第13講橢圓

目錄

第13講橢圓..................................................................................1

一、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程............................................................................2

基礎(chǔ)知識...................................................................................2

考點1橢圓定義...........................................................................3

考點2曲線方程與橢圓.....................................................................5

考點3求解橢圓方程.......................................................................6

考點4橢圓的動點軌跡方程.................................................................7

二、橢圓的焦點三角形.........................................................................10

基礎(chǔ)知識..................................................................................10

考點5橢圓中的焦點三角形................................................................10

三、橢圓的簡單幾何性質(zhì).......................................................................13

基礎(chǔ)知識..................................................................................13

考點6由橢圓的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程.......................................................14

考點7橢圓的焦距與長軸、短軸...........................................................16

考點8橢圓的離心率......................................................................18

考點9由橢圓的離心率求參數(shù)..............................................................20

考點10橢圓中的最值.....................................................................22

考點11橢圓的實際應(yīng)用問題...............................................................24

四、課后作業(yè)..................................................................................28

單選題....................................................................................28

多選題....................................................................................31

填空題....................................................................................32

解答題....................................................................................33

一、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

基礎(chǔ)知識

1.橢圓的定義

(1)定義：平面內(nèi)與兩個定點7的距離的和等于常數(shù)(大于衣尸2|)的點的軌跡叫作橢圓.這兩個定點叫

作橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫作橢圓的焦距.

⑵橢圓定義的集合表示P=嚴(yán)叱+S=2“⑹四｝.

2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與其在坐標(biāo)系中的位置的對應(yīng)關(guān)系：

3.橢圓方程的求解

(1)用定義法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

根據(jù)橢圓的定義，確定I，/的值，結(jié)合焦點位置可寫出橢圓方程.

(2)用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

①如果明確了橢圓的中心在原點，焦點在坐標(biāo)軸上，那么所求的橢圓一定是標(biāo)準(zhǔn)形式，就可以利用待

定系數(shù)法求解.首先建立方程，然后依據(jù)題設(shè)條件，計算出方程中的a,b的值，從而確定方程(注意焦點的

位置).

②如果不能確定橢圓的焦點的位置，那么可用以下兩種方法來解決問題：一是分類討論，分別就焦點

在x軸上和焦點在y軸上利用待定系數(shù)法設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再解答；二是用待定系數(shù)法設(shè)橢圓的一般

方程為//+5-y2=l(A>O,B>O,A^B),再解答.

考點1橢圓定義

"介.設(shè)P是橢圓-+￥=1上的點，若尸1，f2是橢圓的兩個焦點，

4lo

則|PFil+IPF2I等于（）

A.4B.5

C.8D.10

【解題思路】根據(jù)橢圓的定義即可得解.

【解答過程】由橢圓。+《=1,得。2=16,貝必=4,

416

所以|PFil+|P&l=2a=8.

故選：C.

P為橢圓馬+駕=l（a>0）上一點，P到左焦點尸的距離為m

a3a2

則P到原點。的距離為（）

3

ca

-aV10aV7-a-

A.4B.442

【解題思路】先用a表示c,然后根據(jù)橢圓的定義判斷出三角形PFF是直角三角形，從而求得|0P|.

【解答過程】橢圓攝+等=1即5+3=匕

—

所以C=FP=翳所以左焦點為（一翳0）.

P到左焦點F的距離為泰貝UP到右焦點F'的距離為2a-￡=ga,

g）2+ga）2=|a2=4c2,所以三角形PFF'是直角三角形，

且N"F'=5所以P到原點。的距離|OP|=］忸尸|=c=賽=乎a.

故選：B.

「；已知尸1，尸2分別是橢圓E：f+9=1的左、右焦點，P是橢圓E

上一點，若IP%I=2,則IP%I=()

A.1B.2C.3D.4

【解題思路】根據(jù)橢圓定義可知|P%|+\PF2\=6,即可求得IPF2I=4.

【解答過程】由方程?+!=1可知。=3,

因為P是橢圓E上一點，由橢圓定義可知|P%|+\PF2\=2a=6,

所以IPF2I=6-|P%|=4.

故選：D.

式；舊知%,92是橢圓*+9=1的兩個焦點，P為橢圓上一點，

且|P尸il=I尸1&1，則點尸到7軸的距離為《)

V34D屆V35V34

AA.D.C.D.

6633

【解題思路】根據(jù)余弦定理可得8SNF1PF2=3進(jìn)而根據(jù)同角關(guān)系可得sin/FiP&="，由等面積法，

66

結(jié)合三角形面積公式即可求解.

【解答過程】由橢圓可得。2=16,b2=7,C2=9,所以IPF1I+IPF2I=2a=8,=2c=6,

所以［PF/=|尸抵1=6,故IP&I=2.

TfcADJ7E-t±lDI7|PF1|2+|PF|2-|F1F|21

在aPF#2中，C0S4%PF2=2-2=?

2

因為COS2/FIPF2+sinzF1PF2=1,且sinzF1PF2>0,所以sinzF1PF2=等，

設(shè)尸的坐標(biāo)為(&,%),且=(尸低1?=?出產(chǎn)21?HPlsinNFiP4，

所以|&|=亨，所以點尸到>軸的距離為手.

故選：C.

X

考點2曲線方程與橢圓

【例2.1](23-24高二匕?四川成都?階段練習(xí))若方程二+；=1表示橢圓，則機(jī)的取值范圍是()

m+25—m

A.(-2,5)B.(―8,5)C.(-2,|)u(|,5)D.(—2,+8)

【解題思路】由方程表示橢圓列不等式組求參數(shù)范圍即可.

m+2>0

【解答過程】由題設(shè)5-m>0nme(-2,|)U(|,5).

.m+25—m

故選：C.

【例2.2](23-24高二上?江西贛州?階段練習(xí))設(shè)p:m%2+八y2=1表示的是橢圓；Q：m>o,n>0,則P

是q成立的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【解題思路】根據(jù)橢圓方程的特征以及充分條件必要條件的概念可得結(jié)果.

2

【解答過程】若m/+ny=1表示的是橢圓，則??！>0,n>0且znHn,即p=q成立；

反例：當(dāng)m=n=1時，zn%2+71y2=1表示的是圓，即q=p不成立；

即p是q成立的充分不必要條件，

故選：A.

【變式2.1](23-24高二上?重慶黔江?階段練習(xí))已知命題p：方程三+三=1表示焦點在y軸上的橢圓,

則根的范圍()

A.3<m<5B.4<m<5

C.1<m<5D.m>1

【解題思路】根據(jù)方程表示焦點在y軸上的橢圓列式可得結(jié)果.

【解答過程】依題意有：｛5二，解得3<小<5,

故選：A.

【變式2.2](23-24高二上?安徽蕪湖?期中)若方程工+￡=1表示橢圓C,則下面結(jié)論正確的是()

9-/ck-1

A.fcG(1,9)B.橢圓C的焦距為2魚

C.若橢圓C的焦點在x軸上，則kG(1,5)D.若橢圓C的焦點在x軸上，則kG(5,9)

【解題思路】利用橢圓方程與橢圓位置特征逐項分析、計算即可判斷作答.

【解答過程】因方程表示橢圓，則有9—k>0,k-l>0,且9—k手k-l,即ke(1,5)U(5,9),A錯誤;

焦點在x軸上時，9-k>k-l>0,解得ke(l,5),D錯誤，C正確；

焦點在x軸上時，則c2=9—k—(k—l)=10—2k,焦點在y軸上時，c?=k—1—(9—k)=2k-10,B

錯誤.

故選：C.

考點3求解橢圓方程

「心74局："Y「已知橢圓的焦點為(0,-2),(0,2),橢圓上的點到兩個焦點

的距離之和為6,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()

A.立+丈=1B.大+些=1C.^+^=1D.丈+￡=1

161295161295

【解題思路】由題意可求出Q,hC及焦點位置，即可寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【解答過程】由題意橢圓的焦點在y軸上，且c=2,2a=6,

?*.a=3,b2=a2—c2=5,

...橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是9+9=1.

故選：D.

【例3.2](23-24高二上?陜西西安?階段練習(xí))已知橢圓盤+/=1(a>b>0)的左，右焦點分別為%,

F2,尸為橢圓上一點，|PFi|的最大值為3,且|P%|+|P&I=2|Fi&l，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()

A.日+y2=iB.廿+旺=1C.^+^=1D.h+些=1

4z434284

【解題思路】由題意得a+c=3,根據(jù)橢圓的定義可得2a=4c,結(jié)合-按=c?計算即可求解.

【解答過程】因為|PFil的最大值為3,所以a+c=3.

因為〔PF/+=2IFF2I，所以2a=4c,即a=2c,所以c=l,a=2.

又一/=c2,所以6=百，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為9+9=1

故選：B.

【變式3.1](23-24高二上?北京順義期中)橢圓的兩個焦點是(-4,0)和(4,0),橢圓上的點M到兩個焦點

的距離之和等于10,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()

B.9+2

弓+丈=

D.1

c.425+-9=i169

【解題思路】根據(jù)橢圓定義可得。，根據(jù)焦點坐標(biāo)可得C,然后由拄=-c2求出即可得方程.

【解答過程】由橢圓定義可知，2a=10,得a=5,

又橢圓的兩個焦點是(—4,0)和(4,0),

所以橢圓焦點在x軸上，且c=4,所以b2=a2—c2=25—16=9,

所以，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1+9=1.

故選：C.

以Fi(—1,0),尸2(1，。)為焦點，且經(jīng)過點(1,1)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方

程為()

A.4+廿=1B.±+些=1C.^+^=1D.±+產(chǎn)=1

3243344z

【解題思路】根據(jù)焦點在X軸上，C=l,且過點(1，5,用排除法可得.也可待定系數(shù)法求解，或根據(jù)橢圓定

義求2a可得.

3

【解答過程】因為焦點在x軸上，所以C不正確;又因為c=l,故排除D；將(1,|)代入9+9=1得(+彳=得不

1,故A錯誤，所以選B.

故選：B.

考點4橢圓的動點軌跡方程

【例，；】(23...4,-!-卜河匕:華介段琉「設(shè)P(x,y)滿足：Jx2+(y+2)2++(y—2)2=5,貝I]P

的軌跡為()

A.圓B.橢圓C.雙曲線D.不存在

【解題思路】設(shè)尸式0,—2),4(02)，即可得到IPF/+IPF2I=5,根據(jù)橢圓的定義判斷即可.

【解答過程】設(shè)%(0,—2),F2(0,2),則1PF/=4+(y+2)2,|p&l=J》2+?！?)2,

由JN+G，+2)2+JX2+⑶-2)2=5,即1PF/+|PF2|=5,

又I&F2I=4,所以|P%|+\PF2]=5>I尸i&l，

根據(jù)橢圓的定義可知點P的軌跡是以Fi(0,-2),92(。，2)為焦點的橢圓。

故選：B.

【例4.2】(23-24高二上?四川南充?期末)設(shè)定點%(0,—2),F2(0,2),動點尸滿足條件|P%|+|P&I=5,

則點P的軌跡是()

A.橢圓B.線段C.不存在D.橢圓或線段

【解題思路】根據(jù)橢圓的定義可判斷動點的軌跡.

【解答過程】因為2(0,-2),尸2(。，2)，所以|%尸21=4,

所以|PFil+IP&I=5>|尸1%1，所以點尸的軌跡是以尸1，&為焦點的橢圓.

故選：A.

若動點P(x,y)滿足方程J(x+2)2+y2+7(x-2)2+y2=4四,

則動點P的軌跡方程為()

A.亡+雙=1B.廿+旺=1c.k+2=1D.且+止=1

161284481216

【解題思路】

將方程轉(zhuǎn)化為|PFil+\PF2\-4V2>\F.F2\,利用橢圓定義法求標(biāo)準(zhǔn)方程.

【解答過程】已知動點P(x,y)滿足方程J(久+2尸+產(chǎn)+一2尸+產(chǎn)=4夜，

設(shè)Fi(-2,0),F(2,0),且忸i&l=4,

則有IPF1I+\PF2\=4V2>I尸i&l，

故點P的軌跡是以鼻，尸2為焦點，長軸長為4夜的橢圓，

且中心在原點，焦點在X軸，即點P的軌跡軌跡方程為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，

則2a=4V2,2c=4,按=a2-c2=8-4=4,

故所求軌跡方程為=+==1,

o4

故選：B.

【變式4.2](23-24高二上?福建廈門?期中)在圓好+、2=9的上任取一點p,過P作久軸的垂線段PD,垂

足為。，并延長DP至使得|PM|=1|DP],則點M的軌跡方程是()

【解題思路】根據(jù)題意，設(shè)M(x,y),則P(x,■!)/),然后代入圓的方程，化簡即可得到結(jié)果.

【解答過程】

2

設(shè)則P（%,：y），又點P在圓％2+y2=9上，所以久2+（；y）=9,

化簡可得4+4=1,所以點M的軌跡方程是三+弓=1.

916916

故選：C.

二、橢圓的焦點三角形

基礎(chǔ)知識

1.橢圓的焦點三角形

(1)焦點三角形的概念

設(shè)M是橢圓上一點，為橢圓的焦點，當(dāng)點M,E,產(chǎn)2不在同一條直線上時，它們構(gòu)成一個三角形焦

點三角形，如圖所示.

(2)焦點三角形的常用公式

①焦點三角形的周長L=2a+2c.

②在△MF1F2中，由余弦定理可得內(nèi)尸=\MF^2+\MF^2-1\MF^\MF^-cos/RMF?

③設(shè)/同初尸2=%則S-=c-W=—tan,

考點5橢圓中的焦點三角形

月：：已知橢圓,+9=1兩個焦點為分別為鼻、尸2,過戶1的直線交該

橢圓于/、8兩點，則△ABF?的周長為()

A.4B.6C.8D.12

【解題思路】由圖形及橢圓定義可得答案.

【解答過程】由橢圓方程可得：a=3,

△的周長為C=\AB\+\AF2\+\BF2\=|XFi|+I△尸i|+\AF2\+\BF2\=4a=12.

故選：D.

【例1.2]<23-24m」*'西西女彳Mm）設(shè)尸1，七是橢圓C：=+4=1的兩個焦點，點P是C上的

o18

一點，且cos/FiP4=3則△PF1&的面積為（）

A.3B.3V2C.9D.9近

【解題思路】由題設(shè)可得sin乙％PB=苧，應(yīng)用余弦定理、橢圓定義求得上％|仍尸21=9,最后應(yīng)用三角形

面積公式求面積.

【解答過程】由題設(shè)，^F1PF2e（O,Tt）,可得sinN%P4=誓，

ZP=」-1|2+|PF2|2一|FI產(chǎn)2/=（|P%|+|PF2|）2一|尸"2/_]=!

/71F2

-2|P%||Pr2l一2|PF1||PF2|一3'

由仍%|+上/21=2。=6魚，但1/21=2。=4b，則肅於=%即|PFI||P4I=9,

|rh1||F?2l3

所以△的面積S-1|PF1||PF2|sinzF1PF2=3V2.

故選：B.

I0弋1.1]（23-247J汀西期中）設(shè)橢圓C：捺+9=1（a>V3）的左、右焦點為F。尸2?若點”環(huán)）

在C上，則△4F1&的周長為（）

A.4B.6C.8D.10

【解題思路】

先根據(jù)點4（1,|）在C上求得橢圓方程；再根據(jù)橢圓的定義求解即可.

【解答過程】

由于點幺(1,1)在C上，所以'+|=1,得a?=4,a=2,

所以橢圓C：f+9=l,則%(-1,0),F2(l,0).

由橢圓的定義,\AF1\+\AF2]=2a=4,而舊&|=2,

所以△4F/2的周長為+1^21+=6.

故選：B.

【變式1.2](23-24高二上?云南昆明?階段練習(xí))在橢圓中，已知焦距為4,橢圓上的一點尸與兩個焦點Fi，

92的距離的和等于8,且NPFiB=120。，則的面積為()

.12V3?8V3?12V3-12V3

卜?丁B--C.丁D.-

【解題思路】根據(jù)題意利用余弦定理求IPFJIPF2I，結(jié)合面積公式運算求解.

【解答過程】由題意可知：|%41=4,\PFr\+\PF2\=8,NPF12=120。,即|P%|=8—|P&I，

在4PF14中，由余弦定理得：|P&產(chǎn)=\PF1\2+\F1F2\2_2\PF1\'I尸/zlcos/Pg，

即|P&|2=(8-\PF2\Y+16-2x(8-|PF2|)X4X(-0,解得|P&I=g，貝UlPF/=y,

所以△「％出的面積SAP%電=iII-IFiF21-sinzPF!^=lXyX4x^=^,

故選：D.

三、橢圓的簡單幾何性質(zhì)

基礎(chǔ)知識

1.橢圓的范圍

設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為/〃(a>b>0),研究橢圓的范圍就是研究橢圓上點的橫、縱坐標(biāo)的取值范圍.

(1)從形的角度看：橢圓位于直線x=±a和y=±b所圍成的矩形框里.

y2x2x2x2y2y2

P

(2)從數(shù)的角度看：利用方程研究，易知=1-屋>0,故/W1,即-aWx/a；=1-〃>0,故〃gl,BP-b<y<b.

2.橢圓的對稱性

(1)從形的角度看：橢圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形.

(2)從數(shù)的角度看：在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程0b(a>b>0)中以-y代替y,方程并不改變，這說明當(dāng)點

P(x,y)在橢圓上時，它關(guān)于x軸的對稱點Pi(x,-y)也在橢圓上，所以橢圓關(guān)于x軸對稱；同理，以-x代替x,

方程也不改變，所以橢圓關(guān)于y軸對稱；以-x代替x,以-y代替y,方程也不改變，所以橢圓關(guān)于原點對稱.

坐標(biāo)軸是橢圓的對稱軸，原點是橢圓的對稱中心，橢圓的對稱中心叫作橢圓的中心.

3.橢圓的頂點與長軸、短軸

4+^=1

以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程“°(a>b>0)為例.

⑴頂點

令x=0,得產(chǎn)土b；令y=0,得x=±a.

這說明4(-a,0),4(a,0)是橢圓與x軸的兩個交點，(0,上),&(0,b)是橢圓與y軸的兩個交點.因為x軸、

y軸是橢圓的對稱軸，所以橢圓與它的對稱軸有四個交點，這四個交點叫作橢圓的頂點.

⑵長軸、短軸

線段1441，⑸為I分別叫作橢圓的長軸和短軸.

長軸長34l=2a,短軸長㈤21=2b,a和b分別叫作橢圓的長半軸長和短半軸長.

4.橢圓的離心率

CC

(1)離心率的定義：橢圓的焦距與長軸長的比”稱為橢圓的離心率.用e表示，即6=".

(2)離心率的范圍：0<e<l.

(3)橢圓離心率的意義：橢圓離心率的變化刻畫了橢圓的扁平程度.

當(dāng)e越接近于1時，c越接近于a,從而b='J一0?越小,因此橢圓越扁；當(dāng)e越接近于0時，c越接

近于0,從而b='a2一—越接近于a,因此橢圓越接近于圓；當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，c=0,這時兩個焦點重合，

圖形變?yōu)閳A，它的方程為x2+y2=〃.

考點6由橢圓的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程

__2..2pj

已知橢圓v會+￡=1(。>6>0)的長軸長為4,離心率為年，則

該橢圓的方程為()

A.-+^=1B.-+y2=1

424,

C.廿+四=1D.豈+廿=1

168816

【解題思路】

根據(jù)長軸以及離心率即可求解.

【解答過程】由長軸長為4,可得2a=4,又離心率為《，即6=￡=4，

2a2

解得a=2,c=V2,故b=Va2-c2=V2,

所以橢圓方程為9+9=1,

故選：A.

【例1.2](23-24高一J.已知焦點在x軸上的橢圓的離心率為右且它的長軸長等于4,則橢圓

的標(biāo)準(zhǔn)方程是()

A.蘭+《=1

z

C.-A.+yJ=1

【解題思路】由橢圓的離心率和長軸長，結(jié)合a?=b2+C2可得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程.

e2

【解答過程】由題意得.2al4，解得二2，所以橢圓方程為：9+9=1，

<a2=b2+c2

故選：A.

已知橢圓的方程為日+#=10>0,幾>0),離心率e=E，則下

mn2

列選項中不滿足條件的為()

A.f+y2=i

c.v+y=1D.7+4產(chǎn)=1

【解題思路】分別求出各橢圓方程的。也C驗證是否滿足離心率為6=苧即可判斷得出結(jié)果

【解答過程】由？+y2=i,可得。=2,6=1,.,.c=y/a2—b2=V3,故離心率6=多故A正確;

由？+—=1,可得。=2/，b=VL.\c—y/a2-Z?2=V6,故離心率6=冬="，故B正確；

822V22

由］+y2=i,可得°=/，6=1,.'.c=y/a2-b2=\,故離心率e=*=圣故C不正確；

由/+4.=1,可得x2+9=l,可得。=1,b=gc=7a2一爐=手,故離心率《=手，故D正確.

故選：C.

已知橢圓C：5+，=l(a>b>0)的離心率為點鼻,尸2分別

為C的左、右焦點，P為C上一點，若的面積等于2,且cosNFiPE="，則C的方程為()

A.千+y2=1B.田+片=1

【解題思路】利用橢圓離心率，可設(shè)a=3m,c=m(m>0),在△尸止尸2中結(jié)合余弦定理，面積公式可以

求出血2,進(jìn)而求出橢圓方程.

【解答過程】因為橢圓離心率為§故可設(shè)a=3m,c-m(m>0),

則橢圓C的方程為工+力=L

由橢圓的定義可知IPF1I+\PF2\=2a=6m,島&1=2c=2m,

在△F1PF2中，COS/.F1PF2^

22

由余弦定理可知=|PFil+\PF2\-2\PF1\\PF2\COS^F1PF2,

所以FI&F=(IPF1I+|p尸21)2-2\PFr\\PF2\(l+C0SNF1P4)，

22

即4m=36m-2\PF1\\PF2\(1+y|)，

所以IP/IIP&I=ym2,

又因為COSZF1PF2=y|,AF1PF2G(O,TT),

2

所以sinZ.F1PF2=V1-COSZ.F1PF2=Jl-=*

所以S"'=；伊川厄2回1147”尸2=|xym2x^=2m2=2,

解得血2=1,

所以橢圓C的方程為＜=

yo

故選：c.

考點7橢圓的焦距與長軸、短軸

橢圓C：4/+產(chǎn)=16的焦點坐標(biāo)為()

A.(±2V3,0)B.(±2V5,0)C.(0,±2百)D.(0,±2V5)

22

【解題思路】根據(jù)題意，化簡橢圓的方程為￡+寧=1,結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)，即可求解.

164

【解答過程】由橢圓。4/+產(chǎn)=16,可化為弓+4=1,

164

可得a=4,b=2,貝?。輈=Va2—b2=2V3,

又由橢圓C的焦點在y軸上，所以橢圓C的焦點坐標(biāo)為(0,±2V3).

故選：C.

『『二—：橢圓4+4=1與裊+￡=1(0＜々＜9)的()

2599-k25—k

A.長軸的長相等B.短軸的長相等

C.離心率相等D.焦距相等

【解題思路】分別求出兩個橢圓的長軸長，短軸長，焦距和離心率即可得到答案.

【解答過程】橢圓（+9=1的焦點在X上，

則長軸長為10,短軸長為6,焦距為8,離心率為（，

橢圓三+￡=1（0<k<9）的焦點在y上，

則長軸長為27^=1,短軸長為焦距為8,離心率為高，

725-k

所以兩橢圓的焦距相等.

故選：D.

；八：1「已知橢圓C《+4=l,則橢圓C的長軸長為（）

94

A.3B.4C.6D.9

【解題思路】根據(jù)橢圓方程先判斷焦點位置，再確定a的值，即得長軸長.

【解答過程】由橢圓C：W+==1知橢圓焦點在x軸上，故a?=9,解得a=3,故橢圓。的長軸長為2a=6.

94

故選：C.

22

【變式2.2］（23-24高二上?新疆烏魯木齊?期中）己知橢圓3+l（a>%>0）的焦點分別為Fi，4，點4B

在橢圓上，于尸2，|4B|=4,|尸141=2%，則橢圓的長軸長為（）

A.6B.3C.2V3D.V3

【解題思路】利用橢圓的性質(zhì)，根據(jù)|力=4,|%41=2K，可得c=g,當(dāng)=4,求解a,然后推出橢

圓的長軸長.

【解答過程】

橢圓熱+，=l（a>b>0）的焦點分別為名,小點4B在橢圓上,

4B_LFIF2于尸2，\AB\=4,\FrF2\=2V3,

可得c=舊，——4,c2—a2—b2,

a

解得Q=3,b=V6,

所以所求橢圓的長軸長為2a=6,

故選：A.

考點8橢圓的離心率

22_

舊知橢圓為+力=1缶>8〉0）的短軸長為2,焦距為2百，則

該橢圓的離心率為（）

12

V3V6

--C--

A.232D.3

【解題思路】由題求出b、c、a,即可求出離心率.

【解答過程】由題的2b=2nb=1,2c=2百nc=舊,

所以a=y/b2+c2=2，

所以離心率為￡=￡

a2

故選：c.

22

.已知橢圓。a+￡=19>6>0）的右焦點為凡上、下頂點分

別為當(dāng)，B2,M是尸叢的中點，若FB—MB2,則橢圓C的離心率為（）

A.-B.-C.—D.-

4224

【解題思路】根據(jù)等腰三角形三線合一可得2b=a,再根據(jù)a,瓦c的關(guān)系可得離心率.

【解答過程】由已知FBI，"2,且M是F4的中點

則|3/2|=由2川，即2b=a,

所以/=4b2-4（a2—c2）,

r2o

即斗=p

a4

所以e=$=噂

a2

故選：c.

【變式3.1]（23-24高二上?江蘇蘇州?階段練習(xí)）已知是橢圓+3l（a>b>0）的左、右焦點,

N是C的左頂點，點P在過/且斜率為4的直線上，△P%F2為等腰三角形，2P=120。，則。的離

4

心率為（）

23

A.BD.

3-14

【解題思路】求得直線ZP的方程：根據(jù)題意求得尸點坐標(biāo)，根據(jù)|P&|=|PFil=2c,即可求得橢圓的離心

率.

【解答過程】如圖所示，直線AP的方程為：y=?Q+a）,

直線尸尸2的方程為：y=tan60。?(x—c),即y=V3(x—c).

y=V3(x-c)4c+aV3(c+a)

聯(lián)立?京加+a)'斛侍.丁，尸丁

???△2％&為等腰三角形，4尸尸=120。,

???|P&I=F1F2I=2c.

(等-c)2+(2^1)2=4c2,化簡得a=2c.

22

【變式3.2］（23?24高二上?山東濟(jì)寧?階段練習(xí)）設(shè)橢圓器+與=l（a>b>0）的左、右焦點分別為七、&，

尸是橢圓上一點，iPFil=A|PF2|g<A<3）,ZF1PF2=p則橢圓離心率的取值范圍為（）

15'

B.

A?憐孚.2,9.

15'

D.

c.停用］.2,8.

【解題思路】設(shè)叫|=匕由橢圓定義和勾股定理得到e2=^，換元后得至磊*2?-丁+”艮據(jù)

二次函數(shù)單調(diào)性求出JWe?<j,得到離心率的取值范圍.

Zo

【解答過程】設(shè)Fi（-c,0）,F式c,0）,由橢圓的定義可得，IPFJ+IPFZI=2a,

可設(shè)|PF21=t,可得|PFi|=At,即有（入+l）t=2a,①

由NFIPF2=],可得|PF/2+|PF2/=4C2,即為（入2+1H2=4C2,②

由②+①2,可得e2=《g,令m=X+l,可得入=m-l,

（入+1）

22

Rn士入2+1m-2m+2n/l1\,1Q八,、

即有而于=1L=2仁一3+?由

4113

得

即

可<<<<

--m-4,-----

34m4

則m=2時，取得最小值am=（或4時，取得最大值也

即有釁weW半.

故選：C.

考點9由橢圓的離心率求參數(shù)

【例4.1]（23-24高二上?重慶沙坪壩?期中）若橢圓C:2+《=1的離心率為胃，則爪=（）

m23

A.3或;B.|C.3或3D.3或日

【解題思路】根據(jù)焦點位置分類討論，利用離心率計算求解即可.

2

【解答過程】若橢圓焦點在x上，則a?=m,b=2,

所以c2=a2_川=爪_2,^e2=^—=—X——

amm3

解得TH=3,

若橢圓焦點在y上，則/=2,b2=m,

所以c?=a2—b2=2—m,故e2=號==1—y=p

解得=（綜上，m=3或m='

故選：C.

【例4.2]（2024?河南:模設(shè)橢圓<+1=>0,n>0）的離心率為e,則“e=西，是=4九”的（

mn2

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【解題思路】

根據(jù)充分、必要性定義，結(jié)合橢圓方程，討論判斷充分性，由離心率定義判斷必要性，即可得答案.

【解答過程】當(dāng)m>ri時e==立，則m=4幾；當(dāng)?n<n時e==立，則n=4zn；

y/m2yjn2

所以e=日推不出血二4九，充分性不成立；

當(dāng)血=4九時，則e=史等=必要性成立；

7m2

綜上，“e=乎是=47r的必要不充分條件.

故選：B.

式「，同已知橢圓三+三=1的離心率e=J,則k的值可能是()

k+593

A.3B.7C.3或？D.7或彳

【解題思路】根據(jù)給定的方程，按焦點位置分類求解作答.

【解答過程】橢圓工+4=1的離心率e=[

k+593

當(dāng)橢圓焦點在X軸上時，k+5>9,即k>4,e2=""=[解得k

k+598

當(dāng)橢圓焦點在y軸上時，0<k+5<9,即一5<k<4,e?=9-(：+5)=>解得々=3,

所以k的值可能是3或羨.

故選：C.

22

i「一二】'202.Th,：-「施>設(shè)橢圓的邑+產(chǎn)=l(>l),c^+y2=1的離心率分別為ei?.若

CLa2