專題04不等式初中階段已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元一次不等式和一元一次不等式組的解法．高中階段將進(jìn)一步學(xué)習(xí)一元二次不等式和分式不等式等知識(shí)．本講先介紹一些高中新課標(biāo)中關(guān)于不等式的必備知識(shí)．知識(shí)結(jié)構(gòu)思維導(dǎo)圖學(xué)法指導(dǎo)與考點(diǎn)梳理考點(diǎn)一一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系判別式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有兩相異實(shí)數(shù)根x1，x2(x1＜x2)有兩相等實(shí)數(shù)根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒(méi)有實(shí)數(shù)根一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x|x＜x1或x＞x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,,,))x≠－\f(b,2a)))R一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}??

考點(diǎn)二恒成立問(wèn)題由二次函數(shù)的圖象與一元二次不等式的關(guān)系判斷不等式恒成立問(wèn)題的方法1.一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0，,b2－4ac＜0.))2.一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＜0，,b2－4ac＜0.))重難點(diǎn)題型突破重難點(diǎn)題型突破1、含有字母系數(shù)的一元一次不等式一元一次不等式最終可以化為的形式．(1)當(dāng)時(shí)，不等式的解為：；(2)當(dāng)時(shí)，不等式的解為：；(3)當(dāng)時(shí)，不等式化為：；①若，則不等式的解是全體實(shí)數(shù)；②若，則不等式無(wú)解．例1．（1）、（2022·海南省直轄縣級(jí)單位·二模）不等式的解集在數(shù)軸上表示正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】先求出不等式的解集，再在數(shù)軸上表示出來(lái)即可．【詳解】解不等式，得，∴不等式的解集在數(shù)軸上表示為：故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了在數(shù)軸上表示不等式的解集，以及解一元一次不等式，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．（2）、（2022·山東濱州·中考真題）把不等式組中每個(gè)不等式的解集在同一條數(shù)軸上表示出來(lái)，正確的為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】先解不等式組求出解集，再在數(shù)軸上表示出來(lái)即可．【詳解】解①得，解②得，不等式組的解集為，在數(shù)軸上表示為：，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式組及在數(shù)軸上表示解集，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．（3）．關(guān)于的一元一次不等式組中兩個(gè)不等式的解集在同一數(shù)軸上的表示如圖所示，則該不等式組的解集是_______，的值為_(kāi)______.【答案】2【分析】分別求得不等式的解集和，結(jié)合圖象，即可求解.【詳解】由，解得；由，解得，由題圖知這個(gè)不等式組的解集是，且，所以.故答案為；2.【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次不等式組的求解及應(yīng)用，其中熟記不等式組的解法是解答的關(guān)鍵，著重考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.【變式訓(xùn)練1-1】．關(guān)于的一元一次不等式組有解，則直線不經(jīng)過(guò)第____象限．【答案】三【分析】根據(jù)不等式組有解，在數(shù)軸上畫(huà)出圖像，由此求得的取值范圍，再根據(jù)直線的斜率和截距，判斷出直線不經(jīng)過(guò)的象限.【詳解】將不等式組中各個(gè)不等式的解集在數(shù)軸上表示出來(lái)：（1）當(dāng)3b–2<b+2時(shí)，如示意圖中的①，上述不等式組無(wú)解，不合題意；（2）當(dāng)3b–2=b+2時(shí)，如示意圖中的②，上述不等式組無(wú)解，不合題意；（3）當(dāng)3b–2>b+2時(shí)，如示意圖中的③，上述不等式組有解，符合題意．因此，根據(jù)題目條件，b的取值應(yīng)該滿足：3b–2>b+2，解這個(gè)不等式，得b>2，對(duì)照一次函數(shù)的一般形式y(tǒng)=kx+b(k≠0)，在直線y=–x+b中，k=–1<0，b>2>0可知，直線y=–x+b應(yīng)該經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，即不經(jīng)過(guò)第三象限．故答案為三．【點(diǎn)睛】本小題主要考查一元一次不等式組有解的知識(shí)，考查一次函數(shù)經(jīng)過(guò)的象限問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.【變式訓(xùn)練1-2】、（2022·江蘇南京·二模）不等式的解集是______．【答案】x＜2【解析】【分析】去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1，即可．【詳解】去括號(hào)，得：，移項(xiàng)，得：，合并同類項(xiàng)，得：，系數(shù)化為1，得，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式，解題的關(guān)鍵是掌握一元一次不等式的解法．【變式訓(xùn)練1-3】．（2022·安徽蕪湖·模擬預(yù)測(cè)）不等式的解集為_(kāi)_____．【答案】x＞-1##-1<x【解析】【分析】移項(xiàng)、合并、系數(shù)化為1，即可求解．【詳解】解：移項(xiàng)得：2x＞-6＋4，合并得：2x＞-2，系數(shù)化為1，得：x＞-1．故答案為：x＞-1．【點(diǎn)睛】此題考查了解一元一次不等式，熟練掌握不等式的解法是解本題的關(guān)鍵．重難點(diǎn)題型突破2、一元二次不等式及其解法例2（1）、不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是()A. B.C．? D.【答案】D【解析】[(3x＋1)2≤0，∴3x＋1＝0，∴x＝－eq\f(1,3).]【變式訓(xùn)練2-1】．求下列不等式的解集.（1）；（2）；（3）；（4）.【解析】（1）因?yàn)?，所以原不等式等價(jià)于，解得，所以原不等式的解集為.（2）原不等式可化為,配方得,又,所以,解得，所以原不等式的解集為.（3）原不等式可化為，因?yàn)楹愠闪?，所以原不等式的解集?（4）原不等式可化為，因?yàn)楹愠闪?，所以原不等式無(wú)解，即原不等式的解集為.

【變式訓(xùn)練2-2】．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，拋物線y＝ax2+c與直線y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）兩點(diǎn)，則不等式ax2+mx+c＜n的解集是（）A．﹣1＜x＜3 B．x＜﹣1或x＞3 C．﹣3＜x＜1 D．x＜﹣3或x＞1【答案】C【解析】【分析】由題意易得拋物線y＝ax2+c與直線y＝﹣mx+n交于（1，p），（﹣3，q）兩點(diǎn)，觀察圖象，從而可得不等式ax2+c＜﹣mx+n的解集為﹣3＜x＜1，最后可求得結(jié)果．【詳解】∵拋物線y＝ax2+c與直線y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）兩點(diǎn)，∴拋物線y＝ax2+c與直線y＝﹣mx+n交于（1，p），（﹣3，q）兩點(diǎn)，觀察函數(shù)圖象可知：當(dāng)﹣3＜x＜1時(shí)，直線y＝﹣mx+n在拋物線y＝ax2+c的上方，∴不等式ax2+c＜﹣mx+n的解集為﹣3＜x＜1，即不等式ax2+mx+c＜n的解集是﹣3＜x＜1．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)與不等式的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合是本題的關(guān)鍵，直線y＝mx+n與直線y＝﹣mx+n關(guān)于y軸對(duì)稱，從而不等式的解集轉(zhuǎn)化為拋物線與直線y＝﹣mx+n的關(guān)系是本題的難點(diǎn)．【變式訓(xùn)練2-3】．（2022·山東·濟(jì)寧市兗州區(qū)教學(xué)研究室二模）如圖，拋物線與直線交于兩點(diǎn)，則不等式的解集是_____________．【答案】-2＜x＜1【解析】【分析】作直線y=mx+n關(guān)于y軸的對(duì)稱直線CD：y=-mx+n，點(diǎn)C、D是兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)的的對(duì)稱性，點(diǎn)C（1，p），D（-2，q），觀察圖象即可求解．【詳解】解：作直線y=mx+n關(guān)于y軸的對(duì)稱直線CD：y=-mx+n，點(diǎn)C、D是兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)的的對(duì)稱性，點(diǎn)C（1，p），D（-2，q），由圖象可以看出，ax2+c＞n-mx的解集即不等式的解集為：-2＜x＜1，故答案為：-2＜x＜1．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與不等式，要非常熟悉函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、頂點(diǎn)等點(diǎn)所代表的意義、圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征等．作直線AB關(guān)于y軸的對(duì)稱直線CD是問(wèn)題的關(guān)鍵與難點(diǎn)，注意數(shù)形結(jié)合．

重難點(diǎn)題型突破3、簡(jiǎn)單分式不等式的解法例3、不等式的解是__________．【答案】【解析】不等式等價(jià)于或解得【變式訓(xùn)練3-1】、不等式的解是__________．【答案】【解析】原不等式化為，解得重難點(diǎn)題型突破4、簡(jiǎn)單分式不等式的解法例4、（2022·浙江杭州·九年級(jí)期末）設(shè)二次函數(shù)（a，b是常數(shù)，），部分對(duì)應(yīng)值如下表：…………(1)試判斷該函數(shù)圖象的開(kāi)口方向；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)y的值；(3)根據(jù)你的解題經(jīng)驗(yàn)，直接寫(xiě)出的解．【答案】(1)拋物線開(kāi)口向上(2)(3)【解析】【分析】（1）根據(jù)表格中對(duì)稱點(diǎn)（0，-3），（2，-3），求得圖象對(duì)稱軸，由圖象對(duì)稱軸左側(cè)的y隨x的增大而減小可得拋物線開(kāi)口向上；（2）根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性即可求解；（3）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；(1)∵圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0