一、單元學(xué)習(xí)主題本單元是“圖形與幾何”領(lǐng)域“圖形的性質(zhì)”和“圖形的變化”主題中的“相交線與平行線”“定義、命題、定理”和“圖形的平移”.二、單元學(xué)習(xí)內(nèi)容分析1.課標(biāo)分析《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》(以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)2022》)指出初中階段圖形與幾何領(lǐng)域包括“圖形的性質(zhì)”“圖形的變化”和“圖形與坐標(biāo)”三個(gè)主題,學(xué)生將進(jìn)一步學(xué)習(xí)點(diǎn)、線、面、角、三角形、多邊形和圓等幾何圖形,從演繹證明、運(yùn)動(dòng)變化、量化分析三個(gè)方面研究這些圖形的基本性質(zhì)和相互關(guān)系.“圖形的性質(zhì)”強(qiáng)調(diào)通過實(shí)驗(yàn)探究、直觀發(fā)現(xiàn)、推理論證來研究圖形,在用幾何直觀理解幾何基本事實(shí)的基礎(chǔ)上,從基本事實(shí)出發(fā)推導(dǎo)圖形的幾何性質(zhì)和定理,理解和掌握用尺規(guī)作圖作垂線與平行線的基本原理和方法;“圖形的變化”是圖形與幾何領(lǐng)域的主要內(nèi)容,它在義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程中占有重要地位,本章的學(xué)習(xí)內(nèi)容圖形的平移是強(qiáng)調(diào)從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)來研究圖形.理解圖形在平移時(shí)的變化規(guī)律和變化中的不變量.通過信息技術(shù)的演示或者實(shí)物的操作,讓學(xué)生感悟圖形平移變化的基本特征,知道變化的感知是需要參照物的,可以借助參照物說平移變化的基本特征,知道平移變化的基本特征.在本章,不僅要求學(xué)生通過觀察、思考、探究等活動(dòng)歸納出圖形的概念和性質(zhì),還要求“說理”和“簡(jiǎn)單推理”,把它作為探究結(jié)論的自然延續(xù).學(xué)生對(duì)這部分的學(xué)習(xí)將為后續(xù)“平面直角坐標(biāo)系”“三角形”“空間與圖形”等知識(shí)的學(xué)習(xí)奠定直接的基礎(chǔ).2.本單元教學(xué)內(nèi)容分析人教版教材七年級(jí)下冊(cè)第五章“相交線與平行線”,本章包括四個(gè)小節(jié):5.1相交線;5.2平行線及其判定;5.3平行線的性質(zhì);5.4平移.“圖形的性質(zhì)”主題通過相交線—垂線—三線八角—平行線概念及判定—平行線的性質(zhì)展開.學(xué)生初步了解“空間與圖形”的學(xué)習(xí)內(nèi)容.平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系是“圖形與幾何”所要研究的基本問題,這些內(nèi)容學(xué)生在前兩個(gè)學(xué)段已經(jīng)有所接觸,本章在學(xué)生已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上,繼續(xù)研究平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系,對(duì)于相交的情形,首先探究了兩條直線相交所成的角的位置和大小關(guān)系,給出了鄰補(bǔ)角和對(duì)頂角的概念,得出了“鄰補(bǔ)角互補(bǔ)”“對(duì)頂角相等”的結(jié)論;垂直作為兩條直線相交的特殊情形,與它有關(guān)的概念和結(jié)論是學(xué)習(xí)后面的“平面直角坐標(biāo)系”的基礎(chǔ),本章對(duì)垂直的情形進(jìn)行了專門的研究,探索得出了“在同一平面內(nèi),過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直”“垂線段最短”等結(jié)論,并給出點(diǎn)到直線的距離的概念,為學(xué)習(xí)平面直角坐標(biāo)系中確定點(diǎn)的坐標(biāo)打下基礎(chǔ).接下來研究?jī)蓷l直線被第三條直線所截的情形,給出了同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角等概念,為學(xué)習(xí)平行奠定基礎(chǔ).對(duì)于平面內(nèi)兩條直線平行的位置關(guān)系,教材首先引入一個(gè)基本事實(shí)(平行公理),即過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行,以此為出發(fā)點(diǎn)探討了判定兩條直線平行的三種方法和兩條直線平行的三條性質(zhì).學(xué)生已經(jīng)接觸了一些命題,如“如果兩條直線都與第三條直線平行,那么這兩條直線也平行”“對(duì)頂角相等”等,教材對(duì)命題、命題的構(gòu)成、真假命題、定理等作了簡(jiǎn)單介紹,使學(xué)生初步接觸有關(guān)形式邏輯概念術(shù)語.“圖形的變化”主題通過平移展開.運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的眼光研究圖形變化的規(guī)律,從點(diǎn)、線、面、角來觀察圖形在平移過程中的變量和不變量,本章的學(xué)習(xí)內(nèi)容對(duì)后期學(xué)習(xí)平行四邊形、特殊平行四邊形、定理的證明以及幾何綜合問題等內(nèi)容的學(xué)習(xí)起到鋪墊的作用,圖形的平移和旋轉(zhuǎn)是圖形變化的代表,是初中研究圖形與幾何領(lǐng)域的重要主題,圖形變化的研究從特殊到一般再到特殊的脈絡(luò)呈現(xiàn),通過圖形變化不僅可以將分散的幾何圖形進(jìn)行集中整合,以達(dá)到解決實(shí)際問題的目的,還對(duì)學(xué)生今后研究問題、解決問題以及終身的發(fā)展非常有益,也是深入貫徹實(shí)施《標(biāo)準(zhǔn)2022》素養(yǎng)理念的渠道,促進(jìn)學(xué)生思考、激發(fā)學(xué)生思維探究、教會(huì)學(xué)生學(xué)習(xí)方法、挖掘?qū)W生學(xué)習(xí)潛力、有效提高初中數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量和學(xué)生學(xué)業(yè)質(zhì)量.三、單元學(xué)情分析本單元內(nèi)容是人教版教材數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)第五章相交線與平行線.學(xué)生在小學(xué)已經(jīng)認(rèn)識(shí)了平行線、相交線、角;在七年級(jí)上冊(cè)中,已經(jīng)對(duì)角及其分類有了一定的認(rèn)識(shí).這些知識(shí)的儲(chǔ)備為本章的學(xué)習(xí)奠定了良好的基礎(chǔ),使學(xué)生具備了掌握本節(jié)知識(shí)的基本技能.學(xué)生對(duì)前段有關(guān)作圖知識(shí)的學(xué)習(xí)和對(duì)幾何的學(xué)習(xí)產(chǎn)生了濃厚的興趣,但也有部分學(xué)生由于學(xué)習(xí)不當(dāng)、聽講不認(rèn)真,缺乏持之以恒的信心,對(duì)幾何產(chǎn)生畏懼心理,老師應(yīng)該因材施教.還課堂于學(xué)生,在開放的前提下,讓學(xué)生經(jīng)歷動(dòng)手畫圖(或操作)、合作交流的過程,給學(xué)生充分發(fā)表見解的舞臺(tái),激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新精神,提高學(xué)生的自信心,打造高效課堂.改變學(xué)生被動(dòng)的學(xué)習(xí)方式,讓學(xué)生積極主動(dòng)投身于“做數(shù)學(xué)”中,將問題生動(dòng)形象的呈現(xiàn)給學(xué)生,讓學(xué)生經(jīng)歷思考、實(shí)踐、猜想、動(dòng)手驗(yàn)證等過程,不僅對(duì)知識(shí)理解,而且感受“做數(shù)學(xué)”的樂趣,享受成功的喜悅,形成探索新知的內(nèi)驅(qū)力.四、單元學(xué)習(xí)目標(biāo)1.結(jié)合具體情境,理解鄰補(bǔ)角、對(duì)頂角的概念,探索并掌握對(duì)頂角相等、鄰補(bǔ)角互補(bǔ)的性質(zhì);理解垂線、垂線段等概念.掌握“在同一平面內(nèi),過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直”的基本事實(shí),會(huì)用三角尺或量角器過一點(diǎn)作已知直線的垂線,理解垂線段最短的性質(zhì),理解點(diǎn)到直線距離的意義,并會(huì)度量點(diǎn)到直線的距離.2.通過觀察、猜想、推理,理解平行線的概念,了解平行公理及其推論,會(huì)用三角尺和直尺過已知直線外一點(diǎn)畫這條直線的平行線;識(shí)別同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角;探索并掌握平行線的性質(zhì)和判定方法,會(huì)度量?jī)蓷l平行線之間的距離.3.了解命題的概念,能初步區(qū)分命題的題設(shè)和結(jié)論;理解本章學(xué)過的關(guān)于描述圖形形狀和位置關(guān)系的語句;能結(jié)合一些具體內(nèi)容進(jìn)行說理和簡(jiǎn)單推理,初步養(yǎng)成言之有據(jù)的習(xí)慣,提升推理能力.4.通過具體事例認(rèn)識(shí)平移,理解對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線平行且相等的性質(zhì),能按照要求作出簡(jiǎn)單平面圖形平移后的圖形,能利用平移進(jìn)行簡(jiǎn)單的圖案設(shè)計(jì),認(rèn)識(shí)和欣賞平移在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用,培養(yǎng)應(yīng)用意識(shí).五、單元學(xué)習(xí)內(nèi)容及學(xué)習(xí)方法概覽相交線與平行線課時(shí)劃分內(nèi)容本質(zhì)與研究方法5.1相交線5.1.1相交線借助日常生活情境,感受相交線的存在,經(jīng)歷合作探究,觀察、發(fā)現(xiàn)、歸納、概括鄰補(bǔ)角、對(duì)頂角的概念,通過分析已知求證,利用平角的概念和等式的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo),得出鄰補(bǔ)角、對(duì)頂角的性質(zhì)5.1.2垂線從相交線的認(rèn)識(shí)入手,讓學(xué)生在幾何試驗(yàn)中感受垂直,再通過概念理解垂直,通過作圖理解垂線的唯一性,進(jìn)一步探索垂直的性質(zhì)5.1.3同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角通過觀察、啟發(fā)、討論、探究,了解并會(huì)辨認(rèn)同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角5.2平行線及其判定5.2.1平行線結(jié)合日常生活情境,使學(xué)生感知平面上兩條直線的平行關(guān)系,認(rèn)識(shí)平行線.通過自主探究和合作交流學(xué)會(huì)作平行線,歸納平行公理5.2.2平行線的判定借助平行線的畫法,觀察、思考、歸納平行線的判定方法續(xù)表相交線與平行線課時(shí)劃分內(nèi)容本質(zhì)與研究方法5.3平行線的性質(zhì)5.3.1平行線的性質(zhì)通過復(fù)習(xí)平行線的判定，引導(dǎo)學(xué)生利用對(duì)比思想，探索驗(yàn)證平行線的性質(zhì)5.3.2命題、定理、證明第1課時(shí)命題通過探究、思考、交流，引出命題的概念、命題的組成及真假命題的概念第2課時(shí)定理、證明通過探究、交流、理解和掌握定理和證明的概念，通過例題講解，了解證明的基本步驟和書寫格式5.4平移通過實(shí)例,觀察、歸納平移的概念,經(jīng)歷作圖操作、觀察分析、探索得出平移的性質(zhì)綜合訓(xùn)練一、選擇題(在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合要求的)1.下面四個(gè)圖形中,∠1與∠2是對(duì)頂角的是()2.如圖所示,經(jīng)過平移,三角形ABC的頂點(diǎn)A,B,C分別移到點(diǎn)D,E,F,得到三角形DEF,則下列說法中錯(cuò)誤的是()A.∠ACB=∠DFEB.AD∥BEC.AB=DED.平移距離為線段BD的長(zhǎng)3.下列各數(shù)中,可以用來證明命題“任何偶數(shù)都是8的整數(shù)倍”是假命題的反例是()A.32 B.16 C.8 D.44.如圖所示,在四邊形ABCD中,若AD∥BC,連接AC,則下列說法中正確的是()A.∠1=∠4 B.∠2=∠3C.∠1+∠2=∠3+∠4 D.∠B=∠D5.(2024·內(nèi)蒙古中考)如圖所示,直線l1和l2被直線l3和l4所截,∠1=∠2=130°,∠3=75°,則∠4的度數(shù)為()A.75° B.105° C.115° D.130°6.如圖所示,下列條件中,不能判斷直線l1∥l2的是()A.∠1=∠3 B.∠2=∠3C.∠4=∠5 D.∠2+∠4=180°7.如圖所示,某人騎自行車從A處向正東方向前進(jìn),行至B處后,行駛方向改變,行駛到C處后,再次改變行駛方向,向正東方向(射線CD)繼續(xù)行駛,則∠BCD的度數(shù)是()A.15° B.30° C.135° D.165°8.如圖所示,l1∥l2,點(diǎn)O在直線l2上,將三角尺的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處,三角尺的兩條直角邊與l1相交于A,B兩點(diǎn).若∠1=46°,則∠2的度數(shù)為()A.34° B.44° C.46° D.54°9.下列條件:①∠C=∠BFD,②∠AEC=∠C,③∠BEC+∠C=180°,其中能判斷AB∥CD的是()A.①②③ B.①③C.②③ D.①10.(2024·山東濰坊中考)一種路燈的示意圖如圖所示,其底部支架AB與吊線FG平行,燈桿CD與底部支架AB所成的銳角α=15°.頂部支架EF與燈桿CD所成的銳角β=45°,則EF與FG所成的銳角的度數(shù)為()A.60° B.55° C.50° D.45°二、填空題11.如圖所示,立定跳遠(yuǎn)比賽時(shí),小明從點(diǎn)A處起跳,落在沙坑內(nèi)的點(diǎn)B處.跳遠(yuǎn)成績(jī)是2.3m,則起跳點(diǎn)A到落腳點(diǎn)B的距離2.3m(填“大于”“小于”或“等于”).

12.將命題“兩個(gè)面積相等的三角形的周長(zhǎng)相等”改寫成“如果……那么……”的形式:.

13.斑馬線的作用是為了引導(dǎo)行人安全地通過馬路.某數(shù)學(xué)興趣小組為了驗(yàn)證斑馬線是由若干條平行線組成的,在保證安全的前提下,按照如圖所示的方式分別測(cè)出∠1=∠2=83°,這種驗(yàn)證方法依據(jù)的基本事實(shí)是.

14.光線從水中射向空氣時(shí),發(fā)生折射.由于折射率相同,在水中平行的光線,折射后的光線在空氣中也是平行的.如圖所示,從玻璃杯底部發(fā)出的一束平行光線經(jīng)過水面折射,水面與玻璃杯的底面平行.若∠1=45°,∠2=120°,則∠3+∠4=.

15.如圖所示,AB∥CD,EF⊥DB,垂足為點(diǎn)E,∠1=50°,則∠2的度數(shù)是.

16.(2024·山東東營中考)如圖所示,將三角形DEF沿FE方向平移3cm至三角形ABC,若三角形DEF的周長(zhǎng)為24cm,則四邊形ABFD的周長(zhǎng)為cm.

三、解答題(解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.將下列命題改寫成“如果……那么……”的形式,并判斷它們是正確的還是錯(cuò)誤的;若是錯(cuò)誤的,請(qǐng)舉出反例.(1)絕對(duì)值相等的兩個(gè)數(shù)一定相等;(2)等角的余角相等.18.如圖所示,直線AB,CD相交于點(diǎn)O,∠BOE∶∠BOD=5∶2,若∠AOC=32°,求∠AOE的度數(shù).19.讀下列語句,并畫出圖形.點(diǎn)P是直線AB外一點(diǎn),直線CD經(jīng)過點(diǎn)P,且與直線AB平行.直線EF經(jīng)過點(diǎn)P且與直線AB垂直.20.如圖所示,直線a,b被直線c所截.(1)請(qǐng)利用∠1,∠2,∠3,∠4,∠5,∠6這6個(gè)角(不能出現(xiàn)其他角),寫出能夠證明a∥b的條件;(最少寫3個(gè))(2)若∠1=∠5,求證a∥b.21.如圖所示,AB∥CD,AE,CD相交于點(diǎn)F,點(diǎn)G在AB上,GH⊥BF,垂足為點(diǎn)H,∠1=∠2,試說明AE⊥BF.請(qǐng)將下面的解答過程補(bǔ)充完整(在“”上填數(shù)字或式子,在“()”里填理由).

解:∵AB∥CD(已知),∴∠1=().

∵∠1=∠2(已知),∴=(等量代換).

∴∥().

∵GH⊥BF,即∠GHB=90°,∴∠AFB=∠GHB=90°().

∴.

22.臺(tái)球運(yùn)動(dòng)蘊(yùn)含數(shù)學(xué)知識(shí):如圖①所示,臺(tái)球桌面是一個(gè)長(zhǎng)方形,兩組對(duì)邊分別平行.過臺(tái)球與桌邊碰撞的點(diǎn)作桌壁的垂線,該垂線平分臺(tái)球碰撞前后運(yùn)動(dòng)所形成的夾角.(1)如圖②所示,已知長(zhǎng)方形桌面PQRS中,PQ∥RS,一個(gè)球從桌面上的點(diǎn)A處滾向桌邊PQ,碰到PQ上的點(diǎn)B后反彈,再碰到桌邊RS上的點(diǎn)C后,再次反彈進(jìn)入底袋點(diǎn)Q.在球碰到桌邊反彈的過程中,AB,BC,CD都是直線,且∠1=∠2,∠3=∠4,BN⊥PQ,CM⊥RS.求證:AB∥CD.(2)如圖③所示,若球在桌面的點(diǎn)A處,經(jīng)過兩次反彈后碰到桌邊PQ上的點(diǎn)D處.已知長(zhǎng)方形桌面PQRS中,PQ∥RS,∠R=90°.通過觀察猜想AB與CD的位置關(guān)系,并說明理由.答案：1.D2.D3.D解析:A選項(xiàng)中,32是偶數(shù),且是8的4倍;B選項(xiàng)中,16是偶數(shù),且是8的2倍;C選項(xiàng)中,8是偶數(shù),且是8的1倍;D選項(xiàng)中,4是偶數(shù),是8的12,不是8的倍數(shù).故選D4.A解析:∵AD∥BC,∴∠1=∠4.故A選項(xiàng)正確,符合題意;無法得到B,C,D三個(gè)選項(xiàng)中的結(jié)論,故B,C,D選項(xiàng)錯(cuò)誤,不符合題意.故選A.5.B解析:∵∠1=∠2=130°,∴l(xiāng)1∥l2.∴∠5+∠4=180°.∵∠5=∠3=75°,∴∠4=180°-75°=105°.故選B.6.B解析:A選項(xiàng)中,∵∠1=∠3,∴l(xiāng)1∥l2,故A選項(xiàng)不符合題意;B選項(xiàng)中,當(dāng)∠2=∠3時(shí),無法判斷l(xiāng)1∥l2,故B選項(xiàng)符合題意;C選項(xiàng)中,∵∠4=∠5,∴l(xiāng)1∥l2,故C選項(xiàng)不符合題意;D選項(xiàng)中,∵∠2+∠4=180°,∴l(xiāng)1∥l2,故D選項(xiàng)不符合題意.故選B.7.D解析:如圖所示,繼續(xù)行駛的路線按射線CD方向.根據(jù)題意得,AB∥CD,∠CBE=15°,故∠BCD=180°-∠CBE=180°-15°=165°.故選D.8.B解析:∵l1∥l2,∴∠1+∠BOA+∠OBA=180°.∵∠1=46°,∠BOA=90°,∴∠OBA=44°.∴∠2=∠OBA=44°.故選B.9.C解析:①由∠C=∠BFD,根據(jù)“同位角相等,兩直線平行”能判斷BF∥CE;②由∠AEC=∠C,根據(jù)“內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行”能判斷AB∥CD;③由∠BEC+∠C=180°,根據(jù)“同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行”能判斷AB∥CD.故選C.10.A解析:過點(diǎn)E作EH∥AB.∵AB∥FG,∴AB∥EH∥FG.∴∠BEH=α=15°,∠FEH+∠EFG=180°.∵β=45°,∴∠FEH=180°-45°-15°=120°.∴∠EFG=180°-∠FEH=180°-120°=60°.即EF與FG所成的銳角的度數(shù)為60°.故選A.11.大于解析:由題意可知,BC=2.3m,由垂線段最短可知,AB>BC.故答案為:大于.12.如果兩個(gè)三角形的面積相等,那么它們的周長(zhǎng)相等13.同位角相等,兩直線平行14.105°解析:由光線平行,知∠3=∠1=45°.由水面和玻璃杯的底部平行,知∠2+∠4=180°.故∠4=180°-∠2=180°-120°=60°.故∠3+∠4=45°+60°=105°.故答案為105°.15.40°解析:在直角三角形EFD中,∠D=180°-∠DEF-∠1=180°-90°-50°=40°.∵AB∥CD,∴∠2=∠D=40°.故答案為40°.16.30解析:將三角形DEF沿FE方向平移3cm至三角形ABC,知AD=BE=3(cm),DE=AB.因?yàn)槿切蜠EF的周長(zhǎng)為24cm,所以