專題1數(shù)字問題

小升初數(shù)學思維拓展數(shù)論問題專項訓練

（知識梳理+典題精講+專項訓練）

融的梳理

1、數(shù)字問題的主要題型。

數(shù)字問題是研究有關數(shù)字的特殊結(jié)構(gòu)、特殊關系以及數(shù)字運算中變換問題的一類問題，相對

來說，難度較大.通常情況下題目會給出某個數(shù)各個位數(shù)關系，求這個數(shù)為多少.

2、核心知識。

（1）數(shù)字的拆分。

是將一個數(shù)拆分成幾個因數(shù)相乘或者相加的形式，經(jīng)常需要綜合應用整除性質(zhì)、奇偶性質(zhì)、

因式分解、同余理論等.

（2）數(shù)字的排列與位數(shù)關系。

解答數(shù)字的排列與位數(shù)關系時，經(jīng)常需要借助于首尾數(shù)法進行考慮、判斷，同時可以利用列

方程法、代入法、假設法等一■些方法，進行快速求解.

典敦幡餅

【典例一】在1到400的整數(shù)中，至少能被3和5中的一個數(shù)整除的數(shù)有（）個5.

A、213B、187C、

133D、80

【分析】先求出400里面有幾個3,就是1400中有多少個數(shù)能被3整除，再求出400里面

有幾個5,就是1400中有多少個數(shù)能被5整除；能同時倍3和5整除的數(shù)是15的倍數(shù)；求

出400里面有多少個15,就是能同時被3和5整除的數(shù)，然后用3的倍數(shù)的個數(shù)加上5的

倍數(shù)的個數(shù)然后減去15的倍數(shù)的個數(shù)即可.

【解答】解：1到400中能被3整除有：4004-3^133（個）；

1到400中能被5整除有：4004-5=80（個）；

1到400中既能被3也能被5整除有：4004-（3X5）弋26（個）；

在1到400的整數(shù)中，至少能被3和5中的一個數(shù)整除的數(shù)：133+8026=187（個）；

故選：B.

【點評】本題要注意能同時被3和5整除的數(shù)，是重復計算的數(shù)字.

【典例二】自然數(shù)12321,90009,41014…有一個共同特征：它們倒過來寫還是原來的數(shù)，

那么具有這種“特征”的五位偶數(shù)有（）個。

【分析】倒過來寫還是原來的數(shù)，具有這種“特征”的五位偶數(shù)萬位和個位有2,4,6,8這

4種選擇；千位和十位有0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這10種選擇；百位有0,1,2,

3,4,5,6,7,8,9這10種選擇.可以組成倒過來寫還是原來的數(shù)具有這種“特征”的五

位彳禺數(shù)貝I<4X10X10=400個.

【解答】解：根據(jù)分析，倒過來寫還是原來的數(shù)，具有這種“特征”的五位偶數(shù)有4X10X

10=400個.

答：具有這種“特征”的五位偶數(shù)有400個.

故答案為：400.

【點評】根據(jù)這種數(shù)的特征，分析各對稱數(shù)位會出現(xiàn)的數(shù)字可能，把出現(xiàn)可能的種數(shù)相乘即

可得這種特征數(shù)的個數(shù).

【解答】解：每次操作都不改變袋中所有數(shù)之和除以100的余數(shù)，

所以這張紙片上的數(shù)是50.

【點評】解答本題的關鍵熟練掌握余數(shù)的性質(zhì).

I專項制秣

一.選擇題（共8小題）

1.一個五位數(shù)，左邊三位數(shù)是右邊兩位數(shù)的5倍，如果把右邊的兩位數(shù)移動前面，則所得

新的五位數(shù)要比原來的五位數(shù)的2倍還多75,則原來的五位數(shù)是（）

A.12525B.13527C.17535D.22545

A.9B.12C.15D.28

3.有一個小于2008的奇數(shù)，將它除以3所得的余數(shù)為2,將它除以5所得的余數(shù)為4,請

問滿足上述條件的最大整數(shù)的所有數(shù)字和是多少？（）

A.26B.27C.28D.29

E.30

4.在一個兩位數(shù)之間插入一個數(shù)字，就變成一個三位數(shù)。例如：在72中間插入數(shù)字6,就

變成了762。有些兩位數(shù)中間插入數(shù)字后所得到的三位數(shù)是原來兩位數(shù)的9倍，下列數(shù)字滿

足條件的是（）

A.25B.20C.18D.17

5.有26個連續(xù)的自然數(shù)，如果前13個數(shù)的和是247,那么，后13個數(shù)的和是（）

A.426B.416C.274D.260

6.小明在做連續(xù)自然數(shù)1,2,3,4…求和的時候，把其中一個數(shù)多加了一次，結(jié)果為290,

那么多加的這個數(shù)為（）

A.12B.13C.14D.15

A.10B.12C.14D.20

A.3B.6C.9D.10

二.填空題（共8小題）

9.初一（1）班有45名同學上體育課，他們在操場上排成一排面向教師，并從1到45報完

數(shù)后，教師叫報偶數(shù)的人向后轉(zhuǎn)，接著叫報3的倍數(shù)的人向后轉(zhuǎn)，則這時面向教師的學生有

名.

11.在某小區(qū)為業(yè)主舉辦的元旦晚會上，主持人為業(yè)主們準備了一個游戲：從300個外形相

同的福袋中找到唯一裝有獎品的福袋，主持人將這些福袋按1至300的順序編號排成一列，

第一次先請一位業(yè)主從中取出所有序號為單數(shù)的球，均沒有發(fā)現(xiàn)獎品，接著主持人將剩下的

福袋又按1至150重新編號排成一列（即原來的2號變?yōu)?號，原來的4號變?yōu)?號，……，

原來的300號變?yōu)?50號），又請一位業(yè)主從中取出所有新序號為單數(shù)的球，也沒有發(fā)現(xiàn)獎

品，...，如此下去，直到最后一個福袋是裝有獎品的，那么這個裝有獎品的福袋最初的序

號是—o

12.淘氣從今年2月日歷表上的28個數(shù)中，把其中的部分數(shù)劃掉，使得余下的數(shù)中沒有一

個數(shù)是其它數(shù)的2倍，那么最多能剩余個數(shù)。

14.九張紙上各寫著1到9中的一個自然數(shù)（不重復），甲拿的兩張紙上的數(shù)字的和是10,

乙拿的兩張紙上的數(shù)字的差是1,丙拿的兩張紙上的數(shù)字的積是24,丁拿的兩張紙上的數(shù)字

的商是3,那么，最后剩下的一張紙上的數(shù)字是.

16.在信息時代，信息安全十分重要，往往需要對信息進行加密，若按照“疊3加1取個

位”的方式逐位加密，明碼“16”加密之后的密碼為“49”，若某個四位明碼按照上述加密

方式，經(jīng)過兩次加密得到的密碼是“2445”，則明碼是

三.解答題

18.1231,1005,1993這幾個數(shù)有許多相同之處：它們都是四位數(shù)，最高位是1,都恰有兩

個相同的數(shù)字，一共有多少個這樣的數(shù)？

20.有五個連續(xù)的偶數(shù)A、B、C、D、E,已知C比A、E的和的四分之一多18,這五

個偶數(shù)的和是多少？

21.某三位數(shù)，若它本身增加3,那么新的三位數(shù)的各位數(shù)字之和就減少到原來三位數(shù)的各

位數(shù)字之和的則所有這樣的三位數(shù)的和是多少？

3

22.娟皇宮是神話傳說中女娟“煉石補天、拷土造人”的地方，每年農(nóng)歷三月初一至三月十

八為當?shù)氐膹R會，全國各地的人都會來娟皇宮朝拜女娟。娟皇宮景區(qū)為了方便游客，打算在

三個重要地點增設不同數(shù)量的垃圾箱，如果三個地點增設的垃圾箱數(shù)量恰好是三個連續(xù)的自

然數(shù)，且它們的積是210,你知道三個地點增設的垃圾箱數(shù)量分別是多少個嗎？

23.兩個自然數(shù)的和是15,要使兩個自然數(shù)的乘積最大，這兩個自然數(shù)各是多少？

24.用長度分別為1,2,3,99的99條線段，能不能組成一個正方形或一個長方形？

（每條線段都要用上）

26.從100到500的整數(shù)中，有多少個十位和個位相同的數(shù)？

27.把一個自然數(shù)所有數(shù)位上的數(shù)學先平方再求和得到個新數(shù)，叫做第一次運算，再把所得

新數(shù)所有數(shù)位上的數(shù)字先平方再求和又將得到一個新數(shù)，叫做第二次運算……如此重復下

去，若最終結(jié)果為1,我們把具有這種特征的自然數(shù)稱為“快樂數(shù)”。例如：

所以32和70都是“快樂數(shù)”。

(1)寫出最小的三位“快樂數(shù)”；判斷19是不是“快樂數(shù)”；請證明任意一個“快樂數(shù)“經(jīng)

過若干次運算后都不可能得到4；

(2)若一個三位“快樂數(shù)”經(jīng)過兩次運算后結(jié)果為1,且這個三位“快樂數(shù)”與它的各位上

的數(shù)字相加所得的和被8除余數(shù)是2,求出這個‘'快樂數(shù)"。

28.在“改革”村的黑市上，人們只要有心，總是可以把兩張任意的食品票換成3張其它票

泰，也可以反過來交換。試問，合作社成員瓦夏能否將100張黃油票換成100張香腸票，并

且在整個交換過程中剛好出手了1991張票券？

29.請你用1,2,3,4,5,6,7,8,9這九個數(shù)字，每個只能用一次，拼湊出五個自然數(shù).讓

第二個是第一個的2倍，第3個是第一個的3倍，第四個是第一個的4倍，第五個是第一個

的5倍.求這五個自然數(shù)分別為多少？

參考答案

選擇題（共8小題）

1.【答案】A

【分析】此題是選擇題，直接觀察選項然后用排除法解答即可。已知“左邊三位數(shù)是右邊兩

位數(shù)的5倍”，選項均符合條件，不能排除；

已知“如果把右邊的兩位數(shù)移動前面,則所得新的五位數(shù)要比原來的五位數(shù)的2倍還多75”，

驗證可知A項符合條件，而5、C、。項的2倍多75并不等于把右邊的兩位數(shù)移動到前面

所得的數(shù)，因此直接選出A即可。

一個五位數(shù)，左邊三位數(shù)是右邊兩位數(shù)的5倍，如果把右邊的兩位數(shù)移動前面，則所得新的

五位數(shù)要比原來的五位數(shù)的2倍還多75,則原來的五位數(shù)是12525。

故選：Ao

【點評】此題主要使用了代入排除法來解決問題，要熟練掌握。

2.【分析】根據(jù)“完美數(shù)”的定義，可將下列選項中的數(shù)寫出符合要求的因數(shù)，進行計算，

即可得出答案.

因此只有。項符合題意.

故選：D.

【點評】此題主要考查的是如何尋找一個數(shù)的因數(shù)的方法的靈活應用.

3.【分析】根據(jù)題意，這個數(shù)是奇數(shù)，它除以3所得的余數(shù)為2,它除以5所得的余數(shù)為

4,推出這個數(shù)的個位數(shù)字只能是9,然后從小于2008的奇數(shù)往下推即可解題.

【解答】解：由題可知，這個奇數(shù)的個位數(shù)字是9.

故選：A.

【點評】此題主要考查數(shù)字問題的綜合應用，學生要掌握奇數(shù)、3的倍數(shù)及5的倍數(shù)的特征，

然后根據(jù)余數(shù)確定個位數(shù)字是9解題關鍵.

4.【答案】A

【分析】分別用下面的數(shù)字乘9,所得積的百位與個位上的數(shù)字分別是兩位數(shù)的十位和個位

上的數(shù)字的就符合題意。

在25的中間插入數(shù)字2得225,225是25的9倍。

故選：Ao

【點評】利用逆向思維的方法是解決本題的關鍵。

5.【答案】B

【分析】后13個數(shù)的第一個數(shù)比前13個數(shù)的第一個數(shù)多13,后13個數(shù)的第二個數(shù)比前13

個數(shù)的第二個數(shù)多13,,后13個數(shù)的最后一個數(shù)比前13個數(shù)的最后一個數(shù)多13,則

后13個數(shù)的和的和比前13個數(shù)的和多13個13,依此即可求解。

答：后13個數(shù)的和是416。

故選：B。

【點評】本題考查了數(shù)字和問題，本題根據(jù)是理解26個連續(xù)的自然數(shù)，后13個數(shù)的和的和

比前13個數(shù)的和多13個13。

6.【答案】C

答：多加的是14。

故選：C。

5、10、15、20、25、30、35、40、45、50;

=12(個)

故選：B.

【點評】明確若干個數(shù)相乘積的末尾有多少個零是由因數(shù)2和5的個數(shù)決定的是完成本題

的關鍵.

8.【分析】根據(jù)題意，本題要分兩種情況討論：四位數(shù)和三位數(shù)，2000以內(nèi)四位數(shù)的首位

只能是1,三位數(shù)只能是990以上，據(jù)此依次排出即可.

【解答】解：根據(jù)題意，本題可分為符合情況的四位數(shù)和三位數(shù).

第一種情況：四位數(shù)

因為是小于2000的四位數(shù)，所以首位只能為1.

所以，題目最終所求分兩種情況：

(1)首位為1,剩下三位其中一位為9,剩下兩位為8.

實際上是將9放在個十百位上的其中一位.

有3種情況:1988、1898、1899.

(2)首位為1,剩下三位其中一位為7,剩下兩位為9.

同理，有3種情況：1799、1979、1997.

所以，四位數(shù)一共有6個.

第二種情況：三位數(shù)

三位數(shù)有：998、989、899.

故選：C.

【點評】本題主要考查了學生解決比較復雜的數(shù)字問題的能力，要分兩種情況進行討論.

二.填空題（共8小題）

余下的3人中有一個1號學生也是個面向教師的，

所以共有22人面向教師.

答：這時面向教師的學生有22名.

故答案為：22.

【點評】完成本題的關鍵是要注意第一次向后轉(zhuǎn)的報偶數(shù)的人中還包含有部分報3的倍數(shù)

的人.

【解答】解：設abc是尤，則有

所以這個四位數(shù)是2856.

故答案為：2856.

11.【答案】256。

【分析】從簡單入手，找到第〃次余下的原編號為2"的倍數(shù)，再找著2"的倍數(shù)只有1個時

“為幾，此時的結(jié)果就是最初的編號。據(jù)此解答。

第〃次余下的數(shù)為2"的倍數(shù)。

所以，最初福袋的序號是256。

故答案為：2560

【點評】此題主要考查了推理論證，根據(jù)題意，分析每次取出的序號是后剩下的氣球的序號，

就能知道裝有獎品的氣球最初的序號。

12.【答案】19。

【分析】按從小到大的順序，先劃掉2,（2是1的2倍，2的2倍是4）;再劃掉6,（6是3

的2倍，6的2倍是12）;據(jù)此規(guī)律依次劃掉8、10、14；再按從小大到的順序劃掉剩下的數(shù)

的2倍的數(shù)。

【解答】解：2是1的2倍，2的2倍是4,劃掉2；

6是3的2倍，6的2倍是12,劃掉6;

8是4的2倍，8的2倍是16,劃掉8；

10是5的2倍，10的2倍是20,劃掉10；

14是7的2倍，14的2倍是28,劃掉14；

18是9的2倍，劃掉19;

22是11的2倍，劃掉22；

24是12的2倍，劃掉24；

26是13的2倍，劃掉26；

故答案為：19。

【點評】按一定的順序劃掉不符合題目要求的數(shù)，避免遺漏；先劃雙重身份的數(shù)（即是2的

倍數(shù)，它的2倍又是余下的數(shù)），這樣能使劃掉的數(shù)最少，剩余的數(shù)最多。

13.【答案】5050o

【分析】這100個數(shù)沒有增加，無論怎么劃掉數(shù)，所得的這一列數(shù)的和是不變的，最后剩下

一個數(shù)，也就是這一列數(shù)的和還是最初一列數(shù)的和，據(jù)此求出即可。

答：最后一個數(shù)字是5050。

故答案為:5050o

【點評】解決本題關鍵是找出每一輪之后的數(shù)列都是什么，然后再由此求解。

14.【分析】先分別求出甲拿的兩張數(shù)字和是10的可能的兩個數(shù)，乙拿的兩張數(shù)字差是1

的可能的兩個數(shù)，丙拿的兩張數(shù)字積是24的可能的兩個數(shù)，丁拿的兩張數(shù)字商是3的可能

的兩個數(shù)，在再利用假設法，得出甲、乙、丙與丁所拿的兩個數(shù)，最后求出剩下的一張紙上

的數(shù)字.

【解答】解：甲拿的兩張數(shù)字和是10,有可能是1和9,2和8,3和7,4和6：

乙拿的兩張數(shù)字差是1,有可能是9和8,8和7,7和6,6和5,5和4,4和3,3和2,

2和1；

丙拿的兩張數(shù)字積是24,有可能是3和8,4和6;

丁拿的兩張數(shù)字商是3,有可能是9和3,6和2,3和1；

先從可能最小的丙分析，

（1）如果丙是3和8,則丁不可能拿3和1、9和3,因為都有3,只能拿6和2,則甲只能

拿1和9（因為其他對都有之前出現(xiàn)的數(shù)），乙就拿5和4這對（同上），所以剩下7；

（2）如果丙是4和6,丁就可以拿9和3,或3和1,①丁拿9和3時，甲只能拿2和8,

乙就不能拿，所以不成立；②丁拿3和1,甲就拿2和8,乙就不能拿，也不成立.

綜上所述，剩下的一張是7；

答：最后剩下的一張紙上的數(shù)字是7.

故答案為：7.

【點評】本題主要是先求出甲、乙、丙與丁所拿的可能的兩個數(shù)的解集，再按其他條件逐一

篩選、剔除，求得答案.

15.【答案】28,24

【分析】把1764分解質(zhì)因數(shù)后，合理組合成5個數(shù)相乘的積；撲克牌可以出現(xiàn)1;然后進

行分類組合，分別算出每組的和，即可得出甲、乙取出撲克數(shù)字之和分別是多少。

【解答】解：由題意得：

故答案為：甲、乙取出撲克數(shù)字之和分別為28、24o

【點評】考查數(shù)字問題。根據(jù)數(shù)的特征，進行分解質(zhì)因數(shù)，分析每組數(shù)字的組合情況，然后

求出每組的和即可。

16.

所以第一次加密后的密碼是7118,

所以明碼是2009.

故答案為:2009.

【點評】本題主要考查數(shù)字問題，利用逆推的方法得到答案是解答本題的關鍵.

三.解答題

17.【答案】90個。

【分析】以1開頭并且以1結(jié)尾的對稱四位數(shù)：1001、1111,1221、1331、1441、1551、

1661、1771、1881、1991共10個；以2開頭并且以2結(jié)尾的對稱四位數(shù)同樣也有10個，

以3開頭并且以3結(jié)尾的對稱四位數(shù)也有10個，據(jù)此即可解答。

答：在四位數(shù)中，共有90個對稱數(shù)。

【點評】本題是一道數(shù)學問題類型的題目，明確：以1開頭并且以1結(jié)尾的對稱四位數(shù)共有

多少個是解答本題的關鍵。

18.【分析】將符合條件的數(shù)分成兩類：

【解答】解：根據(jù)分析可得，

答：一共有432個這樣的數(shù).

【點評】本題關鍵是先把相同數(shù)字的分兩類考慮，然后結(jié)合位置進行排列組合即可得出答案.

【解答】解：數(shù)字1-9是一位數(shù)，共有9位，

答：這個數(shù)有6929位.

【點評】此題考查了學生對大數(shù)的認識能力，注意分類，注意不能多數(shù)、漏數(shù).

【解答】解：設中間為無，前面的數(shù)為：x-2,x-4,后面的數(shù)為：x+2,x+4,

答：這五個偶數(shù)的和是180.

【點評】根據(jù)題意列方程求出中間的數(shù)是解答此題的關鍵.

21.

【解答】解：據(jù)題意可知，這個數(shù)加3后，必有進位發(fā)生，

若發(fā)生1次進位各位數(shù)字之和減少6,這個數(shù)加3后，數(shù)字之和減少到原來三位數(shù)的各位數(shù)

字之和的工，

3

加3能發(fā)生進位的數(shù)字只能是7,8,9三個數(shù)，并且只能在個位數(shù)上發(fā)生，如果個位數(shù)是9,

其他位上的數(shù)均為零，不符題意，

故該三位數(shù)各位數(shù)字之和為9,且個位數(shù)是7,8兩個數(shù)之一，

所以滿足條件的有207,117,108三個數(shù)；

若發(fā)生兩次進位，

個位上的進位數(shù)字之和減少6,十位上的進位，數(shù)字之和再減少9,共減少15,

答：所有這樣的三位數(shù)的和是432.

【點評】明確發(fā)生1次進位各位數(shù)字之和減少6這個規(guī)律是完成本題的關鍵.

22.【答案】5個，6個，7個。

【分析】根據(jù)自然數(shù)的排列規(guī)律，相鄰的自然數(shù)相差1,首先把210分解質(zhì)因數(shù)，然后根據(jù)

題意再把210的質(zhì)因數(shù)作適當?shù)恼{(diào)整計算即可。

【解答】解：把210分解質(zhì)因數(shù)：

答：三個地點增設的垃圾箱數(shù)量分別是5個，6個，7個。

【點評】此題主要根據(jù)分解質(zhì)因數(shù)的方法把質(zhì)因數(shù)作適當?shù)恼{(diào)整去解決問題。

23.【答案】這兩個自然數(shù)各是7與8。

【解答】解：經(jīng)分析可知：

把15分成7與8之和，這兩個數(shù)的乘積最大。

答：這兩個自然數(shù)各是7與8o

【點評】本題考查數(shù)字問題，需要結(jié)合具體數(shù)字問題的描述找到突破口解決問題。重要結(jié)論：

如果兩個自然數(shù)的和一定，那么這兩個自然數(shù)的差越小，它們的乘積越大。特別的，當這兩

個自然數(shù)相等時，它們的乘積最大。

24.【答案】可以組成長方形。

【解答】解：所有線段的總長度為：

若要組成正方形，則每條邊長：

所以，不可能組成正方形；

若要組成長方形，根據(jù)等差數(shù)列的特征，將所有線段分組：

答：可以組成長方形。

【點評】本題主要考查了數(shù)字問題，根據(jù)等差數(shù)列的特征將99條線段合理分組是本題解題

的關鍵。

循環(huán)節(jié)是714285,是6位數(shù)，

所以小數(shù)點后面第100位上的數(shù)字是2；

這100個數(shù)字的和是：

答：小數(shù)點后面第100位上的數(shù)字是2,這100位數(shù)字之和是446.

【點評】此題考查學生循環(huán)節(jié)的概念，以及分析判斷能力，本題重點要確定循環(huán)節(jié)有幾位小

數(shù)，用100除以循環(huán)節(jié)的位數(shù)，得出是第幾個循環(huán)節(jié)，然后看余數(shù)是幾就是循環(huán)節(jié)的第幾個

數(shù)字，沒有余數(shù)就是循環(huán)節(jié)的最后一個數(shù)字.

26.【答案】41個。

=41（個）

答：從100到500的整數(shù)中，有41個十位和個位相同的數(shù)。

【點評】本題考查了數(shù)字問題，解決本題的關鍵是注意整百數(shù)的十位和個位都是0,也要計

算在內(nèi)。

27.

【分析】（1）最小的三位數(shù)是100,也恰好是一個快樂數(shù)；

在計算的過程中如果出現(xiàn)4的話，就會進入一個循環(huán)而出不來，從