第14講圖形運(yùn)動(dòng)中函數(shù)關(guān)系的確定(核心考點(diǎn)講與練)

R聚焦考點(diǎn)

一、動(dòng)點(diǎn)求函數(shù)解析式

動(dòng)點(diǎn)問題反映的是一種函數(shù)思想，由于某一個(gè)點(diǎn)或某圖形乂條件地運(yùn)動(dòng)變化，引起未知量與

己知量間的?種變化關(guān)系，這種變化關(guān)系就是動(dòng)點(diǎn)問題中的函數(shù)關(guān)系，這部分壓軸題主要是在圖

形運(yùn)動(dòng)變化的過程中探求兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系，并根據(jù)實(shí)際情況確定自變量的取值范圍.

二、圖形運(yùn)動(dòng)求函數(shù)解析式

圖形的運(yùn)動(dòng)考查的是變化中的不變量，通過翻折或者旋轉(zhuǎn)后的圖形特點(diǎn)，結(jié)合全等三角

形性偵及直角二角形中的勾股定埋，求邊或角的關(guān)系.

名師點(diǎn)睛

一、動(dòng)點(diǎn)求函數(shù)解析式

例1.(2018?上海八年級期末)觀摩、學(xué)習(xí)是我們生活的一部分，而在觀摩中與展覽品保

持■定的距離是一種文明的表現(xiàn).某學(xué)校數(shù)學(xué)業(yè)余學(xué)習(xí)小組在平面直角坐標(biāo)系X。有關(guān)研討

中，將到線段網(wǎng)所在的直線距離為G的直線，稱為直線⑶的“觀察線”，并稱觀察線上到

P、。兩點(diǎn)距離和最小的點(diǎn)￡為線段心的“最佳觀察點(diǎn)”.

(1)如果P(1,JJ),0(4,G),那么在點(diǎn)力(1,0),6(2,26)，以6，3)中，處在直

1

線倒的“觀察線”上的是點(diǎn);

(2)求直線三避Y的“觀察線”的表達(dá)式；

3

(3)若做0,-1),A在第二象限，且加￥=6,當(dāng)州的一個(gè)“最佳觀察點(diǎn)”在.成由正半軸上時(shí)，

直接寫出點(diǎn)八的坐標(biāo)；并按逆時(shí)針方向聯(lián)結(jié)MA及其所有“最佳觀察點(diǎn)”，直接寫出聯(lián)結(jié)所

圍成的多邊形的周長和面積.

【答案】⑴/，B；⑵直線的“觀察線”的解析式為尸立公2或尸且戶2；

333

(3)圍成的圖形是菱形必QW,這個(gè)菱形的周長86,這個(gè)菱形的面積6G.

【分析】(1)由題意線段W的“觀察線”的解析式為y=0或丫=26，由此即可判斷；

(3)如圖3中，設(shè)點(diǎn)Q是MN的一個(gè)“最佳觀察點(diǎn)”，點(diǎn)P是UN的中點(diǎn).解直角三角形求出點(diǎn)P

坐標(biāo)，再根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出等N坐標(biāo)；觀察圖象可知：設(shè)此時(shí)的另一個(gè)“最佳觀察點(diǎn)”

為Q'，按逆時(shí)針方向聯(lián)結(jié)M、N及其所有“最佳觀察點(diǎn)”，所圍成的圖形是菱形MQNQ',這

個(gè)菱形的周長二8百，這個(gè)菱形的面積二=；X6X2石=66.

【詳解】

(1)如圖1中,

由題意線段北的“觀察線”的解析式為尸0或尸2“，

???點(diǎn)/在直線y=0上，點(diǎn)昭直線尸25上，

?,?點(diǎn)4點(diǎn)幌直線掰的“觀察線”上的點(diǎn)，

故答案為力，B.

(2)如圖2中，設(shè)直線的下方的“觀察線”版V交例于4,作儂JL直線y=

由題意：EK=M，

???直線尸V與3x與制的夾角為30°,

:?/EOK=60°,

:?/EKO=M,

=絲=返

???tan30°

EK3

：?OE=1,

:.OK=2OE=2,

???MV〃直線

???直線桃、的解析式為2,

根據(jù)對稱性可知在直線尸卓X上方的“觀察線”圖的解析式為尸除戶2.

綜上所述，直線尸尊屈勺“觀察線”的解析式為尸零丫-2或尸零Y+九

JJJ

⑶如圖3中,設(shè)點(diǎn)0是加的一個(gè)“最佳觀察點(diǎn)”，點(diǎn)F是必V的中點(diǎn).

當(dāng)點(diǎn)的J制的正半軸上時(shí)，連接收，則司唾直平分線線段」介.

在沖，圖=避，&/=3,

22=

:?g7PQ+PM2V3，

VMO,-1),

。。=2e-1,

作網(wǎng)_并由于"

在RI△產(chǎn)奶中，VtanZW^^1=V3?

???/々〃=60。,

:?NQPH=30°，

數(shù)k、b的方程組，通過解方程組即可求得它們的值；

(3)需要分類討論：PB為接，PB為底兩種情況下的點(diǎn)P的坐標(biāo).根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、兩

點(diǎn)間的距離公式以及一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征進(jìn)行解答.

試題解析：

(1)解方程x"4x+48=0得

Xi=6,X2=8

VOA,OC(OA>OC)的長分別是一元二次方程x，4x+48=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根

.'.0C=6,0A=8

AC(0,6)

(2)設(shè)直線MN的解析式是產(chǎn)kx+b(kWO)

由(1)知,0A=8,則A(8,0)

???點(diǎn)A、C都在直線MN上

!>^吐顏

,飛-嘮

解得卜■一.

.■闔

，直線MN的解析式為y=jx+6

(3)

VA(8,0),C(0,6)

,根據(jù)題意知B(8,6)

???點(diǎn)P在直線MNy=±x+6上

???設(shè)P(a,2a+6)

4

當(dāng)以點(diǎn)P,B,C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，需要分類討論：

①當(dāng)PC:PB時(shí)，點(diǎn)P是線段BC的中垂線與直線MN的交點(diǎn)，則P(4,3)；

②當(dāng)PC=BC時(shí)，a2+(9a+66)2=64

323254326

解得，a=±—?則P2(—>—)>P3(—>亍)

③當(dāng)PB=BC時(shí)，(a8)2+(1a+66)2=64

4

756342

解得，a二不-,則1a+6二大

?R(等,f1

綜上所述，符合條件的點(diǎn)P有：Pl(4,3),P2(32t,5二4)，P3(3=2,62),Pl(2一56,在4))

>55、2〉2〉

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題.

【詳解】(1)證明：如圖1,

???四邊形4削是矩形,

(3)如圖3,

(1)求點(diǎn)尸的坐標(biāo);

【詳解】

過點(diǎn)P作PC_Lx軸于C,

/.0C=2,PC=25

AAC=0A0C=2,

VZPC0=90°,

同理AP=4,

.*.AP=OP=OA,

過點(diǎn)P作PC_Lx軸于C,

??,EFJ_x軸，

???EF〃PC,

VEF/7PC,

【點(diǎn)睛】此題考查一次函數(shù)圖象與幾何圖象，函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)的求法，矩形的性質(zhì)，動(dòng)

點(diǎn)問題與圖形面積的函數(shù)解析式，等邊三角形的判定.

【詳解】

(1)證明：?.?E、/分別是AB、C￡＞的中點(diǎn),

??.點(diǎn)尸是。。的中點(diǎn)，

綜上所述，EG的長度為3或萬.

【點(diǎn)睛】本題主要考查四邊形的綜合問題，掌握中位線的性質(zhì)，含30°的直角三角形的性

質(zhì)，勾股定理是基礎(chǔ)，能夠作出輔助線并分情況討論是解題的關(guān)鍵.

(1)求直線的解析式；

【分析】(1)先求出點(diǎn)A,點(diǎn)B坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求直線AB的解析式:

(2)先求出點(diǎn)E坐標(biāo)，再利用三角形面積公式可求解；

(3)分兩種情況討論，利用菱形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可求解.

【詳

解：(1)???矩形AOBC的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是(2百，6),

A0A=BC=6,0B=AC=2^,

???點(diǎn)A(0,6),點(diǎn)B(26，0)

設(shè)直線AB解析式為：y=kx+D,

???直線AB的解析式為：y=￡x+6；

(2),??點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)速度均為每秒1個(gè)單位，

???AP二BQ二t,

???0P=6t,

VPE±AO,

，點(diǎn)E縱坐標(biāo)為6t,

.*.6t=-6x+6,

Q到直線PE的距離為6—2t,

???當(dāng)0VtV3時(shí)，

???S=-^t2+>/3t；

3

(3)如圖，當(dāng)四邊形EHBQ是菱形時(shí),延長PE交BC于F,

AOB=2AB,

AZBA0=30°,

VAOZ/BC,PE±AO,

AZABC=ZBA0=30°,PE1BC,

???四邊形EHBQ是菱形,

ABQ=EQ=t,EH/7BQ,

???NQEB二NEBQ=30°,

AZFEQ=30°,

11

AFQ=2EQ=2t,

BC=t+t+—t=6,

12

???BQ二EH二一,

5

如圖，若四邊形EHQB是菱形，延長PE交BC于F,

?.?四邊形EHQB是菱形，

/.BE=BQ=t,EH/7BQ,

VZABC=30°,EFXBC,

???BE=2EF,

t=2（2A/3-—t）

3

???t=2412百

【點(diǎn)睛】本題是一次函數(shù)綜合題，考杳了矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，勾股定理，待定系數(shù)法

求解析式，一次函數(shù)的性質(zhì)等知識；利用分類討論思想解決問題是解題的關(guān)鍵.

二、圖形運(yùn)動(dòng)求函數(shù)解析式

例1.（2018?上海民辦浦東交中初級中學(xué)八年級月考）如圖，已知直線y=-3x+3與x軸、y

4

軸分別相交于點(diǎn)A、B,再將△AOB沿直錢CD折卷，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合.折痕CD與x軸交于點(diǎn)C,與AB

交于點(diǎn)D.

（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為；點(diǎn)B的坐標(biāo)為：

(2)求0C的長度，并求出此時(shí)直線BC的表達(dá)式；

(3)直線BC上是否存在一點(diǎn)M,使得△ABM的面積與△ABO的面積相等？若存在，請直接寫出點(diǎn)U

的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)(4,0),(0,3)；(2)y=■亍x+3;(3)見解析.

【分析】

(1)利用待定系數(shù)法即可解決問題；

(2)設(shè)0C=x,則AC=BC=4-x,在RtZXBOC中，利用勾股定理求出x,再利用待定系數(shù)法求出

直線BC的解析式即可；

【詳解】

解：(1)令y=0,則x=4；令x=0,則y=3,

故點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,3).

故答案為(4,0),(C,3)；

(2)設(shè)0C=x,

?.?直線CD垂直平分線段AR.

/.AC=CB=4-x,

VZB0A=90°，

.-.OB2+OC2=CB2,

32+X2=(4-x))

(3)過點(diǎn)0作OM〃AB交直線BC于M.

V0M/7AB,

SAM?=SAARM,

根據(jù)對稱性可知，經(jīng)過點(diǎn)O'(0,6)與直線AB平行的直線與直線BC的交點(diǎn)M',也滿足條

件，易知BM'=BM,

【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)綜合題、翻折變換、線段的垂直平分線的性質(zhì)、等高模型、勾股

定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，學(xué)會(huì)有添加輔助線，構(gòu)造平行

線解決問題，注意一題多解，屬于中考壓軸題.

例2.如圖，等腰梯形月筋向，AD=BC=5,協(xié)=20,CD=12,DHVAB,￡是線段用上一動(dòng)點(diǎn)，在

線段切上取點(diǎn)/使力￡=牙；設(shè)DF=y.

(1)當(dāng)爐〃月相，求,4國勺長；

(2)求y與/的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；

(3)將△力力沿力/所在直線翻折，點(diǎn)咯在平面上的“處，當(dāng)〃'/?=1時(shí)，求然

的長.

DC

【難度】★★

(3)的長為3拒或用.

(2)聯(lián)結(jié)"，

【總結(jié)】本題主要考查直角三角形的性質(zhì)及翻折的綜合應(yīng)用，一方面要注意定義域的確定,

另一方面要注意分類討論.

例3.如圖，己知：△/1比中，NAC片90°,/4=30°,〃是邊//上不與點(diǎn)/I、C重合的任意一

點(diǎn),DE1AB,垂足為點(diǎn)反鹿助的中點(diǎn).

(1)求證：af=Elf；

(2)如果除由，設(shè)力分x.?y,求y與x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；

(3)當(dāng)點(diǎn)琳線段16±移動(dòng)時(shí)，陰勺大小是否發(fā)生變化?如果不變，求出乙腔的大小;

(2)不變.

【總結(jié)】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理的綜合運(yùn)用，對于直角三角形的性

質(zhì)與推論要靈活運(yùn)用.

能力提升

(2)作根據(jù)AP=PQ,得到AH=QH='y,BH=8；y,BP二BDDP=86x,再根據(jù)(1)可得

HP=46；x,在“△BPH中，BP2=HB2+HP2,化簡即可求解，再求出x的取值范圍;

(3)根據(jù)題意作圖，由等接三角形的性質(zhì)可得△AQP是等邊三角形，故可得到DP的長.

AZABO=30°=ZAI)0

:.ZAPB=90°ZAB0=60°

故NPAD=NAPBZADO=300

即NPAD=NADO

ADP=AP

設(shè)AP=x,則BP=2x,

在RtZXABP中，BP2=AB2+AP2

即(2x)2=82+X2

(2)作HP_LAB,VAP=PQ

:.AH=QH=-y

/.BH=BQ+QH=(8y)+-y=8-y,

22

BP=BDDP=8V3x,

在RtaBPH中,BP2=HB2+HP2

即(8jJx)2=(8；y)2+(4j5；x)2

V8>/3x>0,8yy>0,4>/3yx>0

???化簡得y=6x8

?「OWJJx8W8

貝IJNQPB=NQBP=30°,

:.NAQP=NQPB+NQBP=60°

VZBAP=90°NQBP=60°,

??.△APQ是等邊三角形，ZAPQ=60°

AZQPB+ZAPQ=90°,

則AP_LBP,故0點(diǎn)與P點(diǎn)重合，

【點(diǎn)睛】此題主要考查菱形的性質(zhì)綜合，解題的關(guān)鍵是熟知菱形的性質(zhì)及含30度的直角三角

形的性質(zhì).

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)C重合時(shí)，求。C的長;

（3）分三種情況討論,分別畫出圖形，根據(jù)相等的邊用勾股定理列方程求解即可.

【詳解】

???CE是線段A3的垂直平分線,

（2）聯(lián)結(jié)4E,BF,

VE/是線段A8的垂直平分線,

取DC中點(diǎn)聯(lián)結(jié)EM

???E1為AB的中點(diǎn)

???EM為梯形中位線

???M為D”中點(diǎn),

，此時(shí)I與C重合

聯(lián)結(jié)DE并延長交CB延長線于點(diǎn)〃

【點(diǎn)睛】本題綜合考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理解三角形、等腰三角形性質(zhì)和判定、全等三

角形性質(zhì)和判定，靈活運(yùn)用勾股定理求線段長是解題的關(guān)鍵.

（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量工的取值范圍;

【分析】（1）首先過點(diǎn)D作DH_LBC,垂足為點(diǎn)H,由AD〃BC,AB±BC,DH±BC,可求得DH的

長，然后設(shè)CH=〃，則CD=2〃，利用勾股定理即可求得答案；

（2）首先取CD的中點(diǎn)F,連接EF,由梯形的中位線，可表示出EF的長，易得四邊形ABHD是平

行四邊形，然后由勾股定理可求得答案；

（3）分別從CD=BD或CD二BC去分析求解即可求得答案.

（2）取CD的中點(diǎn)F,連接E1

???￡為邊A3的中點(diǎn),

【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形的綜合題.考查了梯形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰三

角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識.注意掌握輔助線的作法，掌握方程思想與分類討論思想的

應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵.

（1）求BC,4G的長；

【分析】

（2）依據(jù)勾股定理求出優(yōu)的長，依據(jù)菱形的性質(zhì)求用勺坐標(biāo)，并用待定系數(shù)法求直線的解

析式；

【詳解】

???AG=1；

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與幾何圖形綜合，待定系數(shù)法，矩形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、梯

形的面積，解題的關(guān)鍵是運(yùn)用幾何圖形的性質(zhì)求點(diǎn)的坐標(biāo)，及分類討論思想的運(yùn)用.

（1）當(dāng)點(diǎn)/?在邊力比時(shí)，

【分析】（1）①先證明AAGF泅AGE,從而得AD垂直平分FE,根據(jù)中垂線的性質(zhì)，即可得到結(jié)

論：②分兩種情況：（a）當(dāng)點(diǎn)F在線段AC上時(shí)，（b）當(dāng)點(diǎn)F在AC的延長線上時(shí)，分別求出y

與x之間的函數(shù)解析式，即可；

（2）分三種情況：①當(dāng)NAFD是頂角，即FA二FD時(shí)，②當(dāng)NFAD是頂角，即FA=DA時(shí)，③當(dāng)/

ADF是頂角，即DF=DA時(shí)，分別求