暑假預(yù)習(xí)專題03集合之間的關(guān)系

預(yù)習(xí)三步曲

第一步：導(dǎo)

思維導(dǎo)圖助力掌握知識框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)明確內(nèi)容掌握

第二步：學(xué)

析教材學(xué)」教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)

核心考點精準(zhǔn)練

第三步：測

與提升小試牛刀檢測預(yù)習(xí)效果、查漏補缺快速提升

@串知識?訊框架

蹩知識導(dǎo)圖慌理

嬤學(xué)勾目粽明確

1.掌握子集、真子集、空集的定義及其表示方法（重點）

2.能用符號和維恩圖表示集合間的關(guān)系（重點）

3.理解和辨識集合之間的包含、相等、真包含關(guān)系

4.感悟分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想（重、難點）

5.通過對子集定義的辨析、類比實數(shù)的大小關(guān)系，理解包含關(guān)系的三個結(jié)論（重點）

咽析教材?學(xué)知識

知識點1子集重占

<>令抨，等一。，竊A4曲的，B巾部公痢

定義對于兩個集合Z與8.如果集合2的4個元素都是集合8的元素,那么集合Z叫

做集合8的子集，記作2口8（或83幺），讀作"Z包含于8"（或"8包含Z"）.對

任何集合Z,規(guī)定0口2.

我們常用維恩圖來直觀表示集合以及集合之間的關(guān)系.如圖是Z口B的維恩圖.

特別提醒

（1）表示集合的Venn圖的邊界是封閉曲線，它可以是圓、矩形、橢圓，也可以是其他封閉曲線.

（2）用Venn圖表示集合的優(yōu)點是能直觀地表示集合間的關(guān)系，缺點是集合元素的公共特征不明顯.

*知識剖析

集合間關(guān)系的有關(guān)性質(zhì)

（1）對于集合之間的包含關(guān)系，我們有下列結(jié)論：

①/口A；

②若AjB且BjA,則幺=8;

③傳遞性：若幺之8且則ZqC.

（2）集合關(guān)系中的"若幺78且8口幺，則2=8”與實數(shù)大小關(guān)系中"若aWb且，則

a=b"類似.

嫡酬5學(xué)練下列各式中，正確的個數(shù)是（）

①{0}e{0,1,2}；②{0,1,2}1{2,1,0}；③0u{0,1,2}；@{0,1}={（0,1）}.

A.1B.2C.3D.4

分析根據(jù)元素與集合的關(guān)系，以及空集的定義，集合與集合的關(guān)系，依次判斷即可.

解析對于①，兩個數(shù)集不能用e符號，應(yīng)為{。}1{0,1,2},①錯誤；

對于②，任何集合都是本身的子集，②正確；

對于③，空集是任何集合的子集，③正確；

對于④，集合{0,1}是數(shù)集，有2個元素，集合{（0,1）}是點集，只有1個元素，④錯誤；

所以正確的個數(shù)有2個.

答案B.

妙RR學(xué)即練（2025?上海楊浦?期末）已知集合/={-1,1,2},8={1,內(nèi)-—耳，且3包4,貝口=

分析根據(jù)兩個集合元素之間的關(guān)系，分類討論，列式解方程即可.

解析由題意，BjA,

若x=-l時，4={-1』,2},8={1,-1,2},滿足題意；

若x=2時，/={-1,1,2},8={1,2,2},不滿足集合元素的互異性，不滿足題意；

又=+；>—1,故若x?—x=2時，解得x=_］或x=2,

若x=-l時，/==1,2},滿足題意,

當(dāng)x=2時，4={-1,1,2},8={1,2,2},不滿足集合元素的互異性，不滿足題意；

綜上所述，x=-l.

答案-1.

知識點2真子集重點難點

定義對于兩個集合2與5,如果幺口8,且8中至少有一個元素不屬于Z（即5不是/的子集），那么

稱集合/是集合5的真子集，記作Zu8（或5>2）,讀作"Z真包含于8"（或"8真包含Z"）.

【注意：有的教材對真子集符號表示為幺，8（或5或4）,Z真包含于8（或8真包含Z）】

對于常用的數(shù)集，我們有如下的包含關(guān)系：NuZuQuR.

性質(zhì)

（1）任何集合都不是它本身的真子集.

（2）若A匚B,且則Zu8.

（3）若4uB,且BuC,則/uC.

特別提醒

(1)若A^B和AuB同時成立，則AuB更能準(zhǔn)確表達集合4、B之間的關(guān)系.

(2)真子集是子集的一種特殊情況.

(3)真子集的定義同時也給出了證明Z是8的真子集的方法，即欲證Zu8,可先證2口8,再證8中

至少有一個元素不是集合Z中的元素.

媯RR學(xué)RP練滿足{2,4仁/U{1,2,4,8,16}的集合A的個數(shù)為.

【答案】7

【知識點】判斷集合的子集(真子集)的個數(shù)、求集合的子集(真子集)

分析根據(jù){2,4}=/u{l,2,4,8,16}得到集合A中一定有元素2,4,再與其他幾個數(shù)進行組合，得到滿足要求

的集合N,得到答案.

解析因為{2,4}=Zu{1,2,4,8,16}

所以集合/中一定有元素2,4,

所以滿足要求的集合有{2,4},{1,2,4},{2,4,8},{2,4,16},{1,2,4,8},{1,2,4,16},{2,4,8,16},共7個，

答案7

炒RP學(xué)RP練設(shè)集合N=1x|x=g+：,左ez1,5=|x|x=|+|^ezj,則下列結(jié)論中正確的是

()

A.A=BB.AuBC.AnBD.AC\B=0

分析將兩集合結(jié)構(gòu)化為一致即可判斷.

解析N=]x|x=：+：,左ez1=[x卜左eZ,

RfIkl,Jflk+2J

I163J1|6p

2左+1代表所有奇數(shù)，左+2代表所有整數(shù)

所以

答案B

知識點3集合相等重點難點

定義已知兩個集合幺與8,若,且8。/,則稱這兩個集合相等，記作2=8.如圖是集合

A=B的維恩圖.

r-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

提示兩個集合相等除了用定義、互為集合子集的包含關(guān)系外，也可以用若兩個集合相等，則集合元素之

和、之積相等來解答問題

O辨析比較

”e"與"N"的區(qū)別

"e"是元素與集合之間的關(guān)系，如OeN,不能寫成OqN；"口"是集合與集合之間的關(guān)系(表示集，

合間關(guān)系的還有真包含關(guān)系"￡"如{0}qN,不能寫成{0}eN.

夕即學(xué)即練已知集合”=x+中，葉和「/億知那么，)

A.PjMB.MjPC.M=PD.MjP

分析根據(jù)集合中的元素滿足的特征可得和尸即可求解.

解析由于V(x,y)eM,;xy>(V.x,y同號，又x+y<0,所以％〉均為負數(shù)，故V(x,y)e監(jiān)則(x,y)e尸,

故"仁尸

對于任意尸={(3)1尤<0,歹<0}中的元素，滿足集合Af={(x,y)|x+y<0,中>0},故尸u”,因此

M=P,

答案C

知識點4空集重點

1.空集的定義不含有任何元素的集合稱為空集，記作0

2.空集的性質(zhì)

(1)空集是任何集合的子集，即0^A

(2)空集是任何非空集合的真子集，即0UZ(ZW0)

(3)空集只有一個子集，即它本身.

說明空集是一個特殊且重要的集合，它不含任何元素，在解題過程中容易被忽視，特別是在隱含有空集參與

的集合問題中，往往容易因忽視空集的特殊性而導(dǎo)致錯誤.

O辨析比較

0與0,{0},{0}的關(guān)系

。與0。與{0}0與{0}

相同點都表示無都是集合都是集合

0不含任何元素；0不含任何元素；

不同點。是集合而0是元素

{0}含一個元素o{0}含一個元素，該元素是0

關(guān)系0^00u{O}0匚{0}或0€{0}

知識點5有限集合的子集(真子集)個數(shù)拓展

知識延伸寫出集合{融血}的所有子集，并指出哪些是真子集.

解析可以按照子集的元素個數(shù)分類:

不含任何元素的子集1個：空集0;

含1個元素的子集3個：{a},{c}；

含2個元素的子集3個：(a)b},{a)c},{b)c};

含3個元素的子集1個：{a|b|c}-

除集合{a|b|c}本身外，其余7個都是真子集.

會知識延伸

集合ZA的所有子集子集個數(shù)真子集個數(shù)非空真子集個數(shù)

{?}0,{?}2=2]10

[a,b]0,{a},,{a,b}4=2232

0,{a},,{c},{a,b},{a,

{a,b,c\8=2376

c},{b,c},{a,b,c}

3可想:A—{%,a2,,,,，}2n2"-l2"-2

嫡酬3學(xué)年）練（2024?上海寶山校級月考）滿足｛a｝qMu｛a,b,c｝的集合M的個數(shù)為一個.

分析通過列舉法即可求解.

解析由題意可知：M可以是：｛。｝,｛a,b｝,｛a,c],共3個,

答案3.

知識點6數(shù)軸表示法拓展

1.數(shù)軸法

對于由連續(xù)實數(shù)組成的集合，通常用數(shù)軸來表示，這也屬于集合表示的圖示法:在數(shù)軸上，若端點值是集合中的

元素則用實心點表示;若端點值不是集合中的元素，則用空心點表示.

集合｛x|-1<XW5｝與｛xIx23｝用數(shù)軸表示分別如圖所示.

-----'-----------A_|j

-105%0_______3%

2.數(shù)軸表示集合間的關(guān)系

（1）集合4=｛x|xW3｝與集合B=｛x|xW5｝的關(guān)系是ZuB,用數(shù)軸表示如圖所示.

A.B

012345”

（2）集合4=｛x|x<l或x>3｝與集合B=｛x|x25｝的關(guān)系是5u4,用數(shù)軸表示如圖所示.

B

012345

好練考點?展知識

考點一.判斷兩個集合是否相同

7^例1下列表示同一集合的是()

A.A={1,2},B={2,1}B.4={('/)|2x+y=1},B={y\2x+y=1}

C.4={(3,2)}，5={(2,3)}D.A={2,4},5={(2,4)}

分析直接根據(jù)集合相等的概念進行判斷即可.

解析對于選項由集合元素具有無序性可得：A={1,2}=B={2,1},故/正確；

對于選項2,集合/={(x/)|2x+y=l}表示直線2x+y=l上所有的點構(gòu)成的集合，而集合

3={m2尤+y=l}表示直線2x+y=l上所有的點的縱坐標(biāo)的取值集合，兩者不相同，故2不正確；

對于選項C,點(3,2)與點(2,3)是不同的點，故C不正確；

對于選項。，集合力中有兩個元素2和4,而集合2中僅有1個元素(2,4),故。不正確.

答案A

1T設(shè)。是有理數(shù)，集合X={x|x=a+bV^,a,beQ,無片0},在下列集合中；

(1){y\y=2x,x^X}；

x

(2){y\y=,XGX}；

(3){y\y=—yxeX}；

X

(4){y\y=x2,xeX].

與x相同的集合有()

A.4個B.3個C.2個D.1個

1-2(2023?閔行區(qū)校級期中)0是有理數(shù)集，集合M={x|x=a+百b,Q,b￡0,xwO},在下列集合中:

?{x|x=A/37,teM}；②{x[x=/,teM}；

③{x|x=芭+%，x,GM,x2GM}；@{x\x=xxx2，,x2eM].

與集合加相等的集合序號是.

考點二.兩個集合相等的應(yīng)用

7^例2（2024?普陀區(qū)校級期末）給出下列四個命題：①設(shè)集合萬="m>-1},則{0}eX；②空集是

任何集合的真子集；③集合N={y=Jx?-l},8={x|y=-1}表示同一集合;④集合P={a,b},集

合0={6,a},則P=0,其中正確的命題的序號是_____.

分析由集合間的關(guān)系判斷①；注意空集自身的關(guān)系判斷②；求函數(shù)的值域、定義域求集合判斷③；根據(jù)集

合元素的無序性判斷④.

解析對于①，顯然{0}是{x|x>-l}的真子集，但不能表示為{0}eX,應(yīng)該表示為{0}1X,故①錯誤；

對于②，空集是任何非空集合的真子集，故②錯誤；

對于③，由4={川夕=Jx?-l}=3y40},8={x[y=Jx?-1}={x|xV-1或x?l},故不是同一集合，故③

錯誤；

對于④，根據(jù)集合的無序性知P={a,b}={b,a]=Q,故④正確.

答案④.

2-1（2024?浦東新區(qū)校級期中）已知集合/={2,0,a2},B={2,0,a},且/=8,則0=.

2-2（2024?寶山區(qū)校級期中）已知/={1,2},B={a,a+l}.若4=B,則。=.

2-3（2024?徐匯區(qū)校級期中）已知集合/={x,耳，B={2x,2x2},且/=8,則實數(shù)y的值為.

考點三.判斷兩個集合的包含關(guān)系

7>例3（2024?浦東新區(qū)校級月考）下列關(guān)系式錯誤的個數(shù)為：（）

①Oe0；②01{0}；③OeN；?{0}c{0}.

A.1B.2C.3D.4

分析根據(jù)元素與集合、集合與集合的關(guān)系逐項判斷即可.

解析空集不含任何元素，Oe0錯誤，①錯誤；

空集是任何集合的子集，0M{0}正確，②正確；

0是自然數(shù)，OeN正確，③正確;

0任{0},.?.{()}0{0}錯誤,④錯誤,

二.錯誤的個數(shù)為2.

答案B

-------------------------------------------------------------------------------------------------

Y方法總結(jié)

1.按照子集包含元素個數(shù)從少到多排列.

2.注意觀察兩個集合的公共元素，以及各自的特殊元素.

3.可以利用集合的特征性質(zhì)來判斷兩個集合之間的關(guān)系.

4.有時借助數(shù)軸，平面直角坐標(biāo)系，韋恩圖等數(shù)形結(jié)合等方法.

3-1（2024?楊浦區(qū)校級期中）對任意集合力和集合8,下列兩個命題（）

①（/pp）=（4＞）

②（Npp）u/u（NU5）

A.①為真命題，②為真命題B.①為真命題，②為假命題

C.①為假命題，②為真命題D.①為假命題，②為假命題

3-2（2024?嘉定區(qū)校級月考）設(shè)集合4={x|x=—+—,左wZ},B={x\x=—+-,kEZ},則下列結(jié)論中正確

3663

的是（）

A.A=BB.AuBC.AnBD.A^\B=0

3-3（2024?浦東新區(qū)校級月考）已知集合/={x|x=2左，k&Z},B={x\x=4k±2,keZ},則/,B之

間最適合的關(guān)系為（）

A.A=BB.AcBC.B=AD.B^\A=0

3-4（2023?閔行區(qū)校級期中）設(shè)/={x，-8x+15=0},B={x\ax-l=0},若/U8=N，則實數(shù)a的值

為.

考點四.Venn圖表集合的包含關(guān)系

7^例4已知非空集合/、B,/={刈0具有性質(zhì)。},3={切6具有性質(zhì)?}.如果命題“如果a,那

么乃”為假命題，那么下列哪張關(guān)于集合/、8包含關(guān)系的圖象一定不成立（）

分析“如果a,那么分”為假命題，集合工具有的性質(zhì)a,集合3不一定沒具，根據(jù)集合的關(guān)系判斷即

可.

解析由題意，“如果a,那么￡”為假命題，說明集合/具有的性質(zhì),集合3不一定沒具有，

根據(jù)集合的基本關(guān)系，可得C選項不滿足題意；

答案C

g方法總結(jié)

第1步：明確集合：了解每個集合的元素和定義.

第2步：繪制圓圈：使用圓圈表示集合，每個集合一個圓圈.包含關(guān)系：一個集合完全包含于另一個集合,

用一個圓圈完全包含另一個圓圈表示.

4T下列監(jiān)"〃圖能正確表示集合M=｛0,1,2｝和"=｛》，-2x=0｝關(guān)系的是（）

4-2（容斥原理）現(xiàn)在，人們的生活水平有了很大的提高，在工作和生活之余喜歡參加體育鍛煉活動.為了

解居民在這方面的興趣情況，某社區(qū)選取某一棟樓房的居民進行了對騎自行車、打羽毛球、打籃球是否有

興趣的問卷調(diào)查，要求每位居民至少選擇一項，經(jīng)統(tǒng)計有45人對騎自行車感興趣，71人對打羽毛球感興趣,

60人對打籃球感興趣，同時對騎自行車和打羽毛球感興趣的有35人，同時對打羽毛球和打籃球感興趣的有

40人，同時對騎自行車和打籃球感興趣的有18人，三種都感興趣的有10人，則該棟樓房的居民人數(shù)為（

A.91B.93C.95D.97

4-3（2024?虹口區(qū)校級期中）學(xué)校舉辦秋季趣味運動會，高一（6）班共42名學(xué)生報名參加，已知報名參

加跑步的有16人，參加跳繩的有24人，參加踢催子的有12人，其中有8人兼報了兩個項目，則兼報三個

項目的共人.

考點五.集合的包含關(guān)系的應(yīng)用（重難點）

7/例5（2024?寶山區(qū)校級月考）非空數(shù)集/仁尺，同時滿足如下兩個性質(zhì)：（1）若a,beA,則

"e/；（2）若ae/,則則稱/為一個“封閉集”，以下敘述：

a

①若/為一個“封閉集”，則1e/；

②若N為一個“封閉集”且a,beA,貝He/；

b

③若N,8都是“封閉集”，則是“封閉集”的充要條件是“口刀或8口/；

④若N,8都是“封閉集"，則是“封閉集”的充要條件是或

正確的是（）

A.①③④B.①②③④C.①②③D.①②④

分析由封閉集的定義，逐項判斷即可，同時③用舉例，④用反證法即可.

解析對于①，為一個“封閉集”，

由定義可知aw/,則工?/,ax-=leA,故①正確；

aa

對于②，?.?4為一個“封閉集”，

a,beA,—GA—GA故②正確；

bfbf

對于③，/=1,2},5={1,1,3},=都是封閉集，

則4=3或3q/不成立，故③錯誤；

對于④，充分性：A,2都是'‘封閉集"，若A=B或B=A,則由題意知是''封閉集”，

必要性：若4J8是''封閉集"，令N|j8=C,

假設(shè)/不包含于2且2不包含于工,

則存在aeA,a正B,beB,b故A,同時aeC,b&C,

?.?/UB=C是“封閉集”，

:.abwC,—eC,分兩種情況討論，

ab

若abeA,又aw/,則

a

abx—=bA,這與假設(shè)矛盾，

a

若。6代/,又beB,則

b

abx—=aeB,這與假設(shè)矛盾，

b

二.假設(shè)不成立，原結(jié)論是''封閉集"，則或必要性成立，故④正確.

答案D

。方法總結(jié)

1.按照子集包含元素個數(shù)從少到多排列.

2.注意觀察兩個集合的公共元素，以及各自的特殊元素.

3.可以利用集合的特征性質(zhì)來判斷兩個集合之間的關(guān)系.

4.有時借助數(shù)軸，平面直角坐標(biāo)系，韋恩圖等數(shù)形結(jié)合等方法.

5-1（2024?浦東新區(qū)校級期中）已知集合/={x|l<x<2},B={x\l<x<m},若則實數(shù)m的取值

范圍是（）

A.（2,+oo）B.（1,2]C.（-as,2]D.[2,+oo）

5-2（2024?普陀區(qū)校級期中）設(shè)a,6是實數(shù)，集合/={尤||x-a|<1},B={x^x-b\>3},且貝-

的取值范圍是（）

A.[0,2]B.[0,4]C.[2,+?>）D.[4,+?>）

5-3（2024?黃浦區(qū)校級期末）已知集合/={-2,2},2={-2,-1,a+3},且則實數(shù)a的值為.

5-4（2024?寶山區(qū)校級期末）已知集合/={1},B={a,a2+2}.若4屋8,則實數(shù)a的值為.

5-5（2024?寶山區(qū)校級期中）已知集合9={刈-2（試5},。={刈左+l〈x<2左-1},且。則實數(shù)人的取

值范圍是.

考點六.集合中元素個數(shù)的最值

7〃例6（2024?普陀區(qū)校級期中）設(shè)集合/為非空實數(shù)集，集合8={砂|》，y^AS.x^y},稱集合8

為集合/的積集，則下列結(jié)論正確的是（）

A.當(dāng)/={1,2,3,4}時，集合/的積集8={2,3,4,8,12}

B.若/是由5個正實數(shù)構(gòu)成的集合，其積集8中元素個數(shù)最多為8個

C.若/是由5個正實數(shù)構(gòu)成的集合，其積集8中元素個數(shù)最少為7個

D.存在4個正實數(shù)構(gòu)成的集合力,使其積集8={2,4,5,8,10,16）

分析利用積集的定義可判斷設(shè)/={%，?，%，%，%}，其中0<%<出<%<%<%，利用積集

定義分析積集8中元素的大小關(guān)系可判斷8和C，利用反證法分析集合/中四個元素的乘積推出矛盾可判

斷。?

解析對于4，因為/={1，2,3,可，集合8={刈|》，yeZ且xHy}，

故集合8中所有可能的元素有1x2,1x3,1x4,2x3,2x4,3x4,

B=[2,3,4,6,8,12},故N錯誤；

a

對于8,設(shè)4={%,a2,%，4>%}，不妨設(shè)0</<。2<。3<。4<。5，

因為<a\a3<a\a4<a\a5<a2a5<a3a5<。4a5，。2a4<。3a4，

所以8中元素個數(shù)小于等于10個，

如設(shè)/={1,2,3,5,7},集合2={中|尤，yeAJLx^y},

則8={2,3,5,6,7,10,14,15,21,35},

所以積集8中元素個數(shù)的最大值為10個，故8錯誤；

對于C,因為axa2<ata3<ata4<axa5<a2as<a3a5<a4a5,

所以8中元素個數(shù)大于等于7個，

如設(shè)/={2:22,23,24,25},集合5={9|》，yeA^Lx^y},

則8={2224,25,26,27,28,29},

此時8中元素個數(shù)等于7個，所以積集8中元素個數(shù)的最小值為7,故C正確；

對于。，假設(shè)存在4個正實數(shù)構(gòu)成的集合4={a,b,c,d},使其積集2={2,4,5,8,10,16）,

不妨設(shè)0<a<b<c<d,則集合N的積集8={a6,ac,ad,be,bd,cd],

則必有ab=2,cd=16,其4個正實數(shù)的乘積abed=32,

又ad=5,be=8或ad=8,bc=5,其4個正實數(shù)的乘積abed=40,矛盾；

所以假設(shè)不成立，故不存在4個正實數(shù)構(gòu)成的集合工,

使其生成集8={2,4,5,8,10,16},故。錯誤.

答案C

6-1集合M={加|eN,且8-meN},則小的個數(shù)是（）

A.6B.7C.8D.9

6-2（2024?楊浦區(qū)校級期中）已知非空集合4,3滿足以下兩個條件：

（Z'M|JS={1,2,3,4,5,6},/pp=0；

5）/的元素個數(shù)不是/中的元素，8的元素個數(shù)不是8中的元素，則有序集合對（48）的個數(shù)為.

6-3（2024?寶山區(qū)校級月考）已知集合/=任皿2一%+3=0}至多有一個元素，則"的取值范圍是.

6-4（2024?寶山區(qū)校級月考）若集合/={X|G2+X+I=O,X&R},且/中只有一個元素，則〃=.

6-5（2024?閔行區(qū)校級期中）設(shè)集合/是至少有兩個元素的實數(shù)集，集合5={z|z=w，x,ye/且

y},稱集合2為集合力的積集.

（1）當(dāng)/={1,3,7}時，寫出集合工的積集2；

（2）若N是由4個正實數(shù)構(gòu)成的集合，求其積集8中元素個數(shù)的最小值；

（3）判斷是否存在5個正實數(shù)構(gòu)成的集合N,使其積集8={2,3,5,6,10,12,18,24）,并說明理由.

考點七.子集的判斷與求解（重難點）

2

、^^例7（2024?閔行區(qū)期中）設(shè)集合[={x|*+ax+1>0},P2={x\x+ax+2>0},

2

={x|x?+x+6>0},Q2-{x\x+2x+b>0],其中a,beR,下列說法正確的是（）

A.對任意a,召是g的子集，對任意b,0］不是&的子集

B.對任意a,々是鳥的子集，存在6,使得。是2的子集

C.對任意a,使得耳不是心的子集，對任意6,。不是&的子集

D.對任意a,使得月不是△的子集，存在6,使得。不是久的子集

分析運用集合的子集的概念，令機仁耳，推得機eg,可得對任意a,耳是8的子集；再由6=1,b=5,

求得。，&，即可判斷2正確，A,C,D錯誤.

解析對于集合7^={x|x2+ax+1>0},7^={x|x2+ax+2>0},

可得當(dāng)7〃e召，即機2+am+1>0,可得加2+am+2>0,

即有機e5，可得對任意a,［是￡的子集；

22

當(dāng)b=5時，Qx={x|x+x+5>0}=7?,Q2={x|x+2x+5>0}=7?,

可得0是2的子集，故/錯誤，8正確；

當(dāng)6=1時，Q={x|x2+x+1>0}=7?,。？={x|X?+2x+1>0}={無|x片一1且xeR},

可得0不是2的子集.

綜上可得，對任意a,4是￡的子集，存在6,使得。是G的子集，故C錯誤，。錯誤.

故選：B.

答案B

7-1（2024?虹口區(qū)校級月考）若集合/={x|aY-3x+l=0}的子集只有兩個，則實數(shù)。=.

7-2（2024?浦東新區(qū)校級期中）寫出所有滿足Zu{a,6}的集合/.

7-3（2024?浦東新區(qū)校級月考）設(shè)集合S={%,a2,%，/，出}，S的所有非空子集的元素之和為128,

貝！J%+/+/+。4+%=（

7-4（2024?楊浦區(qū)校級月考）設(shè)aeR,若{x|'+2=a,xeR}是集合{1}的真子集，貝Ua的值為.

7-5（2024?浦東新區(qū)校級開學(xué)）設(shè)集合S={%,a2,a3,a4）,若集合S的所有非空子集的元素之和是64,

則％+出+%+=

考點八.空集及空集的性質(zhì)

7/例8（新定義）設(shè)集合X是實數(shù)集尺的子集，如果點滿足：對任意a>0,都存在xeX,使

得0<|x-x0|<a,稱x。為集合X的聚點.用Z表示整數(shù)集，則在下列集合中：

M1

①（——|"eZ,〃?O｝；②｛x|xeR,x#0｝；③|"eZ,"w0｝；④整數(shù)集Z

n+1n

以0為聚點的集合有（）

A.②③B.①④C.①③D.①②④

分析由已知中關(guān)于集合聚點的定義，我們逐一分析四個集合中元素的性質(zhì)，并判斷是否滿足集合聚點的定

義，進而得到答案.

解析①中，集合｛——￡Z,〃20｝中的元素是極限為1的數(shù)列,

77+1

除了第一項0之外，其余的都至少比0大;，

.,.在的時候，不存在滿足得0<|X|<Q的X,

YL

0不是集合｛---\nEZ,〃20｝的聚點

77+1

②集合｛x|xeA,x*0｝,對任意的。，都存在x=|>（實際上任意比。小得數(shù)都可以），使得0<|x|=j<a

.?.0是集合｛%|%￡火,xwO｝的聚點

③集合｛,I幾wO｝中的元素是極限為0的數(shù)列，

n

5H■于任意的a>0,存在〃>工，使0<|x|=,〈Q

an

.?.0是集合白幾￡2,幾W0｝的聚點

n

④對于某個Q<1,比如。=0.5,此時對任意的XEZ,都有|x-0|=0或者|%-0|21,也就是說不可能

0<|x-0|<0.5,從而0不是整數(shù)集Z的聚點

答案A

8-1（2024?黃浦區(qū)校級期中）設(shè)a,b是實數(shù)，若關(guān)于x,y的方程組一〉+：=0的解集為。，則實數(shù)

[ax-y+b=O

a,6所滿足的條件為.

8-2（2024?浦東新區(qū)校級期中）命題：空集是任何集合的真子集，此命題是命題.（填“真”或"假”）

8-3（2022秋?松江區(qū)校級期中）已知集合/=｛x|ax+l=0｝為空集，則。=.

8-4若集合A={x\ax2-ax+l=O}=0,則實數(shù)a的取值范圍是.

8-5不等式組的解集不是空集，則實數(shù)a的取值范圍是______.

[x+a>0

考點九.子集的個數(shù)（難點）

々彳例9（2024?靜安區(qū)校級期中）已知集合/={2,4,6},則集合/的真子集的個數(shù)為（）

A.7B.8C.9D.10

分析利用真子集定義即可求得集合/的真子集的個數(shù).

解析解：由題意，集合/中有3個元素，則工的真子集的個數(shù)為23-1=7.

故選：A.

答案A

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曹方法總結(jié)

一般來說，真子集是在所有子集中去掉它本身，所以對于含有"個（"不等于0）元素的集合而言，它的子

集就有2"個；真子集就有2"-1.但空集屬特殊情況，它只有一個子集，沒有真子集.

9-1（2024?寶山區(qū)校級月考）判斷下列命題為真命題的個數(shù)（）

①0是{0,1,2,3}的真子集；

②（/pp）u/u（4j5）；

③如果集合/是集合3的子集，那么集合8就不是集合N的子集；

④如果aeZ,那么/除以4的余數(shù)為0或1.

A.0個B.1個C.2個D.3個

9-2（2024?青浦區(qū)校級月考）已知集合/與集合8的元素個數(shù)之和為“個，中有〃個元素，若

/0pR。，則的元素個數(shù)為（）

A.mnB.n—mC.m+nD.m—n

9-3（2024?長寧區(qū)校級月考）已知集合"="€45-|2x-3|為正整數(shù)},則〃的所有真子集