第05講一元二次不等式與其他常見不等式解法

目錄

01考情解碼?命題預(yù)警..............................................2

02體系構(gòu)建?思維可視...............................................3

03核心突破?靶向攻堅...............................................3

知能解碼.........................................................3

知識點1一元二次不等式......................................3

知識點2簡單分式不等式......................................4

知識點3絕對值不等式........................................4

知識點4局次不等式..........................................5

題型破譯.........................................................5

題型1解不含參數(shù)的一元二次不等式重

題型2解分式不等式、局次不等式.............................6

題型3解絕對值不等式.......................................6

題型4解含參數(shù)的一元二次不等式難

【方法技巧】分類討論技巧

題型5

題型6整數(shù)個數(shù)求參數(shù)

題型7—元二次不等式的實際問題...............................9

題型8一元二次不等式的恒（能）成立問題|重

【方法技巧】恒（能）成立的處理方法

題型9一元二次方程根的分布問題.............................11

04真題溯源?考向感知.............................................12

05課本典例?高考素材..............................................13

01

考情解碼-命題預(yù)警

PU

考點要求考察形式2025年2024年2023年

（1）會從實際生活或數(shù)

學(xué)問題中抽象出一元二

次不等式模型；

（2）能結(jié)合二次函數(shù)圖

象，判斷一元二次方程國單選題

上海卷T2（4分）

根的個數(shù)，并依據(jù)圖象口多選題/全國I卷T1（5分）

回填空題天津卷T15（5分）

特征求解一元二次不等口解答題

式；

（3）掌握分式不等式和

絕對值不等式的基本解

法

考情分析：

新高考卷中，該專題屬于基礎(chǔ)核心考點，常與集合運算、函數(shù)定義域、導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間等綜合考查，單獨命題

較少。命題側(cè)重對“三個二次”關(guān)系的理解，強調(diào)通過函數(shù)圖像分析根的分布及不等式解集。備考需重點掌握分式

與絕對值不等式轉(zhuǎn)化技巧，以及恒成立問題中參數(shù)范圍的求解策略。

復(fù)習(xí)目標(biāo)：

1.會結(jié)合一元二次函數(shù)的圖象，判斷一元二次方程實根的存在性及實根的個數(shù)，了解函數(shù)的零點與方程根的關(guān)

系；

2.會從實際情境中抽象出一元二次不等式，了解一元二次不等式的現(xiàn)實意義；

3.能借助一元二次函數(shù)求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集，類比求解高次不等式、

分式不等式和絕對值不等式

02

體系構(gòu)建-思維可視

一

元

二

次

不

等

式

與

其

他

常

見

不

等

式

解

法

03

核心突破?靶向攻堅

知識點1一元二次不等式

1.三個“二次”之間的關(guān)系

判別式/=—4〃cA>QA=0A<Q

ll

之

y=ax2+bx+c(a>0)的圖象

XM()J4L

有兩相等實根

一元二次方程有兩相異實根

b沒有實數(shù)根

20（。>0）的木艮（）

ax+bx+c=xi,x2xl<x2w一五

一元二次不等式

(-00,七)(x2,+oo)—解集為R

ax2+bx+c>0（〃>0）的解集

一元二次不等式

—0—

ax2+bx+c<0（〃>0）的解集

2.不等式恒成立問題

d—b—0

（1）if+bx+c>0恒成立的充要條件是：<或________

c>0

a<0

（2）ax2+bx+c<0怛成立的充要條件是:或』

[b2-4ac<Q

自主檢測1.不等式-2f+3x+5>0的解集為（）

A.<x—1<x<—

C.團》<一|或尤>1}D.{x|<->—

2.若命題FXER,f—狽+I<0，，是假命題，則實數(shù)〃的取值范圍是,

知識點2簡單分式不等式

（1）歲〉0（<0）o/（x）?g（x）〉0（<0）；（2）半1?0（叫=________

g（x）g（x）

（3）左（〈左）=左左移，通分變成（1）；（4）斗4之女（三左）=左左移，通分變成（2）

g（x）g（x）

自主檢測不等式一<0的解集為.

知識點3絕對值不等式

1.絕對值不等式的概念

一般地，含有絕對值的不等式稱為絕對值不等式.

2.|ax+b|<c(c>0)和版+a>c(c>0)型不等式的解法

(1)|ar+Z?|<c(c>0)-c<ax+b<c；

(2)|at+Z?|>c(c>0)o

3.|x-a|+|x-42c(c>0)和上一a|+|x-qWc(c>0)型不等式的解法

①利用絕對值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想；

②利用“零點分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想；解含有兩個絕對值形如|x+4+|x+4>(<)c的不等

式，常用零點討論法和數(shù)形結(jié)合法.注意小分類求交大綜合求并.

|自主檢測已知集合A={-1,2,3},8=則AB=()

A.0B.{2}C.{2,3}D.{-1,2,3}

知識點4高次不等式

1.高次不等式的概念

不等式最高次項的次數(shù)高于2,這樣的不等式稱為高次不等式.

2.的步驟：

①將/(%)最高次項系數(shù)化為正數(shù)；

②將/(力分解為若干個一次因式的積或二次不可分因式的積；

③將每一個一次因式的根標(biāo)在數(shù)軸上，自上而下，從右向左依次通過每一點畫曲線(注意重根情況，偶次

方根穿而不過，奇次方根穿過)；

④觀察曲線顯現(xiàn)出的/(X)的值的符號變化規(guī)律，寫出不等式的解集.

自主檢測I(多選)下列結(jié)論正確的是()

A.不等式巫學(xué)<0的解集為或0<x<3

B.不等式叢苧<0的解集為一2<彳<?；驘o>3

x-3

C.不等式的解集為x<_3或l<x<5

x-1

D.不等式的解集為-3cx<1或x>5

x-1

題型1解不含參數(shù)的一元二次不等式

畫亙]已知集合A={-1,1,2,3},B={X|X2<9},則AB=()

A.{-1,1}B.[—1,1]C.{-1,1,2}D.

例1-2|已知集合M={-2,-l,0,l,2},^={%|X2-X-2<0},則MC&N)=()

A.{-2,-1}B.{-2}C.{-1,0}D.{0}

【變式1-1】已知集合M={x|0<x<a},N={x|尤2—6X+5<。},若NM=M,則實數(shù)a的取值范圍

是()

A.[5,+oo)B.(5,+oo)C.[3,+oo)D.(3,+oo)

[無2_c+7>0

【變式1-2]解關(guān)于x的不等式組：,,■二

題型2解分式不等式、高次不等式

例2-1|(2025?上海浦東新?三模)設(shè)尤為實數(shù)，則不等式的解集是.

桃2-2|不等式(x+l)(x+2)(x+3)>26x—2的解集為.

【變式2-1]若集合A={xlX>3},B=UE|>O],則AB=()

A.{%I九>3}B.{x\x<-2\C.{%lx>3或xv_2}D.{%[%>4}

【變式2-2】已知集合4=卜/4。1,3={-3,-2,0,1,2,3},則AB=()

A.{-3,-2,0}B.{1,2}C.{1,2,3}D.{0,1,2)

2

【變式2-3]若“x34”是“一<1”的充分不必要條件，則實數(shù)左的取值范圍是()

x-1

A.[3,+00)B.(3,+oo)C.[l,+oo)D.(-oo,1]

【變式2-4】不等式％3+2無一3>0的解集為.

題型3解絕對值不等式

例3寸(2025?浙江?二模)已知集合”=卜€(wěn)72，<8}4={刈％-2|<2},則/N=()

A.{0,1,2,3}B.{1,2,3}C.{0,1,2}D.{1,2}

町可不等式做-2區(qū)7的解集是（）

A.[—2,7]B.C.[—1,2]D.[—2,3]

【變式3-1】不等式2k+2%|%-1上5成立的一個必要不充分條件是（）

8

A.x<-l^x>0B.x>0C.x<—或xNOD.x>l

3

【變式3-2】不等式|2x+[>x+3的解集是.

【變式3-3?變題型】對任意實數(shù)x,|x+l|+|3-x|的最小值為一.

題型4解含參數(shù)的一元二次不等式

例4-11對于給定的實數(shù)4,關(guān)于實數(shù)X的一元二次不等式a（x-a）（x+l）>0（aH0）的解集可能為（）

A.0B.{x|-l<x<o}C.{x\a<x<-\]D.{x|x（-l昵）a}

例4-21求下列關(guān)于x的不等式的解集:ar2+（2a-l）x-2<0（a<0）.

方法技巧分類討論技巧

解含參數(shù)的一元二次不等式：

（1）若二次項系數(shù)含有參數(shù)，則需對二次項系數(shù)大于0、等于0與小于。進行討論；

（2）若求對應(yīng)一元二次方程的根需用公式，則應(yīng)對判別式A進行討論；

（3）若求出的根中含有參數(shù)，則應(yīng)對兩根的大小進行討論.

【變式4-1】已知集合4={%|2%+3<5},B={x|x2_（2a+l）x+/+a<0},若8星A,則實數(shù)。的取值范圍

為（）

A.（-oo,-2]B.（-oo,-2）C.（-℃,0]D.（-8,0）

【變式4-2]解關(guān)于x的不等式依2+（2a+3）x+6>0（fleR）.

【變式4-3]解關(guān)于x的不等式：fa2-（a+2）x+2>0（aeR）.

【變式4-4】/(x)=rwc1+(1-m)x+m-2.

(1)若加>-l,求.+2m+5的最小值;

m+1

(2)解關(guān)于x的不等式/(%)<m-\.

題型5由一元二次不等式的解集求參數(shù)

例5-1已知不等式以2+獨-3>0的解集為{x|x>l或x<-3},則不等式—>0的解集為()

---------x+a

A.{x|-l<x<2}B.{x\-2<x<2}C.{x\x>2^x<-l]D.{x\x>l^x<-2]

酗可已知二次函數(shù)/(X)=加+6X+C,若不等式〃x)zo的解集為[T2],則函數(shù)g(x)=〃l-x)圖像為()

13

A.開口向上，對稱軸為苫=—的拋物線B.開口向上，對稱軸為x=：的拋物線

22

13

C.開口向下，對稱軸為x=]的拋物線D.開口向下，對稱軸為x=]的拋物線

【變式5-1]若關(guān)于x的不等式o?+(2q-1卜-2>0的解集是12,￡|,貝心的取值范圍是()

A.B.]-；,+001C.D.

【變式5-2]若關(guān)于x的不等式分2_依_1±0的解集為空集，則。的取值范圍是()

A.(-4,0)B.[yo]C.(T,o]D.[-4,0)

【變式5-3]已知函數(shù)的定義域「尸-4a<x<〃-8}是關(guān)于x的不等式(x+a+2)(x-2)>。的解集的

子集，則實數(shù)。的取值范圍是.

題型6由一元二次不等式解集中的整數(shù)個數(shù)求參數(shù)

例6-1醫(yī)于x的不等式?-2(m+l)x+47〃V0的解集中恰有4個整數(shù),則實數(shù)機的取值范圍是()

A.,g<x<3：B.|x|-<x<3j

C.l<x4—e}E).{1<xW—eWx<3

例亙?nèi)絷P(guān)于x的不等式f+（根+2）x+2根<。的解集中恰有兩個整數(shù)，則實數(shù)機的取值范圍是

【變式6-1］若關(guān)于x的不等式f-［曰+-%+1<0的解集中恰有3個整數(shù)，則正數(shù)。的取值范圍為（）

A.B.{〃［4<〃46}

C.一工a<—D.Ja—Wa<—<a<12，

123J124J

【變式6-2］若函數(shù)，（無）=1叱-/+（4+1》一4的定義域中恰有2個整數(shù)，則〃的取值范圍是.

【變式6-3】一施圉已知。>0,關(guān)于x的不等式尤2一依+640的解集中有且僅有3個整數(shù)”,n+1,

則〃=,。的取值范圍為.

題型7—元二次不等式的實際問題

例7-11常熟“叫花雞”,又稱“富貴雞”，既是常熟的特產(chǎn)，也是聞名四海的佳肴，以其鮮美、香噴、酥嫩著稱.

雙H^一購物節(jié)來臨，某店鋪制作了300只“叫花雞”，若每只“叫花雞”的定價是40元，則均可被賣出；若每

只“叫花雞”在定價40元的基礎(chǔ)上提高x（xeN*）元，則被賣出的“叫花雞”會減少5x只.要使該店鋪的“叫

花雞”銷售收入超過12495元，則該店鋪的“叫花雞”每只定價應(yīng)為（）

A.48元B.49元C.51元D.50元

例7-2W口圖,據(jù)氣象部門預(yù)報，在距離某碼頭南偏東45。方向400&km處的熱帶風(fēng)暴中心正在以20km/h的

速度向正北方向移動，距風(fēng)暴中心500km以內(nèi)的地區(qū)都將受到影響.以上預(yù)報估計，該碼頭將受到熱帶風(fēng)

暴的影響時長大約為h.

【變式7-1］在一個限速40km/h的彎道上，甲、乙兩車相向而行，發(fā)現(xiàn)情況不對同時剎車，但還是相碰了.

事故后現(xiàn)場勘查測得甲車的剎車距離略超過12m,乙車的剎車距離略超過10m,又知甲、乙兩種車型的剎

車距離s（m）與車速x（km/h）之間分別有如下關(guān)系：s甲=0.1x+0.01f,s乙=0。5尤+0,005尤?.則可判斷甲、乙兩

車的超速現(xiàn)象是（）

A.甲車超速B.甲車不超速C.乙車超速D.乙車不超速

【變式7-2】將進貨單價為80元的商品按90元一個售出時，能賣出400個，每漲價1元，其銷售量就減少

20個，為了使商家利潤有所增加(只考慮漲價的情況)，售價匕的取值范圍應(yīng)是.

【變式7-3】數(shù)字經(jīng)濟是以數(shù)據(jù)資源為關(guān)鍵要素，以現(xiàn)代信息網(wǎng)絡(luò)為主要載體，通過信息通信技術(shù)的融合應(yīng)

用推動全要素數(shù)字化轉(zhuǎn)型的新經(jīng)濟形態(tài)，在技術(shù)層面，包括大數(shù)據(jù)、云計算、物聯(lián)網(wǎng)、區(qū)塊鏈、人工智能、

5G通信等新興技術(shù)；在應(yīng)用層面，包括“新零售”、“新制造”、工業(yè)互聯(lián)網(wǎng)、元宇宙、無人駕駛等.現(xiàn)有一人

工智能企業(yè)生產(chǎn)制造人形機器人，每月的成本，(單位：萬元)由兩部分構(gòu)成：①固定成本：1000萬元；②

材料成本：［lOx+親］萬元，尤為每月生產(chǎn)人形機器人的個數(shù).

(1)該企業(yè)每月的產(chǎn)量為多少時，平均每個人形機器人的成本最低，最低為多少萬元？

(2)若每個人形機器人的售價為［23+［］萬元，假設(shè)生產(chǎn)出來的每個人形機器人都能夠售出，則該企業(yè)應(yīng)如

何制訂生產(chǎn)計劃，才能確保每月的利潤不低于400萬元？附：利潤=售價x銷量一成本.

題型8—元二次不等式的恒(能)成立問題

例8-1|若不等式的2+皿_4＜2/+2》對任意實數(shù)x均成立,則實數(shù)力的取值范圍是()

A.(—2,2)B.(—14,2)C.(-u［2,+oo)D.(—14,2］

例8-21已知"為實數(shù),集合A={x|0W尤W4}.

(1)若命題"IveAd-6x+〃zW0”是假命題，求實數(shù)機的取值范圍；

⑵若VxwA,無,2座_8恒成立，求實數(shù)加的取值范圍.

方法技巧恒(能)成立的處理方法

(1)一元二次不等式在R上恒(能)成立：一般用畫出圖象，結(jié)合根的個數(shù)和開口方向進行列不等式即可;

⑵分離參數(shù)法：一元二次不等式在區(qū)間上恒(能)成立，若能夠分離參數(shù)成左＜/(%)或左＞/(力形式,

則可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域求解.

舉例：若/(X)的最大值為M,最小值為機.

①左</(%)恒成立0左<〃2,k</(X)恒成立Q左

②女>/(X)恒成立Q左〉V,左之/(X)恒成立=左W.

③左</(%)能成立%<V,左W/(x)能成立=左<V

@k>f(%)能成立qk>m,左之/(x)能成立qk>m.

【變式8-1］(2025?山東?二模)己知不等式3f+g—2)x+420對任意的xe(O,y)恒成立，則實數(shù)。的最

小值為.

【變式8-2］已知命題*e(0,田)，彳尤2—4尤+2<0為真命題，求實數(shù)幾的取值范圍.

【變式8-3?變題型】已知a>0,6cR,若關(guān)于尤的不等式(依-2乂/+法一6)20在區(qū)間(0,+s)上恒成立,

則4a-6的最小值是()

A.2B.20C.3D.372

【變式8-4?變載體】已知關(guān)于x的方程3sin2x-2sinx+m=0在xe。鼻］上有解，則實數(shù)m的取值范圍

為.

題型9一元二次方程根的分布問題

府可若關(guān)于x的方程丁-2ax+a+2=0(awR)的兩個根網(wǎng),々都在區(qū)間(1,4)上，則a的值可以為()

|例9-21已知函數(shù)〃x)=*+23+2力計3在區(qū)間(0,2)內(nèi)有零點,求實數(shù)加的取值范圍是.

【變式9-1】已知方程4/+(加—2)x+(〃z—5)=0有一正根一負根，且正根絕對值大于負根絕對值，求實數(shù)

的取值范圍.

【變式9-2]若關(guān)于x的一元二次方程（加-1）幺+2（m+1卜-加=0兩根都小于1,求實數(shù)機的取值范圍.

【變式9-3】已知集合4=卜卜2+（2-m）犬+3-m=0},集合八環(huán)9},BcA.

⑴若其+芯=6,求實數(shù)加的值；

（2）若0＜玉＜尤2＜2,求實數(shù)優(yōu)的取值范圍.

04

真題溯源-考向感知

1.（2023?新課標(biāo)I卷?高考真題）已知集