課時(shí)規(guī)范練38基本立體圖形及空間幾何體的表面積和體積基礎(chǔ)鞏固組1.如圖,能旋轉(zhuǎn)形成該幾何體的平面圖形是()2.用斜二測(cè)畫法得到一個(gè)水平放置的平面圖形OABC的直觀圖為如圖所示的直角梯形O'A'B'C',其中梯形的上底長是下底長的13,若原平面圖形OABC的面積為32,則O'A'的長為(A.2 B.2C.3 D.33.(2025八省聯(lián)考)底面直徑和母線長均為2的圓錐的體積為()A.3π3 B.π C.2π D.4.“阿基米德多面體”也稱半正多面體,是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體,它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.如圖是以一正方體的各條棱的中點(diǎn)為頂點(diǎn)的多面體,這是一個(gè)有八個(gè)面為正三角形,六個(gè)面為正方形的“阿基米德多面體”,若該多面體的棱長為1,則經(jīng)過該多面體的各個(gè)頂點(diǎn)的球的體積為()A.4π3 BC.4π D.8π5.一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓,則該圓錐的內(nèi)切球的表面積和圓錐的側(cè)面積的比為()A.2∶3 B.3∶2C.1∶2 D.3∶46.定義:24小時(shí)內(nèi)降水在平地上積水厚度(單位:mm)來判斷降雨程度.其中小雨(<10mm),中雨(10~25mm),大雨(25~50mm),暴雨(50~100mm),小明用一個(gè)圓錐形容器接了24小時(shí)的雨水,如圖,則這天降雨屬于哪個(gè)等級(jí)()A.小雨 B.中雨C.大雨 D.暴雨7.(多選)下列四個(gè)論斷不正確的是()A.過圓錐兩母線的截面面積中,最大的是軸截面面積B.經(jīng)過一條已知直線有且只有一個(gè)平面與已知平面垂直C.等底面積等高的棱柱與圓柱的體積相等D.表面積相等的正方體和球體,體積較大的是球體8.一個(gè)正四棱錐的高為7,底面邊長為10,若正四棱錐的五個(gè)頂點(diǎn)恰好在一個(gè)球面上,則該球的半徑為.

9.(2024遼寧錦州模擬)已知用斜二測(cè)畫法畫梯形OABC的直觀圖O'A'B'C'如圖所示,O'A'=3C'B',C'E'⊥O'A',S梯形OABC=8,C'D'∥y'軸,C'E'=22,D'為O'A'的三等分點(diǎn),則梯形OABC繞y軸旋轉(zhuǎn)一周形成的空間幾何體的體積為.綜合提升組10.(多選)如圖,一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐的底面直徑和它們的高都與一個(gè)球的直徑2R相等,則下列結(jié)論正確的是()A.圓柱的體積為4πR3B.圓錐的側(cè)面積為5πR2C.圓柱的側(cè)面積與圓錐的表面積相等D.圓柱、圓錐、球的體積之比為3∶1∶211.已知四棱錐P-ABCD的底面是邊長為4的正方形,PC=PD=3,∠PCA=45°,則△PBC的面積為()A.22 B.32 C.42 D.5212.在高為2的直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,若該直三棱柱存在內(nèi)切球,則底面三角形ABC周長的最小值為.

13.如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=14,BC=5,AA1=4,點(diǎn)E,F分別在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=2.(1)求直線CF與C1E所成角的余弦值;(2)過點(diǎn)E,F的平面α與此長方體的表面相交,交線圍成一個(gè)正方形,求平面α把該長方體分成的較小部分與較大部分的體積的比值.創(chuàng)新應(yīng)用組14.(多選)下列物體中,能被整體放入棱長為1(單位:m)的正方體容器(容器壁厚度忽略不計(jì))內(nèi)的有()A.直徑為0.99m的球體B.所有棱長均為1.4m的四面體C.底面直徑為0.01m,高為1.8m的圓柱體D.底面直徑為1.2m,高為0.01m的圓柱體15.用曲率刻畫空間彎曲性,規(guī)定:多面體頂點(diǎn)的曲率等于2π與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差(多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角,角度用弧度制),多面體面上非頂點(diǎn)的曲率均為零,多面體的總曲率等于該多面體各頂點(diǎn)的曲率之和.例如:正四面體在每個(gè)頂點(diǎn)有3個(gè)面角,每個(gè)面角是π3,所以正四面體在各頂點(diǎn)的曲率為2π-3×π3=π,故其總曲率為4(1)求四棱錐的總曲率;(2)若多面體滿足:頂點(diǎn)數(shù)-棱數(shù)+面數(shù)=2,證明:這類多面體的總曲率是常數(shù).

課時(shí)規(guī)范練38基本立體圖形及空間幾何體的表面積和體積1.A解析:該幾何體自上向下是由一個(gè)圓錐、兩個(gè)圓臺(tái)和一個(gè)圓柱構(gòu)成,是由A中的平面圖形旋轉(zhuǎn)形成的,故選A.2.D解析:設(shè)O'A'=x,則O'B'=2x,在原圖形中OB=2O'B'=22x,BC=B'C'=x3,OA=O'A'=x,OB為原圖形中梯形的高,面積為S=12×x+13x×22x=32,解得x=32,3.A解析:根據(jù)題意,設(shè)該圓錐的高為h,底面半徑r=1,母線長為2,則h=4-1=3,故該圓錐的體積V=13πr4.A解析:將該多面體放入正方體中,如圖所示.由于多面體的棱長為1,所以正方體的棱長為2,因?yàn)樵摱嗝骟w是由棱長為2的正方體連接各棱中點(diǎn)所得,所以該多面體外接球的球心為正方體體對(duì)角線的中點(diǎn),其外接球直徑等于正方體的面對(duì)角線長,即2R=2×2(R為外接球的半徑),所以所以該多面體外接球的體積為V=43πR35.A解析:設(shè)圓錐的底面半徑為r,母線長為l,高為h,內(nèi)切球的半徑為R,其軸截面如圖所示.設(shè)O為內(nèi)切球球心,因?yàn)閳A錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓,所以πl(wèi)=2πr,得l=2r,即PA=PB=2r,所以PD=PB2所以PO=PD-OD=3r-R.由題設(shè)及圖可得△POE∽△PBD,所以POPB=OEBD,所以3r-所以圓錐的內(nèi)切球的表面積和圓錐的側(cè)面積的比為4πR2∶πrl=4π·13r2∶2πr2=2∶6.B解析:由題可知,圓錐內(nèi)積水的高度是圓錐高度的一半,則圓錐內(nèi)積水部分的半徑為r=12×1所以由定義可得,積水厚度d=13π×502×150π7.AB解析:由于圓錐母線長度都相等,設(shè)兩母線的夾角為θ,母線長為2,則過圓錐兩母線的截面面積為12×2×2sinθ=2sinθ,當(dāng)軸截面兩母線的夾角θ=150°時(shí),軸截面的面積為2sin150°=1,此時(shí)可以找到一個(gè)兩母線的夾角θ=90°不是軸截面的截面,其面積為2sin90°=2,故A錯(cuò)誤;當(dāng)已知直線垂直于已知平面時(shí),過已知直線的所有平面都垂直于已知平面,故B錯(cuò)誤;由于棱柱和圓柱的體積都是底面積乘高,則等底面積等高的棱柱與圓柱的體積相等,故C正確;設(shè)正方體的棱長為a,球的半徑為R,則表面積S=4πR2=6a2,球的體積為V1=43×πR3=S3×S4π,正方體的體積為V2=a3=S6×S6,8.9914解析:設(shè)該正四棱錐為P-ABCD,由正四棱錐和外接球的性質(zhì)可知球的球心在正四棱錐的高所在的直線上,設(shè)球心為O,底面中心為E(因?yàn)榈酌媸钦叫?所以DE=12102在直角三角形ODE中,OD2=OE2+DE2,設(shè)球的半徑為r,有r2=(r-7)2+50?r=999.48π解析:在直觀圖中,C'D'=2C'E'=1,如圖,在還原圖中,CD=2.在直觀圖中,O'A'=3C'B',D'為O'A'的三等分點(diǎn),所以在還原圖中,OA=3CB,D為OA的三等分點(diǎn).又在直觀圖中,C'D'∥y'軸,所以在還原圖中,CD∥y軸,則CD⊥OA,所以S梯形OABC=12CD×(OA+CB)=12×2×4CB=4CB=8,故OA=6,OD=13OA=2,所以梯形OABC是等腰梯形所以梯形OABC繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的空間幾何體的體積等于一個(gè)圓臺(tái)的體積減去一個(gè)圓錐的體積,即V=13π×(42+4×6+62)×2-13π×22×210.BD解析:依題意圓柱的底面半徑為R,高為2R,故圓柱的體積為πR2×2R=2πR3,故A錯(cuò)誤;由題可得,圓錐的母線長為5R,圓錐的側(cè)面積為πR×5R=5πR2,故B∵圓柱的側(cè)面積為4πR2,圓錐表面積為5πR2+πR2,故C錯(cuò)誤圓柱的體積V圓柱=πR2·2R=2πR3,圓錐的體積V圓錐=13πR2·2R=23πR3,球的體積V球=故V圓柱∶V圓錐∶V球=2πR3∶23πR3∶43πR3=3∶1故選BD.11.C解析:在四棱錐P-ABCD中,由PC=PD=3,得△CDP是等腰三角形.設(shè)CD的中點(diǎn)為E,AB的中點(diǎn)為F,由幾何知識(shí)得,△CDP關(guān)于PE對(duì)稱,點(diǎn)P在平面PEF內(nèi),且PA=PB.在正方形ABCD中,AB=BC=CD=AD=4,由勾股定理得,AC=AB2+在△ACP中,∠PCA=45°,由余弦定理得,PA2=PC2+AC2-2AC·PC·cos∠PCA,解得PA=17,∴PB=PA=17.在△BCP中,由余弦定理得,PB2=PC2+BC2-2PC·BC·cos∠BCP,解得cos∠BCP=13,∴sin∠BCP=1-cos2∠BCP=223.∴S△PBC12.6+42解析:因?yàn)橹比庵鵄BC-A1B1C1的高為2,設(shè)內(nèi)切球的半徑為r,所以2r=2,得r=1.設(shè)AB=a,AC=b,BC=c,因?yàn)锳B⊥AC,所以a2+b2=c2.因?yàn)镾△ABC=12ab=12(a+b+c)·r=12(a+b+c),所以△ABC周長的最小值即為面積的最小值的而S△ABC=12ab≤12a當(dāng)且僅當(dāng)“a=b”時(shí)取等號(hào).當(dāng)a=b時(shí),底面三角形ABC周長最小,所以c=2a,所以12ab=12(a+b+c)·r?ab=a+b+c?a2=2a+2a,解得a=2故△ABC周長的最小值為a+b+c=4+22+2(2+2)=6+13.解(1)連接EF,EB,BC1,長方體ABCD-A1B1C1D1中,A1E=D1F=2,且A1E∥D1F,所以四邊形A1EFD1是平行四邊形,所以A1D1與EF平行且相等,所以EF與BC平行且相等,所以四邊形EFCB為平行四邊形,所以FC∥BE,直線CF與C1E所成角就是∠C1EB或其補(bǔ)角,C1E=EF2EB=EB12+C1B=B1在△C1EB中,由余弦定理,cos∠C1EB=C1E2+EB2-C(2)設(shè)圍成的正方形為EFNM,則EM=5,作EP⊥AB于點(diǎn)P,作FQ⊥DC于點(diǎn)Q,所以PM=3,所以點(diǎn)M在點(diǎn)P的右側(cè),平面α把該長方體分成的兩部分為直棱柱AMEA1-DNFD1和直棱柱EMBB1-FNCC1,兩個(gè)直棱柱的高相等,兩部分體積之比為V14.ABD解析:對(duì)于A選項(xiàng),正方體內(nèi)切球直徑為1m.因?yàn)?>0.99,故A正確;對(duì)于B選項(xiàng),如圖(1),正方體內(nèi)部最大的正四面體棱長為BA1=2,2>1.4,故B圖(1)圖(2)對(duì)于C選項(xiàng),如圖(2),因?yàn)閳A柱的底面直徑為0.01m(可忽略不計(jì)),故可將高為1.8m的圓柱看作長為1.8m的線段,而正方體的體對(duì)角線AC1長為3m,且3<1.8,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D選項(xiàng),如圖(3)①,因?yàn)閳A柱體的高為0.01m(可忽略不計(jì)),可以將該圓柱體看作直徑為1.2m的圓.設(shè)E,F,G,H,I,J為各棱的中點(diǎn),六邊形EFGHIJ為正六邊形,如圖(3)②,其棱長為22m,其內(nèi)切圓直徑的長等于FH的長,∠GFH=∠GHF=30°,所以FH=3FG=3GH=62(m).因?yàn)?2>1.2,故D正確.圖(3)①圖(3)②15.(1)解由題可知,四棱錐的總曲率等于四棱錐各頂點(diǎn)的曲率之和.可以從整個(gè)多面體的角度考慮,所有頂點(diǎn)相關(guān)的面角就是多面體的