第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式（綜合測(cè)試卷）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若a＞b，則下列結(jié)論正確的是()A.ac2＞bc2B.a2＞b2C.|a|＞|b|D.a＋c＞b＋c2.已知a∈R，則“a＞6”是“a2＞36”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件3.若1<a<3，－4<b<2，那么a－|b|的范圍是()A.－3<a－|b|≤3B.－3<a－|b|<5C.－3<a－|b|<3D.1<a－|b|<44.設(shè)a>b>0，則下列不等式中一定成立的是()A.a－b<0B.0<eq\f(a,b)<1C.eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2)D.ab>a＋b5.不等式2x＋3－x2＞0的解集是()A.{x|－3＜x＜1}B.{x|－1＜x＜3}C.{x|1≤x＜3}D.6.已知正數(shù)x，y滿足x2＋2xy－3＝0，則2x＋y的最小值是()A.eq\f(3,2)B.3C.eq\f(1,2)D.17.將進(jìn)貨單價(jià)為80元的商品按90元一個(gè)售出時(shí)，能賣出400個(gè)，每漲價(jià)1元，其銷售量就減少20個(gè)，為了使商家利潤(rùn)有所增加，則售價(jià)a的取值范圍應(yīng)是()A.90<a<100B.90<a<110C.100<a<110D.80<a<1008.已知關(guān)于x的不等式x2－4ax＋3a2＜0(a＜0)的解集為{x|x1＜x＜x2}，則x1＋x2＋eq\f(a,x1x2)的最大值是()A.eq\f(\r(6),3)B.－eq\f(2\r(3),3)C.eq\f(4\r(3),3)D.－eq\f(4\r(3),3)二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得部分分．9.若x＞y＞0，則下列不等式成立的是()A.x2＞y2B.－x＞－yC.eq\f(1,x)＜eq\f(1,y)D.eq\f(x,y)＜eq\f(x＋1,y＋1)10.3＋5x－2x2>0的充分不必要條件是()A.－eq\f(1,2)<x<3B.－eq\f(1,2)<x<0C.1<x<2D.－1<x<611.若正實(shí)數(shù)a，b滿足a＋b＝1，則下列選項(xiàng)中正確的是()A.ab有最大值eq\f(1,4)B.eq\r(a)＋eq\r(b)有最小值eq\r(2)C.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)有最小值4D.a2＋b2有最小值eq\f(\r(2),2)三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．把答案填在題中橫線上．12.給出四個(gè)條件：①b＞0＞a；②0＞a＞b；③a＞0＞b；④a＞b＞0．能推得eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)成立的是________(填序號(hào))13.正實(shí)數(shù)a，b滿足eq\f(1,4a)＋eq\f(1,b)＝1，則a＋4b的最小值為________14.已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，則x2＋y2的最小值是________四、解答題：本題共5小題，共77分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.（13分）已知不等式ax2＋2ax＋1≥0對(duì)一切x∈R恒成立，求a的取值范圍．16.（14分）設(shè)a＞0，b＞0，比較eq\r(\f(a2,b))＋eq\r(\f(b2,a))與eq\r(a)＋eq\r(b)的大小．17.（16分）已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求：(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值．18.（16分）解關(guān)于x的不等式：ax2＋(1－a)x－1＞0(a＜0)．19.（18分）中歐班列是推進(jìn)與“一帶一路”沿線國(guó)家道路聯(lián)通、貿(mào)易暢通的重要舉措，作為中歐鐵路在東北地區(qū)的始發(fā)站，沈陽某火車站正在不斷建設(shè)．目前車站準(zhǔn)備在某倉庫外，利用其一側(cè)原有墻體，建造一間墻高為3米，底面積為12平方米，且背面靠墻的長(zhǎng)方體形狀的保管員室．由于此保管員室的后背靠墻，無需建造費(fèi)用，因此甲工程隊(duì)給出的報(bào)價(jià)如下：屋子前面新建墻體的報(bào)價(jià)為每平方米400元，左右兩面新建墻體報(bào)價(jià)為每平方米150元，屋頂和地面以及其他報(bào)價(jià)共計(jì)7200元．設(shè)屋子的左右兩側(cè)墻的長(zhǎng)度均為x米(2≤x≤6)．(1)當(dāng)左右兩面墻的長(zhǎng)度為多少時(shí)，甲工程隊(duì)報(bào)價(jià)最低？(2)現(xiàn)有乙工程隊(duì)也參與此保管員室建造競(jìng)標(biāo)，其給出的整體報(bào)價(jià)為eq\f(900a(1＋x),x)元(a＞0)，若無論左右兩面墻的長(zhǎng)度為多少米，乙工程隊(duì)都能競(jìng)標(biāo)成功，試求a的取值范圍．參考答案及解析：一、單選題1.D解析：對(duì)于A，當(dāng)c＝0時(shí)，ac2＝bc2，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)a＝1，b＝－1時(shí)，a2＝b2，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)a＝1，b＝－1時(shí)，|a|＝|b|，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由于a＞b，所以a＋c＞b＋c，D正確．故選D．2.A解析：由a＞6，得a2＞36，所以“a＞6”是“a2＞36”的充分條件；由a2＞36，得a＞6或a＜－6，所以“a＞6”不是“a2＞36”的必要條件，故“a＞6”是“a2＞36”的充分不必要條件．故選A．3.C解析：∵－4<b<2，∴0≤|b|<4，∴－4<－|b|≤0．又1<a<3，∴－3<a－|b|<3，故選C．4.C解析：∵a>b>0，由基本不等式知eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2)一定成立．故選C．5.B解析：因?yàn)?x＋3－x2＞0，所以x2－2x－3＜0，方程x2－2x－3＝0的根為－1，3，所以不等式的解集為{x|－1＜x＜3}．故選B．6.B解析：由題意得y＝eq\f(3－x2,2x)，∴2x＋y＝2x＋eq\f(3－x2,2x)＝eq\f(3x2＋3,2x)＝eq\f(3,2)≥3，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝1時(shí)，等號(hào)成立．7.A解析：設(shè)每個(gè)漲價(jià)x元，則y表示漲價(jià)后的利潤(rùn)與原利潤(rùn)之差，則y＝(10＋x)(400－20x)－10×400＝－20x2＋200x.要使商家利潤(rùn)有所增加，則必須使y＞0，即x2－10x＜0，得0＜x＜10.∴售價(jià)a的取值范圍為90<a<100.故選A.8.D解析：由題意可知x1，x2為方程x2－4ax＋3a2＝0(a＜0)的兩根，所以x1x2＝3a2，x1＋x2＝4a，則x1＋x2＋eq\f(a,x1x2)＝4a＋eq\f(1,3a)．因?yàn)閍＜0，所以－≥2eq\r(4a×\f(1,3a))＝eq\f(4\r(3),3)，即4a＋eq\f(1,3a)≤－eq\f(4\r(3),3)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝－eq\f(\r(3),6)時(shí)，取等號(hào)，故x1＋x2＋eq\f(a,x1x2)的最大值為－eq\f(4\r(3),3)．故選D．二、多選題9.AC解析：對(duì)于A，當(dāng)x＞y＞0時(shí)，x2＞y2，A成立；對(duì)于B，當(dāng)x＞y＞0時(shí)，－x＜－y，B不成立；對(duì)于C，當(dāng)x＞y＞0時(shí)，eq\f(x,xy)＞eq\f(y,xy)，即eq\f(1,x)＜eq\f(1,y)，C成立；對(duì)于D，eq\f(x,y)－eq\f(x＋1,y＋1)＝eq\f(x(y＋1)－y(x＋1),y(y＋1))＝eq\f(x－y,y(y＋1))，∵x＞y＞0，∴x－y＞0，∴eq\f(x,y)－eq\f(x＋1,y＋1)＞0，即eq\f(x,y)＞eq\f(x＋1,y＋1)，D不成立．故選AC．10.BC解析：由3＋5x－2x2>0得－eq\f(1,2)<x<3，故3＋5x－2x2>0的充分不必要條件是選項(xiàng)BC．11.AC解析：∵a>0，b>0，且a＋b＝1，∴1＝a＋b≥2eq\r(ab)，∴ab≤eq\f(1,4)，∴ab有最大值eq\f(1,4)，∴A正確；(eq\r(a)＋eq\r(b))2＝a＋b＋2eq\r(ab)＝1＋2eq\r(ab)≤1＋(a＋b)＝2，∴0<eq\r(a)＋eq\r(b)≤eq\r(2)，∴B錯(cuò)誤；eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(a＋b,ab)＝eq\f(1,ab)≥4，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)有最小值4，∴C正確；∵a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab，且ab≤eq\f(1,4)，∴a2＋b2≥1－2×eq\f(1,4)＝eq\f(1,2)，∴a2＋b2的最小值是eq\f(1,2)，∴D錯(cuò)誤．故選AC．三、填空題12.答案：①②④解析：eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)eq\f(b－a,ab)＜0，所以①②④能使它成立．13.答案：eq\f(25,4)解析：由題得a＋4b＝(a＋4b)＝eq\f(17,4)＋eq\f(a,b)＋eq\f(b,a)≥eq\f(17,4)＋2eq\r(\f(a,b)·\f(b,a))＝eq\f(25,4)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝eq\f(5,4)時(shí)，取等號(hào)，所以a＋4b的最小值為eq\f(25,4)．14.答案：eq\f(4,5)解析：由5x2y2＋y4＝1，可得x2＝eq\f(1－y4,5y2)．由x2≥0，可得y2∈(0，1]，則x2＋y2＝eq\f(1－y4,5y2)＋y2＝eq\f(1＋4y4,5y2)＝eq\f(1,5)≥eq\f(1,5)×2eq\r(4y2·\f(1,y2))＝eq\f(4,5)，當(dāng)且僅當(dāng)y2＝eq\f(1,2)，x2＝eq\f(3,10)，可得x2＋y2的最小值為eq\f(4,5)．四、解答題15.解：①當(dāng)a＝0時(shí)，1≥0恒成立，因此a＝0適合；②當(dāng)a≠0時(shí)，要使不等式ax2＋2ax＋1≥0對(duì)一切x∈R恒成立，則eq\b\lc\{(\a\vs7\al\co1(a＞0，,4a2－4a≤0，))解得0＜a≤1．綜上所述，a的取值范圍是{a|0≤a≤1}．16.解：因?yàn)閍＞0，b＞0，所以eq\r(\f(a2,b))＋eq\r(\f(b2,a))＝eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a))．根據(jù)均值不等式可得eq\f(a,\r(b))＋eq\r(b)≥2eq\r(a)，①eq\f(b,\r(a))＋eq\r(a)≥2eq\r(b)，②當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，取等號(hào)．由①＋②，得eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a))＋eq\r(a)＋eq\r(b)≥2（eq\r(a)＋eq\r(b)），即eq\r(\f(a2,b))＋eq\r(\f(b2,a))≥eq\r(a)＋eq\r(b)．17.解：(1)由2x＋8y－xy＝0，得eq\f(8,x)＋eq\f(2,y)＝1，又x>0，y>0，則1＝eq\f(8,x)＋eq\f(2,y)≥2eq\r(\f(8,x)·\f(2,y))＝eq\f(8,\r(xy))，得xy≥64，當(dāng)且僅當(dāng)x＝16，y＝4時(shí)，等號(hào)成立．所以xy的最小值為64．(2)由2x＋8y－xy＝0，得eq\f(8,x)＋eq\f(2,y)＝1，∵x＞0，y＞0則x＋y＝·(x＋y)＝10＋eq\f(2x,y)＋eq\f(8y,x)≥10＋2eq\r(\f(2x,y)·\f(8y,x))＝18．當(dāng)且僅當(dāng)x＝12，y＝6時(shí)等號(hào)成立，所以x＋y的最小值為18．18.解：ax2＋(1－a)x－1＞0可得(ax＋1)(x－1)＞0，即(x－1)＜0.當(dāng)－eq\f(1,a)＜1時(shí)，即a＜－1時(shí)，不等式的解為－eq\f(1,a)＜x＜1，當(dāng)－eq\f(1,a)＞1時(shí)，即－1＜a＜0，不等式的解為1＜x＜－eq\f(1,a)，當(dāng)－eq\f(1,a)＝1時(shí)，即a＝－1時(shí)，不等式的解集為?.綜上所述，當(dāng)a＜－1時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)－1＜a＜0時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)a＝－1時(shí)，不等式的解集為?.19.解：(1)設(shè)甲工程隊(duì)的總造價(jià)為y元，則y＝3＋7200＝900＋7200(2≤x≤6)，900＋7200≥900×2eq\r(x·\f(16,x))＋7200＝14400，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(16,x