統(tǒng)計(jì)與概率：條件概率、全概率公式與貝葉斯公式、全概率公式與數(shù)列遞推問題

專項(xiàng)訓(xùn)練

考點(diǎn)一條件概率

1.（24-25高二下?山東荷澤?期末）假定生男孩和生女孩是等可能的，現(xiàn)隨機(jī)選擇一個(gè)有兩個(gè)小孩的家庭，已知該家

庭有女孩，則兩個(gè)小孩都是女孩的概率是（）

A.-B.4C.-D.-

3234

【答案】C

【詳解】用6表示男孩，g表示女孩，則樣本空間C={6g,gb,歷,gg},

用A表示事件“選擇的家庭中有女孩”，B表示事件“選擇的家庭中兩個(gè)小孩都是女孩"，則A={bg,gb,gg},3={gg}.

則〃（A）=3,n（AB）=n（B）=l,

所以“在選擇的家庭有女孩的條件下，兩個(gè)小孩都是女孩”的概率為尸（引力=m符=?.

故選：C.

2.（24-25高二下?貴州安順?期末）某班級(jí)組織抽獎(jiǎng)活動(dòng)，共有10個(gè)外觀相同的抽獎(jiǎng)盒，其中3個(gè)盒子有獎(jiǎng)品，7

個(gè)盒子為空盒.現(xiàn)甲、乙兩名同學(xué)依次抽獎(jiǎng)（甲抽完后不放回），則在甲沒有抽到獎(jiǎng)品的情況下，乙抽到獎(jiǎng)品的概

率是（）

A.-B.—C.-D.-

31049

【答案】A

【詳解】10個(gè)外觀相同的抽獎(jiǎng)盒，其中3個(gè)盒子有獎(jiǎng)品，7個(gè)盒子為空盒.

現(xiàn)甲、乙兩名同學(xué)依次抽獎(jiǎng)，則在甲沒有抽到獎(jiǎng)品的情況下，乙抽到獎(jiǎng)品的概率是■3!=§1.

故選：A.

3.（24-25高二下?福建?期末）從編號(hào)1?10的10張卡片中依次不放回地抽出兩張，記事件A：“第一次抽到的卡片

編號(hào)數(shù)字為5的倍數(shù)”，事件8：“第二次抽到的卡片編號(hào)數(shù)字小于第一次"，則P（B|A）=（）

A.2B.上c.1D.”

318918

【答案】B

【詳解】由題意，在1~10這10個(gè)數(shù)字中，5的倍數(shù)有5、10,共2個(gè)，

9i

所以事件A發(fā)生的概率尸（A）=而=丁

記事件表示“第一次抽到的卡片編號(hào)數(shù)字為5的倍數(shù)且第二次抽到的卡片編號(hào)數(shù)字小于第一次”,

若第一次抽到5,那么第二次從剩下9張卡片中抽小于5的卡片，有4種抽法；

若第一次抽到10,那么第二次從剩下9張卡片中抽小于10的卡片，有9種抽法；

所以尸（AB）=22=上

"以I'A；。90,

根據(jù)條件概率公式,

故選：B.

4.（24-25高二下?天津西青?期末）經(jīng)統(tǒng)計(jì)，某射擊運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行兩次射擊時(shí)，第一次擊中9環(huán)的概率為0.7,此運(yùn)動(dòng)

員兩次均擊中9環(huán)的概率為0.56,則在第一次擊中9環(huán)的條件下，第二次也擊中9環(huán)的概率，（）

A.0.392B.0.56C.0.8D.0.9

【答案】C

【詳解】設(shè)第一次擊中9環(huán)為事件A,第2次擊中9環(huán)為事件8,

由題可得尸網(wǎng)=0.7,P（AB）=0.56,

則在第一次擊中9環(huán)的條件下，第二次也擊中9環(huán)的概率為P（叫A）=窄野=*=0-8.

故選：C

5.（24-25高二下?福建三明?期末?多選）設(shè)A,3是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，且尸（A）=:，P（AB）=-^,

B

1

修-

D.6-

5

5

網(wǎng)

詳

因?yàn)棰?/p>

對(duì)A---

A:-1216-

一2

對(duì)B：由尸（A）=P（A8）+尸（A可，所以P（A^）=P（A）—P（A3）=g—?dú)v=歷，故B正確;

對(duì)C：由尸（同可且尸（可=1一尸（田=；,所以尸（血）=尸僅團(tuán)尸（4）=］；=；,

所以P（8）=P（M）+P（A8）=：+K=g,故C錯(cuò)誤；

，一、15

對(duì)D：因?yàn)椤福ㄍ珹）=g^=P^”5A故D正確?

v17P（A）P（A）16

2

故選：ABD

1一3

6.(24-25高二下?福建?期末?多選)若A5是一次隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，P(A)=1,P(B)=-,2P(A+B)=5P(AB),

則下列結(jié)論正確的有()

-1

A.A與5相互獨(dú)立B.P(AB)=—

1o

C.P(B|A)=-D.P(B|(A+B))=-

【答案】BCD

1—9-31

【詳解】由題設(shè)P(A)=§,P(A)=§，P(3)=]，尸(為="

由尸(A+B)=P(A)+P(B)~P(AB),且2P(A+3)=5P(AB),

771

所以彳RABn/VO+aBu；；；,則P(A3)=:wP(A)尸(3),A錯(cuò);

2126

_1

由尸(3)=/(AB)+P(A3),貝！|P(AB)=一,B對(duì);

由尸（即”箭

=],C對(duì);

由：尸P((A+B)cB)P(B)_3

P(A+8)=(AB)=K,則尸（用（A+2））=對(duì).

~P(A+B)-P(A+8)-二D

故選：BCD

7.（24-25高二下?山東荷澤?期末）在數(shù)字通信中，信號(hào)是由數(shù)字。和1組成的序列.由于隨機(jī)因素的干擾，發(fā)送的

信號(hào)?；?有可能被錯(cuò)誤地接收為1或0.已知發(fā)送信號(hào)0時(shí)，接收為。和1的概率分別為0.8和0.2；發(fā)送信號(hào)1

時(shí)，接收為1和0的概率分別為0.9和0」.假設(shè)發(fā)送信號(hào)0和1是等可能的，則接收信號(hào)為1的概率是.

【答案】0.55

【詳解】設(shè)4="發(fā)送的信號(hào)為0"，3="接收到的信號(hào)為0"，則^="發(fā)送的信號(hào)為1"，B="接收到的信號(hào)為1”.由

題意得

P(A)=P(A)=0.5,尸(81A)=0.8,P{B\A)=0.2,

P(B|A)=0.1,P(B|A)=0.9,

P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=0.5x0.2+0.5x0.9=0.55.

故選：0.55.

11_3

8.（24-25高二下?江蘇南京?期末）設(shè)A,B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)隨機(jī)事件，且尸（A）=『P（B）=5,P（A+2）="

則尸（回A）=

【答案】y/0.25

4

【詳解】因?yàn)槭ˋ）=g,尸（2）=g,

所以尸（A+月）=尸網(wǎng)+尸（豆）一尸（質(zhì)）=§+/_尸（4國="

解得尸（/"-）、=丘1|

P(A國J

所以P（引A）

P(A)~4

故答案為：］

9.（24-25高二下?福建福州?期末）福州一中舉行數(shù)學(xué)文化知識(shí)競賽，比賽規(guī)定：主持人每公布一題，甲、乙兩人就

立刻搶答，先搶答者，若答對(duì)，可得1分；若答錯(cuò)，則對(duì)手得1分；誰先得3分，誰就勝出，比賽結(jié)束.假設(shè)兩人

每一次搶到題的概率均為;，甲、乙兩人答對(duì)每道題的概率分別為：，且兩人答題正確與否互不影響.

242

（1）在某次搶答中，求甲得1分的概率；

⑵在某次搶答中，在乙得1分的條件下，求乙答對(duì)這個(gè)題的概率；

（3）比賽進(jìn)行中，若甲、乙暫時(shí)各得1分，兩人繼續(xù)搶答了X題后比賽結(jié)束，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

【答案】⑴1

O

（2）|;

（3）22.

32

【詳解】（1）由題意，某次搶答中甲得1分的情況有甲搶到題且答對(duì)，或乙搶到題且答錯(cuò)，

所以某次搶答中甲得1分的概率為:，。［（1二）=。；

24228

（2）由題意，某次搶答中乙得1分的情況有甲搶到題且答錯(cuò)，或乙搶到題且答對(duì)，

所以某次搶答中乙得1分的概率為：1x（l-3）+911：3=白

24228

其中乙搶到題且答對(duì)的概率為:,

1

所以某次搶答中，在乙得1分的條件下乙答對(duì)這個(gè)題的概率為。=］;

8

(3)由題設(shè)，X的可能值為2,3,且每次甲、乙得1分的概率分別為?5、f3,

88

所以P(X=2)=±5x±5+33x33=—17

888832

10.(24-25高二下?山東臨沂?期末)某選手參加一項(xiàng)人工智能機(jī)器人PK比賽，規(guī)則如下：該選手的初始分為20分,

每局比賽，該選手勝加10分；平局不得分；負(fù)減10分.當(dāng)選手總分為0分時(shí)，挑戰(zhàn)失敗，比賽終止；當(dāng)選手總分

為30分時(shí)‘挑戰(zhàn)成功’比賽終止；否則比賽繼續(xù).已知每局比賽選手勝、平、負(fù)的概率分別為;且各局比

賽相互獨(dú)立.

(1)求兩局后比賽終止的概率;

(2)在3局后比賽終止的條件下，求選手挑戰(zhàn)成功的概率;

(3)在挑戰(zhàn)過程中，選手每勝1局，獲獎(jiǎng)5千元.記”("210)局后比賽終止且選手獲獎(jiǎng)1萬元的概率為P(w),求P(〃)

的最大值.

【答案】⑴弓3

16

⑵：

⑶梟

【詳解】(1)設(shè)每局比賽甲勝為事件A，每局比賽甲平為事件與，每局比賽甲負(fù)為事件G[eN*),

設(shè)“兩局后比賽終止”為事件刊，

因?yàn)槠迨峙c機(jī)器人比賽2局，所以棋手可能得0分或30分比賽終止.

(i)當(dāng)棋手得分為。分，則2局均負(fù)，即GC?；

(ii)當(dāng)棋手得分為30分，則2局先平后勝，即月

因?yàn)镚C?、用&互斥，所以P(M)=P(CC+44)=P(GC2)+P(44)

=P(G)PC)+P⑻尸(4)=口2+2卜

3

所以兩局后比賽終止的概率為二.

16

(2)設(shè)“3局后比賽終止”為事件。，“3局后棋手挑戰(zhàn)成功”為事件E.

因?yàn)镻(D)=p(B、B2A+BGC3+G&A,+C]B2C3)

⑷424⑷404448

P(E)=P(4%%+G4A)

所以在3局后比賽終止的條件下，棋手挑戰(zhàn)成功的概率為

P(DE)_P(E)3

尸仍⑼

P(D)=麗4

所以在3局后比賽終止的條件下，棋手挑戰(zhàn)成功的概率為:3.

(3)因?yàn)槭缶肢@獎(jiǎng)勵(lì)1萬元，說明甲共勝2局.

(i)當(dāng)棋手第"局以0分比賽終止，說明前”-1局中有3負(fù)2勝，

且是“負(fù)勝負(fù)勝負(fù)”的順序，其余均為平局，共有C"種，

(ii)當(dāng)棋手第〃局以30分比賽終止，說明前九-1局中有1負(fù)1勝,

且是先負(fù)后勝的順序，其余均為平局，共有C"種，

則“n(n210)局后比賽終止且棋手獲得1萬元獎(jiǎng)勵(lì)”的概率

(?>10).

P(71+l)1,第+c

所以

尸⑺4C"C；

C：+C"4CD?-4%+?-4C：T)

(〃一(n——4)(20-3H)

—2120

因?yàn)椤?io,所以C；+C：-4c3-4C：T<0,

_P(n+1)/、

所以}〃)<1'所以尸⑺單調(diào)遞減，

QI

所以當(dāng)〃=10時(shí)，P⑻取最大值為網(wǎng)10)=養(yǎng).

11.(24-25高二下?河南駐馬店?期末)某人工智能芯片需經(jīng)過兩道獨(dú)立的性能測(cè)試.首次測(cè)試(測(cè)試I)通過率為P

未通過測(cè)試I的芯片進(jìn)入第二次測(cè)試(測(cè)試II),通過率為q(0<4<1).通過任意一次測(cè)試即為合格

芯片，否則報(bào)廢.

(1)若某批次生產(chǎn)了〃枚芯片，合格數(shù)為隨機(jī)變量X.當(dāng)p=0.8,q=0.5時(shí)，求X的期望與方差；

(2)已知一枚芯片合格，求這枚芯片是通過測(cè)試I的概率.

【答案】⑴E(X)=0.9〃，￡>(X)=0.09n

p

(2)-------------

p+(\-p)q

【詳解】(1)設(shè)事件人芯片合格，

則每個(gè)芯片通過測(cè)試的概率為P(A)=。+(1-初4=0.8+(1-0.8)x0.5=0.9,

于是X~8(”,0.9),

則E(X)=0.9n,D(X)=0.972-(1-0.9)=0.09/7.

(2)記事件人芯片合格，事件8：通過測(cè)試I,事件C：通過測(cè)試H.

由題意得尸(A)=P(B)+P(B)P{C\B)=p+(l-p)q,

P(AB)=尸(B)尸(A\B)=p-l=p,

產(chǎn)(AB)

貝”(MA)=P

尸(A)。+(i-p)q

p

故所求概率為

p+(l-p)q

12.(24-25高二下?山東濟(jì)寧?期末)某校航空航天社團(tuán)學(xué)生利用AI訓(xùn)練平臺(tái)對(duì)無人機(jī)完成飛行任務(wù)進(jìn)行訓(xùn)練.無人

機(jī)每輪訓(xùn)練有以下規(guī)律：若上一輪成功，本輪成功概率為P；若上一輪失敗，本輪成功概率為已知首輪成功概

24

率為且前兩輪都成功的概率為§.

⑴求P;

(2)在三輪訓(xùn)練中，求第一輪失敗的條件下，第二輪、第三輪都成功的概率；

(3)設(shè)隨機(jī)變量X表示三輪訓(xùn)練中成功的次數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

2

【答案】⑴p=]

⑵2

9

(3)分布列見解析，白47

【詳解】(1)設(shè)41=1,2,3)表示第i輪訓(xùn)練成功.

492

由尸(44)=尸(A)尸(4IA)得:-=解得：P=~,

⑵444閭=尸(4閭.尸(4iA4)=gx§=§,

(3)隨機(jī)變量X的所有取值可能為0,1,2,3.

p(x=o)=p(4)-F(AI4)^(AIAA)=|x|x|=±,

P(X=I)=尸(Aj.p區(qū)闖.尸(AIAH)+P?).尸(&閭.P(AI44)

+P(A)，P(41A)，(&?A&)=gxgxg+gx；x；+gxgxg

-27,

尸(X=2)=尸(A)尸(4IA)尸(WlA4)+尸(A)PpjA)尸(4IA%)

+P(4)，(414)I44)=gx'|><g+gxgxg+gxgxg

_8

-27,

992R

P(X=3)=P(A)-P(4IA)^(4IA4)=-X-X-=—.

所以隨機(jī)變量X的分布列為

X0123

4788

P

27272727

13.(24-25高二下?廣東廣州?期末)一批筆記本電腦共有10臺(tái)，其中A品牌3臺(tái)，B品牌7臺(tái).

(1)若每次從中隨機(jī)抽取1臺(tái)，抽取后不再放回，則在第一次抽到A品牌的條件下，第二次抽到8品牌的概率;

(2)若從中隨機(jī)抽取2臺(tái)，求這2臺(tái)電腦中A品牌臺(tái)數(shù)的分布列和期望.

7

【答案】(i)§

3

(2)分布列見解析，-

【詳解】(1)由題意得，設(shè)事件C：第一次抽到A品牌；設(shè)事件。：第二次抽到B品牌

/、,,/、,,n(CD}217

法一：?C=CC=27,nCD=CC=21,AP(D\C)=.

、/、,“(C’279

7

二每次不放回抽取，則在第一次抽到A品牌的條件下，第二次抽到8品牌的概率

（2）設(shè)挑選2臺(tái)電腦中A品牌的臺(tái)數(shù)為X,則X的可能取值為0,1,2.根據(jù)古典概型的知識(shí)可得X的分布列為

P（X=0）=等=（,P（X=1）=號(hào)?=（,P（X=2）=憐

JoIJJoLJLqoLJ

用表格表示X的分布列，如圖所示

14.（24-25高二下?河北石家莊?期末）在學(xué)校趣味運(yùn)動(dòng)會(huì)上，有一個(gè)限時(shí)通過障礙的項(xiàng)目，闖關(guān)者在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)

到達(dá)終點(diǎn)視為闖關(guān)成功，否則視為闖關(guān)失敗.甲、乙兩班各有3人參加此項(xiàng)目，已知甲班3名隊(duì)員闖關(guān)成功的概率分

別為:，。（0＜。＜1）,乙班每名隊(duì)員闖關(guān)成功的概率均為;，且各個(gè)隊(duì)員闖關(guān)是否成功互不影響.

（1）若p=；,求在甲、乙兩班共有4人闖關(guān)成功的條件下，甲、乙兩班闖關(guān)成功的人數(shù)相同的概率；

（2）記甲、乙兩班闖關(guān)成功的人數(shù)分別是x,y,若E（x）＞E（y）,求P的取值范圍.

【答案】（1）||

⑵目

【詳解】（1）設(shè)“甲、乙兩班共有4人闖關(guān)成功”為事件A,“甲、乙兩班闖關(guān)成功的人數(shù)相同”為事件B.

事件A可以分為以下三種情況：甲班1人，乙班3人；甲班2人，乙班2人（即事件3）；甲班3人，乙班1人.1

分

甲班有1人，乙班有3人闖關(guān)成功的概率是

甲班有2人，乙班有2人闖關(guān)成功的概率是層。升:“tN+DgW一

甲班有3人,乙班有1人闖關(guān)成功的概率是小其卜q.T$

111159

所以尸（A）=---1--1--=--

6481854648

/\17,X36

又尸（A0=R,所以尸（叫力二號(hào)討=而，即在甲、乙兩班共有4人闖關(guān)成功的條件下，甲、乙兩班闖關(guān)成功的

人數(shù)相同的概率為2.

(2)X的可能取值為0,1,2,3,

尸（X=l）=；x（l—7）x[l—+——+——

尸—2）=%“1-25（1一心“一寸"0

3g+|/+313

所以儀X）=0XG（1—p）+lx+2xX~P=p+—,

o28）84

（3,；）,所以E（y）=3x；=l.

由題意知yB

3i

因?yàn)镋(x)>E(y),所以p+：>l,解得

又0<”1,所以P的取值范圍是

考點(diǎn)二全概率公式與貝葉斯公式

1.（24-25高二下?山東濟(jì)寧?期末）某公司升級(jí)了智能客服系統(tǒng)，當(dāng)輸入的問題表達(dá)清晰時(shí)，智能客服的回答被采納

Q1

的概率為1,當(dāng)輸入的問題表達(dá)不清晰時(shí)，智能客服的回答被采納的概率為3.已知輸入的問題表達(dá)不清晰的概率

為:?則智能客服的回答被采納的概率為（）

A.2B.3C,1D.3

3456

【答案】B

【詳解】設(shè)輸入的問題表達(dá)清晰為事件A,回答被采納為事件3,

則尸⑷=1一〉*尸⑷W，尸（A⑻=|,尸回q

__QQ11Q

根據(jù)全概率公式，P（B）=P（A）P（A|B）+P（A）P（A|B）=-x-+-x-=-.

故選：B.

2.（24-25高二下?貴州黔西?期末）某班級(jí)學(xué)生男生占60%,女生占40%,男生近視率為30%,女生近視率為25%.

隨機(jī)選一人發(fā)現(xiàn)近視，則此人是男生的概率為（）

A.1B.1C.2D.』

25144

【答案】C

【詳解】事件A="選一人是男生"，3=“選一人發(fā)現(xiàn)近視”，

貝UP（A）=0.6,P（A）=0.4,P（B\A）=0.3,P（B|A）=0.25,

因此P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=0.6x0.3+0.4x0.25=0.28,

所以此人是男生的概率為尸（加2）二郎尸(A)P(3|A)_0.6xO3_9

P(B)0.28-14,

故選：C

3.（24-25高二下?海南?階段練習(xí)）王剛是校足球隊(duì)的替補(bǔ)球員，已知每場比賽王剛上場的概率為:，校足球隊(duì)獲勝

的概率為:，若王剛上場的情況下校足球隊(duì)獲勝的概率為則校足球隊(duì)獲勝的比賽中王剛上場的概率為（）

/5

A.yB.-C.—D.-

25105

【答案】B

【詳解】若A表示王剛上場，3表示足球隊(duì)獲勝,

113

則尸⑷=],P(B)=m，P(B\A)=-f

13

—x—

所以…普="產(chǎn)352

15

2

故選：B

4.（24-25高二下?福建泉州?期末）某倉庫里混放著來自第一、第二兩個(gè)車間的同型號(hào)的電器，第一、二車間生產(chǎn)電

器的產(chǎn)品比例為2:3,已知第一車間的電器次品率為3%,第二車間的電器次品率為8%.今有一客戶從電器倉庫中

隨機(jī)提一臺(tái)產(chǎn)品，設(shè)此產(chǎn)品是次品的概率為為；若此產(chǎn)品是次品，則此次品來自第一車間的概率為那么（）

【答案】D

OQQQQ

【詳解】依題意，由全概率公式得P]=*x=、+2x上=±,

5100510050

23

一x---1

由條件概率公式得2=

50

故選：D

5.（24-25高二下?黑龍江哈爾濱?期末?多選）有三個(gè)相同的箱子，分別編號(hào)1,2,3,其中1號(hào)箱內(nèi)裝有4個(gè)綠球、

1個(gè)紅球，2號(hào)箱內(nèi)裝有2個(gè)綠球、3個(gè)紅球，3號(hào)箱內(nèi)裝有5個(gè)綠球，這些球除顏色外完全相同.某人等可能從三個(gè)

箱子中任取一箱并從中摸出一個(gè)球，事件A表示“取到i號(hào)箱。=1,2,3）”，事件8表示“摸到綠球”，事件C表示“摸到

紅球”，則（）

A.尸（叫&）=|B.P（B|4）+P（C|A）=P（4）

C尸（B）=gD./4忸）=：

【答案】ACD

【詳解】由題意可知P（A）=P（4）=P（A）=g，P（冏4）=*P（qA）=g，P（B|4）=|,A正確，B錯(cuò)誤;

網(wǎng)3囿）=1，*8）=*4）網(wǎng)叫4）+尸（4）尸（叫4）+*4）網(wǎng)叫4）=*c正確；

14

尸（4忸）=萼孚4.

=—?D正確;

I恒/尸⑻11

15

故選：ACD.

6.（24-25高二下?河北承德?期末?多選）某商場的抽獎(jiǎng)區(qū)有紅、黃、綠三個(gè)不透明的盒子，其中紅盒內(nèi)有3個(gè)紅球、

2個(gè)黃球和1個(gè)綠球，黃盒內(nèi)有2個(gè)紅球、1個(gè)綠球，綠盒內(nèi)有1個(gè)紅球、2個(gè)黃球.規(guī)定第一次先從紅盒內(nèi)任取1

個(gè)球，再將取出的球放入與球同色的盒子中，第二次從被放入球的盒子中任取1個(gè)球.規(guī)定每次抽球均能獲得優(yōu)惠

券，抽到紅球獲得1張優(yōu)惠券，抽到黃球獲得2張優(yōu)惠券，抽到綠球獲得3張優(yōu)惠券，每張優(yōu)惠券的金額相同，顧

客最終獲得的優(yōu)惠券張數(shù)為兩次抽球所得的優(yōu)惠券張數(shù)的和，則下列說法正確的是（）

A.在第一次抽到黃球的條件下，第二次仍抽到黃球的概率是:

B.顧客最終獲得6張優(yōu)惠券的概率是]

C.第二次抽到紅球的概率是三

D.若第二次抽到紅球，則它來自綠盒的概率為:

【答案】AD

【詳解】A：在第一次抽到黃球的條件下，第二次抽黃盒中共有4個(gè)球，里面黃色的球?yàn)?個(gè)，所以抽到黃球的概

率為尸=[，故A正確；

B：顧客最終獲得6張優(yōu)惠券顧客需要抽到2個(gè)綠球，則第一次抽到綠球的概率為第二次在綠盒中抽到綠球的

6

概率為所以顧客最終獲得6張優(yōu)惠券的概率為=故B錯(cuò)誤；

46424

C：設(shè)第一次從紅盒中抽到紅球?yàn)锳事件，第一次從紅盒中抽到黃球?yàn)锽事件，第一次從紅盒中抽到綠球?yàn)镃事件，

第二次從紅盒抽到紅球?yàn)锳事件，第二次從黃盒抽到紅球?yàn)樗臼录诙螐木G盒抽到紅球?yàn)镚事件，設(shè)第二次抽

到紅球?yàn)?。事?

則尸（4）=1=；，P（AIA）=|=|,尸⑻=]=；，尸（4⑻=灣，P（C）=1，P（G?=]

所以尸（0=尸⑷尸（A|A）+P⑻尸（用⑻+P（C）P（GIC）=；X；+：X；+：X；=9故C錯(cuò)誤;

乙乙J乙l"

11

―x-j

P(C)P(C1|C)

D：第二次抽到紅球，則它來自綠盒的概率為=故D正確.

P(D)

24

故選：AD.

7.（24-25高二下?北京豐臺(tái)?期末）某手機(jī)銷售店只銷售甲、乙兩個(gè)品牌的手機(jī)，其中甲品牌的銷售量占本店手機(jī)銷

售量的40%,優(yōu)質(zhì)率為80%,乙品牌的優(yōu)質(zhì)率為90%.從該店中隨機(jī)買一部手機(jī)，貝廣買到的是優(yōu)質(zhì)品”的概率

為.

43

【答案】0.86/—

50

【詳解】買到的是優(yōu)質(zhì)品的概率是0.6x0.90+04x0.8=0.86.

故答案為:0.86.

8.(24-25高二下?山東荷澤?期末)在數(shù)字通信中，信號(hào)是由數(shù)字0和1組成的序列.由于隨機(jī)因素的干擾，發(fā)送的

信號(hào)?；?有可能被錯(cuò)誤地接收為1或0.已知發(fā)送信號(hào)0時(shí)，接收為。和1的概率分別為0.8和0.2；發(fā)送信號(hào)1

時(shí)，接收為1和0的概率分別為0.9和0.1.假設(shè)發(fā)送信號(hào)0和1是等可能的，則接收信號(hào)為1的概率是.

【答案】0.55

【詳解】設(shè)4="發(fā)送的信號(hào)為0"，3="接收到的信號(hào)為0",則］="發(fā)送的信號(hào)為1"，B="接收到的信號(hào)為1”.由

題意得

P(A)=P(A)=0.5,尸(81A)=0.8,P(B\A)=0.2,

P(B|A)=0.1,P(B|A)=0.9,

P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=0.5x0.2+0.5x0.9=0.55.

故選：0.55.

9.(24-25高二下?北京海淀?期末)AI幻覺，是指AI模型生成看似合理但實(shí)際不正確或毫無事實(shí)依據(jù)的信息的現(xiàn)

象.AI幻覺率是指AI模型產(chǎn)生AI幻覺的概率.現(xiàn)抽取了由甲、乙、丙、丁四個(gè)公司研發(fā)的14個(gè)使用率較高的AI

模型，其幻覺率如下表所示：

公司甲乙丙T

AI模型1234567891011121314

幻覺率1.3%1.8%2.9%1.5%1.9%2.9%0.7%0.9%1.6%2.4%0.8%1.6%2.4%2.8%

(D從表中提供的A1模型中任取一個(gè)，求該模型幻覺率低于2%的概率；

⑵從表中提供的幻覺率低于2%的AI模型中任取3個(gè)，用隨機(jī)變量X表示其中幻覺率低于1.3%的模型個(gè)數(shù)，求隨

機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

⑶已知某同學(xué)向表中乙或丙公司的某個(gè)AI模型進(jìn)行了一次提問，經(jīng)查證，該模型產(chǎn)生了AI幻覺，則該模型來自哪

個(gè)公司的可能性更大？(結(jié)論不要求證明)

9

【答案】⑴R

(2)答案見解析

(3)乙公司的可能性更大

【詳解】(1)14個(gè)AI模型，幻覺率高于2%的有2.9%,2.9%,2.4%,2.4%,2.8%,共有5個(gè)，所以幻覺率低于2%

的概率為1-25■=9

1414

(2)幻覺率低于2%的AI模型中共有9個(gè)，其中幻覺率低于1.3%的模型有3個(gè)，故X=0,l,2,3,

尸（X=O）=|b|^，P（X=l）=魯哈尸（x=2）=等嗡尸（X=3）=|^$，故分布列為

K--gO^T\gjO1V_^yOIOM"

X0123

2045181

P

84848484

“l(fā)/s八20I45-18。1?

E（X）—OxF1xF2xF3x—=1

\）84848484

（3）來自于乙公式的概率大，理由如下：

M=”模型來自于乙公司"，N="模型來自于丙公司”,

K="AI模型的編號(hào)為i"，i=4,5,6,M="AI模型的編號(hào)為廣，7,8,9,10,,

B="AI模型產(chǎn)生了AI幻覺”

則“心）=尸（場）=",

則P（B|M4）=1.5%,P（B|M5）=1.9%,P（B|M6）=2.9%,

尸（叫（叫

P（B|?/7）=0.7%,M）=0.9%,P（8|N9）=1.6%,PMo）=2.4%,

則尸（B）=尸（同監(jiān)）尸（%）+于（身叫）尸（M）+尸但&）尸（％）+尸（叫的）尸處）+尸（可乂）尸（砥）

+網(wǎng)陰乂）尸（N/+P（同N]0）P（N[0）="x（1.5%+1.9%+2.9%+0.7%+0.9%+1.6%+2.4%）=1.7%,,

由于M=M4口〃5N=N7u乂口乂uNo,

6

1

ZP（BM）P（M）—X（1.5%+1.9%+2.9%）

所以0.9%9

P[M\B）=i=47

P⑻1.7%1.7%17

1

—x（0.7%+0.9%+1.6%+2.4%）

0.8%

P（N|B）=上78,

尸⑻1.7%1.7%17

98

由于。＞5,因此模型來自乙公司的概率大

10.（2025?四川成都?一模）以“‘智’在必得”為主題的人工智能知識(shí)挑戰(zhàn)賽預(yù)賽由6道正誤判斷題組成，每位選手從

中隨機(jī)抽取3道，若能全部回答正確，則通過預(yù)賽.已知選手甲會(huì)做其中的4道題.

（1）設(shè)X表示選手甲抽到會(huì)做題目的道數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和方差；

（2）假設(shè)選手甲會(huì)做的題全部答對(duì)；不會(huì)做的題隨機(jī)判斷，答對(duì)的概率為，若各題作答結(jié)果互不影響，求他通過預(yù)

賽的概率.

2

【答案】（1）分布列見解析，!

⑵口

20

【詳解】（1）根據(jù)題意X=l,2,3.

C；C；=4J

P（X=1）

C；一或一M

C2cl

*X=2）=皆123

205

所以X的分布列為

X123

131

P———

555

i劣i

故隨機(jī)變量X的期望E（X）=1X《+2><M+3XM=2.

所以X的方差O（X）=（l_2）2x（+（2_2）2xg+（3_2）2x1=|.

（2）設(shè)事件4=“選手甲抽到i道會(huì)做的題目，，=1,2,3”，事件3=“選手甲通過預(yù)賽”,

則。\?4，A，4,A?兩兩互斥，3=45+43+43.

由⑴知，尸（A）=g.又尸（B|A）=ixg）=；.

所以P（AB）=P（A）J（B|A）=3：=1.

313

同理，P（AB）=P（^）.P（B|4）=-xl2x-=-.

3

P（A35）=P（A）^（B|4）=|X1=1.

由全概率公式得，選手甲通過預(yù)賽的概率w8）=：+宗+!=蔣.

11.（24-25高二下?河北石家莊?期末）有甲乙兩個(gè)袋子，袋子里有形狀大小完全相同的球.其中甲袋中有3個(gè)紅球7

個(gè)白球，乙袋中有4個(gè)紅球6個(gè)白球.從兩袋中等可能的選一個(gè)袋子,再從該袋中隨機(jī)摸出一球,稱為一次摸球試驗(yàn)，

多次做摸球試驗(yàn)直到摸出白球，試驗(yàn)結(jié)束.

（1）求首次摸球后試驗(yàn)就結(jié)束的概率；

（2）在首次摸出紅球的條件下，求選到的袋子是乙袋的概率；

（3）在首次摸出紅球的條件下，將紅球放回原袋中，繼續(xù)第二次摸球試驗(yàn)，有如下兩個(gè)方案：方案一：從原袋中摸球;

方案二：從另外一個(gè)袋子中摸球.

請(qǐng)通過計(jì)算，說明哪個(gè)方案能使第二次摸球后試驗(yàn)結(jié)束的概率更大.

13

【答案】⑴刀;

（2）y;

（3）方案二.

【詳解】（1）設(shè)摸球一次，“取到甲袋”為事件A，“取到乙袋”為事件4,“摸出白球”為事件耳，“摸出紅球”為事件生.

則尸⑻=尸⑷尸（片聞+尸（&）尸聞亮

所以首次摸球后試驗(yàn)就結(jié)束的概率為總13.

7

（2）由題意，和約為對(duì)立事件，貝iJP（&）=1—P（4）=前，

1色

貝1JP（4同）=勺^=普=;

20

所以選到的袋子是乙袋的概率是，4.

（3）方案一：從原袋中摸球

若首次在甲袋中摸出紅球，則尸⑷尾）=1-尸（4忸2）=1'=小

原袋（甲袋）中摸出白球的概率17，所以第二次摸球后試驗(yàn)結(jié)束的概率3為會(huì)7彳=3小

若首次在乙袋中摸出紅球，則尸（閡當(dāng)）=，

原袋（乙袋）中摸出白球的概率2=（,所以第二次摸球后試驗(yàn)結(jié)束的概率為:X：=!|.

綜上，方案一使第二次摸球后試驗(yàn)結(jié)束的概率為怖3+弓12=弓9.

103514

方案二：從另外一個(gè)袋子中摸球

若首次在甲袋中摸出紅球，則P（A區(qū)）=］，

另一個(gè)袋子（乙袋）中摸出白球的概率2=|,所以第二次摸球后試驗(yàn)結(jié)束的概率為

若首次在乙袋中摸出紅球，則P（4忸2）=（

另一個(gè)袋子（甲袋）中摸出白球的概率伉7，所以第二次摸球后試驗(yàn)結(jié)束的概率為］4'木7=，2

綜上，方案二使第二次摸球后試驗(yàn)結(jié)束的概率為言9223

因?yàn)榭此苑桨付沟诙蚊蚝笤囼?yàn)結(jié)束的概率更大.

12.（24-25高二下?福建廈門?期末）某工廠共有甲、乙兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)同一型號(hào)的產(chǎn)品，其中甲生產(chǎn)線每天產(chǎn)量為

20000件，乙生產(chǎn)線每天產(chǎn)量為10000件.其中甲生產(chǎn)線的一等品率為0.2,二等品率為0.8；乙生產(chǎn)線的一等品率

為0.6,二等品率為0.4.將甲、乙兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品均勻混合后隨機(jī)裝箱.

（1）質(zhì)檢人員從混合后的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一件，求抽取到的產(chǎn)品為一等品的概率；

（2）已知每箱中有3件產(chǎn)品，其中二等品的定價(jià)為100元/件，若要使得每箱產(chǎn)品銷售額的期望不低于400元，一等

品應(yīng)該如何定價(jià).

【答案】⑴;

（2）若要使得每箱產(chǎn)品銷售額的期望不低于400元，一等品定價(jià)至少200元/件

【詳解】（1）設(shè)從待裝箱的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一件，其為甲、乙兩條生產(chǎn)線的產(chǎn)品分別記為事件A和事件2,記其為

一等品的為事件C,

依題意可得C=ACBC,且AC,2C互斥，

21131

^P（C）=P（AC）+P（BC）=P（A）P（C|A）+P（B）P（C|B）=-x-+-x-=-,

所以抽取到的產(chǎn)品為一等品的概率g.

（2）由（1）從混合后的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一件，抽到一等品的概率為:，

設(shè)每箱中3件產(chǎn)品中一等品的數(shù)量為隨機(jī)變量X,則X8（3,￡|,

￡（X）=3X1=1,

設(shè)每箱產(chǎn)品銷售額為隨機(jī)變量y,一等品定價(jià)為。元/件，

則y=iiX+（3-X）100=300+（a—100）X,

所以E（y）=E[300+（a-100）X]=300+（a-100）E（X）=a+200,

依題意，E（y）＞400,解得a2200,

所以若要使得每箱產(chǎn)品銷售額的期望不低于400元，一等品定價(jià)至少200元/件.

13.（24-25高三下?云南麗江?階段練習(xí)）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下:若命中，則此人繼續(xù)投

籃，若未命中，則換對(duì)方投籃.無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為:，乙每次投籃的命中率均為!■.

由抽簽決定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率均為

(1)求第2次投籃的人是甲的概率.

(2)記X為前3次投籃中，甲總共投籃的次數(shù)，求X的分布列與期望.

【答案】⑴2；

⑵分布列見解析，395

【詳解】(1)記“第，次投籃的人是甲”為事件4,“第i次投籃的人是乙”為事件修

所以P(4)=P(A)尸⑷A)+尸⑻尸(旬B1)=|x|+|xfi-|LA

(2)