第1章《三角形》單元測(cè)試卷

一、選擇題（本題共10小題，每小題4分，共40分.）

1.三根底端對(duì)齊的小棒中有一根被擋板遮住了，它們的長(zhǎng)度如圖所示.若三根小棒可以圍成

三角形，則第三根小棒的長(zhǎng)度可以是)

A.2B.3C.4或5D.6

2.在AABC中，有下列四個(gè)命題：

①如果AB=AC,那么NC=N3；②如果NC=N3,那么AB=AC；

③如果AB>AC,那么NC>ZB；④如果NC>/3,那么AB>AC.

其中，真命題的個(gè)數(shù)有（）.

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

3.下列條件中不能說(shuō)明三角形是等腰三角形的是（）

A.有兩個(gè)內(nèi)角分別是7。。,40。的三角形

B.有一個(gè)角為45。的直角三角形

C.一個(gè)外角是130。，與它不相鄰的一個(gè)內(nèi)角為50。的三角形

D.有兩個(gè)內(nèi)角分別是70。,50。的三角形

4.如圖，AABC的三邊AB,BC,C4的長(zhǎng)分別為8,10,12,其三條角平分線將AABC分為三

個(gè)二角形，則S△四0:S^BCO:S^AOC等于（）

A.1:1:1B.2:3:4C.4:5:6D.4:10:6

5.如圖，點(diǎn)夕為等邊△ABC的邊A3上一點(diǎn)，0為8C延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，PA=CQ,連接PQ交AC于

D,若CD=3,BQ=IO,則R4的長(zhǎng)為()

6.如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC,AD=CD,我們把這種兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做

“箏形”，箏形ABCO的對(duì)角線ACBD相交于點(diǎn)0.已知NADC=120。，NABC=60。，小嬋同學(xué)得

到如下結(jié)論：①△ABC是等邊三角形；②BD=2AD；③/邊形小=AC?即；④點(diǎn)以及分別在線

段上，且NMZW=60。，則MN=AM+CW,其中正確的結(jié)論有（）

A.①②③B.①③④C.①②④D.②③④

7.如圖等邊AABC中，點(diǎn)〃￡為線段3C、AC上動(dòng)點(diǎn)且BD=CE,連接AD、BE交于點(diǎn)Q連接

CP,下面結(jié)論：①鉆。空3CE;②ZAFB=120。；③若3D=CD,則；④若ZAFC=90。，

則AF=3BF.其中結(jié)論正確的有（）

8.如圖，在AABC中，三條角平分線BE、CRAD交于點(diǎn)0,交于點(diǎn)〃，兩個(gè)外角角平

分線BM、CM交于點(diǎn)M,BE延長(zhǎng)線交CM反向延長(zhǎng)線于點(diǎn)N.則下列結(jié)論中：①Q(mào)D平分―BOC；

②當(dāng)ZB4C=60。時(shí)，BC=BF+CE-（3）ZDOH=ZOCB-ZOBC；；?ZBOC-ZM=2ZN-⑤

SABC=^OHCAB+BC+AC）.@BH=^AB+BC-AC）,其中正確個(gè)數(shù)有（）

A.3個(gè)B.4個(gè)C.5個(gè)D.6個(gè)

9.如圖，在AABC中，NBAC和—ABC的平分線AE,即相交于0,AE交2C于E,正交AC于

F,過(guò)點(diǎn)。作813c于。，下列結(jié)論中：①402=90。+：/。；②當(dāng)NC=60。時(shí)，AF+BE=AB-

③OE=OF；@^AB+BC+CA=18,S4ABe=X1,則。。=3,正確的是（）

A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④

10.如圖，在等腰AABC與等腰AADE中，AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=a,連接BD和CE

相交于點(diǎn)尸，交AC于點(diǎn)交AD于點(diǎn)N.下列結(jié)論：①BD=CE；②N3PE=180。-2a；③AP

平分ZBPE；④若a=60。，則尸E=AP+P￡>.其中一定正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

二、填空題（本題共8小題，每小題4分，共32分.）

11.如圖，為了促進(jìn)當(dāng)?shù)芈糜伟l(fā)展，某地區(qū)要修建一個(gè)度假村.要使這個(gè)度假村到三條公路的

距離相等，這個(gè)度假村的選址有處可供選擇.

b

12.如圖，在AABC中，AB=AC.若添加一個(gè)條件可判定AABC為等邊三角形，則添加的條

件可以是.

13.如圖所示，在四邊形ABCD中，AB//CD,ZB=90。,AD=2AB,尸為山）的中點(diǎn)，連接CP,

若ZA=74。，則NDCP的度數(shù)為°.

14.如圖，C￡＞是AABC的中線，BC=9,AD=4,若，ACD的周長(zhǎng)比△BCD的周長(zhǎng)小4,則AABC

的周長(zhǎng)為.

15.如圖，在△ABC中，邊的垂直平分線DE分別與邊AB,AC交于"￡兩點(diǎn)，邊BC的垂

直平分線FG分別與邊2C,AC交于凡G兩點(diǎn)，連接班，BG.若BEG的周長(zhǎng)為32,AC=22,

則宓的長(zhǎng)為.

B

16.如圖，在Rt△ABC中，NBAC=90。,a＞是AABC的角平分線，AELCD于點(diǎn)E,連接班，AB=6,

AC=8,3c=10,則ABE的面積是

A

D,

17.如圖，在四邊形ABCD中，AD=AB,ABAD=2a,NC=180。-21,點(diǎn)反尸分別在邊3C、CD

上，連接AE、AF,EF,ZEAF=a,過(guò)點(diǎn)4作AH，3c于點(diǎn)〃，若BE+DF=9,AH=6,則五

邊形ABEFD的面積為.

18.如圖，AABC為等邊三角形，AB=4,AD23C,點(diǎn)E為線段仞上的動(dòng)點(diǎn)，連接CE,以CE

為邊作等邊連接DP,則線段。尸的最小值為.

三、解答題（本題共8小題，共78分。其中：19-20題8分，21-24題每題10分，25-26題

每題11分.）

19.(1)如圖(1),在AABC中，已知AB>AC.

①求證NC>/3;②若。是BC邊的中點(diǎn)，連接AD,求證/54D</C4D.

（2）如圖（2）,在△ABC中，已知AB=AC,且。是AABC內(nèi)的一點(diǎn)，,求證.

圖⑴

20.如圖，等腰AABC中，AB=AC=5,BC=6.用無(wú)刻度直尺和圓規(guī)完成下列作圖任務(wù)，保留作

圖痕跡（鉛筆作圖）.（1）作線段A3的垂直平分線MN交BC于點(diǎn)E；（2）作NABC的角平分線3尸

交AC于點(diǎn)尸；（3）△AEC的周長(zhǎng)是

21.已知：在AABC中，ZC>ZB,AE平分/A4c交BC于點(diǎn)E.

（1）如圖①，AD23c于點(diǎn)。，若47=60。,46=30。，求一ZMS的度數(shù)；

⑵如圖①，AD上3C于點(diǎn)。，若4B=a/C=/3,求的度數(shù)（用含％〃的式子表示）；

⑶如圖②，在AABC中，AD上3c于點(diǎn)O,尸是AE上的任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A,E重合），過(guò)點(diǎn)

尸作FGLBC于點(diǎn)G,且/3=30。,/。=80。，請(qǐng)你運(yùn)用（2）中的結(jié)論求出NEFG的度數(shù)；（4）在

（3）的條件下，若點(diǎn)尸在AE的延長(zhǎng)線上（如圖③），其他條件不變，則NEPG的度數(shù)會(huì)發(fā)生改

變嗎？說(shuō)明理由.

22.如圖，在AABC中，。為BC的中點(diǎn)，DE，3c交/B4c的平分線AE于E,EFJLAB于尸，

EG,AC交AC延長(zhǎng)線于G.⑴求證：BF=CG.⑵猜想A3、AC、AF的數(shù)量有什么關(guān)系？并

證明你的猜想；（3）若AB=10cm,AC=6cm,則3尸=cm.

23.在△ABC中，幺〃是角平分線.

(1)如圖1,DE.LAB,DFJ.AC.已知AB=6,AC=4,S^ABC=W,求。E的長(zhǎng);

(2)如圖2,求證：*=黑；

ACCD

⑶如圖3,CA=CB,BD=m,CD=n.若NACB=108°,求證：rrr-n^mn.

F

24.如圖①，在AABC中，ZACB=90a,AC=BC,過(guò)點(diǎn)。在AABC外作直線1,AM，/于點(diǎn)必BNLI

于點(diǎn)N.

MC

ADB

圖①圖②圖③

(1)試說(shuō)明：MN=AM+BN；(2)如圖②，將(1)中條件改為N/4T>C=NCE3=NACB=a

（90°<cr<180°）,AC=BC,請(qǐng)問(wèn)（1）中的結(jié)論止=AD+3E是否還成立？請(qǐng)說(shuō)明理由.（3）如

圖③，在△ABC中，點(diǎn)〃為A3上一點(diǎn)，DE=DF,ZA=ZEDF=ZB,AE=3,BF=5,請(qǐng)直接

寫出AB的長(zhǎng).

25.綜合與實(shí)踐

【問(wèn)題提出】（1）如圖①，在AABC中，AB=AC,點(diǎn)P為AABC外一點(diǎn)，點(diǎn)M為所延長(zhǎng)線上

一點(diǎn)，點(diǎn)N為線段PC上一點(diǎn)，產(chǎn)于點(diǎn)"、耳，。于點(diǎn)"，且/4CP=NABP.則猜想并

證明PM,PB,CN之間的數(shù)量失系.（2）如圖②，已知等邊三角形ABC及△ABC外一點(diǎn)。，

連接D4,DB,DC.若"）3=60。，試判斷AD,CD,5。之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

【問(wèn)題解決】（3）如圖③，在△ABC中，AB=AC,點(diǎn)E為△ABC外一點(diǎn)，且/應(yīng)由=3/E4C=60。，

ZEBC=30°,直接寫出NAEC的度數(shù).

26.【背景問(wèn)題】：老師提出了如下問(wèn)題：

如圖1,在AABC中，AD是邊上的中線，AB=3,AD=2,若AC邊的長(zhǎng)度為奇數(shù)，求AC的

長(zhǎng).

小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法：延長(zhǎng)AD至點(diǎn)反使AD=DE,連接BE.由

已知和作圖能得到一EDB空ADC,所以AC=3E.

(1)請(qǐng)根據(jù)小明的方法思考，直接寫出AC可能的長(zhǎng)=(寫一個(gè)即可)；

【感悟方法］題目中出現(xiàn)“中點(diǎn)”、“中線”等條件，可考慮延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形，把分

散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個(gè)三角形之中.

(2)如圖2,AD是AABC的中線，BE交AC于E,交AZ)于F,AC=BF.探究N⑷叨與NE4F

的關(guān)系，并說(shuō)明理由.

【深入探究工(3)如圖3,在AABC和一CDE中，CA=CB,CD=CE,且ZACB=NOCE=90。，

Q

連接AD、BE,0為4。中點(diǎn)，連接QC并延長(zhǎng)文BE于4CQ=-,CK=3,則SBCE=.

參考答案

一、選擇題

1.C

【詳解】解：有圖可知，一根小棒的長(zhǎng)度為10,一根小棒的長(zhǎng)度為7,

設(shè)第三根小棒的長(zhǎng)度是x,若三根小棒可以圍成三角形，

則由三角形三邊關(guān)系可知10-7<x<10+7,即3Vx<17,再由圖中擋板高度為5,則3<x<5,

結(jié)合四個(gè)選項(xiàng)可知，第三根小棒的長(zhǎng)度可以是4或5,故選：C.

2.A

【詳解】解：命題①：若A?=AC,則AABC為等腰三角形，，底角NC=N3,故正確.

命題②：若NC=NB,由等角對(duì)等邊可知AB=AC,故正確.

命題③：若A?>AC,根據(jù)大邊對(duì)大角定理，A3對(duì)的角NC大于AC對(duì)的角故正確.

命題④：若NC>NB,根據(jù)大角對(duì)大邊定理，/C對(duì)的邊AB大于NB對(duì)的邊AC,故正確.

綜上，四個(gè)命題均為真；故選：A.

3.D

【詳解】解：A:兩內(nèi)角是70。,40。，第三角為180。-70。-40。=70。，存在兩個(gè)70。的角，故為等腰

三角形，不符合題意；

B:直角三角形中一個(gè)角為45。，則另一銳角為45。，兩角相等，故為等腰直角三角形，不符合

題意；

C:外角130。對(duì)應(yīng)內(nèi)角為50。，與它不相鄰的內(nèi)角為50。，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，另一不相鄰

內(nèi)角為130。-50。=80。，此時(shí)三角形內(nèi)角為50。、50。、80。，存在兩角相等，故為等腰三角形，不符

合題意；

D：兩內(nèi)角為70。、50。，第三角為180。-70。-50。=60。，三角均不相等，無(wú)法構(gòu)成等腰三角形，符

合題意；

故選：D.

4.C

【詳解】解：二?三條角平分線將AABC分為三個(gè)三角形，

二。到△ABC的三邊AB,BC,6的距離相等，設(shè)為M

又AABC的三邊AB,BC,C4的長(zhǎng)分別為8,10,12,

...SAAB0:SABC0:SAA0C=JAC“7=AB:BC:AC=4:5:6故選：C.

5.A

【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)尸作P廠3c交AC于點(diǎn)月ABC是等邊三角形，N3=ZACB=60。,

PFBC,ZAPF=ZB=60°,ZAFP=ZACB=60°,ZAPF=ZAFP=60°,.1AAP尸是等邊三角

形，:.ZAPF=ZBCA=60°,AP=PF=AF=CQ,:.ZDFP=ZDCQ,ZFDP=ZCDQ,

ZPDF=ZQDC

在AP￡＞尸和一QDC中，＜ZDFP=ZQCD:.PDF,QDC(AAS),：.FD=CD,

PF=QC

設(shè)AP=x,則有4尸=尸尸=＜^。=》，CD=3,:.DF=3,CF=CD+DF=6,

BC=AC=6+x,;.8Q=3C+CQ=6+2尤,BQ=10,;.6+2元=10,

解得：x=2,即B4=2,故選：A.

6.C

【詳解】解：.AB=BC,ZABC=60。，，是等邊三角形，故結(jié)論①正確；

AD=CD,AB=BC,BD=BD,ABD^CBD(SSS),

:.ZDAB=Z.DCB,NABD=ZCBD=；NBC=gx60。=30°,

ZDAB+ZDCB=360°-(ZADC+ZABC)=260°-(120°+60°)=180°,

/IMS=/DCS=90。，.IBD=2AD,故結(jié)論②正確；

ABC是等邊三角形，ZABD=ZCBD=^ZABC,.?.%＞垂直平分AC,

二S四邊形=S”+SCBD;AO+gCO=；AO+CO)=；AC?9,故結(jié)論③錯(cuò)誤;

如圖，延長(zhǎng)BC到E,使CE=AM,連接DE,

ZDAB=NDCB=90°,/.Z.DCE=180°-Z.DCB=90°,ADAM=ZDCE,

AD=CD

在ADAM和4DCE中<ADAM=ZDCE,DAM嗎DCE(SAS)，,ZADM=/CDE,DM=DE,

AM=CE

ZADC=120°,ZMDN=60°,ZADM+ZCDN=ZADC-ZMDN=60°ZCDE+ZCDN=ZEDN=60°,

DM=DE

在AMDN和△￡ZW中"ZMDN=ZEDN，,MDNMEDN(SAS),;.MN=EN=CN+CE,

DN=N

.?.MN=AM+CN,故結(jié)論④正確；綜上所述，正確的結(jié)論有①②④，故選：C.

7.C

【詳解】解：:△ABC是等邊三角形，?.AB=AC=BC,ZABC=ZACB=ABAC=60°,

*/BD=CE：.ABD^.BCE(SAS),故①正確，/.ZBAD=NCBE,

：.ZAFE=/BAD+/ABE=ZCBE+ZABE=ZABC=60°,/.ZAFB=180°-ZAFE=120°,故②正確,

VBD=CD,BD=CE,，點(diǎn)以￡為3。、4。的中點(diǎn)，

ABC是等邊三角形，二BE、AD是3C、AC的垂直平分線，/.FA=FB=FC,故③正確，

過(guò)點(diǎn)2作AGL3E于G,VBD=CE,BC=AC,：.CD=AE,

AB^AC

在一ABE和八4￡>。中，-ZBAC=ZACB,；.ABERCAD(SAS),?.BE=AD

AE=CD

?：ZAFC=90°,AG±BE,：.AG.CF是助和AD邊上的高，AG^CF,

jAB=AC

在RSABG和RtAAC/中，《一，RtABGZRtCFA(HL),：.AF=BG,

[AG=CF

'：AG±BE,ZAFE=60°9：.ZFAG=30°,：.AF=2FG,：.BG=2FG,：.BF=FG,

：.AF=2BF,故④錯(cuò)誤，綜上所述：正確的結(jié)論有①②③，共3個(gè)，故選：C.

8.C

【詳解】解：若OD是N3OC的平分線，則N3OD="OC,；40是/3AC的平分線，二

ZBAD=ZCAD.

"：ZBOD=ABAD+Z.OBA,Z.DOC=NDAC+ZACO,?.ZOBA=ZOCA,

*/2。,。。分別是ZABC,ZAC3的角平分線，ZABC=ZACB,

：.AB=AC,這與AB與AC不一定相等矛盾，不一定是23OC的平分線，故①不正確;

當(dāng)NA4c=60。時(shí),在2C上截取也=3/，連接O/,如圖:

"?ZOBC+ZOCB=a80°-ABAC)-2=60°,/.ZBOC=120°,

：./EOF=ZBOC=120°,：.ZAFO+ZAEO=180°,:NCEO+ZAEO=180°,/CEO=ZAFO,

BI=BF

在△03/和-O所中，OBI=ZOBF,：.OBI沿aOBF(SAS),/.ZOIB=NOFB,

OB=OB

：.180°-ZOffi=180°-ZOFB,即/CIO=ZAFO,ZCIO=ZCEO,

ZICO=NECO

在△C7O和11cEO中，\OC=OC,；.C/g&CEO(ASA),CI=CE,

ZCIO=ZCEO

VBC=BI+CI,：.BC^BF+CE,故②正確；

如圖：,/OHLBC千H,：.ZOHD=90°,

ZDOH=90°-Z.ODH=90°-(ABAD+ZABO=90°-ABAD-AABC,

ABAD=|ABAC=1(180°-ZABC-ZACB),：.ZDOH=90°-1(180°-ZABC-AACB)-ZABC

=|ZACB-1ZABC=ZOCB-ZOBCC=ZOCB一ZOBC,故③正確；

,/BN平分/ABC,平分NPBC,/.ZMBN=ZMBC+NNBC=(/PBC+ZABC)=90°,

/.ZM=90°-AN-同理可得NMCO=90°,ZCON=90°—NN,：.ZM+ACON=l80°-2ZN,

而NCON=18()o-/3OC,ZM+180°-ZfiC>C=180o-2ZN,ABOC-ZM=2ZN,故④正確；

?二△ABC三條角平分線BE、CF、仞交于點(diǎn)0,OHIBC,二。到AB,AC的距離都等于OH,

：.SABC=StAOB+SBOc+SCOA=^AB-OH+^BC-OH+^AC-OH=^OH(AB+BC+AC),故⑤正確；

過(guò)。作※，神于“，OTLAC于T,如圖：

VBK+AK=AB,BH+CH=BC,AT+CT=AC,；.(BK+AK)+(BH+CH)—(AT+CT)=AB+BC—AC,

：.(BK+BH)+(AK-AT)+(CH-CT)=AB+BC-AC,由角的對(duì)稱性可知，

BH=BK,AK=AT,CT=CH,

：.2BH=AB+BC-AC,：.BH=^(AB+BC-AC),故⑥正確；

正確的有：②③④⑤⑥，共5個(gè)；故選：C.

9.D

【詳解】解：和/ABC的平分線AE,8尸相交于。，；.ZOAB=^ZBAC,ZOBA=^ZABC,

：.ZAOB=180°-(ZQ4B+ZOBA)=180°-(；/A8C+；/BAC)=180。-'/48。+/a4口

=180°-(180°-ZC)=180°-90°+1ZC=90°+1ZC,則結(jié)論①正確；

ZC=60°,?.ZAOB=90°+1x60°=120°,ZBOE=ZAOF=180°-120°=60°,

如圖，在A3上取一點(diǎn)“，使得BH=BE,連接OH,

AAA

,.,/R4c和/ABC的平分線A￡,戰(zhàn)相交于。，ZOBH=ZOBE,ZOAH=ZOAF,

BH=BE

在△03"和△Q3E中，\ZOBH=ZOBE9，OBgOBE（SAS）,

OB=OB

：.ZBOH=ZBOE=60°,：.ZAOH=ZAOB-ZBOH=60°,ZAOH=ZAOF=60°,

ZAOH=ZAOF=60°

在△AO”和49/中，<OA=OA,I..AOH咨.AOF（ASA）,

ZOAH=ZOAF

：.AH=AF,：.AF+BE=AH+BH=AB,則結(jié)論②正確；

如圖，過(guò)點(diǎn)。作于點(diǎn)作ONLAC于點(diǎn)N,

?.,/A4C和—ABC的平分線跖相交于。，OD.LBC,

：.OD=OM=ON9NOBE=；NABC,ZOAF=^ZBAC,假設(shè)O石二。尸，

,“.[OE=OF/、

在RtZkOD石和RtzXCWF中，｛"―新，；，RtODE~Rt°^（^）,：./OED=/OFN,

?；ZOED=ZOBE+ZBOE,ZOFN=ZOAFZAOF,ZBOE=ZAOF,：.ZOBE=ZOAF,

：.ZABC^ZBAC,由已知條件不能得出這個(gè)結(jié)論，，假設(shè)不成立，即結(jié)論③錯(cuò)誤；

如圖，過(guò)點(diǎn)。作于點(diǎn)作QNLAC于點(diǎn)N,連接OC,

,**^AABC—SOAB+SOBC+SOAC=27,OM-LAB,ON_LAC,ODJ-BC,

：.^AB-OM+^BC-OD+^AC-ON=T1,由上已得：OD=OM=ON,

1111,、

：.-ABOD+-BCOD+-ACOD=T/,-（AB+BC+AC\OD=Z1,

VAB+BC+CA^18,!xl8Or>=27,0D=3,則結(jié)論④正確；

綜上，結(jié)論正確的是①②④，故選：D.

10.C

【詳解】解：：ZBAC=NZME=6Z,;.ZBAD=/CAE,

VAB=AC,AD=AE,：.4BAD^CAE(SAS),BD=CE,故①正確;

過(guò)點(diǎn)A作于//,AF_LCE于F，

VBAD^CAE,：.S^BAD=S^CAE,BD=CE,：.^BDAH=^CEAF,：.AH=AF,

VAH1BD,AF±CE,：.AP平分NBPE,故③正確；

VZBDA=ZCEA,ZPND=ZANE,：.Z.NPD=Z.DAE=a,

：.ZBPE=1800-ZAY>Z)=180o-a,故②錯(cuò)誤；在線段CE上截取OE=PD,連接AO,

,；[BAI汪CAE,：.ZBDA=Z.CEA,VOE=PD,AE=AD,.?.一AOE四.APD(SAS),

AP=AO,由②得NBPE=180?！猌NP￡>=180?！?，ZBPE=120°,

?.?”平分/即石，/.ZAPO=60°,VAP=AO,，AAPO為等邊三角形，AP=PO,

VPE=PO+OE,OE=PD,：.PE=PA+PD,故④正確；綜上，正確的結(jié)論有3個(gè)，故選：C.

二、填空題

11.4

【詳解】解:如圖,

三角形內(nèi)角平分線的交點(diǎn)〃和外角平分線的三個(gè)交點(diǎn)4&C,共4處可供選擇.故答案為:

4.

12.AC=BC（答案不唯一）

【詳解】解：①當(dāng)AC=3C或AB=3C時(shí)，：AB=AC,，AC=AS=3C,即AABC是等邊三角形;

②當(dāng)ZA=60?；?8=60。或NC=60。時(shí)，VAB^AC,：.△ABC是等邊三角形；

故答案為：AC=BC（答案不唯一）

13.53

【詳解】解：連接3尸并延長(zhǎng)交C。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)瓦：點(diǎn)夕為AD的中點(diǎn)，，”=尸。,

,JAB//CD,ZABC=90°,NPAB=ZPDE,ZPBA=APED,/BCD=180°-ZABC=90°,

ABP空DEP（AAS）,AB=DE,PB=PE,ZPDE=ZA=74°,

VAD=2AB,AD=2PD,：.AB=PD,:.DE=PD,ZE=ZDPE=180~^PDE=53°,

VZBCD=9Q°,PB=PE,：.PC=^BE=PE,：.ZDCP=ZE=53°,故答案為：53.

14.22

【詳解】解：：CO為△ABC的A3邊上的中線，ABD=AD=4,：.AB=BD+AD=8,

'：ACD的周長(zhǎng)比△BCD的周長(zhǎng)小4,：.（BC+BD+CD）-（AC+AD+CD）=4,：.BC-AC=4,

VBC=9,：.AC=5,「.△ABC的周長(zhǎng)為AB+BC+AC=8+9+5=22,故答案為：22.

15.5

【詳解】解：DE是邊的垂直平分線，F(xiàn)G是BC邊的垂直平分線，=GB=GC,

3EG的周長(zhǎng)為32,:.GB+EB+GE=32,EA+GC+GE=32,

SPAG+GE+GC+GE=AC+2.GE=32,AC=22,GE=（32-22）^2=5.故答案為：5.

⑹y

【詳解】解：延長(zhǎng)AE交BC于點(diǎn)尸，作A",8c與點(diǎn)M,如圖所示，

---AE±CD,CD是△ABC的角平分線，ZAEC=ZFEC=90°,ZACE=ZFCE,

ZAEC=ZFEC

在△AEG和-FEC中，＜EC=EC,_AEC學(xué)、FEC(ASA),,\AE=EF,FC=AC9

NACE=NFCE

ABAC=9009AB=6,AC=8,BC=10,?.BF=BC-FC=BC-AC=10-8=29

01――……ABAC6x82401“…1。2424

S——AB,AC——BC?AA/,AM=-----------=------=—,S=—BF,AA/=—x2x—

ABRCr22BC105AARBFF225y

c1r，12412J_LM12

AE=EF,SABE=—SABF=—x—=—,故答案為：—.

17.54

【詳解】解：???ZBAD=2a,?,?將△AD9繞點(diǎn)4順時(shí)針旋轉(zhuǎn)2a至的位置，

^ADF^ABG,：.AF^AG,ZABG=ZD,/DAF=/BAG,DF=BG,

又二ZC=18O0-2a,ZBAD+ZC=2a+180°-2a=180°,

'：ZD+ZABC+ZBAD+ZC=360°ZD+ZABC=180°,

9：ZABG=ZD,：.ZABG+ZABC=180°,?,?點(diǎn)G、B、夕在一條直線上，

?：BE+DF=9,：?EG=BE+GB=DF+BE=9.：?ZGAE=ZGABZEAB=ZDAF+ZEAB==ZEAF.

AF=AG

在&U國(guó)與.AGE中，ZGAE=ZEAFAFE^AGE(SAS),S”=S曲，

AE=AE

ADF=..ABG,?i-SADF=SABG,..S五邊形人班9=S四邊形會(huì)所+SADF=S四邊形"稗+SABG

~S四邊形AGEF=SAGE+S.AEF=2sAGE=2x-AH-GE=2x—x6x9=54.

18.1

【詳解】解：如圖，連接卸":△ABC為等邊三角形，AB=4,AD1BC,

BC=AC=AB=4,BD=CD=LBC=2,ABAC=ZACB=60°,ZC4E=30°,

2

：為等邊三角形，:.CF=CE,ZFCE=60。，:.NFCE=ZACB,：.ZBCF=ZACE,

BC=AC

在ABCF和AACE中，，NBCF=NACE,,3CF烏ACE(SAS),NC3尸=NC4￡=3O。，BF=AE,

CF=CE

.?.當(dāng)歷時(shí)，線段。廠的值最小，此時(shí)/3ED=90。，/CB尸=30。，/.DF=|fiD=l,故答案

為：1.

三、解答題

19.(1)①在AABC中，已知AB>AC,根據(jù)三角形中大邊對(duì)大角的定理：在一個(gè)三角形中，

如果兩條邊不相等，那么它們所對(duì)的角也不相等，大邊所對(duì)的角較大.

AB>AC,:"C>NB

②延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E,使QE=AD,連接CE,

D是BC邊的中點(diǎn)，:.BD=CD,又ZADC=NBDE,:.AADgAEDB,:.AC=BE,NE=NCAD

又AB>AC,:.AB>BE,:.ZE>ZBAE,:.ZBAD<ZCAD；

(2)將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使A3與AC重合，得到八48"則11AB*

AD=AD',BD=CD；ZADB=ZAD'C,

.NADB>NADC,:.ZAiyC>ZADC,設(shè)DD與AC交于點(diǎn)0,

AD=AD',:.ZADO=ZAiyO,ZADC-ZADO<ZAD'C-ZAD'O

:.ZD'DC<ZDD'C,在.?！?gt;C中，DC>CD',:.DC>DB

20.(1)解：如圖，直線MV,點(diǎn)￡即為所求.

E

必

(2)解:如圖，射線板即為所求.

(3)解：垂直平分AB,AE=BE,

△AEC周長(zhǎng)為4C+怎+9=/C+9+A?=4C+瓦:=5+6=11.故答案為：11

21.(1)解：：在AABC中，ZB+ZC+ZBAC=180°,ZBAC=1800-ZB-ZC,

,：AE平分23AC,/胡石=/04石=：/24。=3(180。-22-NC)=90。一g(ZB+NC),

ADJ.BC,：.ZADC=90°,：.ZDAC=90°-ZC,

：.ZDAE=ZCAE-ADAC=90°-1(ZB+ZC)-(90°-ZC)=1(ZC-ZB),

當(dāng)NC=60。,NB=30。時(shí)，ZDAE=(60°-30°)=15°；

11

(2)由(1)可知，NDAE=3(NC-NB),.?.當(dāng)/3=%NC=6時(shí)，ZDAE=-^-a)；

(3)VZZ)AE=1(ZC-ZB),而ZB=30°,NC=80°,/.ZDAE=1x(80°-30°)=25°,

,?ADIBC,FGLBC,：.FG//AD,：.NEFG=NEAD=25°；

(4)NEFG的度數(shù)大小不發(fā)生改變.理由如下：

VADJ.BC,FGLBC,：.FG//AD,:.NEFG=NEAD=25。.

22.(1)證明：如圖，連接BE、EC,VED1BC,。為BC中點(diǎn)，ABE=EC,

VEF±AB,EGLAG,且AE平分ZE4G,:.FE=EG,

在RtABfE和RtACGE中，＜.二Rt.CGE(HL),?.BF=CG；

\EF-EG

(2)解：2AE=AB+AC,證明如下：在RtA￡F和RtZXAEG中，

[AE=AE,.,

b，：.RtAEF也RtAEG(HL),AF=AG,由(1)知3F=CG,

\EF=EG

：.AB+AC=AF+BF+AG-CG=2AF.即2AF=AB+AC；

(3)解：由(2)^H2AF=AB+AC,'：AB=10cm,AC=6cm,2AF=10+6=16(cm),

/.AF=8cm,BF=AB-AF=10-8=2(cm),故答案為：2.

23.(1)解：：在AABC中，49是角平分線，DEJ.AB,DF1AC,：.DE=DF,

"AB=6,AC—4,5AABC=10,..SAABC=+SAADC=—AB-DE+—AC-DF=10,

—(AB+AC)-DE=10,DE=DF=2；

(2)證明：如圖，作/)￡145,DFJ.AC,AGLBC,

：.SAAnc=-AGCD=-ACDF,S..Kn=-ABDE=-AGBD,

:在AABC中，49是角平分線，DEJ.AB,DF1AC,：.DE=DF,：.SAABD=^ABDF=^AGBD,

q-ABDF-AGBD

?、AABD_22ABBD

,△ADC-ACDF-AGCD~AC~~CD

22

(3)解：如圖，在A3上取點(diǎn)￡,使AE=AC,作ZED3的角平分線。尸交AB于尸點(diǎn),

在AABC中，CA=CB,ZACB=108°,.\ZCAB=ZCBA=36°,

.?."＞是-54(7角平分線，，NO。=ZDBA=18。

X'.AE=AC,AD=AD,：.AED^ACD(SAS),:.DE=CD=n,ZAED=ZACB=1QS°,

ABED=180°-ZAED=72°,?.ZEDB=1800-ZBED-ZB=12°,:.BE=BD=m,

又，DF是NEDB角平分線,ZBDF=ZEDF=|ZBDE=36°/.ZB=ZFDB=36°,

:.BF=DF,ZDFE=ZB+ZFDB=72°=ZFED,:.ED=DF,

:.BF=FD=ED=DC=n,：.EF=BE-NF=m-n

￡＞歹是ZED3角平分線，由(2)可得ED:BD=EF:BF,即〃:機(jī)=(%-〃):〃，

n2=m(m-n),整理得：苻-，=m.

24.(1)解：ZACB=90°,ZACM+ZACB+ZBCN=180°,ZACM+ZBCN=90°,

'：AM±1,BN11,：.ZAMC=ZBNC=9Q°：.ZMAC+ZACM=90°：.ZMAC=ZBCN,

又AC=BC,:.ACM.CBN(AAS),:.AM^CN,BN=CM,

MN=CM+CN,：.MN=AM+BN；

(2)DE=AD+BE成立,理由：ZACD+ZACB+ZBCE=180°,ZADC=ZACB^a,

ZADC+ZZMC+ZACD=180°:"BCE=NDAC,

又；AC=BC,ZADC=ZCEB=a,：.ACD^CBE(AAS),:.AD=CE,CD=BE,

又DE=DC+CE,：.DE=AD+BE；

(3)ZA=/EDF,ZA+ZAEZ)+ZADE=180°,AADE+AEDF+ZBDF=180°,:.ZAED=ABDF,

又DE=DF,ZA=ZB,■■AED^BDF(AAS),