暑假預(yù)習(xí)專(zhuān)題03集合之間的關(guān)系

預(yù)習(xí)三步曲

第一步：導(dǎo)

思維導(dǎo)圖助力掌握知識(shí)框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)明確內(nèi)容掌握

第二步：學(xué)

析教材學(xué)」教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)

核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練

第三步：測(cè)

與提升小試牛刀檢測(cè)預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升

@串知識(shí)?訊框架

蹩知識(shí)導(dǎo)圖慌理

嬤學(xué)勾目粽明確

1.掌握子集、真子集、空集的定義及其表示方法（重點(diǎn)）

2.能用符號(hào)和維恩圖表示集合間的關(guān)系（重點(diǎn)）

3.理解和辨識(shí)集合之間的包含、相等、真包含關(guān)系

4.感悟分類(lèi)討論思想與數(shù)形結(jié)合思想（重、難點(diǎn)）

5.通過(guò)對(duì)子集定義的辨析、類(lèi)比實(shí)數(shù)的大小關(guān)系，理解包含關(guān)系的三個(gè)結(jié)論（重點(diǎn)）

咽析教材?學(xué)知識(shí)

知識(shí)點(diǎn)1子集重占

<>令抨，等一。，竊A4曲的，B巾部公痢

定義對(duì)于兩個(gè)集合Z與8.如果集合2的4個(gè)元素都是集合8的元素,那么集合Z叫

做集合8的子集，記作2口8（或83幺），讀作"Z包含于8"（或"8包含Z"）.對(duì)

任何集合Z,規(guī)定0口2.

我們常用維恩圖來(lái)直觀表示集合以及集合之間的關(guān)系.如圖是Z口B的維恩圖.

特別提醒

（1）表示集合的Venn圖的邊界是封閉曲線(xiàn)，它可以是圓、矩形、橢圓，也可以是其他封閉曲線(xiàn).

（2）用Venn圖表示集合的優(yōu)點(diǎn)是能直觀地表示集合間的關(guān)系，缺點(diǎn)是集合元素的公共特征不明顯.

*知識(shí)剖析

集合間關(guān)系的有關(guān)性質(zhì)

（1）對(duì)于集合之間的包含關(guān)系，我們有下列結(jié)論：

①/口A；

②若AjB且BjA,則幺=8;

③傳遞性：若幺之8且則ZqC.

（2）集合關(guān)系中的"若幺78且8口幺，則2=8”與實(shí)數(shù)大小關(guān)系中"若aWb且，則

a=b"類(lèi)似.

嫡酬5學(xué)練下列各式中，正確的個(gè)數(shù)是（）

①{0}e{0,1,2}；②{0,1,2}1{2,1,0}；③0u{0,1,2}；@{0,1}={（0,1）}.

A.1B.2C.3D.4

分析根據(jù)元素與集合的關(guān)系，以及空集的定義，集合與集合的關(guān)系，依次判斷即可.

解析對(duì)于①，兩個(gè)數(shù)集不能用e符號(hào)，應(yīng)為{。}1{0,1,2},①錯(cuò)誤；

對(duì)于②，任何集合都是本身的子集，②正確；

對(duì)于③，空集是任何集合的子集，③正確；

對(duì)于④，集合{0,1}是數(shù)集，有2個(gè)元素，集合{（0,1）}是點(diǎn)集，只有1個(gè)元素，④錯(cuò)誤；

所以正確的個(gè)數(shù)有2個(gè).

答案B.

妙RR學(xué)即練（2025?上海楊浦?期末）已知集合/={-1,1,2},8={1,內(nèi)-—耳，且3包4,貝口=

分析根據(jù)兩個(gè)集合元素之間的關(guān)系，分類(lèi)討論，列式解方程即可.

解析由題意，BjA,

若x=-l時(shí)，4={-1』,2},8={1,-1,2},滿(mǎn)足題意；

若x=2時(shí)，/={-1,1,2},8={1,2,2},不滿(mǎn)足集合元素的互異性，不滿(mǎn)足題意；

又=+；>—1,故若x?—x=2時(shí)，解得x=_］或x=2,

若x=-l時(shí)，/==1,2},滿(mǎn)足題意,

當(dāng)x=2時(shí)，4={-1,1,2},8={1,2,2},不滿(mǎn)足集合元素的互異性，不滿(mǎn)足題意；

綜上所述，x=-l.

答案-1.

知識(shí)點(diǎn)2真子集重點(diǎn)難點(diǎn)

定義對(duì)于兩個(gè)集合2與5,如果幺口8,且8中至少有一個(gè)元素不屬于Z（即5不是/的子集），那么

稱(chēng)集合/是集合5的真子集，記作Zu8（或5>2）,讀作"Z真包含于8"（或"8真包含Z"）.

【注意：有的教材對(duì)真子集符號(hào)表示為幺，8（或5或4）,Z真包含于8（或8真包含Z）】

對(duì)于常用的數(shù)集，我們有如下的包含關(guān)系：NuZuQuR.

性質(zhì)

（1）任何集合都不是它本身的真子集.

（2）若A匚B,且則Zu8.

（3）若4uB,且BuC,則/uC.

特別提醒

(1)若A^B和AuB同時(shí)成立，則AuB更能準(zhǔn)確表達(dá)集合4、B之間的關(guān)系.

(2)真子集是子集的一種特殊情況.

(3)真子集的定義同時(shí)也給出了證明Z是8的真子集的方法，即欲證Zu8,可先證2口8,再證8中

至少有一個(gè)元素不是集合Z中的元素.

媯RR學(xué)RP練滿(mǎn)足{2,4仁/U{1,2,4,8,16}的集合A的個(gè)數(shù)為.

【答案】7

【知識(shí)點(diǎn)】判斷集合的子集(真子集)的個(gè)數(shù)、求集合的子集(真子集)

分析根據(jù){2,4}=/u{l,2,4,8,16}得到集合A中一定有元素2,4,再與其他幾個(gè)數(shù)進(jìn)行組合，得到滿(mǎn)足要求

的集合N,得到答案.

解析因?yàn)閧2,4}=Zu{1,2,4,8,16}

所以集合/中一定有元素2,4,

所以滿(mǎn)足要求的集合有{2,4},{1,2,4},{2,4,8},{2,4,16},{1,2,4,8},{1,2,4,16},{2,4,8,16},共7個(gè)，

答案7

炒RP學(xué)RP練設(shè)集合N=1x|x=g+：,左ez1,5=|x|x=|+|^ezj,則下列結(jié)論中正確的是

()

A.A=BB.AuBC.AnBD.AC\B=0

分析將兩集合結(jié)構(gòu)化為一致即可判斷.

解析N=]x|x=：+：,左ez1=[x卜左eZ,

RfIkl,Jflk+2J

I163J1|6p

2左+1代表所有奇數(shù)，左+2代表所有整數(shù)

所以

答案B

知識(shí)點(diǎn)3集合相等重點(diǎn)難點(diǎn)

定義已知兩個(gè)集合幺與8,若,且8。/,則稱(chēng)這兩個(gè)集合相等，記作2=8.如圖是集合

A=B的維恩圖.

r-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

提示兩個(gè)集合相等除了用定義、互為集合子集的包含關(guān)系外，也可以用若兩個(gè)集合相等，則集合元素之

和、之積相等來(lái)解答問(wèn)題

O辨析比較

”e"與"N"的區(qū)別

"e"是元素與集合之間的關(guān)系，如OeN,不能寫(xiě)成OqN；"口"是集合與集合之間的關(guān)系(表示集，

合間關(guān)系的還有真包含關(guān)系"￡"如{0}qN,不能寫(xiě)成{0}eN.

夕即學(xué)即練已知集合”=x+中，葉和「/億知那么，)

A.PjMB.MjPC.M=PD.MjP

分析根據(jù)集合中的元素滿(mǎn)足的特征可得和尸即可求解.

解析由于V(x,y)eM,;xy>(V.x,y同號(hào)，又x+y<0,所以％〉均為負(fù)數(shù)，故V(x,y)e監(jiān)則(x,y)e尸,

故"仁尸

對(duì)于任意尸={(3)1尤<0,歹<0}中的元素，滿(mǎn)足集合Af={(x,y)|x+y<0,中>0},故尸u”,因此

M=P,

答案C

知識(shí)點(diǎn)4空集重點(diǎn)

1.空集的定義不含有任何元素的集合稱(chēng)為空集，記作0

2.空集的性質(zhì)

(1)空集是任何集合的子集，即0^A

(2)空集是任何非空集合的真子集，即0UZ(ZW0)

(3)空集只有一個(gè)子集，即它本身.

說(shuō)明空集是一個(gè)特殊且重要的集合，它不含任何元素，在解題過(guò)程中容易被忽視，特別是在隱含有空集參與

的集合問(wèn)題中，往往容易因忽視空集的特殊性而導(dǎo)致錯(cuò)誤.

O辨析比較

0與0,{0},{0}的關(guān)系

。與0。與{0}0與{0}

相同點(diǎn)都表示無(wú)都是集合都是集合

0不含任何元素；0不含任何元素；

不同點(diǎn)。是集合而0是元素

{0}含一個(gè)元素o{0}含一個(gè)元素，該元素是0

關(guān)系0^00u{O}0匚{0}或0€{0}

知識(shí)點(diǎn)5有限集合的子集(真子集)個(gè)數(shù)拓展

知識(shí)延伸寫(xiě)出集合{融血}的所有子集，并指出哪些是真子集.

解析可以按照子集的元素個(gè)數(shù)分類(lèi):

不含任何元素的子集1個(gè)：空集0;

含1個(gè)元素的子集3個(gè)：{a},{c}；

含2個(gè)元素的子集3個(gè)：(a)b},{a)c},{b)c};

含3個(gè)元素的子集1個(gè)：{a|b|c}-

除集合{a|b|c}本身外，其余7個(gè)都是真子集.

會(huì)知識(shí)延伸

集合ZA的所有子集子集個(gè)數(shù)真子集個(gè)數(shù)非空真子集個(gè)數(shù)

{?}0,{?}2=2]10

[a,b]0,{a},,{a,b}4=2232

0,{a},,{c},{a,b},{a,

{a,b,c\8=2376

c},{b,c},{a,b,c}

3可想:A—{%,a2,,,,，}2n2"-l2"-2

嫡酬3學(xué)年）練（2024?上海寶山階段練習(xí)）滿(mǎn)足｛a｝qMu｛a,b,c｝的集合M的個(gè)數(shù)為一個(gè).

分析通過(guò)列舉法即可求解.

解析由題意可知：M可以是：｛。｝,｛a,b｝,｛a,c],共3個(gè),

答案3.

知識(shí)點(diǎn)6數(shù)軸表示法拓展

1.數(shù)軸法

對(duì)于由連續(xù)實(shí)數(shù)組成的集合，通常用數(shù)軸來(lái)表示，這也屬于集合表示的圖示法:在數(shù)軸上，若端點(diǎn)值是集合中的

元素則用實(shí)心點(diǎn)表示;若端點(diǎn)值不是集合中的元素，則用空心點(diǎn)表示.

集合｛x|-1<XW5｝與｛xIx23｝用數(shù)軸表示分別如圖所示.

-----'-----------A_|j

-105%0_______3%

2.數(shù)軸表示集合間的關(guān)系

（1）集合4=｛x|xW3｝與集合B=｛x|xW5｝的關(guān)系是ZuB,用數(shù)軸表示如圖所示.

A.B

012345”

（2）集合4=｛x|x<l或x>3｝與集合B=｛x|x25｝的關(guān)系是5u4,用數(shù)軸表示如圖所示.

B

012345

釁練考點(diǎn)?展知識(shí)

考點(diǎn)一.判斷兩個(gè)集合是否相同

/例1下列表示同一集合的是()

A.A={1,2},B={2,1}B.4={('/)|2x+y=1},B={y\2x+y=1}

C.4={(3,2)},5={(2,3)}D.A={2,4},5={(2,4)}

分析直接根據(jù)集合相等的概念進(jìn)行判斷即可.

解析對(duì)于選項(xiàng)由集合元素具有無(wú)序性可得：A={1,2]=B={2,1},故/正確；

對(duì)于選項(xiàng)2,集合/={(x,y)|2x+y=l}表示直線(xiàn)2x+y=l上所有的點(diǎn)構(gòu)成的集合，而集合

3={m2x+y=l}表示直線(xiàn)2x+y=l上所有的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值集合，兩者不相同，故2不正確；

對(duì)于選項(xiàng)C,點(diǎn)(3,2)與點(diǎn)(2,3)是不同的點(diǎn)，故C不正確；

對(duì)于選項(xiàng)。，集合/中有兩個(gè)元素2和4,而集合2中僅有1個(gè)元素(2,4),故。不正確.

答案A

1T設(shè)。是有理數(shù)，集合X={x|x=a+從份，a,beQ,xwO},在下列集合中；

(1){y\y=2x,x^X}；

x

(2){y\y=,xeX}；

(3){y[y=-->xeX}；

x

(4){y\y-x1,xeX}.

與X相同的集合有()

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

【答案】B

【分析】將x=a+b后，分別代入(1)，(2),(3),化簡(jiǎn)并判斷P,4馬a,b是否一一對(duì)應(yīng)，再舉反例判

斷(4).

【解答】解：對(duì)于（1）由2伍+6收）=p+外匯，可得p=2a,q=2b,----對(duì)應(yīng)，則{y|y=2x,

xeX}=X,故（1）符合；

對(duì)于（2）由“+y=6+@亞+&,可得p=6,q=巴,一一對(duì)應(yīng)，則予，xeX}=X,

V222V2

故（2）符合；

a

對(duì)于（3）由一=22+（-2\,2）^=p+q41,可得？=2],?=_2b一一一對(duì)應(yīng),

d+by2a_2bci-2bu—2ba—2b

則{y|y='，xeX}=X,故（3）符合；

X

對(duì)于（4）-1-夜eX，但方程-1-亞=/無(wú)解，則{用了=工2,xeX}與X不相同.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的定義以及集合相等，考查了運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

1-2（2023?閔行區(qū)校級(jí)期中）0是有理數(shù)集，集合M={x|x=a+A,a,6eQ,x*0},在下列集合中：

?{x|x=y/3t,teM}；?{x\x=t2,teM}；

③{x[x=X]+%，xxeM,x2eM}；@{x\x=x^2,xx&M,x2eM].

與集合M相等的集合序號(hào)是@.

【答案】④.

【分析】集合相等條件為集合元素相同，根據(jù)此條件分別判斷①②③④四個(gè)集合中元素是否與集合”一致

即可.

【解答】解：對(duì)于①.設(shè)/=°+后，ae。，beQ,貝I]技=53（。+癡）=J3a+3園，不妨

取。=2,6=0,可知2eM,而痛e{x[x=收，t&Q},顯然故①的集合與〃不相等；

對(duì)于②.令t=a+#1b（a,beQ,twO）,則/=伍+同了=/+3〃十？百仍，顯然-i+^eM，但

-l+V3g{x,x=Z2,t&M},故②的集合與M不相等：

對(duì)于③.當(dāng)西=。+66,x2=-a-43b,awQ,6e。時(shí)，x=xt+x2=0,故③的集合與A/■不相等；

對(duì)于④.令%=q+月4,（%,4e。，國(guó)H0）,x2=a2+43b2,Q，b2eQ,x?R0）

x=X]X。=（aAa2+36也）+6（。也+4%）

其中（％g+34a）,（a也+4。2）?0，xwO,故④的集合與〃相等.

故答案為：④.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了集合的新定義，關(guān)鍵在于學(xué)生對(duì)概念的理解，屬中檔題.

考點(diǎn)二.兩個(gè)集合相等的應(yīng)用

-/例2（2024?普陀區(qū)校級(jí)期末）給出下列四個(gè)命題：①設(shè)集合萬(wàn)="回＞-1},貝!]{0}eX；②空集是

任何集合的真子集；③集合/={y|y=Jx?-l},2={x|y=Jx?-1}表示同一集合;④集合P={a,b},集

合0={6,a\,則尸=。，其中正確的命題的序號(hào)是______.

分析由集合間的關(guān)系判斷①；注意空集自身的關(guān)系判斷②；求函數(shù)的值域、定義域求集合判斷③；根據(jù)集

合元素的無(wú)序性判斷④.

解析對(duì)于①，顯然{0}是的真子集，但不能表示為{0}eX,應(yīng)該表示為{0}qX,故①錯(cuò)誤；

對(duì)于②，空集是任何非空集合的真子集，故②錯(cuò)誤；

對(duì)于③，由/={.|y=Jx?-1}=3y10},5={x[y=={x|xV-1或xel},故不是同一集合，故③

錯(cuò)誤；

對(duì)于④，根據(jù)集合的無(wú)序性知P={。，6}=也，a}=Q,故④正確.

答案④.

2-1（2024?浦東新區(qū)校級(jí)期中）已知集合/={2,0,a2},B={2,0,a},且4=3,則a=.

【答案】1.

【分析】根據(jù)集合相等的條件，由元素的相等列方程求解并檢驗(yàn)集合中元素的互異性.

【解答】解：集合”={2,0,a2},8={2,0,a},且/=?,則

解得。=0或。=1,

當(dāng)。=0,A={2,o,0}與集合中元素的互異性矛盾，舍去；

o=l,A=B=[2,0,1},符合題意.

故答案為：L

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了集合相等條件的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

2-2（2024?寶山區(qū)校級(jí)期中）已知/={1,2},B={a,a+1}.若4=2,則.=.

【答案】L

[a=\[a=2

【分析】由集合相等的定義可得I?；?由此即可求解.

。+1=2a+1=1

\a=\\a=2

【解答】解：因?yàn)?=2,貝葉?°或I/

解得＜2=1,

故答案為：1.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了集合相等的定義，屬于基礎(chǔ)題.

2-3（2024?徐匯區(qū)校級(jí)期中）已知集合/=",y},B={2x,2x2},且N=3,則實(shí)數(shù)y的值為

【答案】1.

【分析】根據(jù)元素的互異性，確定x,y的范圍，根據(jù)集合相等列方程求x,y即可.

【解答】解：由題意，且2xw2x2,解得x*0,且xwl,'*九

\x=lx\x=lx1

因?yàn)?=8,所以或，

卜=2x〔尸2x

\x=2x

由J_2x2,可得尤=0,V=0（舍去）；

（=2x21

由x一，可得x=o,y=o（舍去）或》=y=i；

[y=2x2

所以y=i.

故答案為：i.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查集合的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

考點(diǎn)三.判斷兩個(gè)集合的包含關(guān)系

一/'例3（2024?浦東新區(qū)校級(jí)月考）下列關(guān)系式錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)為：（）

①Oe0；

②0仁{0};

③OeN；

@{O}c{0}.

A.1B.2C.3D.4

分析根據(jù)元素與集合、集合與集合的關(guān)系逐項(xiàng)判斷即可.

解析空集不含任何元素，Oe0錯(cuò)誤，①錯(cuò)誤；

空集是任何集合的子集，0G{0}正確，②正確；

0是自然數(shù)，OeN正確，③正確；

0g{0},{0}u{0}錯(cuò)誤，④錯(cuò)誤，

錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)為2.

故選：B.

答案B

g方法總結(jié)

1.按照子集包含元素個(gè)數(shù)從少到多排列.

2.注意觀察兩個(gè)集合的公共元素，以及各自的特殊元素.

3.可以利用集合的特征性質(zhì)來(lái)判斷兩個(gè)集合之間的關(guān)系.

4.有時(shí)借助數(shù)軸，平面直角坐標(biāo)系，韋恩圖等數(shù)形結(jié)合等方法.

3-1（2024?楊浦區(qū)校級(jí)期中）對(duì)任意集合N和集合3,下列兩個(gè)命題（）

①（/但）=（兒|8）

②（/pp）u/u（/U8）

A.①為真命題，②為真命題B.①為真命題，②為假命題

C.①為假命題，②為真命題D.①為假命題，②為假命題

【答案】B

【分析】根據(jù)集合間包含關(guān)系的定義判斷.

【解答】解：對(duì)于①，因?yàn)?1（/IjB）,

所以（/0p）U（/U2），故①是真命題，

對(duì)于②，當(dāng)8=0時(shí)，A[}B=A,AjB=A,

此時(shí)（/「P）=/=（/UB），故②是假命題.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了集合間的包含關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

3-2（2024?嘉定區(qū)校級(jí)月考）設(shè)集合/={x|x=?+L#eZ},B={x\x=-+-,keZ},則下列結(jié)論中正確

3663

的是（）

A.A=BB.AuBC.AnBD.A[^B=0

【答案】B

【分析】將兩集合結(jié)構(gòu)化為一致即可判斷.

【解答]解：A={x\x=^-+^,k^Z}={x\x=^^,keZ},

366

B={x\x=—+—,keZ}={x\x=+,keZ},

636

2左+1代表所有奇數(shù)，足+2代表所有整數(shù)，

所以/u8.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了集合的描述法的定義，子集的定義，是基礎(chǔ)題.

3-3（2024?浦東新區(qū)校級(jí)月考）已知集合/={x|x=2左，keZ},B={x\x=4k±2,keZ},則/,B之

間最適合的關(guān)系為（）

A.A=BB.A=BC.B=AD.8n

【答案】C

【分析】分析集合/和8中元素的特性，然后進(jìn)行比較集合/和8的關(guān)系即可得出答案.

【解答】解：由集合”={x|x=2左，k^Z],可得N中的元素是2的整數(shù)倍，

由集合8={x|x=4左±2,左eZ}={x|x=2（2左±1）,keZ],可得集合8中的元素是2的奇數(shù)倍，

所以8=/.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了集合間的包含關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

3-4（2023?閔行區(qū)校級(jí)期中）設(shè)/={x，-8x+15=0},B={x\ax-\=0},若ZU3=Z，則實(shí)數(shù)0的值

為.

【答案】0或g或\

【分析】可求出集合/={3,5},然后根據(jù)/U5=N得出然后討論。是否為0,根據(jù)子集的定義

即可求出。的值.

【解答】解：A={3,5},B={x\ax=l},

=N，

B<^A,

①。=0時(shí)，B=0,滿(mǎn)足8q4；

②awO時(shí)，3〃=1或5。=1,解得Q=；或：，

二實(shí)數(shù)a的值為：0或;或g

故答案為：o或g或t.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的求法，集合的描述法和列舉法的定義，并集的定義及運(yùn)算，子集的定

義，是基礎(chǔ)題.

考點(diǎn)四.Venn圖表集合的包含關(guān)系

，/例4已知非空集合/、B,/={。|。具有性質(zhì)1},3={6g具有性質(zhì)?}.如果命題“如果a,那

么為假命題，那么下列哪張關(guān)于集合/、8包含關(guān)系的圖象一定不成立（）

分析“如果a,那么為假命題，集合力具有的性質(zhì)a,集合8不一定沒(méi)具，根據(jù)集合的關(guān)系判斷即

可.

解析由題意，“如果a,那么￡”為假命題，說(shuō)明集合/具有的性質(zhì)a,集合3不一定沒(méi)具有，

根據(jù)集合的基本關(guān)系，可得C選項(xiàng)不滿(mǎn)足題意；

故選：C.

答案C

方法總結(jié)

第1步：明確集合：了解每個(gè)集合的元素和定義.

第2步：繪制圓圈：使用圓圈表示集合，每個(gè)集合一個(gè)圓圈.包含關(guān)系：一個(gè)集合完全包含于另一個(gè)集合,

用一個(gè)圓圈完全包含另一個(gè)圓圈表示.

4T下列摩〃"圖能正確表示集合M={0,1,2}和"="|工2-2》=0}關(guān)系的是（）

【答案】B

【分析】由已知先求出集合N,然后結(jié)合集合的包含關(guān)系進(jìn)行判斷即可.

【解答】解：因?yàn)镹={x，一2x=0}={0,2},M={0,1,2},

故,N=M.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查集合的表示法及包含關(guān)系的判斷，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.

4-2（容斥原理）現(xiàn)在，人們的生活水平有了很大的提高，在工作和生活之余喜歡參加體育鍛煉活動(dòng).為了

解居民在這方面的興趣情況，某社區(qū)選取某一棟樓房的居民進(jìn)行了對(duì)騎自行車(chē)、打羽毛球、打籃球是否有

興趣的問(wèn)卷調(diào)查，要求每位居民至少選擇一項(xiàng)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)有45人對(duì)騎自行車(chē)感興趣，71人對(duì)打羽毛球感興趣,

60人對(duì)打籃球感興趣，同時(shí)對(duì)騎自行車(chē)和打羽毛球感興趣的有35人，同時(shí)對(duì)打羽毛球和打籃球感興趣的有

40人，同時(shí)對(duì)騎自行車(chē)和打籃球感興趣的有18人，三種都感興趣的有10人，則該棟樓房的居民人數(shù)為（

）

A.91B.93C.95D.97

【答案】B

【分析】根據(jù)容斥原理求解即可.

【解答】解：由集合的容斥原理可得有2人只對(duì)騎自行車(chē)感興趣，6人只對(duì)打羽毛球感興趣，12人只對(duì)打

籃球感興趣，同時(shí)對(duì)騎自行車(chē)和打羽毛球感興趣但對(duì)打籃球不感興趣的有25人，同時(shí)對(duì)打羽毛球和打籃球

感興趣但對(duì)騎自行車(chē)不感興趣的有30人，同時(shí)對(duì)騎自行車(chē)和打籃球感興趣但對(duì)打羽毛球不感興趣的有8人,

三種都感興趣的有10人，

則該棟樓房的居民人數(shù)為+6+12+25+30+8+10=93.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了容斥原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

4-3（2024?虹口區(qū)校級(jí)期中）學(xué)校舉辦秋季趣味運(yùn)動(dòng)會(huì)，高一（6）班共42名學(xué)生報(bào)名參加，已知報(bào)名參

加跑步的有16人，參加跳繩的有24人，參加踢建子的有12人，其中有8人兼報(bào)了兩個(gè)項(xiàng)目，則兼報(bào)三個(gè)

項(xiàng)目的共人.

【答案】1人.

【分析】根據(jù)重復(fù)計(jì)算的數(shù)量來(lái)計(jì)算出正確答案.

【解答】解：由題意可知，兼報(bào)三個(gè)項(xiàng)目的人數(shù)為16+24+；-42-8=1人.

故答案為：1人.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了集合中元素個(gè)數(shù)的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

考點(diǎn)五.集合的包含關(guān)系的應(yīng)用（重難點(diǎn)）

-例5（2024?寶山區(qū)校級(jí)月考）非空數(shù)集/仁尺，同時(shí)滿(mǎn)足如下兩個(gè)性質(zhì)：（1）若a,beA,則

ab^A；（2）^a&A,則工6/.則稱(chēng)/為一個(gè)“封閉集”，以下敘述：

a

①若/為一個(gè)“封閉集”，則1e/；

②若N為一個(gè)“封閉集”且a,beA,貝He/；

b

③若N,8都是“封閉集”，則是“封閉集”的充要條件是4=2或

④若N,8都是“封閉集"，則是“封閉集”的充要條件是或

正確的是（）

A.①③④B.①②③④C.①②③D.①②④

分析由封閉集的定義，逐項(xiàng)判斷即可，同時(shí)③用舉例，④用反證法即可.

解析對(duì)于①，為一個(gè)“封閉集”，

由定義可知aw/,則工?/,ax-=leA,故①正確；

aa

對(duì)于②，?.?4為一個(gè)“封閉集”，

a,beA,—GA,—EA故②正確；

bb9

對(duì)于③，/=1,2},5={1,1,3},=都是封閉集，

則4=5或5=/不成立，故③錯(cuò)誤;

對(duì)于④，充分性：A,2都是''封閉集"，若A=B或B=A,則由題意知是''封閉集”，

必要性：若4J8是''封閉集"，令4J8=C，

假設(shè)工不包含于2且臺(tái)不包含于工,

則存在ae/,a電B,beB,b&A,同時(shí)aeC,beC,

?.?/|」8=<^是“封閉集”，

ab&C,—eC,分兩種情況討論，

ab

若absA,又QE/,則工EZ,

a

:.abx—=beA,這與假設(shè)矛盾，

a

若又bsB,則

b

abx—=aeB,這與假設(shè)矛盾，

b

假設(shè)不成立，原結(jié)論是“封閉集“，則或5=4,必要性成立，故④正確.

答案D

曾方法總結(jié)

1.按照子集包含元素個(gè)數(shù)從少到多排列.

2.注意觀察兩個(gè)集合的公共元素，以及各自的特殊元素.

3.可以利用集合的特征性質(zhì)來(lái)判斷兩個(gè)集合之間的關(guān)系.

4.有時(shí)借助數(shù)軸，平面直角坐標(biāo)系，韋恩圖等數(shù)形結(jié)合等方法.

5-1（2024?浦東新區(qū)校級(jí)期中）已知集合/={x[l<x<2},B={x\l<x<m}f若BjA,則實(shí)數(shù)機(jī)的取值

范圍是（）

A.(2,+oo)B.(1,2]C.(-00,2]D.[2,+oo)

【答案】C

【分析】由集合的包含關(guān)系，對(duì)集合5是否是空集分類(lèi)討論即可求解.

【解答】解：當(dāng)5=0時(shí)，加W1,

m>\

當(dāng)5W0時(shí)，則

m<2，

解得1<叭2,

綜上所述，實(shí)數(shù)加的取值范圍是（-8,2].

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了集合間的包含關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

5-2（2024?普陀區(qū)校級(jí)期中）設(shè)0,6是實(shí)數(shù)，集合/={x||x-a|<l},8={x||x-61>3},且/=8,貝/a1

的取值范圍是（）

A.[0,2]B.[0,4]C.[2,+（?）D.[4,+oo）

【答案】D

【分析】先分別求出集合N,B,然后結(jié)合集合的包含關(guān)系即可求解.

【解答】解：由題意得，A={x\a-\<x<a+\},8={x|x<6-3或x>6+3},

因?yàn)?

所以a+Kb-3或a-+3,

即。一64-4或。一6?4,即|。一6|24.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了集合包含關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

5-3（2024?黃浦區(qū)校級(jí)期末）已知集合/={-2,2},8={-2,-1,a+3},且4=8,貝快數(shù)。的值為_(kāi)-1_,

【分析】由集合包含關(guān)系得到a+3=2即可求解；

【解答】解：因?yàn)榧?={-2,2},B={-2,-1,a+3},且4口8,

所以a+3=2,

解得?=-1.

故答案為：-1.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了集合間的包含關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

5-4（2024?寶山區(qū)校級(jí)期末）己知集合/={1},B={a,a2+2}.若4屋8,則實(shí)數(shù)u的值為1.

【答案】1.

【分析】根據(jù)包含關(guān)系求解即可.

【解答】解：集合/={1},B={a,a2+2},A^B,

則1e{a,a2+2],

Xa2+2》2，貝Ua=1,

此時(shí)N={1},B={1,3},符合題意.

故答案為：1.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查集合的包含關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

5-5（2024?寶山區(qū)校級(jí)期中）已知集合「={刈-2（試5},。={刈笈+1（小2人-1},且。則實(shí)數(shù)后的取

值范圍是.

【答案】也1收3}.

【分析】由已知中集合P={x|-2WxW5},0={x|左+KxW24-1}滿(mǎn)足?！焓?，分。=01尸和。項(xiàng)尸兩

種情況，分別求出滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)左的取值范圍，最后綜合討論結(jié)果，即可得到答案.

【解答】解：.?.OuP,

當(dāng)a+1>24-1,即左<2時(shí)，Q=0^P,滿(mǎn)足條件；

當(dāng)人+1<2左一1,即碎2時(shí),

（k+l>-2

[2^-1<5'

解得-3W長(zhǎng)3,此時(shí)2WM3；

綜上所述，實(shí)數(shù)后的取值范圍為上（3,

故左的范圍為依區(qū)W3}.

故答案為：{川左<3}.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是集合關(guān)系中的參數(shù)取值問(wèn)題，體現(xiàn)了分類(lèi)討論思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

考點(diǎn)六.集合中元素個(gè)數(shù)的最值

-例6（2024?普陀區(qū)校級(jí)期中）設(shè)集合/為非空實(shí)數(shù)集，集合8=（孫叵，yeA5.x^y],稱(chēng)集合2

為集合N的積集，則下列結(jié)論正確的是（）

A.當(dāng)/={1,2,3,4}時(shí)，集合N的積集8={2,3,4,8,12}

B.若/是由5個(gè)正實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合，其積集2中元素個(gè)數(shù)最多為8個(gè)

C.若/是由5個(gè)正實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合，其積集8中元素個(gè)數(shù)最少為7個(gè)

D.存在4個(gè)正實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合/,使其積集8={2,4,5,8,10,16）

分析利用積集的定義可判斷工,設(shè)人也，出，%，％，生}，其中0y-5,利用積集

定義分析積集B中元素的大小關(guān)系可判斷8和c，利用反證法分析集合/中四個(gè)元素的乘積推出矛盾可判

斷。.

解析對(duì)于因?yàn)镹={1，2,3,有，集合8={xy|x，了^/且工/了}，

故集合8中所有可能的元素有1x2,1x3,1x4,2x3,2x4,3x4,

B={2,3,4,6,8,12},故4錯(cuò)誤；

對(duì)于8,設(shè)/={%,a2,a3,a4,as},不妨設(shè)0<%<a2<%<%<應(yīng)，

aa

因?yàn)閍ia2<<%%<is<。2a5<03a5<%%,a2a3<a2a4<a3a4,

所以8中元素個(gè)數(shù)小于等于10個(gè)，

如設(shè)N={1,2,3,5,7},集合8={孫|x,yeAy),

則3={2,3,5,6,7,10,14,15,21,35},

所以積集2中元素個(gè)數(shù)的最大值為10個(gè)，故2錯(cuò)誤；

aaaa

對(duì)于C,因?yàn)閍ta2<%%<i4<is<a2a5<a3a5<a4as,

所以8中元素個(gè)數(shù)大于等于7個(gè)，

如設(shè)/={2，22,23,24,25),集合8={孫|工，y&AS-x^y},

則8={2「24,25,26,27,28,29},

此時(shí)8中元素個(gè)數(shù)等于7個(gè)，所以積集3中元素個(gè)數(shù)的最小值為7,故C正確；

對(duì)于。，假設(shè)存在4個(gè)正實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合Z={a,b,c,d},使其積集2={2,4,5,8,10,16},

不妨設(shè)0<a<b<c<d,則集合/的積集2={a6,ac,ad,be,bd,cd},

則必有防=2,cd=\6,其4個(gè)正實(shí)數(shù)的乘積abed=32,

又al=5,be=8或ad=8,bc=5,其4個(gè)正實(shí)數(shù)的乘積abed=40,矛盾；

所以假設(shè)不成立，故不存在4個(gè)正實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合力,

使其生成集8={2,4,5,8,10,16),故。錯(cuò)誤.

答案C

6-1集合V={加|"2eN,且8-%eN},則7〃的個(gè)數(shù)是()

A.6B.7C.8D.9

【答案】D

【分析】根據(jù)條件機(jī)eN,且8-meN,確定集合的元素加.

【解答】解：因?yàn)闄C(jī)wN,且8-機(jī)wN,

所以由8-得加＜8.

因?yàn)?〃eN,所以加=0,1,2,3,4,5,6,7,8,共9個(gè)數(shù)值.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查集合元素的確定，比較基礎(chǔ).

6-2（2024?楊浦區(qū)校級(jí)期中）已知非空集合/,8滿(mǎn)足以下兩個(gè)條件：

［川5={1，2,3,4,5,6},/pp=0；

m）/的元素個(gè)數(shù)不是N中的元素，8的元素個(gè)數(shù)不是8中的元素，則有序集合對(duì)（48）的個(gè)數(shù)為.

【答案】10.

【分析】分別討論集合/,8元素個(gè)數(shù)，即可得到結(jié)論.

【解答】解：若集合/中只有1個(gè)元素，則集合2中只有5個(gè)元素，貝心仁/,5e8,

即5e/,leB,此時(shí)（4臺(tái)）有1個(gè)；

若集合力中只有2個(gè)元素，則集合2中只有4個(gè)元素，則2e/,4e8,

即4e/,2eB,此時(shí)有C；=4；

若集合N中只有3個(gè)元素，則集合8中只有3個(gè)元素，則中3eN,3”,不滿(mǎn)足題意，

若集合力中只有4個(gè)元素，則集合2中只有2個(gè)元素，則4任/,2eB,

即2”,4e5,此時(shí)有窗=4；

若集合Z中只有5個(gè)元素，則集合8中只有1個(gè)元素，則5eN,US,

即le/,5wB,此時(shí)有C：=l,

故有序集合對(duì)（4B）的個(gè)數(shù)是1+4+4+1=10.

故答案為：10.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查滿(mǎn)足條件的有序集合的個(gè)數(shù)的求法，考查交集定義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬

于中檔題.

6-3（2024?寶山區(qū)校級(jí)月考）已知集合/={x|蘇-x+3=0}至多有一個(gè)元素，則0的取值范圍是.

【答案】⑷或4=0}.

【分析】考慮。=0和的情況，結(jié)合根的判別式得到不等式，求出答案.

【解答】解：因?yàn)榧?={x|"2一、+3=0}至多有一個(gè)元素，

當(dāng)Q=0時(shí)，一、+3=0,解得x=3,此時(shí)4有一個(gè)元素，

當(dāng)。。0時(shí)，需要△=1—12Q<0,解得。2五，

綜上，4或。=0.

故答案為：{。|。之五或。=0}.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了集合中元素個(gè)數(shù)的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類(lèi)討論思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

6-4(2024?寶山區(qū)校級(jí)月考)若集合Z={x|"2+、+1=0,xwR},且4中只有一個(gè)元素，則。=.

【答案】0或

4

【分析】分。=0和。。0兩種情況討論，當(dāng)時(shí)，△=()求出。的值.

【解答】解：因?yàn)椋?{%|辦2+X+1=0,X￡R},表示關(guān)于X的方程辦2+X+]=0的解集，

當(dāng)4=0時(shí)，由x+l=0,解得％=—1,所以"={—1},符合題意；

當(dāng)。片0時(shí)，要使工中只有一個(gè)元素，則AMF-4a=0,解得a=；,

4

1°

此時(shí)方程彳/+、+1=0,解得石=%=—2,所以4={-2},符合題意；

綜上可得。=0或。=1.

故答案為：0或二.

4

【點(diǎn)評(píng)】本題考查集合中元素個(gè)數(shù)，是基礎(chǔ)題.

6-5(2024?閔行區(qū)校級(jí)期中)設(shè)集合N是至少有兩個(gè)元素的實(shí)數(shù)集，集合8={z[z=孫，x,ye/且

x^y},稱(chēng)集合8為集合/的積集.

(1)當(dāng)/={1,3,7}時(shí)，寫(xiě)出集合”的積集8；

(2)若/是由4個(gè)正實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合，求其積集8中元素個(gè)數(shù)的最小值；

(3)判斷是否存在5個(gè)正實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合力,使其積集8={2,3,5,6,10,12,18,24},并說(shuō)明理由.

【答案】⑴8={3,1,21);

(2)5；

(3)不存在，理由見(jiàn)解析.

【分析】（1）根據(jù)定義即可求解；

（2）根據(jù)積集的定義即可求解；

（3）根據(jù)/={。，b,c,d,e},可得集合8中最大兩個(gè)元素以及最小的兩個(gè)元素，即可根據(jù)06=2,

ac=3,ce=18,de=24得矛盾求解.

【解答】解：（1）因?yàn)?={1,3,7},

所以集合8中所有可能的元素有1x3,1x7,3x7,即3,7,21,

所以2={3,7,21};

（2）設(shè)4={〃，b,c,d},不妨設(shè)0<a<6<c<”,

因?yàn)閍b<ac<ad<bd<cd,

所以8中元素個(gè)數(shù)大于等于5個(gè)，

又當(dāng)/={2。2,23,2。時(shí)，B=[23,2325-2$,27},此時(shí)8中元素個(gè)數(shù)等于5個(gè)，

此時(shí)積集8中元素個(gè)數(shù)的最小值為5；

（3）不存在，理由如下：

假設(shè)存在5個(gè)正實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合/={。，b,c,d,e）,

使其積集8={2,3,5,6,10,⑵18,24},不妨設(shè)0<a<b<c<d<e,

貝l]0<ab<ac<ad<ae<be<ce<de.ac<bc<ce,bd<ce,

所以。方=2,ac=3,ce=18,=24,

設(shè)a=L則b=2x,c=3x,e=—,d=4x,

xx

所以）=！x4x=4,但集合8中不存在元素4,所以矛盾，假設(shè)不成立，

故不存在5個(gè)正實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合N,使其生成集8={2,3,5,6,10,12,18,24）.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了以集合為背景的新定義問(wèn)題，考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀技能、推理能力，以及數(shù)學(xué)

抽象和邏輯推理能力，屬于中檔題.

考點(diǎn)七.子集的判斷與求解（重難點(diǎn)）

■/例7（2024?閔行區(qū)期中）設(shè)集合<={x[%2+辦+i>o},={x\x2+ax+2>0},

Q={x|x2+x+Z?>0},={x|x2+2x+6>0},其中a,beR,下列說(shuō)法正確的是（）

A.對(duì)任意a,々是鳥(niǎo)的子集，對(duì)任意b,儲(chǔ)不是&的子集

B.對(duì)任意a,片是鳥(niǎo)的子集，存在b,使得。是。2的子集

C.對(duì)任意a,使得月不是￡的子集，對(duì)任意6,。不是&的子集

D.對(duì)任意a,使得々不是鳥(niǎo)的子集，存在6,使得。不是久的子集

分析運(yùn)用集合的子集的概念，令機(jī)仁耳，推得機(jī)可得對(duì)任意a,耳是8的子集；再由6=1,b=5,

求得。，02，即可判斷2正確，A,C,D錯(cuò)誤.

12

解析對(duì)于集合Px={x\x+ax+\>Q},7^={x|x+ax+2>0},

可得