八年級數(shù)學(xué)下冊期中期末綜合復(fù)習(xí)專題提優(yōu)訓(xùn)練（浙教版）

專題10矩形的性質(zhì)與判定

【考點一】矩形的性質(zhì)與判定綜合考

例題：（遼寧?沈陽市第一二六中學(xué)八年級期中）如圖，在四邊形ABCD中，AC、8。相交于點O,AD//BC,

ZADC^ZABC,OA=OB.

圖1圖2

⑴如圖1,求證：四邊形ABCD為矩形；

（2）如圖2,P是AD邊上任意一點，PE±BD,PFLAC,E、尸分別是垂足，若AD=16,AB=12,求PE+PF

的值.

【答案】⑴見解析

48

（2）PE+PF=—

【解析】

【分析】

（1）先證明四邊形ABCD是平行四邊形，再由對角線相等得到四邊形ABC。為矩形;

（2）由尸￡、尸尸分別是AO/?和AAOP的高，利用5"如=5.8+5必8即可求解.

⑴

AD//BC

.ZAr>C+ZBCO=180°

???ZADC^ZABC

■-ZABC+ZBCD=180°

AB//CD

四邊形4BCO是平行四邊形

OA=OC,OB=OD

又OA=OB

AC^BD

四邊形AOCO是矩形

(2)

連接OP

:.ZBAD=90°

vAD=16,43=12

BD=ylAB2+AD2=J256+144=20

.?.BO=OD=AO=CO=IQ

SAAOD=；S矩形S=；xl2xl6=48

^AAOD=^AAOP+S^DOP

：.48=-xl0xPF+-xl0xP￡

22

48

PE+PF=—

5

【點睛】

本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.(江西萍鄉(xiāng).九年級期末)如圖，在口ABC"中，AELBC于點E,延長BC至點R使CF=BE,連接AP,

DE,DF.

⑴求證：四邊形AMD為矩形;

⑵若AB=3,DE=4,BF=5,求DF的長.

【答案】⑴見解析

若

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)線段的和差關(guān)系可得根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得ADII2C,AD=BC,即可得出AD=

EF,可證明四邊形AEED為平行四邊形，根據(jù)AE_LBC即可得結(jié)論；

(2)根據(jù)矩形的性質(zhì)可得可得△&W為直角三角形，利用“面積法〃可求出AE的長，即可得答案.

⑴

BE=CF,

BE+CE=CF+CE,BPBC=EF,

1?ABC。是平行四邊形，

.〔ADIIBC,AD=BC,

：.AD=EF,

:ADWEF,

四邊形AEED為平行四邊形，

AE±BC,

ZAEF=90°,

四邊形AEED為矩形.

(2)

四邊形AEED為矩形，

AF=DE=4,DF=AE,

AB=3,DE=4,BF=5,

AB2+AF2=BFq,

△BAF為直角三角形，ZBAF=90°,

S=-ABxAF=-BFxAE,

皿22

,12

AE=f

DF=AE=—.

5

【點睛】

本題考查平行四邊形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)及勾股定理的逆定理，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及判定定理是解

題關(guān)鍵.

2.(廣東?深圳市龍崗區(qū)百合外國語學(xué)校三模)如圖，已知平行四邊形ABCO中，M,N是BD上兩點,且

=DN,AC=2OM.

⑴求證：四邊形AMCN是矩形；

⑵若NBAO=135。，CD=2,ABrAC,求對角線MN的長.

【答案】⑴見解析

(2)MN=2

【解析】

【分析】

(1)先證四邊形AMCN是平行四邊形，再證MN=AC,即可得出結(jié)論;

(2)證AABC是等腰直角三角形，得AC=AB=2,即可得出結(jié)論.

⑴

證明：?.?四邊形ABC。是平行四邊形，

OA=OC,OB—OD,

對角線BD上的兩點M、N滿足BM=DN,

OB-BM=OD-DN,即OM=ON,

四邊形AMCN是平行四邊形，

MN=2OM,

-：AC=2OM,

MN=AC,

平行四邊形AMCN是矩形；

(2)

解：由(1)得：MN=AC,

四邊形ABC。是平行四邊形,

：.AB=CD=2,ADWBC,

ZABC+ZBAD=180°,

???Z540=135。，

ZABC=45。，

,/AB1.AC,

zBAC=90°,

△ABC是等腰直角三角形，

：.AC=AB=2,

MN=2

【點睛】

本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識；熟練掌

握平行四邊形的判定與性質(zhì)和等腰直角三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.(湖南?長沙市湘郡培粹實驗中學(xué)八年級階段練習(xí))如圖，在口ABCO中，對角線AC與8。相交于點O,點

E,P分別為的中點，延長AE至G,使EG=AE,連接CG.

⑴求證：AABE空△CDF；

⑵當(dāng)AB與AC滿足什么數(shù)量關(guān)系時，四邊形EGCF是矩形？請說明理由.

【答案】⑴見解析

(2)AC=2AB,理由見解析

【解析】

【分析】

⑴根據(jù)SAS證明三角形全等即可；

⑵根據(jù)三角形中位線定理得EO〃GC,則四邊形EGC尸是平行四邊形，得再由等腰三角形的性質(zhì)

得到則NOEG=90。，于是證得到結(jié)論.

⑴

證明：,??四邊形ABC。是平行四邊形,

?,.AB=CD,AB//CD,OB=OD,OA=OCf

/.ZABE二NCDF,

，,點E,尸分別為。3,。。的中點，

/.BE=-OB,DF=-OD,

22

BE=DF,

在△436和aCO廠中，

AB=CD

</ABE=ZCDF

BE=DF

△ABE^△CDF(SAS).

⑵

解：當(dāng)AO2A3時，可使四邊形EGC尸為矩形;

理由如下：

,/△ABE*△CDF,

：.ZAEB=NCFD,

/.ZAEO=NCFO,

/.AE//CF,

/EA=EG,OA=OC,

E。是aAGC的中位線，

EO//GC,

四邊形EGCT是平行四邊形，

/AC=2ABfAC=2AO,

AB=AO,

.「E是08的中點，

：.AE±OBf

二ZOEG=90°,

「?平行四邊形成;C廠是矩形.

【點睛】

本題考查了矩形的判定，平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線定理等知

識；熟練掌握矩形的判定和平行四邊形的判定與性質(zhì)，證明AAEg△CFO是解題的關(guān)鍵.

4.(江蘇?啟東市長江中學(xué)八年級階段練習(xí))如圖，在中，ZA5C=90°,點。是斜邊AC的中點，過

點。作交于點E,過點A作AO〃BC,與20的延長線交于點。，連接。、DE.

⑴求證：四邊形A3CD是矩形；

(2)若3C=3,ZSAC=30°,求QE的長.

【答案】⑴見解析

⑵⑸

【解析】

【分析】

(1)證△。4。合△OCB(AAS),得AD=BC,再證四邊形ABC。是平行四邊形，然后由NA2C=90。，即可得

出結(jié)論；

(2)由矩形的性質(zhì)和含30。角的直角三角形的性質(zhì)求出A。、AE的長，再由勾股定理即可求解.

⑴

證明：,?,點。是AC的中點，

...OA=OC，

\-ADHBC,

:.NDAO=NBCO,ZADO=NCBO,

在△Q4。與AOCS中，

ZADO=ZCBO

<ZDAO=ZBCO,

OA=OC

:.AOAD=AOCB(AAS)9

.\AD=BCf

?：ADIIBC,

二?四邊形ABC。是平行四邊形，

?/ZABC=90°,

二?平行四邊形A3CD是矩形；

⑵

解：???四邊形ABCD是矩形，

.\AD=BC=3f

vZABC=90°,ZBAC=30°,

:.AC=2BC=6,

/.OA=3,

\-OE.LAC,

:.ZAOE=90°,

???NBA。=30。，

:.OE=—OA=y/3,

3

AE=2OE=2石，

DE=y/Alf+AE2=舊+（2回=而.

【點睛】

本題考查了矩形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、含30。角的直角三角

形的性質(zhì)、勾股定理等知識，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，證明四邊形ABC。為矩形是解題的關(guān)鍵.

5.（廣西?靈山縣那隆第一中學(xué)八年級期中）如圖，E,F,G,X分別是四邊形ABC。各邊的中點，連接EPGM

AEBAEB

⑴求證：四邊形EFGH是平行四邊形；

⑵請再添加一個條件，使得四邊形EFG”是矩形，（寫出添加的條件即可，不用寫證明過程）.

【答案】⑴見解析

（2）添加條件ACLB。，能使得四邊形EFG”是矩形.

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)三角形中位線定理得到即==&),EHWBD,FG=-BD,FGWBD,進而得到EH=FG,EHWFG,

22

根據(jù)平行四邊形的判定定理證明結(jié)論；

(2)由(1)知四邊形EPGH是平行四邊形，添加條件AC,2D,根據(jù)矩形的判定定理證明結(jié)論.

⑴

證明：如圖，連接8D,

■:點E、F、G、X分別是邊A3、BC、CD、ZM的中點，

EH=-BD,EHWBD,FG’BD,FGWBD,

22

EH=FG,EHWFG,

?四邊形EFG"是平行四邊形；

⑵

解：添加條件AC_LBD,能使得四邊形EFGH是矩形,

理由如下：如圖，連接AC、BD,

由(1)知四邊形EFGH為平行四邊形，

EFWAC,

EF工BD,

?/EHWBD,

：.EHLEF,

：.ZFEH=90°.

四邊形EFG”是矩形.

D

G

【點睛】

本題考查三角形中位線定理、矩形和平行四邊形的判定定理，掌握三角形的中位線平行于第三邊，并且等

于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵.

6.(陜西?西安市曲江第一中學(xué)九年級期中)如圖，在平行四邊形ABC。中，對角線AC、8。相交于點。，

BEWAC交DC的延長線于點E,且BD=BE.

⑴求證：四邊形A3CD是矩形；

(2)若NDBC=30。，B0=6,求四邊形ABED的面積.

【答案】⑴見解析

⑵四邊形ABED的面積為54石.

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)已知條件推知四邊形ABEC是平行四邊形，則對邊相等:AC=2E,依據(jù)等量代換得到對角線AC=B￡>,

則平行四邊形4BCD是矩形；

(2)利用“矩形的對角線相等且相互平分"的性質(zhì)、等邊三角形的判定定理得到4403是等邊三角形，則易

求02=42=6,所以通過勾股定理求得3c的長度，再利用梯形的面積公式列式計算即可得解.

⑴

證明：?.?四邊形ABC。是平行四邊形，

：.AB\\CD,

又???點E在。C的延長線上,

/.ABWCE,

又「BEIIAC,

.四邊形ABEC是平行四邊形，

AC-BE,

又BD=BE,

AC=BDf

???平行四邊形ABC。是矩形；

(2)

解：：在矩形43CZ)中，ZDBC=30°,OA=OB,

ZABD=60°,

△AOB是等邊三角形，

AB=BO=6,

30=230=2x6=12,

又「四邊形A8EC是平行四邊形，

CE=AB=6f

/.DE=CD+CE=12,

在RtAABC中,BC=yjBD2-CD2=寸-G=673，

，四邊形ABED的面積=g(6+12)x6石=54石.

【點睛】

本題考查了矩形的對角線互相平分且相等的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，

熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

7.(廣東?深圳市福田區(qū)北環(huán)中學(xué)九年級階段練習(xí))在平行四邊形ABC。中，2BAD=a,Z)E平分NADC,

交對角線AC于點G,交射線A3于點E,將線段防繞點E順時針旋轉(zhuǎn);a得線段EP.

⑴如圖1,當(dāng)a=120。時，連接AP,請寫出線段AP和線段AC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;

(2)如圖2,當(dāng)a=90。時，過點3作8凡LEP于點R連接AR請直接寫出線段ARAB,AD之間的數(shù)量關(guān)

系;

(3)當(dāng)。=120。時，連接AP,若BE=；AB,請直接寫出△APE與△COG面積的比.

【答案】(1)AP=AC,理由見解析

(2)AB2+AD2=2AF--理由見解析

八、S&APE=。比S&APE—3

⑶q4取q4

UACDG"ACDG

【解析】

【分析】

(1)如圖1所示，連接尸8,PC,先求出NABC=/ADC=60。，ZBEP=60°,得到NAEP=120。，然后證△BPE

是等邊三角形，得到BP=BE,NEBP=ZBOE=6Q°,則NAEP=NCBP,再由OE平分NAOC,推出

NAEO=NNCDE=NAQE=30°,得至!jAE=BC,即可證明△AEP2△CBP得至UAP=CP,NAPE=NCPB,從而

證明AAPC是等邊二角形，得到AP=AC；

(2)連接CP,先證四邊形ABC。是矩形，得到NA￡?C=NABC=NAM>=90。，AD=BC,同理證明AE=BC,

△AEF^ACBF,得至［JC尸=A/，NCFB=NAFE,然后證明NAPC=NAFE+NCPE=NCF2+NC尸E=90°,得至!J

AC=y]AF2+CF2=42AF>再由A*+BC?=AC?,則AB?+AD?=2A尸？；

(3)分點E在AB上和AB的延長線上兩種情況討論求解即可.

⑴

解：AP=AC,理由如下：

如圖1所示，連接尸8,PC,

四邊形ABCD是平行四邊形,

..AB//CD,AD//BC,AD=BC,

,/ZBAD=a=120°9

/.NABC二NADC=60°,ZBEP=60°,

ZAEP=120°

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得EAEB,

△BPE是等邊三角形,

BP=BE,ZEBP=4BOE=60°,

??.ZCBP=/EBP+NABC=120°,

zAEP=NCBP,

?/DE平分NADC,

ZADE=Z.CDE=30°,

ZAED=NZCDE=NADE=30°,

AE=AD,

AE=BC,

：.△AEP^△CBP(SAS),

/.AP=CP,ZAPE=NCPB,

ZAPC=ZAPE+ZCPE=ZCPB+NCPE=NBPE=60°,

iAPC是等邊三角形，

AP=AC；

⑵

解：AB2+AD2=2AF2，理由如下：

如圖2所示，連接C凡

在平行四邊形ABC。中，zBAD=90°,

四邊形ABCO是矩形，

/.ZADC=NABC=NBAD=90°,AD=BC,

「OF平分NADC,

：.ZADE=ZCDE=45°,

/.ZAEDF=NADE=45°,

AE=ADf

AE=BCf

?/BF±EP,

ZBFE=90°,

ZBEF=-a=45°,

2

ZBEF=ZEBF=45°,

:.BE=EF,NAEF=135。,

ZAEF=ZCBF=NEBF+Z.ABC=135°,

△AEF^△CBF(SAS),

CF=AF,ZCFB=NAFE,

：.ZAFC=NAFE+NCFE=NCFB+ZCFE=90°,

AC=\IAF2+CF2=41AF>

???AB2+BC2=AC2,

AB1+Ab1=2AF2

圖2

(3)

解：①如圖3所示，當(dāng)E在AB上時，過點G作GALLAD于K,作GNLCD于N,過點C作CKJ_4。于K,

過點A作AHrPE交PE延長線于H,

由(1)知，BC=AD=AE=AB-BE,當(dāng)a=120。時,ZB=ZADC=60°,

ZKCD=30°f

：.CD=2KD,

CK=yjcD2-CK2=—CD

2

.BE=-AB,

2

?.AB=CD=2BE,

設(shè)BE=a。則PE二BE=AD二AE二BC=a,AB=CD=2a,CK=y/3a

DE平分NADC,GM±ADfGN工CD,

GM=GN,

q-CDGN

ZCDG=2________CD

S.=-AD-CK=—a2

LSALcLnJ22~AD

S'ADG-ADGM

2

.?S_22

??..oVC￡)G——ZACD二a

由(1)可知NAEP=N840=120。,

/.ZAEW=60°,

?「ZH=90°,

ZEAH=30°f

EH=-AE=-a,

22

：AH=ylAE2-EH2=-a,

2

-S博PE=；AH.PE=*a2,

.S/XAPE_3

S^CDG4

BC

圖3

②如圖4,當(dāng)點E在AB延長線上時，過點P作PH_LBE于

同理可證

「BE=-AB,

2

33

AD=-AB=-CD,

22

-CDGN

S'CDG2CD_2

同理可證~AD~3

S'ADG-ADGM

2

??S/^CDG~M$MCD，

3

設(shè)CD=AB4,則AE=AO=—/?,

2

同理可求出5%8=1*36.36=空從，

2228

3

?<_^3,2

,?dACDG_2Q，

???ZBEP^-a=60°,BE=EP,

2

.?.APBE是等邊三角形,

HE=BE=-BE^-b,

24

PH=yjPE2-EH2=—b,

4

SvAPE=：AE，PH=*b，

Zlo

.S”尸E_5

S^CDG4

.ALuu4%APE—3TS^APE—5

二綜上所述，T--------i或^------

'△CDG,、ACDG4

圖4

【點睛】

本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)與判定，角平分線的性質(zhì)與判

定，勾股定理，含30度角的額直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定等等，正確作出輔助線是解題

的關(guān)鍵.

【考點二】矩形中的折疊問題

例題：(湖北省崇陽縣第一中學(xué)八年級期中)如圖，在矩形ABC。中，E是3c上一動點，將及42￡沿AE折

疊后得到△AFE,點尸在矩形ABC。內(nèi)部，延長A尸交C。于點G,AB=3,AD=4.

圖1圖2圖3

⑴如圖1,當(dāng)?shù)﹏4G=30°時,求BE的長；

(2)如圖2,當(dāng)點E是2C的中點時，求線段GC的長；

⑶如圖3,點E在運動過程中，當(dāng)AC/E的周長最小時，直接寫出BE的長.

【答案】⑴石

【解析】

【分析】

(1)先確定出NBAE=30。，再利用含30。的直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；

(2)連接GE,根據(jù)點E是BC的中點以及翻折的性質(zhì)可以求出BE=EF=EC,然后利用"HL"證明AGFE和

△GCE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等即可得證BG=CG,設(shè)GC=x,表示出AG、DG,然后在放“DG

中，利用勾股定理列式進行計算即可得解；

(3)先判斷出EF_LAC時，ACEF的周長最小，最后用勾股定理即可得出結(jié)論.

⑴

解：?.?四邊形ABCQ是矩形，

ZBAD=90°,

ZDAG=30°,

ZBAG=60°

由折疊知，ZBA￡=|zBAG=30°,

在RfABAE中，NBAE=30°,48=3,

BE=73

(2)

解：如圖4,連接GE,

圖4

??.E是BC的中點，

BE=EC,

?「△A3E沿AE折疊后得到△AfK

/.BE=EF,

/.EF=EC,

在矩形A3C0中，

/.ZC=90。，

/.ZEFG=90°f

?/在Rt^GFE和RsGCE中，

[EG=EG

[EF=EC

/.RtxGFE在R於GCE(HL),

/.GF=GC；

設(shè)GC—x,則AG=3+x,0G=3-x,

在放ZkAOG中，42+(3-x)2=(3+x)2,

4

解得x=-.

⑶

解：如圖1,由折疊知，ZAFE=ZB=90°,EF=BE,

：.EF+CE=BE+CE=BC=AD=4,

???當(dāng)CB最小時，ACEP的周長最小，

CF>AC-AF,

二當(dāng)點A,F,C在同一條直線上時，C尸最小，

由折疊知，AF=AB=3,

在放△ABE,AB=3,BC=AD=4,

AC=5,

CF=AC-AF=2,

在R4CE尸中，EF2+C772=C￡2,

BE2+CF2=（4-BE）2,

BE^+?}=（4-BE）2,

,op3

2

【點睛】

此題是四邊形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解（1）

的關(guān)鍵是求出N瓦場=30。，解（2）和（3）的關(guān)鍵是構(gòu)造出直角三角形，利用勾股定理解決問題.

【變式訓(xùn)練】

1.（江蘇?洪澤外國語中學(xué)八年級階段練習(xí)）矩形ABCD的邊長42=18的，點E在BC上，把△川￡沿AE

（2）如圖2,點N從點廠出發(fā)沿ED以每秒1C7”的速度向點。運動，同時點尸從點A出發(fā)沿AF以每秒2c7〃

的速度向點尸運動，運動時間為f秒（0<f<9）,過點尸作于點

①請證明在N、P運動的過程中，四邊形FMWP是平行四邊形；

②連接NP,當(dāng)/為何值時，△MNP為直角三角形?

【答案】⑴〃尸=9。〃

⑵①見解析，②(秒或m秒

【解析】

【分析】

(1)由折疊的性質(zhì)可知，ZBAE=AFAE=30",AF=AB=18cm,然后求出ND4尸=30°,貝IjOF=；

2

(2)①由題意得：FN=tcm,PA^ltcm,則PF=(18-2r)cm,由(1)得：NZM尸=30°,則

=t(cm),從而推出-V=PM,即可證明四邊形FNMP是平行四邊形；②分三種情況：當(dāng)NMPN=90。時，

當(dāng)NPMN=90。時，當(dāng)NPNM=90。時，三種情況討論求解即可得到答案.

⑴

解：由折疊的性質(zhì)可知，ZBAE=AFAE^0°,AF=AB=lScm,

???四邊形ABC。是矩形，

ZD=ZBAD=90°,

ZD4尸=30°,

/.DF=—AF=9cm；

2

⑵

解：①證明：由題意得：FN=tcm,PA=2tcm,

則PF=(18-2f)cm,

■：PMA-AD,FD±AD,

：.PMWFD,ZPMA=90°,

由(1)得：ZDAF=30",

PM=^PA=t(cm),

FN=PM,

四邊形FMWP是平行四邊形;

cEB

圖2

②分三種情況:

服當(dāng)NM/W=90。時，PMLPN,如圖2所示:

PM±AD,AD±CD,

：.PNWAD,PN工CD,

..NFPN=NDAF=30。,匕PNF=90°,

：.FN=；PF,

即t—g(18-2t),

Q

解得：t=—；

b、當(dāng)NPMN=90。時，點N、M重合，不能構(gòu)成△MA?；

c、當(dāng)NPNM=90°時，如圖3所示：

過P作PHLFN于H,

則四邊形PHOM是矩形，NPHF=NPHD=90。,PHWADf

:.PH=DM,NHPF=NDAF=30°,

FH=^PF=(9-0cm,

?「ND=DF-FN=(9-t)cm,

「ND=ZPHF=90°,PH=MD,

「.△DMNW△HPF(SAS),

/.MN=PF=(18-20cm,NDMN=NHPF=30°,

NNMP=90°-30°=60°,

/.ZMPN=90o-60°=30°,

PM=2MN=(36-4。cm,

PM—tcm,

36-4t=t,

角星得：t=；

936

綜上所述，當(dāng)/為/秒或三秒時，AMN尸為直角三角形.

【點睛】

本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，全

等三角形的性質(zhì)與判定等等，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識.

2.(江蘇無錫?八年級期末)如圖，長方形紙片A8CD中，A8=8,BC=12,點、E、尸分別在邊AO和邊8C

上，連接￡尸，將紙片沿E/折疊.

圖⑴圖(2)

⑴如圖(1),若點B落在邊AO的延長線上的點G處，求證：GE=GF；

⑵如圖(2),若點B落在邊C。的中點M處，求3廠的長.

【答案】⑴見解析

⑵也

3

【解析】

【分析】

(1)由折疊的性質(zhì)及矩形的性質(zhì)得出NGEP=N￡FG,則可得出結(jié)論；

(2)設(shè)由勾股定理得出(12-x)2+42=N,求出x可得出答案.

⑴

證明：???四邊形ABC。是矩形,

：.AD//BC,

/.zGEF=NBFE,

.??將紙片沿跖折疊.

/.ZBFE=/EFG,

/.ZGEF=ZEFG,

GE=GF；

⑵

解：「四邊形AS。。是矩形，

:.AD=BC=12,AB=CD=8,

??.M是的中點，

CM=4,

由折疊的性質(zhì)可知，BF=FM,

設(shè)BF=x,

CF2+CM2=FM1,

：.(12-x)2+42=x2,

解得x=三20，

20

..BF——.

3

【點睛】

本題考查了矩形的性質(zhì)，翻折變換，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握折疊的性質(zhì).

3.(湖南?長沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國語學(xué)校八年級期末)如圖，四邊形ABC。中，AD//BC,

ZA=ZD=90°,點E是AD的中點，連接3E,將△ABE沿BE折疊后得到△GBE,且點G在四邊形ABC。

內(nèi)部，延長BG交DC于點R連接EF.

⑴求證：四邊形ABC。是矩形；

⑵求證：GF=DF；

(3)若點AB=6,BC=8,求。尸的長.

【答案】⑴證明見解析；

(2)證明見解析；

Q

(3)DF=-

【解析】

【分析】

(1)利用平行線的性質(zhì)可得NC=90。，再根據(jù)三個角是直角的四邊形是矩形即可判定；

(2)根據(jù)折疊的性質(zhì)和中點的定義得出EG=ED,再用乩定理證明RtAEGmR/AED尸即可;

(3)利用。歹分別表示和/C,再在MA3CF中利用勾股定理求解即可.

⑴

證明：?：AD//BC,

：.ZD+ZC=180°,

ZA=ZD=90°,

NC=ZA=NO=90。，

A四邊形ABC。為矩形；

(2)

證明：二.將aABE沿BE折疊后得到△G3E,

/.△ABEM△GBE,

二NBGEZA,AE=GEf

'：ZA=Z￡>=90°,

/.ZEGF=ZD=90°,

■.?點七是AD的中點，

EA=ED,

：.EG=ED,

在Rt&EGF和RtbEDF中,

jEF=EF

\EG=ED"

/.RtXEGF=RtbEDF(HL)；

..GF=DF；

（3）

解：.「四邊形A3CO為矩形，AABEM△GBE,

/.ZC=90°,BG=CD=AB=6,

?/GF=DF；

..BF=BG+GF=6+DF,CF=DC—DF=6—DF,

在放△灰：尸中，根據(jù)勾股定理，

BF2=CF2+BC2,

即（6+DF）2=（6-DF）2+82,

Q

解得=（.

Q

BPDF=-.

3

【點睛】

本題考查矩形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定定理，折疊的性質(zhì)，勾股定理等.（1）掌握矩形的判定定

理是解題關(guān)鍵；（2）能結(jié)合重點和折疊的性質(zhì)得出EG=E。是解題關(guān)鍵；（3）中能利用。/正確表示BCF

中，BF和CF的長度是解題關(guān)鍵.

4.（江蘇?無錫市東林中學(xué)八年級期中）在四邊形ABCD中，ZA=ZB=ZC=ZD=90°,AB=CD=10,

BC=AD=S.

Cl）尸為BC上一點，將△A2P沿直線AP翻折至△AEP的位置（點2落在點E處）.

①如圖①，當(dāng)點E落在邊。上時，利用尺規(guī)作圖，在圖①中作出滿足條件的圖形（即AAEP的位置，不

寫作法，保留作圖痕跡），并直接寫出此時DE=—.

②如圖②，尸￡與（7。相交于點RAE與CO相交于點G,且FC=FE,求BP的長.

（2）如圖③，已知點。為射線BA上的一個動點，將ABC。沿CQ翻折，點8恰好落在直線。。上的點片

處，求8。的長.

E

【答案】(1)①畫圖見解析，6；②?；(2)4或16

【解析】

【分析】

(1)①如圖1,以點A為圓心，AB長為半徑畫弧，交CO于點E,作㈤B的角平分線交3c于點尸，則

點尸即所求，根據(jù)勾股定理求得DE的長；②由折疊的性質(zhì)可知設(shè)BP=EP=x,可求得△GEa△PCF

(ASA),再勾股定理求解即可；

(2)分兩種情況進行討論，點。在線段A3上和點。在BA延長線上，分別求解即可.

【詳解】

解：(1)①以點A為圓心，長為半徑畫弧，交CD于點E,再作NEAB的角平分線交BC于點P,連接

EP、AP,如下圖：

貝ljAE=AB=10

由矩形的性質(zhì)可知：ZD=90°

DE=yjAE2-AD2=6

②由折疊的性質(zhì)，可設(shè)BP=EP=x,

E

D.GFC

P

AB

在△GEF和APCF中

2E=NC=90°

<EF=FC

ZGFE=ZPFC

△GEFV△PCF(ASA)

GF=FP,GE=CP=8—x

GC=EP=x

：.DG=10-x,AG=W-(8-x)=x+2

.?.在?△ADG中，82+(10-X)2=(.X+2)2

解得尤=§20，即2尸=三20

(2)①點。在線段AB上，

由翻折得ZCQB=ZCQB',BC=CB'=8

,/CDIIAB,

ZDCQ=ACQB

ZDCQ=ACQD

CD=QD=10

,/CD=10,CBf=S

/.DBr=6

QBf=QB=^

②點。在BA延長線上

由翻折得B'Q=BQ,BC=CB，=8

-：CD=10,

/.DB'=6

設(shè)==DQ=x-6,AQ=x-10

在放△AOQ中，82+(X-10)2=(X-6)2

解得x=16,即BQ=16

綜上所述，3。=4或16

【點睛】

本題屬于幾何變換綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，折疊變換，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)

構(gòu)建方程求解問題，學(xué)會用分類討論的思想思考問題.

5.(全國?八年級專題練習(xí))在長方形紙片ABCD中，點￡是邊CD上的一點，將A沿AE所在的直線折

疊，使點。落在點尸處.

(1)如圖1,若點月落在對角線AC上，且NBAC=54。，則ND4E的度數(shù)為°,

(2)如圖2,若點P落在邊BC上，且AB=Cr>=6,AD^BC=IO,求CE的長.

(3)如圖3,若點￡是CZ)的中點，AF的延長線交BC于點G,且A8=CD=6,AD=BC=10,求CG的長.

89

【答案】(1)18；(2)CE的長為§；(3)CG的長為伍.

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)得ND4c=36。，根據(jù)折疊的性質(zhì)得ND4E=18。；

(2)根據(jù)矩形性質(zhì)得NB=NC=90。，BC=AD=10,CD=AB=6,根據(jù)折疊的性質(zhì)得A尸=AO=10,EF

=ED,根據(jù)勾股定理得8尸=8,則CP=2,設(shè)CE=x,則所=￡。=6-x,根據(jù)勾股定理得2-=(6-4，

解得：x=§，即CE的長為,

(3)連接EG,,由題意得DE=CE,由折疊的性質(zhì)得：A尸=40=10,ZAFE=ZD=90°,FE=DE,則NEFG

=NC=90°,由HL得RMCEG合RtAFEG,則CG=FG,設(shè)CG=FG=y,則AG=10+?BG=10-y,在

99

及△ABG中，由勾股定理得6+(10-4=(10+4，解得y=而，即CG的長為面.

【詳解】

解：(1)四邊形ABCO是矩形，

ZDAB=9Q°,

zDAC=90°-z3AC=90°-54°=36°,

?J△AED沿AE所在的直線折疊，使點。落在點尸處，

ZDAE=NEAC=；NDAC=yx36°=18°,

故答案為：18；

(2)四邊形ABCD是長方形,

ZB=ZC=90",BC=AD=W,CD=AB=6,

由折疊的性質(zhì)得：AF=AD=10,EF=ED,

BF^ylAF2-AB2=A/102-62=8>

CF=BC-BF=10-8=2,

設(shè)CE=x,貝ij所=即=6-x,

在放ACEF中，由勾股定理得：

22+X2=(6-X)2,

4+x2=36-12x+x2

12x=32

Q

解得：X=|,

Q

即CE的長為;;

DE=CE,

由折疊的性質(zhì)得：AF=AZ)=10,ZAFE=ZD=9O°,FE=DE,

/.ZEFG=ZC=9O°,

在Rt&CEG和RSFEG中，

jEG=EG

|CE=FE'

RtLCEG*Rt>FEG(HL),

CG=FG,

設(shè)CG=FG=y,則AG=AF+FG=10+y,BG=BC-CG=10-y,

在放AABG中，由勾股定理得：

36+100-201+/=100+201+V，

40y=36

9

解得：y=~，

9

即CG的長為己.

【點睛】

本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握并靈活運

用這些知識點.

6.（湖南?長沙市雅禮實驗中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，四邊形。43c為矩形，其中。為原點，A、C兩點

分別在x軸和y軸上，點B的坐標(biāo)是（4,6）,將矩形沿直線。E折疊，使點C落在AB邊上點/處，折痕

分別交OC、BC于點E、D,且點。的坐標(biāo)是4,6）.

（1）求B尸的長度；

（2）如圖2,點尸在第二象限，且△PDE合&CED,求直線尸￡的解析式；

（3）若點M為直線DE上一動點，在x軸上是否存在點N,使以V、N、D、尸為頂點的四邊形是平行四邊

4

【答案】（1）2；（2）y=--x+l;（3）存在，N（2,0）或（-3,0）

【解析】

【分析】

（1）利用折疊性質(zhì)，可得=CO=g,再利用勾股定理即可求得的長度;

(2)利用折疊性質(zhì)和題目條件，可得△CDE合AFDE坐PED,可以證得四邊形PE陽為矩形，利用3尸長

度，可以求出產(chǎn)的坐標(biāo)，過E作EG_LAB于G,利用勾股定理列方程，求得E點坐標(biāo)，再利用中點坐標(biāo)公

式求得DE的中點坐標(biāo)，從而求得尸坐標(biāo)，最后利用待定系數(shù)法求得直線PE解析式；

(3)利用的三邊都可以為對角線，畫圖，分三類討論，利用中點坐標(biāo)公式，可以得到平行四邊形的

對角線的兩個端點橫、縱坐標(biāo)之和相等，來列方程組，進行求解.

【詳解】

解：(1)由題可得，XCDE要△FDE,

5

貝nIJ,DF=CD=m，

B(4,6),四邊形OABC為矩形，

BC=4,ZB=90°,

BD=BC~CD=一,

2

在放ZkOB/中，

BF=y/DF2-BD2=2：

(2)如圖1,

由（1）得，△CDE^△FDE,

又&PDE^△CED,

：.△PDE^△CED^△FED,

.fgPFfs5

..PpDn=CE=FE,PE=CD=FE=—,

2

?四邊形PEFD為平行四邊形，

又NC=90°,

ZC=NP=ZF=90°,

nPEFD為矩形,

XAF=AB-BF=6-2=4,

F(4,4),

過E■作EG_LA2于G,

則四邊形AOEG,EGBC為矩形，

設(shè)OE=AG=a,則，F(xiàn)G=4-a,EG=BC=4,CE=6-a

又EF=EC,

則42+(4-a)2=(6-a)2,

a=l,

：.E(0,1),

連接PF交OE于點M,

則M為尸死DE的中點，

D(9,6),E(0,1),

2

<5)

I-I1

，根據(jù)中點坐標(biāo)公式可知，M,即加匕，J

\7

3

同理，根據(jù)中點坐標(biāo)公式可得尸(-1,3)；

設(shè)直線PE的解析式為：y=kx+l,

3

代入點尸，得，--k+l=3,

4

解得，k=--,

4

二直線%的解析式為：y=--x+l；

(3)設(shè)直線OE的解析式為：y=hx+l,代入點,6),

解得，k\=2,

y=2x+\,

設(shè)M(m,2m+l),N(xN,0),

①如圖2,

y

'O\NAx

1圖2

當(dāng)M尸為對角線，ON為另一條對角線時，

連接MB,￡W交于點K,則K為朋F,DN的中點，

[無M+xF^xD+xN

1yM+力=%+班’

[,5

機+4=一+幾

即2N,

2m+1+4=6+0

1

,,m——

解得，2,

、%N=2

??.N(2,0),

②如圖3,當(dāng)。尸為對角線，MV為另一條對角線時,

9

m=—

解得2,

JN=2

??.N(2,0),

③如圖4,當(dāng)為對角線，入獷為另一條對角線時,

3

m——

解得,2,

XN=-3

：.N(-3,0),

綜上所述，N(2,0)或(-3,0).

【點睛】

本題屬于一次函數(shù)與四邊形的綜合題目，考查了矩形的性質(zhì)，一次函數(shù)的待定系數(shù)法以及平行四邊形存在

性問題，解決問題的關(guān)鍵在于利用已知條件合理設(shè)置參數(shù)，利用平行四邊形的對角線的兩個端點橫、縱坐

標(biāo)之和相等來解決.

【考點三】矩形中的動點問題

例題：(江蘇無錫■八年級期中)如圖1,已知長方形ABCD,AB=CD=2,BC=AD=3,ZA—Z.B=ZC=

ZD=90°,E為CD邊的中點，P為長方形ABC。邊上的動點，動點P從A出發(fā)，沿著A玲8玲C玲E運動到

￡點停止，設(shè)點尸經(jīng)過的路程為x,及4尸￡的面積為y.

(1)當(dāng)x=l時，＞=；當(dāng)x=5.5時，＞=；

(2)如圖2,求出當(dāng)點P邊BC時，用x的代數(shù)式表示y；

(3)如備用圖，當(dāng)尸在線段BC上運動時，是否存在點P使得AAPE的周長最??？若存在，求出此時NE4D

的度數(shù)；若不存在，請說明理由.

31

【答案】(1)1.5；-；(2)當(dāng)點P在BC邊上時，y^--x+4(2<x<5)；(3)存在.ZB4D=45°.

【解析】

【分析】

(1)利用三角形面積求法即可得出答案；

(2)利用蝸ABCDSABPSPCESADE得出y與尤的函數(shù)關(guān)系式即可；

(3)利用軸對稱求最短路線的方法得出P點位置，進而利用等腰直角三角形的性質(zhì)求出答案.

【詳解】

解:(1)x=l時，點P在AB邊上，

如圖，AP=1,A￡>=3,

x=5.5時，點尸在CE上

lxlx3=2

224

故答案為：15

(2)當(dāng)點尸在BC邊上時,

如圖，BP=x-2,CP=5-x,

y=2x2-；x2x(x-2)-^-xlx(5-x)-；xlx3=-；x+4(2<x45)；

(3)存在.

作點E關(guān)于5c所在直線的對稱點E,連接AE交2c于點P,此時AAPE的周長最小;

EC=CE',且

；.PE=PE,

AP+PE>AE',

AE為定值，

此時△APE的周長最?。?/p>

在汝△ADE中,:AD=DE'=3,Z0=90",

&ADE是等腰直角三角形，

ZPAD=45°.

【點睛】

本題是四邊形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)、三角形面積求法、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)以及最小

值等知識；本題綜合性，判斷出點P在那一條邊上是解本題的關(guān)鍵.

1.(吉林?長春市第八十七中學(xué)八年級階段練習(xí))如圖，矩形ABCD中，AB=12cm,BC=6cm,動點尸以2cm/s

的速度從點A出發(fā)沿折線A3-3C向終點C運動，動點。以2cm/s的速度從點D開始沿折線ZM-AB向終

點8運動，如果點P、。同時出發(fā)，設(shè)點P運動的時間f秒，ACPQ的面積為S.

(1)當(dāng)/=秒時，點。到達點A,當(dāng)1=時，點。到達點8.

(2)當(dāng)/為何值時，AQAP為等腰直角三角形？

(3)表示ACPQ的面積S(可用含有/的代數(shù)式表示)，請直接寫出結(jié)果.

1-----------

Cr------------/

B

3

【答案】⑴3,9；⑵當(dāng)/為5s時，△。4尸為等腰直角三角形；⑶①當(dāng)0給3時23-⑵+36；②當(dāng)3的6

時，18；③當(dāng)6〈江9時，23-36打162.

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)時間=路程+速度即可算出點。到達點A和點B的時間；

(2)由題意得AP=2t,DQ=2t,則A2=A?Z)Q=6-2f,由等腰直角三角形的性質(zhì)得出4。=4尸，得出方程，解

方程即可；

(3)①當(dāng)0<?<3時，△CPQ的面積=矩形ABC。的面積-△APQ的面積-△BCP的面積-△CDQ的面積，即可

得出答案；②當(dāng)3夕46時，由題意得AP=2t,AQ=2t-6,PQ=AP-AQ=6，得出△CP。的面積=：PQxBC=1x6x6=18；

③當(dāng)6〈於9時，由三角形面積公式即可得出答案.

【詳解】

解：(1)..?6+2=3

當(dāng)f=3時，點。到達點A；

；18+2=9

???當(dāng)仁9時，點。到達點B；

故答案為：3,9；

(2)四邊形ABC。是矩形，

AD=BC=6,CD=AB=U,

由題意得：AP=2t,DQ=2t,

AQ=AD-DQ=6-2t,

■.AQAP為等腰直角三角形，

AQ=AP,

即2t=6-2t,

解得："3，

3

即當(dāng)f為5s時，△Q4P為等腰直角三角形；

(3)分三種情況：

①當(dāng)0</<3時，如圖1所示：

由題意得：AP=2t,DQ=2t,

AQ=AD-DQ=6-2t,BP=U-2t,

CP。的面積=矩形ABC。的面積-AAP。的面積-AgCP的面積-△CO。的面積=12x6-gx2/x(6-2/)-1x

(122)x6-1xl2x2/=2r2-12f+36；

由題意得：AP=2t,AQ=2t-6,

PQ=AP-AQ=6,

...△CP。的面積=：PQ<3C=Tx6x6=18；

圖3

由題意得：BP=2t-l2,AQ=2t-6,

：.CP=6-BP=18-268。=12-40=18-23

ACP。的面積=gcPxBQ=gx(18-21)2=2產(chǎn)-36f+162.

【點睛】

本題考查了矩形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形面積公式等知識；熟練掌握矩形的性質(zhì)和等腰直

角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，注意分類討論.

2.(全國?九年級)如圖，已