求極限題庫及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=$（）A.0B.1C.-1D.不存在2.$\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x=$（）A.eB.0C.1D.∞3.當(dāng)$x\to0$時，$x^2$是$x$的（）A.高階無窮小B.低階無窮小C.同階無窮小D.等價無窮小4.$\lim\limits_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}=$（）A.0B.1C.2D.不存在5.$\lim\limits_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=$（）A.0B.1C.-1D.26.若$\lim\limits_{x\toa}f(x)$存在，$\lim\limits_{x\toa}g(x)$不存在，則$\lim\limits_{x\toa}[f(x)+g(x)]$（）A.一定存在B.一定不存在C.不一定存在D.等于07.$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n+1}{n}=$（）A.0B.1C.∞D(zhuǎn).不存在8.當(dāng)$x\to0$時，與$x$等價無窮小的是（）A.$2x$B.$\sin2x$C.$\tanx$D.$x^2$9.$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{3x^2+2x+1}{2x^2-3x+5}=$（）A.0B.$\frac{3}{2}$C.∞D(zhuǎn).不存在10.$\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=$（）A.0B.1C.-1D.2二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列極限值為1的有（）A.$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}$B.$\lim\limits_{x\to0}(1+x)^{\frac{1}{x}}$C.$\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x$D.$\lim\limits_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}$2.當(dāng)$x\to0$時，下列哪些是無窮小量（）A.$x$B.$x^2$C.$\sinx$D.$\ln(1+x)$3.下列極限存在的有（）A.$\lim\limits_{x\to0}\frac{1}{x}$B.$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{x}$C.$\lim\limits_{x\to0}\frac{x}{x^2}$D.$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x}{x^2+1}$4.若$\lim\limits_{x\toa}f(x)=A$，$\lim\limits_{x\toa}g(x)=B$，則（）A.$\lim\limits_{x\toa}[f(x)+g(x)]=A+B$B.$\lim\limits_{x\toa}[f(x)-g(x)]=A-B$C.$\lim\limits_{x\toa}[f(x)g(x)]=AB$D.$\lim\limits_{x\toa}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}$（$B\neq0$）5.下列關(guān)于無窮小量性質(zhì)正確的是（）A.有限個無窮小量之和是無窮小量B.有限個無窮小量之積是無窮小量C.無窮小量與有界函數(shù)的乘積是無窮小量D.無窮小量除以非零無窮小量結(jié)果為16.以下極限計算正確的是（）A.$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}=3$B.$\lim\limits_{x\to\infty}(1-\frac{1}{x})^x=e^{-1}$C.$\lim\limits_{x\to0}\frac{1-\cosx}{x^2}=\frac{1}{2}$D.$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x^3+1}{x^2+1}=\infty$7.當(dāng)$x\to\infty$時，下列函數(shù)極限為0的有（）A.$\frac{1}{x^2}$B.$\frac{\sinx}{x}$C.$\frac{1}{x+1}$D.$e^{-x}$8.關(guān)于極限$\lim\limits_{x\toa}f(x)$與左右極限的關(guān)系，正確的是（）A.$\lim\limits_{x\toa}f(x)$存在的充要條件是$\lim\limits_{x\toa^{-}}f(x)$和$\lim\limits_{x\toa^{+}}f(x)$都存在B.$\lim\limits_{x\toa}f(x)$存在且$\lim\limits_{x\toa^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\toa^{+}}f(x)$C.若$\lim\limits_{x\toa^{-}}f(x)\neq\lim\limits_{x\toa^{+}}f(x)$，則$\lim\limits_{x\toa}f(x)$不存在D.只要$\lim\limits_{x\toa^{-}}f(x)$或$\lim\limits_{x\toa^{+}}f(x)$有一個存在，$\lim\limits_{x\toa}f(x)$就存在9.下列函數(shù)在給定趨勢下極限為0的有（）A.$y=\frac{1}{x}$，$x\to\infty$B.$y=x\sin\frac{1}{x}$，$x\to0$C.$y=\frac{\cosx}{x}$，$x\to\infty$D.$y=e^{-x}$，$x\to+\infty$10.極限運算法則成立的前提條件有（）A.參與運算的函數(shù)極限都存在B.分母極限不為0（在除法運算中）C.只能是有限個函數(shù)參與運算D.函數(shù)必須是連續(xù)函數(shù)三、判斷題（每題2分，共10題）1.$\lim\limits_{x\to0}\frac{1}{x}$存在。（）2.無窮小量就是很小的數(shù)。（）3.若$\lim\limits_{x\toa}f(x)=0$，$\lim\limits_{x\toa}g(x)=0$，則$\lim\limits_{x\toa}\frac{f(x)}{g(x)}$一定存在。（）4.$\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{2}{x})^x=e^2$。（）5.當(dāng)$x\to0$時，$x$與$\sinx$是等價無窮小。（）6.有限個無窮小量的和一定是無窮小量。（）7.若$\lim\limits_{x\toa}f(x)$存在，$\lim\limits_{x\toa}g(x)$不存在，則$\lim\limits_{x\toa}[f(x)g(x)]$一定不存在。（）8.$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x^2+1}{x^3+1}=0$。（）9.無窮大量與無窮小量的乘積是0。（）10.當(dāng)$x\to0$時，$\ln(1+x)$與$x$是等價無窮小。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述極限的定義（以$x\tox_0$時函數(shù)極限為例）。答案：設(shè)函數(shù)$f(x)$在點$x_0$的某一去心鄰域內(nèi)有定義，如果存在常數(shù)$A$，對于任意給定的正數(shù)$\varepsilon$（無論它多么?。?，總存在正數(shù)$\delta$，使得當(dāng)$x$滿足不等式$0<|x-x_0|<\delta$時，對應(yīng)的函數(shù)值$f(x)$都滿足不等式$|f(x)-A|<\varepsilon$，那么常數(shù)$A$就叫做函數(shù)$f(x)$當(dāng)$x\tox_0$時的極限。2.如何判斷兩個無窮小量是等價無窮?。看鸢福寒?dāng)$x$趨近于某值時，若兩個無窮小量$\alpha(x)$和$\beta(x)$的比值的極限$\lim\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=1$，則稱$\alpha(x)$與$\beta(x)$是等價無窮小。3.極限運算法則有哪些？答案：若$\lim\limits_{x\toa}f(x)=A$，$\lim\limits_{x\toa}g(x)=B$，則$\lim\limits_{x\toa}[f(x)\pmg(x)]=A\pmB$，$\lim\limits_{x\toa}[f(x)g(x)]=AB$，$\lim\limits_{x\toa}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}$（$B\neq0$），還有常數(shù)與函數(shù)極限運算等法則。4.簡述利用等價無窮小替換求極限的要點。答案：在求極限的乘除運算中，可將式子中的無窮小量用其等價無窮小替換，以簡化計算。但要注意只能在乘除關(guān)系中替換，加減關(guān)系中一般不能隨意替換。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論極限在實際生活中的應(yīng)用。答案：極限在物理中用于描述瞬時速度、加速度等；在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域可分析邊際成本、收益等變化趨勢；在工程上計算近似值等。通過極限能將復(fù)雜變化過程簡化分析，預(yù)測最終狀態(tài)或趨勢。2.探討無窮小量和無窮大量的關(guān)系。答案：在自變量同一變化過程中，若$f(x)$為無窮大量，則$\frac{1}{f(x)}$為無窮小量（$f(x)\neq0$）；反之，若$f(x)$為無窮小量且$f(x)\neq0$，則$\frac{1}{f(x)}$為無窮大量。二者相互依存且可相互轉(zhuǎn)化。3.分析極限計算中常見的錯誤及避免方法。答案：常見錯誤有對極限運算法則條件把握不準(zhǔn)，如分母為0時用除法法則；等價無窮小替換不當(dāng)?shù)?。避免方法是牢記法則條件，多做練習(xí)，分析錯題，理解概念本質(zhì)，替換時注意適用情況。4.討論函數(shù)極限與數(shù)列極限的聯(lián)系與區(qū)別。答案：聯(lián)系：數(shù)列是特殊函數(shù)，數(shù)列極限可看作函數(shù)極限自變量取正整數(shù)時的情況。區(qū)別：函數(shù)極限自變量連續(xù)變化，數(shù)列極限自變量離散取值；函數(shù)極限研究$x$多種趨近方式，數(shù)列極限