點(diǎn)到直線距離公式求出答案.【詳解】由ax+y+3a-1=0得,由,得,∴M(-3,1).設(shè)直線2x+3y-6=0關(guān)于點(diǎn)M對稱的直線方程為,∴,解得:C=12或C=-6(舍去),∴直線2x+3y-6=0關(guān)于點(diǎn)M對稱的直線方程為2x+3y+12=0.故選:B.3.(多選)已知點(diǎn)與直線,下列說法正確的是(
)A.過點(diǎn)P且截距相等的直線與直線l一定垂直B.過點(diǎn)P且與坐標(biāo)軸圍成三角形的面積為2的直線有4條C.點(diǎn)P關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為D.直線l關(guān)于點(diǎn)P對稱的直線方程為【答案】CD【分析】對于A,當(dāng)截距為0時(shí),直線與直線l平行,即可判斷;對于B,可設(shè)直線方程為,根據(jù)條件求a,b,根據(jù)解的情況進(jìn)行判斷;對于C,求點(diǎn)P關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)坐標(biāo)即可判斷;對于D,求直線l關(guān)于點(diǎn)P對稱的直線方程即可判斷.【詳解】對于A,當(dāng)截距為0時(shí),直線與直線l平行,故A錯(cuò)誤.對于B,設(shè)直線方程為,因?yàn)橹本€過點(diǎn),所以①,又過點(diǎn)P的直線與坐標(biāo)軸圍成三角形的面積為,所以②,由①②,得,或,共有3組解,所以符合題意的直線有3條,故B錯(cuò)誤.對于C,設(shè)點(diǎn)P關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為,則,解得,即點(diǎn)P關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為,故C正確.對于D,設(shè)直線l關(guān)于點(diǎn)P對稱的直線方程為,則有,解得,即直線l關(guān)于點(diǎn)P對稱的直線方程為,故D正確.故選:CD4.直線關(guān)于直線對稱的直線方程是_______.【答案】【分析】先聯(lián)立兩直線方程得到交點(diǎn)坐標(biāo),再在直線上取一點(diǎn),利用垂直、平分兩個(gè)條件得到對稱點(diǎn),再求出點(diǎn)斜式式方程,進(jìn)而得到一般式即可.【詳解】聯(lián)立,解得,即兩直線的交點(diǎn)為.在直線上取一點(diǎn),設(shè)點(diǎn)P關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為,則,解得,即.所以直線MQ的方程為,即.故答案為:.5.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),一束光線從點(diǎn)出發(fā),被直線反射后到達(dá)點(diǎn),則這束光線從到所經(jīng)過的距離為___________.【答案】【分析】利用點(diǎn)關(guān)于線對稱及兩點(diǎn)間的距離公式即可求解.【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn),連接交于點(diǎn),如圖所示可得,由光學(xué)性質(zhì)可得為入射光線和反射光線的交點(diǎn),,所以這束光線從到所經(jīng)過的距離為.故答案為:.6.點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是______.直線關(guān)于點(diǎn)對稱的直線方程為___________.【答案】
【分析】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為,根據(jù)對稱的性質(zhì)列方程求即可,在直線上取兩個(gè)點(diǎn)求它們關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn),由此可求對稱直線方程.【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為,則,解得,所以點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是,由取可得,取可得,所以直線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn),又點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)為,點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)為,所以直線的斜率,所以直線的方程為,所以直線關(guān)于點(diǎn)對稱的直線方程式為,故答案為:,.7.已知直線,點(diǎn).(1)求點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn);(2)求直線,關(guān)于點(diǎn)的對稱直線的方程.【答案】(1);(2)【分析】(1)設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為,根據(jù)中垂線,結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式和兩直線垂直的條件,可得關(guān)于和的方程,解之即可;(2)設(shè)直線的方程為,在直線l上取一點(diǎn),求得它關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn),并將其代入所設(shè)方程,解出b的值即可.【詳解】(1)設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為,則這兩點(diǎn)的中點(diǎn)為,所以,解得m,n,所以點(diǎn)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為;(2)由題意知,直線的斜率為,設(shè)其方程為,在直線上取一點(diǎn),它關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)為,而該點(diǎn)在直線上,所以,解得,所以直線的方程為.8.已知點(diǎn),直線.求:(1)直線l關(guān)于點(diǎn)A的對稱直線的方程;(2)直線關(guān)于直線l的對稱直線的方程.【答案】(1);(2)【分析】(1)在直線上任取兩個(gè)不同的點(diǎn),求出這兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于對稱的點(diǎn),再根據(jù)點(diǎn)斜式方程即可得解;(2)求出兩直線的交點(diǎn),在直線任取一點(diǎn),求出此點(diǎn)關(guān)于直線l對稱的點(diǎn),再根據(jù)點(diǎn)斜式方程即可得解.【詳解】(1)解:由直線,可得直線上的兩點(diǎn),設(shè)兩點(diǎn)關(guān)于對稱的點(diǎn)分別為,則兩點(diǎn)在直線上,則,解得,故,,解得,故,則,所以直線的方程為,即;(2)解:聯(lián)立,解得,即直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為,在直線上取點(diǎn),設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線l對稱的點(diǎn)為,則直線過點(diǎn)和點(diǎn),當(dāng)時(shí),點(diǎn)和點(diǎn)所在直線與直線不垂直,所以,則,解得,即,則,所以直線的方程為,即.9.直線,在上求一點(diǎn),使得.(1)到和的距離之差的絕對值最大;(2)到,的距離之和最?。敬鸢浮?1);(2)【分析】(1)如果兩點(diǎn)在一直線的異側(cè),則作其中某一點(diǎn)關(guān)于該直線的對稱點(diǎn),那么經(jīng)過對稱點(diǎn)與另一點(diǎn)的直線與已知直線的交點(diǎn)P,到這兩點(diǎn)距離之差的絕對值最大;(2)如果兩點(diǎn)在一直線的同側(cè),則作其中某一點(diǎn)關(guān)于該直線的對稱點(diǎn),那么經(jīng)過對稱點(diǎn)與另一點(diǎn)的直線與已知直線的交點(diǎn)P,到這兩點(diǎn)距離之和最?。驹斀狻浚?)在直線上求一點(diǎn),使得:到和的距離之差的絕對值最大,顯然、位于直線兩側(cè),作關(guān)于直線的對稱點(diǎn),連接,則所在直線與直線l交點(diǎn)即為,如圖所示:此時(shí),的值最大,最大值就是,設(shè)B點(diǎn)關(guān)于l對稱點(diǎn),由,得,即,由線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為,,且中點(diǎn)在直線上,,即,聯(lián)立方程組,解得,,即所以的直線方程為聯(lián)立方程組,解得,,與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為,點(diǎn)到點(diǎn)和點(diǎn)的距離之差的絕對值最大時(shí),點(diǎn)坐標(biāo)為.(2)到和的距離之和最小,顯然,A、C位于直線l同側(cè),作點(diǎn)關(guān)于直線l對稱點(diǎn),連接,則與直線l的交點(diǎn)就是點(diǎn),此時(shí),之和最小,最小值為,如圖所示:設(shè)關(guān)于的對稱點(diǎn)為,求出的坐標(biāo)為.所在直線的方程為.和交點(diǎn)的坐標(biāo)為.當(dāng)點(diǎn)到點(diǎn),的距離之和最小時(shí),點(diǎn)的坐標(biāo)為.10.已知直線l:3x-y+3=0,求:(1)點(diǎn)P(4,5)關(guān)于l的對稱點(diǎn);(2)直線x-y-2=0關(guān)于直線l對稱的直線方程;(3)直線l關(guān)于(1,2)的對稱直線.【答案】(1)(-2,7);(2)7x+y+22=0;(3)3x-y-5=0.【解析】(1)設(shè)P(x,y)關(guān)于直線l:3x-y+3=0的對稱點(diǎn)為P′(x′,y′),由題得,把x=4,y=5代入(3)(4)即得解;(2)用(3)(4)分別代換x-y-2=0中的x,y即得解;(3)在直線l:3x-y+3=0上取點(diǎn)M(0,3),求出其關(guān)于(1,2)的對稱點(diǎn)M′(x′,y′),又對稱直線的斜率為3,即得解.【詳解】(1)設(shè)P(x,y)關(guān)于直線l:3x-y+3=0的對稱點(diǎn)為P′(x′,y′),因?yàn)閗PP′·kl=-1,即×3=-1.(1)又PP′的中點(diǎn)在直線3x-y+3=0上,所以3×+3=0.(2)由(1)(2)得把x=4,y=5代入(3)(4)得x′=-2,y′=7,所以點(diǎn)P(4,5)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)P′的坐標(biāo)為(-2,7).(2)用(3)(4)分別代換x-y-2=0中的x,y,得關(guān)于l對稱的直線方程為,化簡得7x+y+22=0.(3)在直線l:3x-y+3=0上取點(diǎn)M(0,3),關(guān)于(1,2)的對稱點(diǎn)M′(x′,y′),所以,x′=2,,y′=1,所以M′(2,1).l關(guān)于(1,2)的對稱直線平行于l,所以k=3,所以對稱直線方程為y-1=3×(x-2),即3x-y-5=0.1.(多選)已知直線,圓,則(
)A.直線與圓相交B.圓上的點(diǎn)到直線距離的最大值為C.直線關(guān)于圓心對稱的直線的方程為D.圓關(guān)于直線對稱的圓的方程為【答案】ACD【分析】由圓的方程可確定圓心和半徑;利用圓心到直線距離知直線與圓相交,得A正確;由圓上點(diǎn)到直線距離最大值為,可知B錯(cuò)誤;由直線關(guān)于點(diǎn)的對稱直線的求法可知C正確;利用點(diǎn)關(guān)于直線對稱點(diǎn)的求法可求得對稱圓的圓心,由此可得圓的方程,知D正確.【詳解】由圓方程知:圓心,半徑;對于A,圓心到直線距離,直線與圓相交,A正確;對于B,圓心到直線距離,圓上的點(diǎn)到直線距離的最大值為,B錯(cuò)誤;對于C,設(shè)直線關(guān)于圓心對稱的直線方程為:,則圓心到直線和到其對稱直線的距離相等,,解得:(舍)或,直線關(guān)于圓心對稱的直線的方程為,C正確;對于D,設(shè)圓心關(guān)于直線對稱的點(diǎn)為,則,解得:,所求圓的圓心為,半徑為,圓關(guān)于直線對稱的圓的方程為,D正確.故選:ACD.2.(多選)已知直線,,,以下結(jié)論正確的是(
).A.不論a為何值時(shí),與都互相垂直;B.當(dāng),與x軸的交點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離為C.不論a為何值時(shí),與都關(guān)于直線對稱D.如果與交于點(diǎn)M,則的最大值是【答案】AD【分析】對A,根據(jù)直線方程可判斷;對B,可直接求出交點(diǎn)A可判斷;對C,取特殊的點(diǎn)代入即可判斷;對D,聯(lián)立直線求出交點(diǎn)即可表示出即可求出最值.【詳解】對于A,恒成立,l1與l2互相垂直恒成立,故A正確;對于B,與x軸的交點(diǎn),點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離為,故B錯(cuò)誤;對于C,在l1上任取點(diǎn),關(guān)于直線x+y=0對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為,代入l2:x+ay+1=0,則左邊不等于0,故C不正確;對于D,聯(lián)立,解得,即,所以,所以的最大值是,故D正確.故選:AD.3.直線關(guān)于直線的對稱直線方程為__________.【答案】【分析】先求得兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo),然后在任取一點(diǎn),求得其關(guān)于直線的對稱點(diǎn),即可求得答案.【詳解】聯(lián)立和直線,求得它們的交點(diǎn)為,在直線取點(diǎn),設(shè)其關(guān)于的對稱點(diǎn)為,則,解得,故直線關(guān)于直線的對稱的直線為AC,其斜率為,直線方程為,即,故答案為:4.直線和兩點(diǎn),若直線上存在點(diǎn)M使得最小,求點(diǎn)M的坐標(biāo)_____.【答案】【分析】如圖,作出點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn),連接,交直線于,求出點(diǎn)的坐標(biāo),再求出直線的方程,再與直線的方程聯(lián)立可求出點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】如圖,作出點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn),連接,交直線于,則則,所以,當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號,即三點(diǎn)共線時(shí),最小,設(shè),則,解得,即,因?yàn)椋灾本€為,由,得,即,故答案為:5.已知圓C關(guān)于直線對稱的圓的方程,則圓C的方程為_________.【答案】【分析】根據(jù)給定條件,求出圓的圓心關(guān)于直線的對稱點(diǎn)即可作答.【詳解】圓的圓心,半徑,令點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為,于是得,解得,因此圓C的圓心為,半徑,所以圓C的方程為.故答案為:6.已知直線和夾角的平分線所在直線的方程為,如果的方程是,那么的方程是_____________.【答案】【分析】轉(zhuǎn)化為兩直線所對應(yīng)函數(shù)互為反函數(shù)即可求.【詳解】由于直線方程對應(yīng)一個(gè)一次函數(shù),所以兩條直線的夾角平分線所在直線的方程為y=x,即兩直線關(guān)于y=x對稱,即兩個(gè)函數(shù)互為反函數(shù).由反函數(shù)可知的方程是.7.(1)求直線關(guān)于點(diǎn)M(2,3)對稱的直線方程;(2)求點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】(1);(2)(4,1).【分析】(1)設(shè)是待求直線上任意一點(diǎn),則P關(guān)于點(diǎn)M的對稱點(diǎn)在已知直線上,利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求解;(2)設(shè)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為,根據(jù)對稱性建立方程組求解即可.【詳解】(1)設(shè)是待求直線上任意一點(diǎn),為P點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)M(2,3)的對稱點(diǎn),則Q點(diǎn)在直線上,即,且解得把代入,得.故所求的直線方程為.(2)設(shè),由題意,得解得所以點(diǎn)A關(guān)于直線對稱的點(diǎn)(4,1).8.已知直線的方程為,,且與軸交于點(diǎn).(1)求直線和的交點(diǎn)坐標(biāo);(2)與軸、軸分別交于,兩點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為,求的面積.【答案】(1);(2).【分析】(1)求出直線的方程,聯(lián)立直線的方程,可解得直線和的交點(diǎn)坐標(biāo);(2)求出,兩點(diǎn)坐標(biāo),計(jì)算的值,根據(jù)對稱性列方程解得點(diǎn)坐標(biāo),求出點(diǎn)到直線的距離,代入三角形的面積公式計(jì)
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