第二節(jié)空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系高三一輪復(fù)習(xí)講義湘教版第七章立體幾何與空間向量課程標(biāo)準(zhǔn)1.借助長方體，在直觀認(rèn)識空間點、直線、平面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出空間點、直線、平面的位置關(guān)系的定義．2.了解四個基本事實和定理．3.了解空間中直線與直線的關(guān)系(平行、相交、異面)．0403考教銜接精研教材課時測評02考點探究提升能力教材梳理夯實基礎(chǔ)01內(nèi)容索引教材梳理夯實基礎(chǔ)1.與平面有關(guān)的基本事實及推論(1)與平面有關(guān)的三個基本事實基本事實內(nèi)容圖形符號基本事實1如果一條直線上的_________在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi)A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?α基本事實2過________________的三個點，有且只有一個平面A，B，C三點不共線?存在唯一的α使A，B，C∈α基本事實3如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條___________________P∈α，且P∈β?α∩β＝l，且P∈l兩個點不在一條直線上過該點的公共直線(2)基本事實1和基本事實2的三個推論推論內(nèi)容圖形作用推論1一條直線和直線外一點確定一個平面確定平面的依據(jù)推論2兩條相交直線確定一個平面推論3兩條平行直線確定一個平面2.空間直線、平面之間的位置關(guān)系(1)空間中直線與直線的位置關(guān)系位置關(guān)系特點相交在同一個平面內(nèi)，兩條直線有且只有______公共點平行在同一個平面內(nèi)，兩條直線______公共點異面兩條直線不同在_______________內(nèi)，______公共點，與平面相交的直線與該平面內(nèi)不過該交點的直線是異面直線一個沒有任何一個平面沒有(2)空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系

圖形(語言)寫法(符號語言)公共點情況直線與平面在平面內(nèi)_____________個相交_____________個平行___________個平面與平面相交________________個平行__________個a?α無數(shù)a∩α＝A1a∥

α0α∩β＝a無數(shù)α∥

β0微提醒(1)基本事實3可用于證明點共線與線共點．(2)直線l和平面α相交、直線l和平面α平行統(tǒng)稱為直線l在平面α外，記作l?α.3.基本事實4和等角定理基本事實4：平行于同一條直線的兩條直線______．等角定理：如果空間中兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角___________．4.異面直線所成的角(1)定義：已知a，b是兩條異面直線，在空間任取一點P，過點P分別作直線a′∥a，b′∥b，把a(bǔ)′與b′所成的___________叫作異面直線a與b所成的角．(2)范圍：_______．平行相等或互補(bǔ)銳角或直角

微提醒(1)兩直線垂直有兩種情況——異面垂直和相交垂直．(2)兩異面直線所成的角歸結(jié)到一個三角形的內(nèi)角時，容易忽視這個三角形的內(nèi)角可能等于兩異面直線所成的角，也可能等于其補(bǔ)角．常用結(jié)論(1)異面直線的判定過平面外一點和平面內(nèi)一點的直線，與平面內(nèi)不過該點的直線是異面直線．(2)唯一性定理①過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行．②過直線外一點有且只有一個平面與已知直線垂直．③過平面外一點有且只有一條直線與已知平面垂直．④過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行．自主檢測1.(多選)下列結(jié)論錯誤的有A．兩個平面α，β有一個公共點A，就說α，β相交于過A點的任意一條直線B．兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面C．如果兩個平面有三個公共點，那么這兩個平面重合D．沒有公共點的兩條直線是異面直線√√√2.如果直線a?平面α，直線b?平面β，且α∥β，則a與bA．共面B．平行C．是異面直線D．可能平行，也可能是異面直線√α∥β，說明a與b無公共點，所以a與b可能平行也可能是異面直線．故選D．3.下列命題正確的是A．兩個平面如果有公共點，那么一定相交B．兩個平面的公共點一定共線C．兩個平面有三個公共點一定重合D．過空間任意三點，一定有一個平面√如果兩個平面重合，則排除A、B；兩個平面相交，則有一條交線，交線上任取三個點都是兩個平面的公共點，故排除C；而D項中的三點不論共線還是不共線，則一定能找到一個平面過這三個點．4.三個平面最多能把空間分為_____部分，最少能把空間分成_____部分．8

4三個平面可將空間分成4，6，7，8部分，所以三個平面最少可將空間分成4部分，最多分成8部分．返回考點探究提升能力考點一空間兩條直線位置關(guān)系

自主練透在如圖所示的長方體中，m，n1與l都異面，但是m∥n1，所以A，B錯誤；m，n2與l都異面，且m，n2也異面，所以C錯誤．故選D．1.已知空間三條直線l，m，n，若l與m異面，且l與n異面，則A．m與n異面B．m與n相交C．m與n平行D．m與n異面、相交、平行均有可能√2.若直線l1和l2是異面直線，l1在平面α內(nèi)，l2在平面β內(nèi)，l是平面α與平面β的交線，則下列命題正確的是A．l與l1，l2都不相交B．l與l1，l2都相交C．l至多與l1，l2中的一條相交D．l至少與l1，l2中的一條相交√由于l與直線l1，l2分別共面，故直線l與l1，l2要么都不相交，要么至少與l1，l2中的一條相交．若l∥l1，l∥l2，則l1∥l2，這與l1，l2是異面直線矛盾．故l至少與l1，l2中的一條相交．若l與l1，l2中的一條相交，如圖①所示，l1與l2是異面直線，l1與l平行，l2與l相交，故A，B不正確；若l與l1，l2都相交，如圖②所示，l1與l2是異面直線，l1，l2都與l相交，故C不正確．故選D．3.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點，有以下四個結(jié)論：①直線AM與CC1是相交直線；②直線AM與BN是平行直線；③直線BN與MB1是異面直線；④直線AM與DD1是異面直線．其中正確結(jié)論的序號是________．③④直線AM與CC1是異面直線，直線AM與BN也是異面直線，所以①②錯誤．點B，B1，N在平面BB1C1C中，點M在此平面外，所以BN，MB1是異面直線．同理AM，DD1也是異面直線．4.(2020·全國Ⅱ卷改編)設(shè)有下列四個命題：p1：兩兩相交且不過同一點的三條直線必在同一平面內(nèi)．p2：過空間中任意三點有且僅有一個平面．p3：若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行．p4：若直線l?平面α，直線m⊥平面α，則m⊥l.則上述命題中的真命題是________．p1，p4對于p1，由題意設(shè)直線l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C，則A，B，C三點不共線，所以此三點確定一個平面α，則A∈α，B∈α，C∈α，所以AB?α，BC?α，CA?α，即l2?α，l3?α，l1?α，所以p1是真命題．對于p2，當(dāng)A，B，C三點不共線時，過A，B，C三點有且僅有一個平面；當(dāng)A，B，C三點共線時，過A，B，C的平面有無數(shù)個，所以p2是假命題．對于p3，若空間兩條直線不相交，則這兩條直線可能平行，也可能異面，所以p3是假命題．對于p4，很顯然p4是真命題．點、線、面位置關(guān)系的判定1.點、線、面位置關(guān)系的判定：注意構(gòu)造幾何體(長方體、正方體)模型來判斷，常借助正方體模型直觀感知并認(rèn)識空間點、線、面的位置關(guān)系．2.兩條直線異面的判定：反證法或利用異面直線的判定定理．規(guī)律方法考點二平面基本事實的應(yīng)用

師生共研典例1

(變條件、變問法)若本例中平面BB1D1D與A1C交于點M，求證：B，M，D1三點共線．證明：如圖所示，連接BD1，BD，B1D1，A1C，因為BD1與A1C均為正方體ABCD-A1B1C1D1的體對角線，所以BD1與A1C相交，設(shè)BD1與A1C的交點為O，則B，O，D1三點共線，因為BD1?平面BB1D1D，所以A1C與平面BB1D1D的交點和A1C與BD1的交點重合，即M與O重合，故B，M，D1三點共線．變式探究共面、共線、共點問題的證明方法規(guī)律方法對點練1.(1)(多選)如圖，在正方體或四面體中，P，Q，R，S分別是所在棱的中點，則這四個點共面的圖是√√√對于A，PS∥QR，故P，Q，R，S四點共面；同理，B、C圖中四點也共面；D中四點不共面．故選ABC．(2)如圖所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C?l，則平面ABC與平面β的交線是

A．直線AC B．直線ABC．直線CD D．直線BC√由題意知，D∈l，l?β，所以D∈β，又因為D∈AB，所以D∈平面ABC，所以點D在平面ABC與平面β的交線上．又因為C∈平面ABC，C∈β，所以點C在平面β與平面ABC的交線上，所以平面ABC∩平面β＝CD.故選C．考點三異面直線所成的角

師生共研典例2

√

變式探究

3

平移法求異面直線所成的角的三個步驟一作：根據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角；二證：證明作出的角是異面直線所成的角；三求：解三角形，求出所作的角．規(guī)律方法

√

√

返回考教銜接精研教材真題再現(xiàn)

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返回教材呈現(xiàn)(湘教版必修二P156例5)如圖，已知ABCD-A1B1C1D1是棱長為a的正方體．

(1)求異面直線AA1與BC所成的角；(2)求異面直線BC1與AC所成的角．點評：該高考題和教材例題類似，無論是問題的載體，還是考查角度、解題方法完全一樣．其實就是在教材例題的基礎(chǔ)上稍微換了一條直線而已．課時測評1.四條線段順次首尾相連，它們最多可確定的平面?zhèn)€數(shù)為A．4 B．3C．2 D．1√首尾相連的四條線段每相鄰兩條確定一個平面，所以最多可以確定四個平面．故選A．2.若a∥α，b∥β，α∥β，則a，b的位置關(guān)系是A．平行 B．異面C．相交 D．平行或異面或相交√如圖①②③所示，a，b的關(guān)系分別是平行、異面、相交．故選D．3.(2025·湖南岳陽模擬)在三棱錐A-BCD的邊AB，BC，CD，DA上分別取E，F(xiàn)，G，H四點，如果EF∩HG＝P，則點PA．一定在直線BD上B．一定在直線AC上C．在直線AC或BD上D．不在直線AC上，也不在直線BD上√如圖所示，因為EF?平面ABC，HG?平面ACD，EF∩HG＝P，所以P∈平面ABC，P∈平面ACD.又因為平面ABC∩平面ACD＝AC，所以P∈AC.故選B．4.(2025·遼寧大連模擬)如圖，兩個正方形ABCD，ADEF不在同一個平面內(nèi)，點P，Q分別為線段EF，CD的中點，則直線FQ與PB的關(guān)系是A．相交

B．平行C．異面

D．不確定√如圖，取AB的中點G，連接GQ，GF，EQ，則GQ∥AD，又AD∥EF，所以GQ∥EF，則G，Q，E，F(xiàn)確定平面GQEF，又FQ?平面GQEF，P∈平面GQEF，P?FQ，B?平面GQEF，所以直線FQ與PB是異面直線．故選C．5.(多選)如圖，G，N，M，H分別是正三棱柱(兩底面為正三角形的直棱柱)的頂點或所在棱的中點，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有

A．① B．②C．③ D．④√√圖①中，直線GH∥MN；圖②中，G，H，N三點共面，但M?平面GHN，N?GH，因此直線GH與MN異面；圖③中，連接GM，GM∥HN，因此GH與MN共面；圖④中，G，M，N三點共面，但H?平面GMN，G?MN，因此直線GH與MN異面．所以在圖②④中，GH與MN異面．故選BD．6.(多選)已知直線l?平面α，直線m?平面α，則A．若l與m不垂直，則l與α一定不垂直B．若l與m所成的角為30?，則l與α所成的角也為30?C．l∥m是l∥α的充分不必要條件D．若l與α相交，則l與m一定是異面直線√√對于A，當(dāng)l與m不垂直時，假設(shè)l⊥α，因為m?α，則l⊥m，這與已知條件矛盾，因此l與α一定不垂直，故A正確；對于B，由線面角的定義可知，l與α所成的角是直線l與平面α內(nèi)所有直線所成角中最小的角，若l與m所成的角為30?，則l與α所成的角θ滿足0?≤θ≤30?，故B錯誤；對于C，若l∥m，m?α，l?α，則l∥α，即l∥m?l∥α；若l∥α，因為m?α，則l與m平行或異面，即l∥α?/

l∥m.所以l∥m是l∥α的充分不必要條件，故C正確；對于D，若l與α相交，則l與m相交或異面，故D錯誤．故選AC．7.如圖為正方體表面的一種展開圖，則圖中的AB，CD，EF，GH在原正方體中互為異面直線的有_____對．3畫出該正方體的直觀圖如圖所示，易知異面直線有(AB，GH)，(AB，CD)，(GH，EF)．故共有3對．8.如圖，在三棱錐A-BCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱AB，BC，CD，DA的中點，則：(1)當(dāng)AC，BD滿足條件_________時，四邊形EFGH為菱形；(2)當(dāng)AC，BD滿足條件___________________時，四邊形EFGH為正方形．AC＝BD

AC＝BD且AC⊥BD

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12.(多選)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O是DB的中點，直線A1C交平面C1BD于點M，則下列結(jié)論正確的是A．C1，M，O三點共線B．C1，M，O，C四點共面C．C1，O，B1，B四點共面D．D1，D，O，M四點共面√√因為O∈AC，AC?平面ACC1A1，所以O(shè)∈平面ACC1A1.因為O∈BD，BD?平面C1BD，所以O(shè)∈平面C1BD，所以O(shè)是平面ACC1A1和平面C1BD的公共點．同理可得，點M和C1都是平面ACC1A1和平面C1BD的公共點，所以C1，M，O三點在平面C1BD與平面ACC1A1的交線上，即C1，M，O三點共線，故A，B正確；根據(jù)異面直線的判定定理可得BB1與C1O為異面直線，故C1，O，B1，B四點不共面，故C不正確；根據(jù)異面直線的判定定理可得DD1與MO為異面直線，故D1，D，O，M四點不共面，故D不正確．故選AB．13.如圖所示，已知空間四邊形ABCD中