數(shù)學(xué)根的判別式與韋達(dá)定理習(xí)題一、引言根的判別式（\(\Delta=b^2-4ac\)）與韋達(dá)定理是二次方程的核心工具，前者判斷根的存在性與性質(zhì)，后者揭示根與系數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系。兩者結(jié)合可解決二次方程的各類問題，是中考、高考的高頻考點。本文通過基礎(chǔ)題→進(jìn)階題→綜合題的梯度設(shè)計，覆蓋常見題型，附詳細(xì)解析與易錯提醒，助力夯實基礎(chǔ)、提升能力。二、根的判別式習(xí)題解析根的判別式的核心邏輯：\(\Delta>0\)→兩個不相等實根；\(\Delta=0\)→兩個相等實根；\(\Delta<0\)→無實根。注意：應(yīng)用于二次方程時，需保證二次項系數(shù)≠0。（一）基礎(chǔ)題：判斷根的情況與求參數(shù)范圍例1判斷方程\(x^2-2x+1=0\)的根的情況。解析計算判別式：\(\Delta=(-2)^2-4\times1\times1=0\)，故方程有兩個相等實根（根為\(x_1=x_2=1\)）。例2若方程\(kx^2+2x-1=0\)有兩個不相等實根，求\(k\)的取值范圍。解析二次方程有兩個不相等實根的條件：1.二次項系數(shù)≠0：\(k\neq0\)；2.判別式>0：\(\Delta=2^2-4\timesk\times(-1)=4+4k>0\)→\(k>-1\)。結(jié)論：\(k>-1\)且\(k\neq0\)。易錯提醒：忽略\(k\neq0\)會導(dǎo)致范圍擴(kuò)大（\(k=0\)時方程退化為一次方程，只有1個根）。（二）進(jìn)階題：結(jié)合函數(shù)與絕對值的應(yīng)用例3已知二次函數(shù)\(y=x^2+bx+c\)的圖像與\(x\)軸有兩個交點，求\(b^2-4c\)的取值范圍。解析二次函數(shù)與\(x\)軸有兩個交點→對應(yīng)方程\(x^2+bx+c=0\)有兩個不相等實根→\(\Delta>0\)，即\(b^2-4c>0\)。例4若方程\(|x^2-1|=a\)有兩個不相等實根，求\(a\)的取值范圍。解析令\(t=x^2-1\)，方程變?yōu)閈(|t|=a\)，分情況討論：\(a<0\)：無解；\(a=0\)：\(t=0\)→\(x^2=1\)→\(x=±1\)，兩個不相等實根；\(0<a<1\)：\(t=a\)（\(x=±\sqrt{1+a}\)）、\(t=-a\)（\(x=±\sqrt{1-a}\)），四個不相等實根；\(a=1\)：\(t=1\)（\(x=±\sqrt{2}\)）、\(t=-1\)（\(x=0\)），三個實根；\(a>1\)：\(t=a\)（\(x=±\sqrt{1+a}\)）、\(t=-a\)（無解），兩個不相等實根。結(jié)論：\(a=0\)或\(a>1\)。易錯提醒：忽略\(a=0\)的情況（此時\(x=±1\)，確實兩個根）。（三）綜合題：含參數(shù)的分類討論例5關(guān)于\(x\)的方程\((m-1)x^2+2mx+m+3=0\)有實根，求\(m\)的取值范圍。解析“有實根”包括兩種情況：1.一次方程（\(m=1\)）：方程退化為\(2x+4=0\)，解得\(x=-2\)，有實根；2.二次方程（\(m≠1\)）：需\(\Delta≥0\)，計算得\(\Delta=-8m+12≥0\)→\(m≤\frac{3}{2}\)。結(jié)論：\(m≤\frac{3}{2}\)。易錯提醒：未分類討論一次方程（會漏掉\(m=1\)的情況）。三、韋達(dá)定理習(xí)題解析韋達(dá)定理（對于\(ax^2+bx+c=0\)，\(a≠0\)，根為\(x_1,x_2\)）：\(x_1+x_2=-\frac{a}\)，\(x_1x_2=\frac{c}{a}\)。注意：應(yīng)用前提是方程有實根（\(\Delta≥0\)）。（一）基礎(chǔ)題：直接應(yīng)用定理例6方程\(2x^2-3x+1=0\)的根為\(x_1,x_2\)，求\(x_1+x_2\)和\(x_1x_2\)。解析代入韋達(dá)定理：\(x_1+x_2=-\frac{-3}{2}=\frac{3}{2}\)，\(x_1x_2=\frac{1}{2}\)。驗證：根為\(1\)和\(\frac{1}{2}\)，和為\(\frac{3}{2}\)，積為\(\frac{1}{2}\)，正確。例7若\(x_1,x_2\)是方程\(x^2-5x+6=0\)的根，求\(x_1^2+x_2^2\)。解析變形：\(x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2\)，代入得\(5^2-2×6=13\)。驗證：根為\(2\)和\(3\)，平方和為\(4+9=13\)，正確。（二）進(jìn)階題：結(jié)合判別式的應(yīng)用例8已知方程\(x^2+px+q=0\)的兩個根為\(-1\)和\(2\)，求\(p\)和\(q\)。解析由韋達(dá)定理：\(-1+2=-p\)→\(p=-1\)；\((-1)×2=q\)→\(q=-2\)。驗證：方程為\(x^2-x-2=0\)，根為\(-1\)和\(2\)，正確。例9若方程\(x^2-2x+k=0\)有兩個實根，求\(k\)的范圍，并求\(x_1^3+x_2^3\)（用\(k\)表示）。解析1.\(k\)的范圍：\(\Delta=4-4k≥0\)→\(k≤1\)；2.變形：\(x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)(x_1^2-x_1x_2+x_2^2)=2[(2)^2-3k]=8-6k\)。驗證：\(k=1\)時，根為\(1\)，立方和為\(2\)，代入得\(8-6×1=2\)，正確。（三）綜合題：構(gòu)造新方程與幾何應(yīng)用例10已知\(α,β\)是方程\(x^2-3x+1=0\)的根，求以\(α+1,β+1\)為根的新方程。解析1.原根和與積：\(α+β=3\)，\(αβ=1\)；2.新根和：\((α+1)+(β+1)=5\)；3.新根積：\((α+1)(β+1)=αβ+α+β+1=5\)；4.新方程：\(x^2-5x+5=0\)。驗證：新根為\(\frac{5±\sqrt{5}}{2}\)，代入方程成立。四、總結(jié)與解題技巧（一）根的判別式1.先定類型：判斷是否為二次方程（二次項系數(shù)≠0）；2.分類討論：含參數(shù)時，討論一次方程與二次方程；3.結(jié)合函數(shù)：二次函數(shù)圖像與\(x\)軸交點數(shù)對應(yīng)Δ符號。（二）韋達(dá)定理1.前提條件：驗證Δ≥0；2.變形技巧：\(x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2\)，\(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}\)；3.構(gòu)造新方程：求新根的和與積，代入\(x^2-(和)x+(積)=0\)。（三）易錯點1.根的判別式：忽略二次項系數(shù)≠0；2.韋達(dá)定理：忘記驗證Δ≥0，符號錯誤；3.綜合問題：未分情況討論（如絕對值、函數(shù)）。五、拓展練習(xí)（答案提示）1.方程\(x^2+2x+k=0\)有兩個相等實根，求\(k\)。（\(k=1\)）2.已知\(x_1,x_2\)是\