自動控制原理(第四版)課后習(xí)題及答案考慮單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為\(G(s)=\frac{K}{s(s+1)(s+2)}\)，其中\(zhòng)(K>0\)。問題1：求系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)，并分析當(dāng)\(K=1\)時系統(tǒng)的穩(wěn)定性。閉環(huán)傳遞函數(shù)\(\Phi(s)\)由\(\frac{G(s)}{1+G(s)}\)計算得：\[\Phi(s)=\frac{K}{s(s+1)(s+2)+K}=\frac{K}{s^3+3s^2+2s+K}\]系統(tǒng)穩(wěn)定性由特征方程\(s^3+3s^2+2s+K=0\)的根的位置決定。采用勞斯判據(jù)分析：勞斯表第一行為\([1,2]\)，第二行為\([3,K]\)，第三行為\(\frac{3\times2-1\timesK}{3}=\frac{6-K}{3}\)，第四行為\(K\)。系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是勞斯表第一列全為正，因此需滿足\(6-K>0\)且\(K>0\)，即\(0<K<6\)。當(dāng)\(K=1\)時，\(1<6\)，故系統(tǒng)穩(wěn)定。問題2：若系統(tǒng)為二階欠阻尼系統(tǒng)，其閉環(huán)傳遞函數(shù)為\(\Phi(s)=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2}\)，已知單位階躍響應(yīng)的超調(diào)量\(\sigma\%=20\%\)，調(diào)節(jié)時間\(t_s=2s\)（5%誤差帶），求\(\zeta\)和\(\omega_n\)。超調(diào)量公式為\(\sigma\%=e^{-\zeta\pi/\sqrt{1-\zeta^2}}\times100\%\)，代入\(\sigma\%=20\%\)得：\[e^{-\zeta\pi/\sqrt{1-\zeta^2}}=0.2\]兩邊取自然對數(shù)：\(-\frac{\zeta\pi}{\sqrt{1-\zeta^2}}=\ln0.2\approx-1.6094\)，即\(\frac{\zeta\pi}{\sqrt{1-\zeta^2}}=1.6094\)。令\(x=\zeta\)，則方程變?yōu)閈(\frac{x\pi}{\sqrt{1-x^2}}=1.6094\)，平方后得\(\frac{x^2\pi^2}{1-x^2}=2.590\)，整理得\(x^2(\pi^2+2.590)=2.590\)，解得\(x\approx0.456\)，故\(\zeta\approx0.456\)。調(diào)節(jié)時間\(t_s\)（5%誤差帶）的近似公式為\(t_s\approx\frac{3}{\zeta\omega_n}\)，代入\(t_s=2s\)得：\[\omega_n=\frac{3}{\zetat_s}=\frac{3}{0.456\times2}\approx3.29\,\text{rad/s}\]問題3：已知某最小相位系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性漸近線如圖（注：此處假設(shè)幅頻特性由三段直線組成：0dB/dec（ω<0.1），-20dB/dec（0.1≤ω<10），-40dB/dec（ω≥10）），求系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，并判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。對數(shù)幅頻特性漸近線的斜率變化對應(yīng)傳遞函數(shù)中典型環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率。-當(dāng)\(\omega<0.1\)時，斜率為0dB/dec，說明系統(tǒng)為0型系統(tǒng)，開環(huán)傳遞函數(shù)無積分環(huán)節(jié)，低頻段幅值為\(20\lgK\)。-在\(\omega=0.1\)處斜率變?yōu)?20dB/dec，對應(yīng)一個慣性環(huán)節(jié)\(\frac{1}{1+s/0.1}=\frac{0.1}{s+0.1}\)。-在\(\omega=10\)處斜率變?yōu)?40dB/dec，對應(yīng)另一個慣性環(huán)節(jié)\(\frac{1}{1+s/10}=\frac{10}{s+10}\)。設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù)形式為\(G(s)=\frac{K}{(1+s/0.1)(1+s/10)}=\frac{K\times0.1\times10}{(s+0.1)(s+10)}=\frac{K}{(s+0.1)(s+10)/1}\)（簡化后）。低頻段幅值\(20\lgK\)可通過漸近線在\(\omega=0.1\)處的值確定：當(dāng)\(\omega=0.1\)時，處于-20dB/dec段，該段漸近線方程為\(L(\omega)=20\lgK-20\lg(\omega/0.1)\)（因斜率為-20dB/dec，每十倍頻下降20dB）。當(dāng)\(\omega=0.1\)時，\(L(0.1)=20\lgK\)，而根據(jù)漸近線的連續(xù)性，0型系統(tǒng)在\(\omega\to0\)時\(L(\omega)=20\lgK\)，故假設(shè)\(\omega=0.1\)處幅值仍為\(20\lgK\)。另一種方法是利用交接頻率處的幅值關(guān)系：對于0型系統(tǒng)，低頻段幅值\(20\lgK\)在\(\omega=0.1\)處開始下降，當(dāng)\(\omega=10\)時，斜率變?yōu)?40dB/dec。取\(\omega=1\)（位于0.1到10之間），此時\(L(1)=20\lgK-20\lg(1/0.1)=20\lgK-20\)。若假設(shè)\(L(1)=0\)（常見情況），則\(20\lgK-20=0\)，解得\(K=10\)。因此開環(huán)傳遞函數(shù)為：\[G(s)=\frac{10}{(1+10s)(1+0.1s)}=\frac{10}{(10s+1)(0.1s+1)}\]判斷閉環(huán)穩(wěn)定性需計算相位裕度\(\gamma\)。開環(huán)頻率特性\(G(j\omega)=\frac{10}{(1+j10\omega)(1+j0.1\omega)}\)，幅值穿越頻率\(\omega_c\)滿足\(|G(j\omega_c)|=1\)，即\(\frac{10}{\sqrt{(1+(10\omega_c)^2)(1+(0.1\omega_c)^2)}}=1\)。近似計算時，當(dāng)\(\omega_c\)遠(yuǎn)大于0.1且遠(yuǎn)小于10（即\(0.1<\omega_c<10\)），\(10\omega_c\gg1\)，\(0.1\omega_c\ll1\)，故\(|G(j\omega_c)|\approx\frac{10}{10\omega_c\times1}=\frac{1}{\omega_c}=1\)，得\(\omega_c=1\,\text{rad/s}\)。相位裕度\(\gamma=180^\circ+\angleG(j\omega_c)\)，計算\(\angleG(j1)=-\arctan(10\times1)-\arctan(0.1\times1)\approx-84.3^\circ-5.7^\circ=-90^\circ\)，故\(\gamma=180^\circ-90^\circ=90^\circ>0\)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。問題4：設(shè)離散控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖為單位負(fù)反饋，其中數(shù)字控制器\(D(z)=1\)，被控對象的Z傳遞函數(shù)\(G(z)=\frac{0.368z+0.264}{z^2-1.368z+0.368}\)，采樣周期\(T=1s\)。求系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程，并判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。閉環(huán)Z傳遞函數(shù)\(\Phi(z)=\frac{D(z)G(z)}{1+D(z)G(z)}\)，因\(D(z)=1\)，故閉環(huán)特征方程為\(1+G(z)=0\)，即：\[z^2-1.368z+0.368+0.368z+0.264=0\]整理得：\[z^2-z+0.632=0\]判斷離散系統(tǒng)穩(wěn)定性需確定特征根是否位于單位圓內(nèi)。求解特征方程：\[z=\frac{1\pm\sqrt{1-4\times1\times0.632}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{-1.528}}{2}=0.5\pmj0.618\]計算根的模：\(|z|=\sqrt{0.5^2+0.618^2}\approx\sqrt{0.25+0.618^2}\approx\sqrt{0.25+0.618^2}\)。因\(0.618^2\approx0.618\times0.618=0.618^2\approx0.618\times0.6=0.3708\)（更精確計算：\(0.618^2=0.618\times0.618=0.3819\)），故\(|z|=\sqrt{0.25+0.3819}=\sqrt{0.6319}\approx0.795<1\)，所有特征根均在單位圓內(nèi)，系統(tǒng)穩(wěn)定。問題5：已知非線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖中，非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)為\(N(A)=\frac{4M}{\piA}\)（\(M>0\)，\(A\)為輸入振幅），線性部分的傳遞函數(shù)\(G(s)=\frac{K}{s(s+1)}\)。分析系統(tǒng)是否存在自激振蕩，若存在，求振蕩的振幅和頻率。自激振蕩的條件是\(N(A)G(j\omega)=-1\)，即\(G(j\omega)=-\frac{1}{N(A)}\)。線性部分頻率特性\(G(j\omega)=\frac{K}{j\omega(j\omega+1)}=\frac{K}{-\omega^2+j\omega}=\frac{K(-\omega^2-j\omega)}{\omega^4+\omega^2}=-\frac{K}{\omega^2+1}-j\frac{K}{\omega(\omega^2+1)}\)。令\(G(j\omega)=-\frac{1}{N(A)}=-\frac{\piA}{4M}\)（因\(N(A)\)為實數(shù)，故\(-\frac{1}{N(A)}\)為負(fù)實數(shù)）。因此，\(G(j\omega)\)的虛部必須為0，實部等于\(-\frac{\piA}{4M}\)。虛部為0的條件：\(-\frac{K}{\omega(\omega^2+1)}=0\)，但\(K>0\)，\(\omega>0\)，虛部無法為0，說明原假設(shè)可能有誤。實際上，非線性環(huán)節(jié)為理想繼電特性時，描述函數(shù)\(N(A)=\frac{4M}{\piA}\)（純實數(shù)），因此\(G(j\omega)\)需為負(fù)實數(shù)，即\(G(j\omega)\)的相角為\(-180^\circ\)。計算\(G(j\omega)\)的相角：\(\angleG(j\omega)=-90^\circ-\arctan\omega\)。令\(\angleG(j\omega)=-180^\circ\)，則\(-90^\circ-\arctan\omega=-180^\circ\)，解得\(\arctan\omega=90^\circ\)，即\(\omega\to\infty\)，此時\(|G(j\omega)|=\frac{K}{\omega\sqrt{\omega^2+1}}\to0\)。自激振蕩的條件還可表示為\(|G(j\omega)|=\frac{1}{|N(A)|}\)且\(\angleG(j\omega)=-180^\circ\)。由于\(\angleG(j\omega)=-180^\circ\)僅當(dāng)\(\omega\to\infty\)，而\(|G(j\omega)|\to0\)，此時\(\frac{1}{|N(A)|}=\frac{\piA}{4M}\to0\)，即\(A\to0\)，但振幅\(A\to0\)時非線性環(huán)節(jié)進(jìn)入線性區(qū)，描述函數(shù)法不再適用。因此，該系統(tǒng)不存在穩(wěn)定的自激振蕩。問題6：設(shè)復(fù)合控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖中，輸入信號\(r(t)=t\)，擾動信號\(n(t)=1(t)\)（單位階躍），前向通道傳遞函數(shù)\(G_1(s)=\frac{K}{s}\)，\(G_2(s)=\frac{1}{s+1}\)，補償裝置\(G_c(s)\)用于消除擾動對輸出的影響。求\(G_c(s)