2.6正多邊形與圓第1課時(shí)正多邊形與圓的關(guān)系1.(2024·聊城)如圖,AB、BC、CD是正n邊形的三條邊,在同一平面內(nèi),以BC為邊在該正n邊形的外部作正方形BCMN.若∠ABN=120°,則n的值為()A.12 B.10 C.8 D.62.(2023·內(nèi)江)如圖,正六邊形ABCDEF內(nèi)接于☉O,點(diǎn)P在AB上,Q是DE的中點(diǎn),則∠CPQ的度數(shù)為()A.30° B.45° C.36° D.60°3.(新情境·現(xiàn)實(shí)生活)(2024·遂寧)佩佩在“黃峨古鎮(zhèn)”研學(xué)時(shí)學(xué)習(xí)扎染技術(shù),得到一個(gè)內(nèi)角和為1080°的正多邊形圖案,這個(gè)正多邊形的每個(gè)外角的度數(shù)為.

4.如圖,五邊形ABCDE是正五邊形.若l1∥l2,則∠1-∠2=°.

5.(2023·陜西)如圖,正八邊形的邊長(zhǎng)為2,對(duì)角線(xiàn)AB、CD相交于點(diǎn)E,則BE的長(zhǎng)為.

6.如圖,M、N分別是正五邊形ABCDE的邊BC、CD上的點(diǎn),且BM=CN,AM交BN于點(diǎn)P.(1)求證:△ABM≌△BCN;(2)求∠APN的度數(shù).第6題第7題7.如圖,設(shè)邊長(zhǎng)為a的等邊三角形的高、內(nèi)切圓的半徑、外接圓的半徑分別為h、r、R,則下列結(jié)論不正確的是()A.h=R+r B.R=2rC.r=34a D.R=38.(2024·呼和浩特)如圖,正四邊形ABCD和正五邊形CEFGH內(nèi)接于☉O,AD和EF相交于點(diǎn)M,則∠AMF的度數(shù)為.

9.(2024·雅安)如圖,☉O的周長(zhǎng)為8π,正六邊形ABCDEF內(nèi)接于☉O,則△OAB的面積為.

10.(新考向·數(shù)學(xué)文化)如圖,第29屆自貢國(guó)際恐龍燈會(huì)“輝煌新時(shí)代”主題燈組上有一幅不完整的正多邊形圖案,小華量得圖中一邊與對(duì)角線(xiàn)的夾角∠ACB=15°,算出這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為.

11.如圖,正五邊形ABCDE內(nèi)接于☉O,先作直徑AF;再以點(diǎn)F為圓心,FO為半徑作圓弧,與☉O交于點(diǎn)M、N;最后連接AM、MN、NA.(1)求∠ABC的度數(shù).(2)△AMN是正三角形嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由.(3)從點(diǎn)A開(kāi)始,以DN為半徑,在☉O上依次截取點(diǎn),再依次連接這些分點(diǎn),得到正n邊形,求n的值.第11題12.如圖,在正三角形ABC中,E、F、G、H、L、K分別是各邊的三等分點(diǎn),求證:六邊形EFGHLK是正六邊形.第12題第2課時(shí)正多邊形的對(duì)稱(chēng)性1.如圖,下列五邊形ABCDE都是正五邊形,則這些圖形中是軸對(duì)稱(chēng)圖形的有()A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)2.有下列說(shuō)法:①正多邊形的各條邊相等;②各邊相等的多邊形是正多邊形;③各角相等的多邊形是正多邊形;④各邊相等的圓的內(nèi)接多邊形是正多邊形;⑤既是軸對(duì)稱(chēng)圖形,又是中心對(duì)稱(chēng)圖形的多邊形是正多邊形.其中,正確的有()A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)3.每個(gè)外角都是20°的正多邊形的對(duì)稱(chēng)軸一共有條.

4.將一個(gè)正七邊形繞它的中心旋轉(zhuǎn),至少要旋轉(zhuǎn)°才能與原來(lái)的圖形重合.

5.如圖,將☉O八等分,得到AB,將☉O十二等分,得到AC,連接BC.若線(xiàn)段BC是☉O的內(nèi)接正n邊形的一條邊,試探究n的值.第5題6.(新考向·傳統(tǒng)文化)(2024·東營(yíng))我國(guó)魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提到了著名的“割圓術(shù)”,即利用圓的內(nèi)接正多邊形逼近圓的方法來(lái)估算圓周率π的值.如圖,☉O的半徑為1,運(yùn)用“割圓術(shù)”,以圓內(nèi)接正六邊形的面積來(lái)估計(jì)☉O的面積,可得π的估計(jì)值為332.若用圓內(nèi)接正八邊形進(jìn)行估計(jì),則π的估計(jì)值為(A.3 B.22 C.3 D.237.(易錯(cuò)題)如圖所示為一種警報(bào)裝置的示意圖,電子屏幕上有一個(gè)正六邊形ABCDEF,點(diǎn)P沿直線(xiàn)AB從右向左移動(dòng),當(dāng)出現(xiàn)點(diǎn)P與正六邊形六個(gè)頂點(diǎn)中的至少兩個(gè)頂點(diǎn)距離相等時(shí),就會(huì)發(fā)出警報(bào),則直線(xiàn)AB上會(huì)發(fā)出警報(bào)的點(diǎn)P有個(gè).

8.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,有一個(gè)正六邊形ABCDEF,其中C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(1,0)、(2,0).若在無(wú)滑動(dòng)的情況下,將這個(gè)正六邊形沿著x軸向右滾動(dòng),則在滾動(dòng)的過(guò)程中,這個(gè)正六邊形的頂點(diǎn)A、B、C、D、E、F會(huì)過(guò)點(diǎn)(45,2)的是.

9.如圖①所示為地磚上的圖案,其中包含了一種特殊的平面圖形——正八邊形.如圖②,AE是☉O的直徑,用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作☉O的內(nèi)接正八邊形ABCDEFGH(不寫(xiě)作法,保留作圖痕跡).10.(1)如圖①,△ABC是☉O的內(nèi)接正三角形,P為BC上一動(dòng)點(diǎn),連接PA、PB、PC.求證:PA=PB+PC.(2)如圖②,四邊形ABCD是☉O的內(nèi)接正方形,P為BC上一動(dòng)點(diǎn),連接PA、PB、PC.求證:PA=PC+2PB.(3)如圖③,六邊形ABCDEF是☉O的內(nèi)接正六邊形,P為BC上一動(dòng)點(diǎn),連接PA、PB、PC.請(qǐng)?zhí)骄縋A、PB、PC三者之間的數(shù)量關(guān)系,直接寫(xiě)出答案,不必證明.2.6正多邊形與圓第1課時(shí)正多邊形與圓的關(guān)系1.A2.B3.45°4.725.2+26.(1)在正五邊形ABCDE中,AB=BC,∠ABM=∠C.在△ABM和△BCN中,AB=BC,∠ABM=∠C,BM=CN,∴△ABM≌△BCN(2)∵△ABM≌△BCN,∴∠BAM=∠CBN.∵∠BAM+∠ABP=∠APN,∴7.C8.27°解析:如圖,連接OG、OF、OD、OE、DF、AC.∵四邊形ABCD是正方形,∴∠ADC=90°,∴AC過(guò)圓心O,∴∠AOD=14×360°=90°,∠FOG=∠EOF=15×360°=72°.∵正五邊形CEFGH內(nèi)接于☉O,∴GH=CH=FE=CE,∴GC=FC,∴∠GOC=∠FOC,∴∠AOG=∠AOF=12∠FOG=36°,∴∠DOF=90°-36°=54°,∴∠DOE=72°-54°=18°,∴∠AMF=∠MFD+∠MDF=12∠DOE+12∠AOF=12×18°+129.4310.1211.(1)∵五邊形ABCDE是正五邊形,∴∠ABC=(5-2)×180°5=108°(2)△AMN是正三角形理由:連接ON、NF.由作圖,得FN=OF.∵OF=ON,∴FN=OF=ON,∴△FON是等邊三角形,∴∠NFA=60°.∵AN=AN,∴∠NMA=∠NFA=60°.同理,可得∠ANM=60°,∴在△AMN中,∠MAN=60°,∴∠NMA=∠ANM=∠MAN,∴△AMN是正三角形(3)由(2),得△AMN是正三角形,∴∠AON=2∠AMN=120°,∴AN=120°.∵AD=2AE=2×360°5=144°,∴DN=AD-AN=24°,∴n=360°24°12.∵△ABC是等邊三角形,∴∠A=∠B=∠C=60°,AB=BC=AC.∵E、F、G、H、L、K分別是各邊的三等分點(diǎn),∴AE=EF=FB=13AB,BG=GH=HC=13BC,LC=KL=AK=13AC,∴AE=AK,BF=BG,CH=CL.∵∠A=∠B=∠C=60°,∴△AEK、△BGF、△CHL是等邊三角形,∴EK=EF=FG=GH=HL=LK,∠KEF=∠EFG=∠FGH=∠GHL=∠HLK=∠LKE=120°,∴第2課時(shí)正多邊形的對(duì)稱(chēng)性1.D2.B3.184.3605.連接AO、CO.由題意,得AB的度數(shù)為360°8=45°,AC的度數(shù)為360°12=30°,∴BC的度數(shù)為45°-30°=15°.∵360°÷15°=24,∴線(xiàn)段BC是☉O的內(nèi)接正二十四邊形的一條邊,∴6.B7.5[易錯(cuò)分析]解答本題時(shí)容易忽視正六邊形的對(duì)角線(xiàn)EC、AC的垂直平分線(xiàn)分別與直線(xiàn)AB的交點(diǎn)也是符合題意的點(diǎn).8.B9.如圖10.(1)如圖①,延長(zhǎng)BP至點(diǎn)E,使PE=PC,連接CE.∵A、B、P、C四點(diǎn)在同一個(gè)圓上,∴∠BAC+∠BPC=180°.∵∠BPC+∠CPE=180°,∴∠BAC=∠CPE.∵△ABC為正三角形,∴∠BAC=∠ACB=60°,∴∠CPE=60°.又∵PE=PC,∴△PCE是正三角形,∴∠PCE=60°.∵∠BCE=60°+∠BCP,∠ACP=60°+∠BCP,∴∠BCE=∠ACP.∵△PCE、△ABC為正三角形,∴CP=CE,AC=BC,∴△APC≌△BEC,∴PA=EB=PB+PE=PB+PC(2)如圖②,過(guò)點(diǎn)B作BE⊥PB,交PA于點(diǎn)E,連接AC.∵∠ABE+∠