四川省巴中市普高中2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期“三診”數(shù)學(xué)

試題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知集合初=1|/-》一6<()},A^={xeZ|j=log2(3-x)},則MC|N=()

A.[—2,3]B.[-2,2)C.{—1,0,1,2}D.{-2,-1,0,1,2,3}

3

2.已知i為虛數(shù)單位，若z=r，則z?=（

2+1

A.三c27+36163

B.----------D.

2525cit25

3.已知數(shù)歹￡4｝滿足q=2且。用=3z〃+2m,貝廣數(shù)列｛〃〃｝為等差數(shù)列”是“加=1”的（）

A.必要不充分條件B.充要條件

C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件

4.在（2+x）（l+x）4展開式中，》的偶數(shù)次基的項的系數(shù)和為（）

A.32B.-32C.16D.24

22

5.橢圓》+方=1（°>6>0）的離心率為e,右焦點為尸（c,0）,方程辦2+區(qū)一0=0的兩個實

根分別為毛和馬，則點尸（西必）（）

A.必在圓X2+/=2內(nèi)B.必在圓x2+/=2上

C.必在圓/+必=2外D.與圓/+必=2的關(guān)系與e有關(guān)

6.將函數(shù)〃x）=cos]2x+?的圖象向右平移a個單位長度（°為常數(shù)，且0<a<2）,得

到函數(shù)g（x）=sin（2xq）的圖象，若/'（x）在區(qū)間（》1,〃）（0<機<〃<71）上單調(diào)遞增，g（x）在

區(qū)間（九〃）上單調(diào)遞減，則e-加的最大值為（）

71

7171—兀_5兀

A.—B.—C.—D.—

841212

7.已知過拋物線C:必=4x焦點廠的直線/與C交于M,N兩點，以線段"N為直徑的圓

與V軸交于尸，。兩點，則黑的取值范圍為（）

試卷第1頁，共4頁

A.（0,1]B.0,孚C.D.J,孚

I2）（2」（22」

8.已知一個正四棱臺的上、下底面邊長分別為3,9,側(cè)棱長為南，則該正四棱臺內(nèi)半徑

最大的球的體積為（）

二、多選題

9.下列結(jié)論正確的是（）

A.若隨機變量機〃滿足〃=24+1,則。（〃）=4。⑷

B.若隨機變量4?N（3,〃），且尸《＜6）=0.84,貝U尸（3＜J＜6）=0.34

C.若樣本數(shù)據(jù)（x,,yj（i=l,2,3,…線性相關(guān)，則用最小二乘法得到的回歸直線經(jīng)過該

組數(shù)據(jù)的中心點「5）

D.對于隨機事件A與3,尸（/）＞0,尸”）＞0,若尸（/忸）=尸（⑷，則事件A與B不相

互獨立

10.已知函數(shù)〃X）及其導(dǎo)函數(shù)戶數(shù)的定義域均為R,記g（x）=r（x）,若〃2x+l）與g（x+2）

均為偶函數(shù)，則下列選項正確的是（）

2025

A.0B.〃x）和g（x）是周期為4的周期函數(shù)

C.g（x+l）為奇函數(shù)D./（x）圖象關(guān)于點（2,0）對稱

11.已知直四棱柱/BCD-44G〃，44=6,底面N3C。是邊長為1的菱形，且

4840=120。，點￡,F,G分別為4月，，3c的中點，點〃是線段4。上的動點（含

端點）.以4為球心作半徑為R的球，下列說法正確的是（）

A.直線/〃與直線8E所成角的正切值的最小值為史

7

B.存在點區(qū)使得用"〃平面EFG

C.當(dāng)R=1時，球4與直四棱柱的四個側(cè)面均有交線

D.在直四棱柱內(nèi)，球4外放置一個小球，當(dāng)小球體積最大時，球4直徑的最大值為

試卷第2頁，共4頁

12.已知函數(shù)/(x)=^-31nx(x>0),若函數(shù)y=/(x)在點(1,/⑴)處的切線方程為.

13.非零向量B滿足：\a-b\=\a\,5-(5-^)=0,則3與B夾角的余弦值為.

14.學(xué)數(shù)學(xué)的人重推理愛質(zhì)疑，比如唐代詩人盧綸《塞下曲》：“月黑雁飛高，單于夜遁逃.

欲將輕騎逐，大雪滿弓刀.”這是一首邊塞詩的名篇，講述了一次邊塞的夜間戰(zhàn)斗，既刻畫出

邊塞征戰(zhàn)的艱苦，也透露出將士們的勝利豪情.這首詩歷代傳誦，而無人提出疑問，當(dāng)代著

名數(shù)學(xué)家華羅庚以數(shù)學(xué)家特有的敏感和嚴密的邏輯思維，發(fā)現(xiàn)了此詩的一些疑點，并寫詩質(zhì)

疑，詩云：“北方大雪時，群雁早南歸.月黑天高處，怎得見雁飛？“但是，數(shù)學(xué)家也有許多

美麗的錯誤，如法國數(shù)學(xué)家費馬于1640年提出了以下猜想￡=2?"+1,(〃=0,1,2,…)是質(zhì)數(shù),

直到1732年才被善于計算的大數(shù)學(xué)家歐拉算出￡=641x6700417不是質(zhì)數(shù).現(xiàn)設(shè)

a?=log2[log2(7;,-1)],(?=1,2,3,…)記”=(T),則數(shù)列｛2｝的前2〃項和

四、解答題

15.在V48C中，角A,B,C的對邊分別是“，b,c,且亞bcosC=4ia-c.

⑴求角3的大??；

(2)若6=26,D為線段NC的中點，BD=3,求V/8C的面積.

16.如圖，在三棱柱4BC-481G中，側(cè)棱47_L平面4BC,AC1.BC,AC=1,BC=2,

44=1,點。是的中點,

試卷第3頁，共4頁

⑴證明：NC，/平面cz)4；

(2)求平面CDB、與平面CC國所成角的正切值.

17.杭州亞運會吉祥物為一組名為“江南憶”的三個吉祥物“宸宸”，“琮琮”，“蓮蓮”，聚焦共

同的文化基因，蘊含獨特的城市元素.本次亞運會極大地鼓舞了中國人民參與運動的熱情.某

體能訓(xùn)練營為了激勵參訓(xùn)隊員，在訓(xùn)練之余組織了一個“玩骰子贏禮品”的活動，他們來到一

處訓(xùn)練場地，恰有20步臺階，現(xiàn)有一枚質(zhì)地均勻的骰子，游戲規(guī)則如下：擲一次骰子，出

現(xiàn)3的倍數(shù)，則往上爬兩步臺階，否則爬一步臺階，再重復(fù)以上步驟，當(dāng)隊員到達第7或第

8步臺階時，游戲結(jié)束.規(guī)定：到達第7步臺階，認定失??；到達第8步臺階可贏得一組吉

祥物.假設(shè)平地記為第0步臺階.記隊員到達第〃步臺階的概率為巳(0<?<8),記4=1.

(1)投擲4次后，隊員站在的臺階數(shù)為第X階，求X的分布列；

(2)①求證：數(shù)列也,一口-}(14〃47)是等比數(shù)列；

②求隊員贏得吉祥物的概率.

22

18.已知點片，月分別為雙曲線￡：的左、右焦點，點片到雙曲線￡

的漸近線的距離為2夜，點/為雙曲線￡的右頂點，且/片=2/乙.

(1)求雙曲線E的標準方程；

⑵若四邊形/8CA為矩形，其中點3,。在雙曲線E上，求證：直線過定點.

19.帕德近似是法國數(shù)學(xué)家亨利帕德發(fā)明的用有理多項式近似特定函數(shù)的方法.給定兩個正

整數(shù)加，n,函數(shù)/(X)在x=0處的[也力階帕德近似定義為：境⑺

且滿足:/(0)=及(0),/，(O)=R(O),廣⑼=7?〃(0),…，/■2)(0)=心+")(0).(注:

r(x)=[7-(x)]\r=[r(x)],-/⑶⑺=[/"(川，/⑸(加上⑷⑴卜…；〃/)為

/(T(x)的導(dǎo)數(shù)).

(1)求函數(shù)/(x)=ln(x+l)在x=0處的[1』階帕德近似函數(shù)尺⑺；

⑵在(1)的條件下，試比較/(X)與尺(x)的大??；

(3)在(1)的條件下，若/7(月=綱-[；-小〃同在(0,+司上存在極值，求加的取值范圍.

試卷第4頁，共4頁

《四川省巴中市普高中2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期“三診”數(shù)學(xué)試題》參考答案

題號12345678910

答案CAADACBBABCABC

題號11

答案ABC

1.C

【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法和對數(shù)函數(shù)定義域，求出集合，根據(jù)集合交集的運算方

法，求出結(jié)果.

【詳解】已知解得-2Vx<3,所以M=(-2,3),

己知y=logz(3-x),定義域3-無>0,解得x<3,所以N=｛xeZ|x<3｝,

可得AfPIN=｛-1,0,1,2｝.

故選：C.

2.A

【分析】由復(fù)數(shù)乘法、除法運算即可求解.

3

【詳解】因為z=，，

所以(3丫[9199(3-4i)27-36i

(2+iJl^4+i2+4iJ3+4i(3+4i)(3-4i)25,

故選：A.

3.A

【分析】若加=1,則利用等差數(shù)列的定義可判斷；若｛%｝為等差數(shù)列，利用2%=%+〃3求

出加=1或加=!，檢驗得出冽=!時滿足題意.

【詳解】當(dāng)加=1時，。升1=%+2,則｛%｝為等差數(shù)列，必要必成立；

2

因q=2且an+x=man+2m,有%=2,a2=4m,a3=4m+2m,

因為｛%｝為等差數(shù)列，有2。2=%+。3，即8加=4/+2加+2，

解得加=1或加=1,

當(dāng)加=；時，%+1=1+1，即a“+i-2=g(%-2),

因為=2,則?！?2恒成立，即｛4｝為等差數(shù)列，充分性不成立.

答案第1頁，共20頁

故選：A.

4.D

【分析】設(shè)(2+x)(l+x)4=%+%%+%V/+%￡+%/，分另U令x=l、x=-l,將所得

等式聯(lián)立可得4+&+%的值.

【詳解】設(shè)(2+X)(1+X)4=%+4%+%幺++%￡+%/，

令X=1可得%+。1+。2+。3+。4+。5=3x16=48,

令x=—1可得%—〃]+。2—。3+。4—〃5=0，

上述兩式子相加得，2（劭+2+%）=48,故4+%+&=24,

（2+x）（l+x）4展開式中，X的偶數(shù)次幕的項的系數(shù)和為24.

故選：D.

5.A

（分析］由恒等式X；+考=（項+%）2-2再々以及韋達定理即可得到X；+后關(guān)于e的表達式,

然后證明父+后一定小于2,即可得到A正確.

【詳解】根據(jù)題目條件有12,e=￡

a

bc

由才1和％2是方程辦2+6x-c=0的兩個根，故由韋達定理得再+工2=-------，=-----,

aa

ug22/\2.622cb2+2ac

zAITUX|+%2—（再+%2）―為112=-------=---------2-------

aaa

22

a-c+2ac2c/2cA\2八

=----------------=1+---------=1+2e-e-=2-fl-e）＜2.

aaa

這表明點尸（石,々）一定在圓/+/=2內(nèi)，A正確.

故選：A.

6.C

【分析】平移/（x）=cos（2x+；］得g（x）=cos（2x-2a+g1,結(jié)合誘導(dǎo)公式得“=］.分別

TTSir

求〃尤）、g（x）單調(diào)區(qū)間，可得（〃?,"）=,由此可求得最大值.

36

【詳解】將函數(shù)〃月=。。512》+，的圖象向右平移.（0＜。＜2）個單位長度，得到

答案第2頁，共20頁

g（x）=cos2x-2a+—

I3,的圖象,

因為5皿12關(guān)-弓=cos2'W=cos2x-^

I3

__71

所以cos2x—26zH—=cos|2x--

3（3

所以一2a+1=-g+2E,keZ,解得a=^-左兀（左eZ）,

7T

又0<a<2,所以。=—.

2

f7T1JT2兀兀

對于f（x）=cos2xH—,由2析一兀?2xH—?2k兀，ksZ,得kit---?x?kit—,keZ.

V3J336

當(dāng)左=i時，/（X）的單調(diào)遞增區(qū)間為q,”],

3o

JT5冗

因為/（X）在區(qū)間（加,"）（。<加<”<兀）上單調(diào)遞增，所以（加,〃）=.

36

/\.（c兀）Icr兀,兀c3兀/=兀,“7571

對于g（x）=sin2x,由2kjt-\—V---F2xW2EH----,ksZ,解傳k7uH—?x?kuH----,

<6J26236

keZ.

當(dāng)上=0時，g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為py,所以（見”）1py.

71

1兀/a—n

由。二一得，Q〃?N，

2m=----m=---m

71712

要使會〃，最大，取「六機』代入得失〃，=2

故選：C.

7.B

【分析】設(shè)直線方程X=叼+1,聯(lián)立拋物線，再根據(jù)弦長公式求出|"V|=4/+4=2r,利

用圓的弦長公式求出|P0],然后表示出冬，最后利用對鉤函數(shù)單調(diào)性確定范圍即可.

答案第3頁，共20頁

設(shè)直線/的方程為尤=町+1代入=4x,得丁=4（加y+1）,即y_4叩_4=0,

設(shè)加（芭,必），N（X2，%）根據(jù)韋達定理“+%=4機，yt-y2=-4

根據(jù)拋物線弦長公式|〃巾=占+/+。,又據(jù)=4再,貨=49,

2222

22

可得再=",%=半，xl+x2=^^=4m+2,\MN\=4m+4,

即圓心橫坐標為土土土=2/+1,半徑.=感5=2/+2

22

根據(jù)圓的弦長公式，圓心到V軸距離4=2川+1,

則IPQ|=2“-笳=2,（2川+2）2一（2"+、=253+4小

2

二匚i、iPQ2V3+4mA.2"、八2t—4PQ2>Jt—1

所以----，令，=4加2+4。24）,則加2=——，=----------,

MN4m+44MNt

設(shè).忑=1=U,則"€卜回,+??),f=〃2+l,

PQ_2"_2

所以MN-i?+「1,

u+—

u

又因為y=在時單調(diào)遞增，所以“+工學(xué)殍,

PQ

所以

MN

故選：B.

8.B

【分析】根據(jù)正棱臺的內(nèi)切球半徑即為過斜高截面跳兀W的內(nèi)切圓半徑，再根據(jù)等腰梯形

內(nèi)切圓的求法與腰所在直線的位置關(guān)系可得.

【詳解】

在正四棱臺-44GA中，上、下底面邊長分別為3,9,側(cè)棱長為島,

設(shè)。,。2分別是下、上底面中心，分別是4）,8C,4G,44的中點,

答案第4頁，共20頁

在側(cè)面中，/。=9,40=3,44=后，則EN=5,

因為正棱臺的內(nèi)切球半徑即為截面廢無W的內(nèi)切圓半徑，

在截面中，EF=9,MN=3,NE=MF=5,

貝I]OR=A/52-32=4<MN；EF=6,

若球心。在中點處，即梯形高。。2的中點處，

以下底面中心Q為坐標原點，跖所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標系,

39

則M(5,4),F(5,O),2(0,2),

則直線板的方程為4無+3y-18=0,

12

故點。到直線MF的距離d=l~L=32,即直線板與圓相離.

J/2?々2S

4

結(jié)合圖形可知，當(dāng)球心。在。1。2中點處，球半徑「=5=2時，正四棱臺的內(nèi)切球半徑最大.

4

即該正四棱臺內(nèi)半徑最大的球的體積廠=2^3=吐兀，

33

故選：B.

9.ABC

【分析】利用方差的性質(zhì)可判斷A選項；利用正態(tài)分布的對稱性可判斷B選項；利用回歸

直線的基本性質(zhì)可判斷C選項；利用條件概率公式結(jié)合獨立事件的定義可判斷D選項.

【詳解】對于A,若〃=若+6,則。(〃)=/￡)?,

所以若〃=2J+1,則r>(/7)=4D⑷,故A正確：

對于B,若隨機變量且尸仔<6)=0.84,又尸《<3)=0.5,

答案第5頁，共20頁

所以尸(3<J<6)=尸(J<6)-尸信<3)=0.84-0.5=0.34,故B正確；

對于C若樣本數(shù)據(jù)(x2J?=l,2…線性相關(guān)，

則用最小二乘估計得到的經(jīng)驗回歸直線經(jīng)過該組數(shù)據(jù)的中心點(只力，故C正確：

對于D,因為尸(川2)=々^,若*/忸)=//),

則尸(4B)=尸(/)尸(8),所以事件A與8相互獨立，故D不正確.

故選：ABC.

10.ABC

【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性，得到對稱性和周期性，逐個計算判斷即可.

【詳解】因為g(x+2)為偶函數(shù)，所以g(-x+2)=g(x+2),即g(x)=g(4-x),

所以函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于x=2對稱，則g(l)=g(3),

又〃2x+l)為偶函數(shù)，所以〃-2x+l)=〃2x+l),BP/(x)=/(-x+2),

兩邊求導(dǎo)得，f'(x)=-f'(-x+2),即g(x)=-g(2-x),g(x)的圖象關(guān)于(1,0)對稱，

則g(x+l)的圖象關(guān)于原點對稱，g(x+l)為奇函數(shù)，故C正確，

g⑴=0,g(0)=-g(2),

由以上分析得g(4-x)=-g(2-x),即有g(shù)(x+2)=-g(x)

即g(x+4)=-g(x+2)=g(x),且g(x+2)+g(x)=0,

所以g(x)是周期為4的函數(shù)，g(l)+g(3)=0,

2025

^S^(z')=506[^(1)+^(2)+^(3)+^(4)]+^(1)=^(1)=0'故A正確：

z=l—

對于B,由于g(-x+2)=g(尤+2),貝!J/(x+2)=-/(—x+2)+c,

由于f(x)=f(-x+2),故/(x+2)=-f(-x+2)+c=-f(x)+c,

所以〃x+4)fG+2)+c=T-]+c=〃x),因此/(x)以4為周期的周期函數(shù)，B

正確.

對于D,由于g(x)=g(4-x),則〃x)=-/(4-x)+d,故/(x)圖象關(guān)于fl對稱，由于1

不一定為0,故D錯誤，

故選：ABC.

11.ABC

答案第6頁，共20頁

【分析】A選項，作出輔助線，建立空間直角坐標系，設(shè)出〃（0,私6）,0<m<l,表達

7

出直線與直線BE所成角的余弦值，求出最大值為cos6=外,從而得到正切值的最小

值；B選項，作出截面，進而可找出滿足條件的點〃；C選項，找到與四個側(cè)面的交線即可;

D選項，球4外放置一個小球。，當(dāng)小球。與四個側(cè)面均相切時，小球。體積最大，得到

小球o的半徑為=",得到字］，結(jié)合4（o,o，G）得到球4直徑的最大值.

【詳解】A選項，連接/G,因為底面/8C。是邊長為1的菱形，且/胡。=120。，

所以V/8C為等邊三角形，

因為G為8C的中點，

所以/G_LBC,故/G_LZD,

以A為坐標原點，AG,AD,所在直線分別為x,y,2軸，

設(shè)//（0加,6）,0<m<1,

則標=（0,九6）,BE=-苧,；，百，

TT

設(shè)直線47與直線8E所成角的大小為。e0,-

答案第7頁，共20頁

—m+6

2

VBA/??2+3

因為/￡6,—,

49cos9=----11

所以當(dāng)，=w時，呵不Zf^取得最大值，

Vu49J49

7

最大值為cos。=止匕時sin0=Vl-cos20=-，

2V132V13

因為＞=cosx在1上單調(diào)遞減，

y=tanx在x￡]o,上單調(diào)遞增，

故直線AH與直線BE所成角的正切值的最小值為迎=正，故A正確;

cos37

B選項，取49，CD,的中點。，M,W,

連接EQ,WE,GW,MG,FM,QF,

由平行關(guān)系可知，過E,F,G三點的平面截直四棱柱,

得到的截面為六邊形EQFMG少，

當(dāng)4與2重合時用”〃￡0,4〃U平面EFG,石。＜=平面￡7叼.

所以4H〃平面EFG,故B正確;

答案第8頁，共20頁

4QDi

c選項，連接4G，則4ci=44=4。=1,AAt=y/3>i,

2

如圖，當(dāng)R=1時，直四棱柱截球體下半部分的

球4與直四棱柱四個側(cè)面都有一段圓弧狀交線，

D選項，球4外放置一個小球。，當(dāng)小球O與四個側(cè)面均相切時，小球。體積最大,

此時小球0在底面ABCD上的射影剛好與菱形相切，

故小球。的半徑為」/G=且，底面48。的中心為T,平面NBCD,

24

答案第9頁，共20頁

出1小

其中C—，一,u

22

故。，因為4(。'。,道),

屈

則A,O=

4

⑸屈號,故D錯誤.

4J2

故選：ABC.

【點睛】立體幾何中截面的處理思路：

(1)直接連接法：有兩點在幾何體的同一個平面上，連接該兩點即為幾何體與截面的交線,

找截面就是找交線的過程；

(2)作平行線法：過直線與直線外一點作截面，若直線所在的平面與點所在的平面平行，

可以通過過點找直線的平行線找到幾何體與截面的交線；

(3)作延長線找交點法：若直線相交但在立體幾何中未體現(xiàn)，可通過作延長線的方法先找

到交點，然后借助交點找到截面形成的交線；

(4)輔助平面法：若三個點兩兩都不在一個側(cè)面或者底面中，則在作截面時需要作一個輔

助平面.

12.2x+y—3=0

【分析】應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程.

【詳解】求導(dǎo)得/''(無)=1-；,貝1］尸(1)=1一：=一2,又"1)=1,

所以切線方程為V-1=-2(尤-1),整理得2x+y-3=0.

故答案為：2x+y-3=0

答案第10頁，共20頁

13.-克/一!也

22

【分析】根據(jù)向量的減法幾何意義將a-分轉(zhuǎn)化為瓦b再利用已知條件電-司=|磯和

。（,-3）=0判斷三角形0/8的形狀，最后根據(jù)三角形形狀求出了-3與B的夾角.

【詳解】根據(jù)題意，設(shè)）=厲，b=0B＞則m-3=厲-礪=函，

若萬I，a-(a-b)=0,BP|1=|04|,且方_L9，

則△0/5為等腰直角三角形,

則）-3與B的夾角為180。-45。=135。，余弦值為一走

2

故答案為一孝

14.-------

2〃+1

【分析】根據(jù)題意，化簡數(shù)列通項公式，利用分組求和的方法求解即可.

[詳解1依題意有Fn=2*+1代入an=log2[log2優(yōu)-1)]

2n

得a?=logjlog22"+1-1)=log22=n

所以“㈠/千/(-D-目

anyan+1Jn\n+\)\nn+\J

2n2n-AJ2n-A2n-A

2n

故答案為:

2n+\

71

15.(1)-

(2)3

【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊角互化和兩角和的正弦公式，解三角形.

（2）根據(jù)向量加法和數(shù)量積，求出三角形邊長和中線的關(guān)系，根據(jù)正弦定理面積公式和余

弦定理求出結(jié)果.

【詳解】(1)由正弦定理知，42sinBcosC=V2sinA-sinC

在VABC中4+5+。=兀，所以sinZ=sin(5+C)=sinBcosC+cos5sinC,

答案第11頁，共20頁

代入上式得后cos5sinC-sinC=0，

J?

vCG(0,K),sinC>0,「.cos5=-----，

2

V5G(0,7C),5=^.

(2)

A

-----??>2

+2BABC+BC

即9=a(c?+2accos2+。~),得/+/=36，

在V/3c中，由余弦定理得Zr=a~+c~—ZaccoS1,所以/+c?—=12,

a2+c2+41ac=36

聯(lián)立,,f—'得ac=6d2，

a'+c-y/2ac=12

???S"8c=(acsinB二—x6y/2x^-=3

22

16.(1)證明見解析

⑵平

2

【分析】（1）設(shè)cq與￡8相交于￡,連結(jié)。￡,求證DE///。，再根據(jù)線面平行的判斷定理,

證明線面平行即可.

（2）建立適當(dāng)空間直角坐標系，根據(jù)向量方法求出空間中平面與平面的夾角的余弦值，根

據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系，求出角的正切值.

【詳解】（1）

答案第12頁，共20頁

設(shè)CB]與CXB相交于E,連結(jié)DE，

??,D是AB的中點，E是8cl的中點,

DEUAC,,????！曦纹矫?。。4，/q<z平面CZ)4,

NG；〃平面CD8l

（2）

如圖所示，建立空間直角坐標系，CC1為z軸，C4為x軸，C5為了軸,

則c（o,o,o）,4（。,2,1）,

則向量無=1,1,0；配=（0,-2,-1）,

r—?（1

n-CD=0—%+y=0

設(shè)平面緯功的法向量為為=（%//）,貝!j—，即27

Mwc=o[_2y-z=0

令％=2得平面用。。的一個法向量力=Q,T-4),

可以設(shè)平面CG4的一個法向量為比=(1,0,0),

m-n22VH

所以|cos?流萬?]=

同?萬|萬一21

所以sin〈玩,n)=Jl-cos〈麗,萬〉？=

答案第13頁，共20頁

所以協(xié)成正湍

所以平面CDB,與平面所成角的正切值為走.

2

17.(1)答案見解析

⑵①證明見解析；②554s7

21o7

21

【分析】(1)由題意可得爬一步臺階的概率為爬兩步臺階的概率為列出隨機變量X

可能取值，求出對應(yīng)的概率，求出分布列即可；

(2)(i)由題意可得p-Po=-；,分類討論到達第〃步臺階的情況，求出對應(yīng)的概率，進

而?！?47=-；(。”「?！币?)(〃=2,3,…,7),結(jié)合等比數(shù)列的定義即可證明；(ii)由⑴，

根據(jù)等比數(shù)列的通項公式可得0"-47='；］,利用累加法求得已

(〃=1,2,…,7),令〃=8計算即可求解.

21

【詳解】(1)由題意得每輪游戲爬一步臺階的概率為爬兩步臺階的概率為

所以隨機變量X可能取值為4,5,6,7,8,

可得尸(X=4)JL尸(X=5)=C；X[X?=1

248

P(X=6)=C；x尸(X=7)=C：x

FT81

1

尸(X=8)=

81

所以X的分布列:

X45678

16322481

P

81818?8181

(2)(i)證明：n=l,即爬一步臺階，是第1次擲骰子,

21

向上點數(shù)不是3的倍數(shù)概率回=：,貝=

答案第14頁，共20頁

到達第〃步臺階有兩種情況:

①前一輪爬到第“-2步臺階，又擲骰子是3的倍數(shù)得爬兩步臺階，其概率為:2一，

2

②前一輪爬到第〃-1步臺階，又擲骰子不是3的倍數(shù)爬一步臺階，其概率為百2一

12

所以?！?］。,一2+］。"一1(〃=2,3,…,7),

則P.-P.T％.2)("=2,3,…,7),

所以數(shù)列{幺-0-}(〃=1,2,…,7)是首項為一;，公比為-g的等比數(shù)列.

(ii)因為數(shù)歹！是首項為一;，公比為-;的等比數(shù)列，

所以外一。1=［一'所以0-4=-(，Pi-Px=［-1］,…，〃"一。1=(一￡|

各式相加，得：P?-Po=1-［一］］，所以P"="|+；H("=1,2,…,7),

所以活動參與者得到紀念品的概率為

11Fs1f1Y111OY547

A=3A=3Xp4Xrdf=2187'

2

18.⑴f—匕二i

8

(2)證明見解析

【分析】⑴先根據(jù)點到直線距離計算得出6=2a，再應(yīng)用/;=2/不得出c=3a,計算

得出“=1進而得出標準方程；

(2)分直線的斜率不存在和直線8。的斜率存在兩種情況，聯(lián)立方程組結(jié)合向量的數(shù)量

積計算得出〃?=-左或加=。左，結(jié)合題意即可證明定點.

【詳解】(1)設(shè)焦距為2c,則片(-。,0),

故點片到雙曲線￡的漸近線法土卬=0的距離為2=°=2&

由/片=2/g，知c+a=2（c—a）,得c=3a.

又因為02=/+/，所以（3a）2=/+8,解得/=］.

答案第15頁，共20頁

2

所以雙曲線￡的標準方程為/-21=1.

8

（2）①當(dāng)直線的斜率不存在時，

由/3_LAD,設(shè)直線50的方程為工=/,

當(dāng)/<0時，貝!I3&T+1）在雙曲線/一片=i,可得所以”一2,

887

當(dāng)然0時，則現(xiàn)乎-1）在雙曲線一一§=1,可得/一七止=1,所以”1不合題意舍,

②當(dāng)直線2。的斜率存在時，設(shè)直線8。的方程為〉=履+加，3（占,乂），。（無2，%），

2y_[

聯(lián)立-一9='得(8—二卜2-2kmx—m2-8=0,

y=kx+m,

8-左2。02km/+8

當(dāng)0\J*，%+Xy-i-,

12x,x.=---------

A>08-F128-左2

因為四邊形48cZ）為矩形，所以/3_LAD,

所以48-4D=(XT,另)?(>T,4)=(再-1)(%-J+K%=C，

2

所以(X]-1)(%—1)+(區(qū)]+m^(kx2+m)=+1卜]/+(A7W-1)(X]+X2)+/M+1=0,

所以—（父+1）（二+8）2km（km-T）任/乂〃?』）=

8-F8-F8-F-

所以7加2-2癡-9后2=0,

9

所以（加+左）（7加一9人）=0,所以加=-左或加=,左，

當(dāng)〃?=-左時，直線2D的方程為了=近-左=左（》-1）,恒過定點/（L0）,不合題意，舍去.

答案第16頁，共20頁

當(dāng)機=1左時，直線AD的方程為y=Ax+g"=左1+3］,恒過定點［一孑0

綜上①②，直線80恒過定點,2。］.

⑵見解析

⑶陷

【分析】(1)由題意函數(shù)〃x)=ln(x+l)在x=0處的口J階帕德近似尺00=中舒,對“X)

求二階導(dǎo)，由/(0)=火(O),f'(O)=R(O),/"(O)=R'(O),可求出R(x)；

(2)作差，構(gòu)造函數(shù)尸(x)=/(x)-R(x),(%>-1),求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，即可

求出結(jié)果；

(3)函數(shù)〃(x)在(0,包)上存在極值，即其導(dǎo)數(shù)在(0,+8)上有變號零點，構(gòu)造函數(shù)

g(x)=mx2+X-(x+1)/H(X+1),x>0,求導(dǎo)，分析該函數(shù)的單調(diào)性和最值，利用零點存在定理

可得結(jié)果.

【詳解】(1)由〃x)=ln(x+l)得/(》)=士，/5)=-正勺，

則函數(shù)［(x)=In(尤+1)在x=0處的［1,1］階帕德近似函數(shù)五⑶=?詈，

由于/(0)=火(0)=0,所以。。=0,

a-aa

?L—(bx+1)——

故R(x)=/=b_______b_=-__

\+bx1+bxb\+bx

R\x)=—J,R\x)=--網(wǎng)l，

「(1+法y'(1+M

Q=1

因為八0)=R(0),因(0)=H"(0),所以

2ab=V

答案第17頁，共20頁

解得a=1,方=g.

所以NG=1+一Lx+2

2

(2)令尸(x)=/(x)-R(x),(x>-l),

2

4_(X+2)-4(X+1)彳2

貝”GA.-RGh」X)恒成立,

x+1(x+2y-(x+1)(尤+2y(尤+l)(x+2)2

所以尸(x)在(-1,+8)上單調(diào)遞增,且尸(0)=0,

所以當(dāng)-1<XV0時,尸(x)<0,Bp/(x)<7?(x),

當(dāng)