專(zhuān)題18立體幾何初步（Ⅰ）目錄01思維導(dǎo)圖02知識(shí)清單03核心素養(yǎng)分析04方法歸納空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征(1)多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱(chēng)棱柱棱錐棱臺(tái)圖形底面互相平行且全等多邊形互相平行且相似側(cè)棱平行且相等相交于一點(diǎn)，但不一定相等延長(zhǎng)線(xiàn)交于一點(diǎn)側(cè)面形狀平行四邊形三角形梯形(2)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱(chēng)圓柱圓錐圓臺(tái)球圖形母線(xiàn)互相平行且相等，垂直于底面相交于一點(diǎn)延長(zhǎng)線(xiàn)交于一點(diǎn)軸截面矩形等腰三角形等腰梯形圓面?zhèn)让嬲归_(kāi)圖矩形扇形扇環(huán)一、簡(jiǎn)單幾何體㈠空間幾何體的類(lèi)型1多面體：由若干個(gè)平面多邊形圍成的幾何體。圍成多面體的各個(gè)多邊形叫做多面體的面，相鄰兩個(gè)面的公共邊叫做多面體的棱，棱與棱的公共點(diǎn)叫做多面體的頂點(diǎn)。2旋轉(zhuǎn)體：把一個(gè)平面圖形繞它所在的平面內(nèi)的一條定直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)形成了封閉幾何體。其中，這條直線(xiàn)稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)體的軸。㈡幾種空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征1棱柱的結(jié)構(gòu)特征棱柱的定義：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱。棱柱的分類(lèi)棱柱的性質(zhì)⑴側(cè)棱都相等，側(cè)面是平行四邊形；⑵兩個(gè)底面與平行于底面的截面是全等的多邊形；⑶過(guò)不相鄰的兩條側(cè)棱的截面是平行四邊形；⑷直棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)與高相等，側(cè)面的對(duì)角面是矩形。長(zhǎng)方體的性質(zhì)圖1-1棱柱⑴長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)的平方等于一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱的平方和：AC12=AB2+AC2+AA12圖1-1棱柱⑵長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線(xiàn)AC1與過(guò)定點(diǎn)A的三條棱所成的角分別是α、β、γ，那么：cos2α+cos2β+cos2γ=1sin2α+sin2β+sin2γ=2⑶長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線(xiàn)AC1與過(guò)定點(diǎn)A的相鄰三個(gè)面所組成的角分別為α、β、γ，則：cos2α+cos2β+cos2γ=2sin2α+sin2β+sin2γ=1圖1-2長(zhǎng)方體圖1-2長(zhǎng)方體棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖：正n棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖是由n個(gè)全等矩形組成的以底面周長(zhǎng)和側(cè)棱為鄰邊的矩形。棱柱的面積和體積公式S直棱柱側(cè)面=c·h(c為底面周長(zhǎng)，h為棱柱的高)S直棱柱全=c·h+2S底V棱柱=S底·h2圓柱的結(jié)構(gòu)特征2-1圓柱的定義：以矩形的一邊所在的直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體叫圓柱。圖1-3圓柱2-2圓柱的性質(zhì)圖1-3圓柱⑴上、下底及平行于底面的截面都是等圓；⑵過(guò)軸的截面(軸截面)是全等的矩形。2-3圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖：圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是以底面周長(zhǎng)和母線(xiàn)長(zhǎng)為鄰邊的矩形。2-4圓柱的面積和體積公式S圓柱側(cè)面=2π·r·h(r為底面半徑，h為圓柱的高)S圓柱全=2πrh+2πr2V圓柱=S底h=πr2h3棱錐的結(jié)構(gòu)特征3-1棱錐的定義⑴棱錐：有一個(gè)面是多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐。⑵正棱錐：如果有一個(gè)棱錐的底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)在底面的投影是底面的中心，這樣的棱錐叫做正棱錐。3-2正棱錐的結(jié)構(gòu)特征⑴平行于底面的截面是與底面相似的正多邊形，相似比等于頂點(diǎn)到截面的距離與頂點(diǎn)到底面的距離之比；⑵正棱錐的各側(cè)棱相等，各側(cè)面是全等的等腰三角形；⑶正棱錐中的六個(gè)元素，即側(cè)棱(SB)、高(SO)、斜高(SH)、側(cè)棱在底面上的射影(OB)、斜高在底面上的射影(OH)、底面邊長(zhǎng)的一半(BH)，構(gòu)成四個(gè)直角三角形(三角形SOB、SOH、SBH、OBH均為直角三角形)。3-3正棱錐的側(cè)面展開(kāi)圖：正n棱錐的側(cè)面展開(kāi)圖是由n個(gè)全等的等腰三角形組成。3-4正棱錐的面積和體積公式S正棱錐側(cè)=ch’(c為底面周長(zhǎng)，h’為側(cè)面斜高)S正棱錐全=ch’+S底面V棱錐=1/3S底面·h(h為棱錐的高)圖1-4棱錐4圓錐的結(jié)構(gòu)特征圖1-4棱錐4-1圓錐的定義：以直角三角形的一直角邊所在的直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓錐。4-2圓錐的結(jié)構(gòu)特征⑴平行于底面的截面都是圓，截面直徑與底面直徑之比等于頂點(diǎn)到截面的距離與頂點(diǎn)到底面的距離之比；⑵軸截面是等腰三角形；⑶母線(xiàn)的平方等于底面半徑與高的平方和：l2=r2+h2圖1-5圓錐4-3圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖：圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是以頂點(diǎn)為圓心，以母線(xiàn)長(zhǎng)為半徑的扇形。圖1-5圓錐4-4圓錐的面積和體積的公式S圓錐側(cè)=πr·l(r為底面半徑，l為母線(xiàn)長(zhǎng))S圓錐全=πr·(r+l)V圓錐=1/3πr2·h(h為圓錐高)5棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征棱臺(tái)的定義：用一個(gè)平行于底面的平面去截棱錐，我們把截面和底面之間的部分稱(chēng)為棱臺(tái)。正棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征⑴各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰梯形；⑵正棱臺(tái)的兩個(gè)底面和平行于底面的截面都是正多邊形；⑶正棱臺(tái)的對(duì)角面也是等腰梯形；⑷棱臺(tái)經(jīng)常被補(bǔ)成棱錐，然后利用形似三角形進(jìn)行研究。5-3正棱臺(tái)的面積和體積公式圖1-6棱臺(tái)S棱臺(tái)側(cè)=n/2(a+b)·h’(a為上底邊長(zhǎng)，b為下底邊長(zhǎng)，h’為棱臺(tái)的斜高，n為邊數(shù))圖1-6棱臺(tái)S棱臺(tái)全=S上底+S下底+S側(cè)V棱臺(tái)=6圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征6-1圓臺(tái)的定義：用一個(gè)平行于底面的平面去截圓錐，我們把截面和底面之間的部分稱(chēng)為圓臺(tái)。6-2圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征⑴圓臺(tái)的上下底面和平行于底面的截面都是圓；⑵圓臺(tái)的截面是等腰梯形；⑶圓臺(tái)經(jīng)常補(bǔ)成圓錐，然后利用相似三角形進(jìn)行研究。6-3圓臺(tái)的面積和體積公式圖1-7圓臺(tái)S圓臺(tái)側(cè)=π·(R+r)·l(r、R為上下底面半徑)圖1-7圓臺(tái)S圓臺(tái)全=π·r2+π·R2+π·(R+r)·lV圓臺(tái)=1/3(πr2+πR2+πrR)h(h為圓臺(tái)的高)7球的結(jié)構(gòu)特征7-1球的定義：以半圓的直徑所在的直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸，半圓旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體?？臻g中，與定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫做球面，球面所圍成的幾何體稱(chēng)為球體。7-2球的結(jié)構(gòu)特征⑴球心與截面圓心的連線(xiàn)垂直于截面；⑵截面半徑等于球半徑與截面和球心的距離的平方差：r2=R2–d2圖1-8球★7-3球與其他多面體的組合體的問(wèn)題圖1-8球球體與其他多面體組合，包括內(nèi)接和外切兩種類(lèi)型，解決此類(lèi)問(wèn)題的基本思路是：⑴根據(jù)題意，確定是內(nèi)接還是外切，畫(huà)出立體圖形；⑵找出多面體與球體連接的地方，找出對(duì)球的合適的切割面，然后做出剖面圖；⑶將立體問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何中圓與多邊形的問(wèn)題；⑷注意圓與正方體的兩個(gè)關(guān)系：球內(nèi)接正方體，球直徑等于正方體對(duì)角線(xiàn)；球外切正方體，球直徑等于正方體的邊長(zhǎng)。7-4球的面積和體積公式S球面=4πR2(R為球半徑)V球=4/3πR3㈢空間幾何體的視圖1三視圖：觀(guān)察者從三個(gè)不同的位置觀(guān)察同一個(gè)空間幾何體而畫(huà)出的圖形。正視圖：光線(xiàn)從幾何體的前面向后面正投影，得到的投影圖。側(cè)視圖：光線(xiàn)從幾何體的左邊向右邊正投影，得到的投影圖。俯視圖：光線(xiàn)從幾何體的上面向右邊正投影，得到的投影圖。注意：⑴俯視圖畫(huà)在正視圖的下方，“長(zhǎng)度”與正視圖相等；側(cè)視圖畫(huà)在正視圖的右方，“高度”與正視圖相等，“寬度”與俯視圖相等。(正側(cè)一樣高，正俯一樣長(zhǎng)，俯側(cè)一樣寬)⑵正視圖、側(cè)視圖、俯視圖都是平面圖形，而不是直觀(guān)圖。2直觀(guān)圖2-1直觀(guān)圖的定義：是觀(guān)察者站在某一點(diǎn)觀(guān)察一個(gè)空間幾何體而畫(huà)出的圖形，直觀(guān)圖通常是在平行投影下畫(huà)出的空間圖形。2-2斜二測(cè)法做空間幾何體的直觀(guān)圖⑴在已知圖形中取互相垂直的軸Ox、Oy，即取∠x(chóng)Oy=90°；⑵畫(huà)直觀(guān)圖時(shí)，把它畫(huà)成對(duì)應(yīng)的軸O’x’、O’y，取∠x(chóng)’O’y’=45°或135°，它們確定的平面表示水平平面；⑶在坐標(biāo)系x’o’y’中畫(huà)直觀(guān)圖時(shí)，已知圖形中平行于數(shù)軸的線(xiàn)段保持平行性不變；平行于x軸的線(xiàn)段保持長(zhǎng)度不變；平行于y軸的線(xiàn)段長(zhǎng)度減半。結(jié)論：采用斜二測(cè)法作出的直觀(guān)圖的面積是原平面圖形的2-3解決關(guān)于直觀(guān)圖問(wèn)題的注意事項(xiàng)⑴由幾何體的三視圖畫(huà)直觀(guān)圖時(shí)，一般先考慮“俯視圖”；⑵由幾何體的直觀(guān)圖畫(huà)三視圖時(shí)，能看見(jiàn)的輪廓線(xiàn)和棱畫(huà)成實(shí)線(xiàn)，不能看見(jiàn)的輪廓線(xiàn)和棱畫(huà)成虛線(xiàn)?；玖Ⅲw圖形及直觀(guān)圖，幾何體的表面積與體積及與球有關(guān)的切接問(wèn)題是高考?？純?nèi)容，基于立體圖形的識(shí)別及圖形有關(guān)的計(jì)算，多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)。一、基本立體圖形命題點(diǎn)1結(jié)構(gòu)特征例1下列說(shuō)法中正確的是（

）A．直四棱柱是長(zhǎng)方體B．棱錐的側(cè)面只能是三角形C．通過(guò)圓臺(tái)側(cè)面一點(diǎn)，有無(wú)數(shù)條母線(xiàn)D．以直角三角形的一邊所在直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周所圍成的旋轉(zhuǎn)體為圓錐答案B分析逐項(xiàng)判斷即可．對(duì)于A(yíng)，直四棱柱底面不一定是長(zhǎng)方形；對(duì)于B，根據(jù)棱錐定義，側(cè)面一定是三角形；對(duì)于C，通過(guò)圓臺(tái)側(cè)面一點(diǎn)只有一條母線(xiàn)；對(duì)于D，以直角三角形的一條斜邊所在直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周所圍成的旋轉(zhuǎn)體不是圓錐.解析直四棱柱不是長(zhǎng)方體，底面不一定是長(zhǎng)方形，故A錯(cuò)誤；根據(jù)棱錐定義，側(cè)面一定是三角形，故B正確；通過(guò)圓臺(tái)側(cè)面一點(diǎn)，只有一條母線(xiàn)，故C錯(cuò)誤；以直角三角形的一條直角邊所在直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周所圍成的旋轉(zhuǎn)體為圓錐，斜邊不行，故D錯(cuò)誤；故選：B.方法歸納：空間幾何體結(jié)構(gòu)特征的判斷技巧(1)緊扣結(jié)構(gòu)特征是判斷的關(guān)鍵，依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線(xiàn)面關(guān)系或增加線(xiàn)、面等基本元素，然后再依據(jù)題意判定．(2)說(shuō)明一個(gè)命題是錯(cuò)誤的，只要舉出一個(gè)反例即可．命題點(diǎn)2直觀(guān)圖例2如圖,直角梯形滿(mǎn)足,它是水平放置的平面圖形的直觀(guān)圖,則該平面圖形的周長(zhǎng)是（）A． B．C． D．答案C分析結(jié)合斜二測(cè)畫(huà)法的規(guī)則,將直觀(guān)圖即直角梯形還原成平面圖形,結(jié)合勾股定理算出各邊長(zhǎng)度即可求解.解析由題意,,由可得,由,可得,所以,而，所以，結(jié)合斜二測(cè)畫(huà)法的規(guī)則,將直觀(guān)圖即直角梯形還原成平面圖形，如圖所示：由勾股定理可得，所以滿(mǎn)足題意的平面圖形的周長(zhǎng)是.故選:C.方法歸納：(1)在斜二測(cè)畫(huà)法中，要確定關(guān)鍵點(diǎn)及關(guān)鍵線(xiàn)段．平行于x軸的線(xiàn)段平行性不變，長(zhǎng)度不變；平行于y軸的線(xiàn)段平行性不變，長(zhǎng)度減半．(2)按照斜二測(cè)畫(huà)法得到的平面圖形的直觀(guān)圖，其面積與原圖形的面積的關(guān)系：S直觀(guān)圖＝eq\f(\r(2),4)S原圖形．命題點(diǎn)3展開(kāi)圖例3甲、乙兩個(gè)圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)相等，側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角之和為，圓錐的高分別為和，側(cè)面積分別為和，若，則（

）A．2 B． C． D．答案D分析設(shè)出母線(xiàn)長(zhǎng)、圓心角及底面半徑后計(jì)算即可得.解析設(shè)甲、乙兩個(gè)圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)都為，底面半徑分別為、，側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角分別為、，則，則，故，即有，，，即，同理，即，故.故選：D.方法歸納：多面體表面展開(kāi)圖可以有不同的形狀，應(yīng)多實(shí)踐，觀(guān)察并大膽想象立體圖形與表面展開(kāi)圖的關(guān)系，一定先觀(guān)察立體圖形的每一個(gè)面的形狀．二、表面積與體積命題點(diǎn)1表面積例4(1)在母線(xiàn)長(zhǎng)為4，底面直徑為6的一個(gè)圓柱中挖去一個(gè)體積最大的圓錐后，得到一個(gè)幾何體，則該幾何體的表面積為（

）A． B． C． D．答案C分析該幾何體的表面包括原圓柱側(cè)面，原圓柱一個(gè)底面及圓錐側(cè)面，分別計(jì)算出各面面積即可得.解析體積最大的圓錐的母線(xiàn)為，則.故選：C.(2已知圓錐的軸截面是一個(gè)正三角形，其中是圓錐頂點(diǎn)，AB是底面直徑．若C是底面圓O上一點(diǎn)，P是母線(xiàn)SC上一點(diǎn)，，，則三棱錐外接球的表面積是（

）A． B． C． D．答案C分析取點(diǎn)D在母線(xiàn)SA上且，可證明三棱錐與三棱錐外接球相同，再由正弦定理求出三角形的外接圓半徑即為外接球半徑得解.解析如圖，設(shè)點(diǎn)D在母線(xiàn)SA上且，因?yàn)槭侵苯侨切危匀忮F外接球的球心E在SO上，由≌，可得，即三棱錐外接球的球心E也是三棱錐外接球的球心，且兩個(gè)外接球的表面積相等．由，得的外心即為三棱錐外接球的球心E．在中，，所以的外接圓的直徑，所以三棱錐外接球的表面積是，故選：C．方法歸納：(1)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和．(2)旋轉(zhuǎn)體的表面積是將其展開(kāi)后，展開(kāi)圖的面積與底面面積之和．(3)組合體的表面積求解時(shí)注意對(duì)銜接部分的處理．命題點(diǎn)2體積例5已知圓柱的底面直徑為，它的兩個(gè)底面的圓周都在同一個(gè)表面積為的球面上，該圓柱的體積為（

）A． B． C． D．答案D分析求出球的半徑以及圓柱的底面半徑，在軸截面中，找到二者與圓柱的高之間的關(guān)系，即可求出圓柱的高，從而求得圓柱的體積.解析球的表面積為，可得其半徑，圓柱的底面直徑為，半徑為，在軸截面中，可知圓柱的高為，所以圓柱的體積為.故選：D.

方法歸納：求空間幾何體的體積的常用方法公式法規(guī)則幾何體的體積，直接利用公式割補(bǔ)法把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，或者把不規(guī)則的幾何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何體等體積法通過(guò)選擇合適的底面來(lái)求幾何體體積的一種方法，特別是三棱錐的體積三、切接問(wèn)題1、定義法例1(1)已知∠ABC＝90°，PA⊥平面ABC，若PA＝AB＝BC＝1，則四面體PABC的外接球(頂點(diǎn)都在球面上)的體積為()A．πB.eq\r(3)πC．2πD.eq\f(\r(3)π,2)答案D解析如圖，取PC的中點(diǎn)O，連接OA，OB，由題意得PA⊥BC，又因?yàn)锳B⊥BC，PA∩AB＝A，PA，AB?平面PAB，所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB，在Rt△PBC中，OB＝eq\f(1,2)PC，同理OA＝eq\f(1,2)PC，所以O(shè)A＝OB＝OC＝eq\f(1,2)PC，因此P，A，B，C四點(diǎn)在以O(shè)為球心的球面上，在Rt△ABC中，AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝eq\r(2).在Rt△PAC中，PC＝eq\r(PA2＋AC2)＝eq\r(3)，球O的半徑R＝eq\f(1,2)PC＝eq\f(\r(3),2)，所以球的體積為eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))3＝eq\f(\r(3)π,2).方法歸納：到各個(gè)頂點(diǎn)距離均相等的點(diǎn)為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線(xiàn)，則球心一定在垂線(xiàn)上，再根據(jù)到其他頂點(diǎn)距離也是半徑，列關(guān)系式求解即可．二、補(bǔ)形法例2(1)在四面體ABCD中，若AB＝CD＝eq\r(3)，AC＝BD＝2，AD＝BC＝eq\r(5)，則四面體ABCD的外接球的表面積為()A．2πB．4πC．6πD．8π答案C解析由題意可采用補(bǔ)形法，考慮到四面體ABCD的對(duì)棱相等，所以將四面體放入一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為x，y，z的長(zhǎng)方體，并且x2＋y2＝3，x2＋z2＝5，y2＋z2＝4，則有(2R)2＝x2＋y2＋z2＝6(R為外接球的半徑)，得2R2＝3，所以外接球的表面積為S＝4πR2＝6π.方法歸納：(1)補(bǔ)形法的解題策略①