第13講實(shí)數(shù)比較大小、運(yùn)算、近似數(shù)

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

i.理解有理數(shù)的運(yùn)算法則及運(yùn)算律在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然適用；

2.掌握實(shí)數(shù)的加、減、乘、除、開方、乘方運(yùn)算；

3.理解近似數(shù)和有效數(shù)字的概念；

【基礎(chǔ)知識(shí)】

一.實(shí)數(shù)大小比較

實(shí)數(shù)大小比較

（1）任意兩個(gè)實(shí)數(shù)都可以比較大小.正實(shí)數(shù)都大于0,負(fù)實(shí)數(shù)都小于0,正實(shí)數(shù)大于一切負(fù)實(shí)數(shù)，兩個(gè)負(fù)

實(shí)數(shù)比大小，絕對(duì)值大的反而小.

（2）利用數(shù)軸也可以比較任意兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，即在數(shù)軸上表示的兩個(gè)實(shí)數(shù)，右邊的總比左邊的大，在原

點(diǎn)左側(cè)，絕對(duì)值大的反而小.

二.估算無(wú)理數(shù)的大小

估算無(wú)理數(shù)大小要用逼近法.

思維方法：用有理數(shù)逼近無(wú)理數(shù)，求無(wú)理數(shù)的近似值.

三.實(shí)數(shù)的運(yùn)算

C1）實(shí)數(shù)的運(yùn)算和在有理數(shù)范圍內(nèi)一樣，值得一提的是，實(shí)數(shù)既可以進(jìn)行加、減、乘、除、乘方運(yùn)算，又

可以進(jìn)行開方運(yùn)算，其中正實(shí)數(shù)可以開平方.

（2）在進(jìn)行實(shí)數(shù)運(yùn)算時(shí)，和有理數(shù)運(yùn)算一樣，要從高級(jí)到低級(jí)，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加

減，有括號(hào)的要先算括號(hào)里面的，同級(jí)運(yùn)算要按照從左到右的順序進(jìn)行.

另外，有理數(shù)的運(yùn)算律在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然適用.

【規(guī)律方法】實(shí)數(shù)運(yùn)算的“三個(gè)關(guān)鍵”

1.運(yùn)算法則：乘方和開方運(yùn)算、越的運(yùn)算、指數(shù)（特別是負(fù)整數(shù)指數(shù)，0指數(shù)）運(yùn)算、根式運(yùn)算、特殊三

角函數(shù)值的計(jì)算以及絕對(duì)值的化簡(jiǎn)等.

2.運(yùn)算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的，在同一級(jí)運(yùn)算中要從左到右依次運(yùn)算,

無(wú)論何種運(yùn)算，都要注意先定符號(hào)后運(yùn)算.

3.運(yùn)算律的使用：使用運(yùn)算律可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，提高運(yùn)算速度和準(zhǔn)確度.

四.近似數(shù)和有效數(shù)字

（I）有效數(shù)字：從一個(gè)數(shù)的左邊第一個(gè)不是0的數(shù)字起到末位數(shù)字止，所有的數(shù)字都是這個(gè)數(shù)的有效數(shù)字.

（2）近似數(shù)與精確數(shù)的接近程度，可以用精確度表示.一般有，精確到哪一位，保留幾個(gè)有效數(shù)字等說法.

（3）規(guī)律方法總結(jié)：

“精確到第幾位”和“有幾個(gè)有效數(shù)字”是精確度的兩種常用的表示形式，它們實(shí)際意義是不一樣的，前

者可以體現(xiàn)出誤差值絕對(duì)數(shù)的大小，而后者往往可以比較幾個(gè)近似數(shù)中哪個(gè)相對(duì)更精確一些.

【考點(diǎn)剖析】

實(shí)數(shù)大小比較（共6小題）

1.（2021秋?高郵市期末）下列各數(shù)中，大于5且小于6的無(wú)理數(shù)是（)

A.—B.723C.5.5050050005D.5

7

2.(2022春?吳江區(qū)期中)若。=(一g)-2,6=(-/)°，c=(g)"則。，b,c數(shù)的大小關(guān)系是()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.c<a<b

3.（2022春?亭湖區(qū)校級(jí)月考）比較大?。孩?百____5叵②6-應(yīng)2-73

4.（2022春?泗陽(yáng)縣月考）若。=（一3尸，6=（-1尸，c=（-）°,則。、6、c的大小關(guān)系是

5.（2022春?沐陽(yáng)縣月考）規(guī)定兩數(shù)a,6之間的一種運(yùn)算，記作（a,6）：如果那么（a,b）=c.例

如：因?yàn)?3=8,所以（2,8）=3.

（1）根據(jù)上述規(guī)定，填空：（3,9）=,（萬(wàn),1）=,（21）=.

（2）小明在研究這種運(yùn)算時(shí)發(fā)現(xiàn)一個(gè)特征：（3",4H）=（3,4）,并作出了如下的證明:

設(shè)(3",4")=x,則(3")工=4",即⑶)"=4",

所以3工=4,即(3,4)=尤.

所以(3",4")=(3,4).

試解決下列問題：

①計(jì)算(8,1000)-(32,100000)；

②若令(3,2)=a,(3,5)=6,(3,10)=c,試探索(3,2)+(3,5)與(3,10)的大小關(guān)系.

6.（2021秋?山亭區(qū)期末）數(shù)學(xué)課上，老師出了一道題：比較叵二與2的大小.

33

小華的方法是：

因?yàn)镴歷>4,所以M-22,所以巫二2（填“>”或“<”）；

33

小英的方法是：

A/W—22A/19^—4rpsr2-I<F;匚I、IZ77TA八二匚I、I^"^—4二匚[、1y/^9—22,主古

----------=-------,因?yàn)?n9>A42=16,所以J19—40,所以------0,所以-------（填

333------3------3------3

“〉”或“<”）.

（1）根據(jù)上述材料填空；

（2）請(qǐng)從小華和小英的方法中選擇一種比較近二1與工的大小.

42

二.估算無(wú)理數(shù)的大小（共8小題）

7.（2022春?睢寧縣月考）下列無(wú)理數(shù)，與萬(wàn)最接近的是（）

A.A/9B.A/10C.711D.A/12

8.（2021秋?廣陵區(qū)期末）規(guī)定用符號(hào)[幻表示一個(gè)實(shí)數(shù)的整數(shù)部分，例如[3.69]=3,[3]=1,貝心歷-1]=（

）

A.4B.3C.2D.1

9.（2022?東?？h二模）已知432=1849,442=1936,452=2025,46?=2116.若〃為整數(shù)且n<（2022<H+1,

則”的值為（）

A.43B.44C.45D.46

10.（2022?秦淮區(qū)一模）與10-厲最接近的整數(shù)是

H.（2022春?靖江市校級(jí)月考）公元3世紀(jì)，我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽就能利用近似公式^/7T7。o+L得到

2a

無(wú)理數(shù)的近似值，其中/?取正整數(shù)，且。取盡可能大的正整數(shù).例如：把J行化成^/?1I,再根據(jù)近似公

式得出而。3+二一=3，若利用此公式計(jì)算后的近似值時(shí)，則舊。.

3x23------

12.（2022春?如皋市校級(jí)月考）已知。是近的整數(shù)部分，6是件的小數(shù)部分，貝.

13.（2022春?海安市校級(jí)月考）已知某正數(shù)的兩個(gè)不同的平方根是3a-14和a+2；6+4的立方根為-2；

c是非的整數(shù)部分.

（1）求a+6+c的值；

（2）求北-6+2c的平方根.

14.（2022春?海門市月考）我們用⑷表示不大于a的最大整數(shù)，a-[a]的值稱為數(shù)a的小數(shù)部分，如

[2.13]=2,2.13的小數(shù)部分為2.13-[2.13]=0.13.

（1）[A/3]=,[6]=,萬(wàn)的小數(shù)部分=.

（2）設(shè)逐的小數(shù)部分為a,則。+[屈]-火=.

（3）已知：10+^=x+y,其中x是整數(shù)；且則x-y的相反數(shù)是.

三.實(shí)數(shù)的運(yùn)算（共6小題）

15.（2022春?海門市期中）計(jì)算：-歷+|百-2|-《尸=.

16.（2022春?崇川區(qū)校級(jí)期中）計(jì)算：

（1）IA/3—A/2I+1y/3—21—IA/2—11；（2）-^8++（—I）2018.

17.（2022春?海安市校級(jí)月考）計(jì)算:

（1）>/16+3/--；(2)72(72+2).

V64

18.（2021秋?玄武區(qū)校級(jí)期末）計(jì)算

19.(2022?鹽城開學(xué))計(jì)算：|-31+^7-7(^)2+(-1)2?0.

20.（2022春?海安市校級(jí)月考）計(jì)算:

2

716X3^3|+^（-2）-|73-2|；

(1)(2)^2x(—7=+-\/2)—A/5(5—5/5).

V2

四.近似數(shù)和有效數(shù)字（共3小題）

21.（2021秋?射陽(yáng)縣校級(jí)期末）小明體重為48.94依，這個(gè)數(shù)精確到十分位的近似值為（）

A.48依B.48.9依C.49kgD.49。依

22.（2021秋?句容市期末）小亮的體重為49.65儂，精確到0.1依得到的近似值為kg.

23.按括號(hào)里的要求對(duì)下列各數(shù)取近似值.

（1）1.5982（精確到0.01）

（2）0.03049（精確到0.0001）

（3）33074（精確到百位）

（4）816056.1（精確到10000）

目【過關(guān)檢測(cè)】

選擇題（共4小題）

1.（2021秋?江都區(qū)期末）用四舍五入法得到的近似數(shù)1.05萬(wàn)，下列說法正確的是（）

A.精確到百分位B.精確到0.01C.精確到百位D.精確到萬(wàn)位

2.（2021秋?沐川縣期末）比較2g和3挺的大小，下面結(jié)論正確的是（）

A.2A/3<3A/2B.2G=3夜C.2A/3>372D.無(wú)法比較

3.（2022春?錫山區(qū)期中）已知x滿足條件舊＜》＜而I,若x為整數(shù)，則滿足條件的整數(shù)x的個(gè)數(shù)為（

）

A.5個(gè)B.6個(gè)C.7個(gè)D.8個(gè)

4.（2021秋?高郵市期中）下列各式中，正確的是（）

A.A/16=±4B.（-V2）2=4C.{（-5）2=-5D.^/=27=-3

二.填空題（共9小題）

5.（2022春?亭湖區(qū)校級(jí)月考）比較大?。?而____J43.

6.（2021秋?海陵區(qū)期末）對(duì)于實(shí)數(shù)s、f,我們用符號(hào)t}表示s、f兩數(shù)中較大的數(shù)，如max{3,

1}=3.若maHf—lO,3x2}=6,則x=.

7.（2021秋?沐陽(yáng)縣校級(jí)期末）若J市的值在兩個(gè)整數(shù)a與a+1之間，則。=—.

8.（2021秋?高郵市期末）無(wú)理數(shù)而-2的整數(shù)部分是—.

9.（2021秋?淮陰區(qū)期末）已知a是正整數(shù)，且。（扃＜a+l,則"的值為.

10.（2021春?淮安月考）對(duì)于任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)a、b,定義運(yùn)算“※”如下：?！?'巫，如3

ab

※2=乂1三=好，那么6X12=.

3x26------

11.（2021秋?海陵區(qū)校級(jí)月考）己知實(shí)數(shù)x,y滿足|3+媼+5為=0,則代數(shù)式（尤+＞）他|的值為—.

12.（2021秋?東臺(tái)市期末）東臺(tái)市西溪天仙緣景區(qū)建筑以漢朝風(fēng)格為主，一個(gè)美麗的傳說，各式傳統(tǒng)的小

吃，吸引著無(wú)數(shù)游客心馳神往.景區(qū)游客日最大接待量為55500人，數(shù)字55500用四舍五入法精確到千位

可以表示為.

13.（2021秋?驛城區(qū)期末）若石-1的整數(shù)部分是a,小數(shù)部分是6,則必=—.

三.解答題（共5小題）

14.（2022春?海安市校級(jí)月考）

（1）已知網(wǎng)a+15與鄧46+17互為相反數(shù),求2a+6的立方根.

（2）已知=3,3。+6-1的平方根是±4,c是標(biāo)的整數(shù)部分，求a+26+c的算術(shù)平方根.

15.（2022春?海門市月考）計(jì)算:

(1)30-(2聲-3回(2)函

16.（2022春?港閘區(qū)校級(jí)月考）閱讀下面的文字后回答問題：我們知道無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，例如

直=1.414...,近的小數(shù)部分我們無(wú)法全部出來(lái)，但可以用近-1來(lái)表示.請(qǐng)解答下列問題：

（1）炳的整數(shù)部分是—，小數(shù)部分是—；

（2）若百的小數(shù)部分是a,#的整數(shù)部分是6,求ag+如）的值.

17.（2022春?金鄉(xiāng)縣期中）己知2a-1的算術(shù)平方根是3,3a+%-9的立方根是2,c是J萬(wàn)的整數(shù)部分,

求q+2Z>+c的值.

18.（2022春?如皋市校級(jí)月考）計(jì)算:

(2)6(表一遍)；(3)7(-2)2+13.14-^-1+3.14.

（1）

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第13講實(shí)數(shù)比較大小、運(yùn)算、近似數(shù)

力【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.理解有理數(shù)的運(yùn)算法則及運(yùn)算律在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然適用；

2.掌握實(shí)數(shù)的加、減、乘、除、開方、乘方運(yùn)算；

3.理解近似數(shù)和有效數(shù)字的概念；

?【基礎(chǔ)知識(shí)】

一.實(shí)數(shù)大小比較

實(shí)數(shù)大小比較

(1)任意兩個(gè)實(shí)數(shù)都可以比較大小.正實(shí)數(shù)都大于0,負(fù)實(shí)數(shù)都小于0,正實(shí)數(shù)大于一切負(fù)實(shí)數(shù)，兩個(gè)負(fù)

實(shí)數(shù)比大小，絕對(duì)值大的反而小.

(2)利用數(shù)軸也可以比較任意兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，即在數(shù)軸上表示的兩個(gè)實(shí)數(shù)，右邊的總比左邊的大，在原

點(diǎn)左側(cè)，絕對(duì)值大的反而小.

二.估算無(wú)理數(shù)的大小

估算無(wú)理數(shù)大小要用逼近法.

思維方法：用有理數(shù)逼近無(wú)理數(shù)，求無(wú)理數(shù)的近似值.

三.實(shí)數(shù)的運(yùn)算

(1)實(shí)數(shù)的運(yùn)算和在有理數(shù)范圍內(nèi)一樣，值得一提的是，實(shí)數(shù)既可以進(jìn)行加、減、乘、除、乘方運(yùn)算，又

可以進(jìn)行開方運(yùn)算，其中正實(shí)數(shù)可以開平方.

(2)在進(jìn)行實(shí)數(shù)運(yùn)算時(shí)，和有理數(shù)運(yùn)算一樣，要從高級(jí)到低級(jí)，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加

減，有括號(hào)的要先算括號(hào)里面的，同級(jí)運(yùn)算要按照從左到右的順序進(jìn)行.

另外，有理數(shù)的運(yùn)算律在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然適用.

【規(guī)律方法】實(shí)數(shù)運(yùn)算的“三個(gè)關(guān)鍵”

1.運(yùn)算法則：乘方和開方運(yùn)算、幕的運(yùn)算、指數(shù)(特別是負(fù)整數(shù)指數(shù)，0指數(shù))運(yùn)算、根式運(yùn)算、特殊三

角函數(shù)值的計(jì)算以及絕對(duì)值的化簡(jiǎn)等.

2.運(yùn)算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的，在同一級(jí)運(yùn)算中要從左到右依次運(yùn)算,

無(wú)論何種運(yùn)算，都要注意先定符號(hào)后運(yùn)算.

3.運(yùn)算律的使用：使用運(yùn)算律可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，提高運(yùn)算速度和準(zhǔn)確度.

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四.近似數(shù)和有效數(shù)字

（1）有效數(shù)字：從一個(gè)數(shù)的左邊第一個(gè)不是0的數(shù)字起到末位數(shù)字止，所有的數(shù)字都是這個(gè)數(shù)的有效數(shù)字.

（2）近似數(shù)與精確數(shù)的接近程度，可以用精確度表示.一般有，精確到哪一位，保留幾個(gè)有效數(shù)字等說法.

（3）規(guī)律方法總結(jié)：

“精確到第幾位”和“有幾個(gè)有效數(shù)字”是精確度的兩種常用的表示形式，它們實(shí)際意義是不一樣的，前

者可以體現(xiàn)出誤差值絕對(duì)數(shù)的大小，而后者往往可以比較幾個(gè)近似數(shù)中哪個(gè)相對(duì)更精確一些.

G

【考點(diǎn)剖析】

實(shí)數(shù)大小比較（共6小題）

1.（2021秋?高郵市期末）下列各數(shù)中，大于5且小于6的無(wú)理數(shù)是（）

A.—B.A/23C.5.5050050005D.07

7

【分析】首先根據(jù)無(wú)理數(shù)的定義排除A、C選項(xiàng)，再判斷3、。的取值范圍即可求解.

【解答】解：由無(wú)限不循環(huán)小數(shù)為無(wú)理數(shù)的定義可知選項(xiàng)A和選項(xiàng)C錯(cuò)誤，

因?yàn)?=后，后>后，

故選項(xiàng)3錯(cuò)誤，

因?yàn)?=/，后<07<后，

所以選項(xiàng)。正確，

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了無(wú)理數(shù)的定義和二次根式的性質(zhì)，熟知有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的定義是解題關(guān)鍵.

2.（2022春?吳江區(qū)期中）若〃=（-|尸，。=（-\）°，c=（1）2,則。，b,c數(shù)的大小關(guān)系是（）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.c<a<b

【分析】先根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)幕，零指數(shù)哥，有理數(shù)的乘方求出每個(gè)數(shù)的值，再比較即可.

【解答】解：4=（一：）—2=（，b=（--）°=1,C=（J?=；,

119

-<!<-,

44

:.c<b<a,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)的大小比較，負(fù)整數(shù)指數(shù)事，零指數(shù)幕，有理數(shù)的乘方等知識(shí)點(diǎn)，能求出每個(gè)式

子的值是解此題的關(guān)鍵.

3.（2022春?亭湖區(qū)校級(jí)月考）比較大小：①2百_<_50②石-亞2-6

H/31

【分析】①首先求出2石、5金的平方，比較出它們的大小關(guān)系；然后根據(jù)：兩個(gè)正實(shí)數(shù)，平方大的，這

個(gè)數(shù)也大，判斷出2石、5夜的大小關(guān)系即可.

②首先求出2g、2+夜的平方，比較出它們的大小關(guān)系；然后根據(jù)：兩個(gè)正實(shí)數(shù)，平方大的，這個(gè)數(shù)也

大，判斷出2-出的大小關(guān)系即可.

【解答】解：①(26y=20,(50)2=50,

20<50,

(2后<(5夜了，

275<572.

②(2拘2=12,(2+0)2=6+4立，

12>6+4點(diǎn)，

.1(2后>(2+回，

2^3>2+夜，

y/3—\/2>2-yj3.

故答案為：<、>.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了實(shí)數(shù)大小比較的方法，解答此題的關(guān)鍵是要明確：正實(shí)數(shù)>0>負(fù)實(shí)數(shù)，兩個(gè)正實(shí)

數(shù)，平方大的，這個(gè)數(shù)也大.

4.(2022春?泗陽(yáng)縣月考)若a=(-"IF，6=(-1尸，c=(?)°,則。、b、c的大小關(guān)系是_c>a>b_.

【分析】利用零指數(shù)，負(fù)整數(shù)指數(shù)暴的運(yùn)算法，計(jì)算。、6、c的值，再比較大小.

【解答】解：：a==［，6=(-1)"=-1，c=(g°=l,

:.c>a>b

故答案為：c>a>b.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了負(fù)整數(shù)指數(shù)幕、零指數(shù)幕.解題的關(guān)鍵是掌握負(fù)整數(shù)指數(shù)幕：才。=工("*0,p為正

ap

整數(shù))，零指數(shù)塞：a°=l("0).

5.(2022春?沐陽(yáng)縣月考)規(guī)定兩數(shù)a,b之間的一種運(yùn)算，記作(a,6)：如果/=6,那么(a,b)=c.例

如：因?yàn)??=8,所以(2,8)=3.

(1)根據(jù)上述規(guī)定，填空：(3.9)=2,(乃,1)=___,(2,-)=____.

8

(2)小明在研究這種運(yùn)算時(shí)發(fā)現(xiàn)一個(gè)特征：(3",4")=(3,4),并作出了如下的證明：

設(shè)(3",4")=x,則(3"廠=4",即(3?=4",

12/31

所以3,=4,即(3,4)=尤.

所以(3",4")=(3,4).

試解決下列問題：

①計(jì)算(8,1000)-(32,100000)；

②若令(3,2)=a,(3,5)=b,(3,10)=c,試探索(3,2)+(3,5)與(3,10)的大小關(guān)系.

【分析】(1)根據(jù)題目所提供的方法進(jìn)行計(jì)算即可；

(2)①將(8,1000)-(32,100000)轉(zhuǎn)化為(2,10)-(2,10),進(jìn)而得出答案；

②根據(jù)定義和性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】解：(1)32=9,

.-.(3,9)=2,

一乃°=1,

(7T,1)=0,

故答案為：2,0,-3；

(2)①(8,1000)-(32,100000)

=⑵,103)-(25,105)

=(2,10)-(2,10)

=0;

②?(3,2)=。，(3,5)=匕，(3,10)=c,

3a=2,3“=5,3。=10,

又-2x5=10,

：.3a-^=y,

即3a+b=y,

:.a-\-b=c

(3,2)+(3,5)=(3,10).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查實(shí)數(shù)大小比較，有理數(shù)的混合運(yùn)算，理解“規(guī)定運(yùn)算”的定義是正確解答的關(guān)鍵.

6.(2021秋?山亭區(qū)期末)數(shù)學(xué)課上，老師出了一道題：比較叵二與2的大小.

33

小華的方法是：

13/31

因?yàn)镸>4,所以M-2—>_2,所以當(dāng)匚|(填“>”或“<”)；

小英的方法是：

巫二2一2=叵心，因?yàn)?9>4?=16,所以J①-40,所以叵心0,所以典心工(填

333------3------3------3

“>”或“<”).

(1)根據(jù)上述材料填空；

(2)請(qǐng)從小華和小英的方法中選擇一種比較回與工的大小.

42

【分析】(1)根據(jù)不等式的性質(zhì)即可解答；

(2)仿照例題的方法進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：(1)小華的方法是：

因?yàn)镸>4,所以炳-2>2,所以色二>2,

33

小英的方法是：

719-2_2=^/19-4因?yàn)?9>42=16,巫二Z一2=巫二1,因?yàn)?9>42=16,所以炳-4>0,所

333333

2M-4八ro,719-22

以----->0,所以------>-,

333

故答案為：>,>,>,>,>;

(2)如果選擇小華的方法，

而<3,

^6-1<2,

瓜-11

-----<一，

4---2

如果選擇小英的方法，

A/6-1176-3

2~44

6<9,

?."<3,

-3<0,

.戈-3

4

76-11

42

14/31

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)大小比較，熟練掌握作差法比較大小的方法是解題的關(guān)鍵.

二.估算無(wú)理數(shù)的大?。ü?小題）

7.（2022春?睢寧縣月考）下列無(wú)理數(shù)，與萬(wàn)最接近的是（）

A.>/9B.710C.而D.712

【分析】求出萬(wàn),的近似值即可得出答案.

【解答】解：。9.87,

乃最接近,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了無(wú)理數(shù)的估算，求出力2的近似值是解題的關(guān)鍵.

8.（2021秋?廣陵區(qū)期末）規(guī)定用符號(hào)［尤］表示一個(gè)實(shí)數(shù)的整數(shù)部分，例如［3.69］=3,［百］=1,則=（

）

A.4B.3C.2D.1

【分析】先求出（后-1）的范圍，再根據(jù)范圍求出即可.

【解答】解：9<13<16,

..3<V13<4,

.-.2<713-1<3,

［^13-1］=2.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了無(wú)理數(shù)的估算，解題關(guān)鍵是確定無(wú)理數(shù)的整數(shù)部分即可解決問題.

9.（2022?東海縣二模）已知43?=1849,442=1936,452=2025,46?=2116.若力為整數(shù)且〃<<7?+1,

則〃的值為（）

A.43B.44C.45D.46

【分析】根據(jù)題意可知"與"+1是兩個(gè)連續(xù)整數(shù)，再估算出05五的值即可.

【解答】解：442=1936,452=2025,

1936<2022<2025,

44<V2022<45,

n為整數(shù)且n<J2022<?+1,

〃的值為：44,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了估算無(wú)理數(shù)的大小，根據(jù)題意判斷"與"+1是兩個(gè)連續(xù)整數(shù)，再估算出05萬(wàn)的

值是解題的關(guān)鍵.

10.（2022?秦淮區(qū)一模）與10-而最接近的整數(shù)是6.

15/31

【分析】估算無(wú)理數(shù)的大小即可得出答案.

【解答】解：［9<13<16,

3<\/13<4,

3.52=12.25,

3.5<A/13<4,

-4<-J13<-3.5,

.?.6<10-A/13<6.5,

.?.與10-屈最接近的整數(shù)是6.

故答案為：6.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了無(wú)理數(shù)的估算，無(wú)理數(shù)的估算常用夾逼法，用有理數(shù)夾逼無(wú)理數(shù)是解題的關(guān)鍵.

11.（2022春?靖江市校級(jí)月考）公元3世紀(jì)，我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽就能利用近似公式^/717=a+L得到

2a

無(wú)理數(shù)的近似值，其中廠取正整數(shù)，且a取盡可能大的正整數(shù).例如：把而化成JN+2,再根據(jù)近似公

式得出&1。3+二-="，若利用此公式計(jì)算內(nèi)的近似值時(shí)，則耳々—.

3x23-8一

【分析】先把J萬(wàn)化成"71，再根據(jù)近似公式"Baa+二得出J萬(wàn)=4+—L,然后進(jìn)行計(jì)算即可

2a2x4

得出答案.

【解答】解：根據(jù)題意得：

8

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式的加減以及對(duì)無(wú)理數(shù)的估算，熟練掌握近似公式^/717土。+乙是解題的關(guān)

2a

鍵.

12.（2022春?如皋市校級(jí)月考）已知。是正的整數(shù)部分，。是近的小數(shù)部分，貝=

【分析】先確定甘的范圍，再求出。、6的值，最后代入求出即可.

【解答】解：2<近<3,

.".a—2,b=yjl—2,

:.a-b=2-（y/7-2）=4-yf7.

故答案為：4-出.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了估算無(wú)理數(shù)的性質(zhì)和求代數(shù)式的值，能確定出S的范圍是解此題的關(guān)鍵.

13.（2022春?海安市校級(jí)月考）已知某正數(shù)的兩個(gè)不同的平方根是3a-14和a+2；》+4的立方根為-2；

16/31

C是非的整數(shù)部分.

(1)求a+6+c的值；

(2)求3a-b+2c的平方根.

【分析】先根據(jù)題意求出a、6、c的值，再逐一計(jì)算即可.

【解答】解：.,某正數(shù)的兩個(gè)不同的平方根是為-14和。+2

3d—14+a+2=0,

a=3,

b+4的立方根為-2

.-.Z>+4=(-2)3=-8,

「2=—12,

c是6的整數(shù)部分，

c=2,

(1)a+b+c=3+(—12)+2=—7；

(2)3a—〃+2。=3義3-(一12)+2><2=25,

其平方根為±5.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平方根、立方根、估算無(wú)理數(shù)大小，解題關(guān)鍵

14.(2022春?海門市月考)我們用⑷表示不大于。的最大整數(shù)，。-[0的值稱為數(shù)“的小數(shù)部分，如

[2.13]=2,2.13的小數(shù)部分為2.13-[2.13]=0.13.

(1)[731=1,[77]=,萬(wàn)的小數(shù)部分=.

(2)設(shè)6的小數(shù)部分為a,貝。4+[9]-石=.

(3)已知：10+^=x+y,其中x是整數(shù)；JL0<y<l,則x-y的相反數(shù)是.

【分析】(1)根據(jù)平方運(yùn)算估算出6，近的值，即可解答，再根據(jù)"的整數(shù)部分是3,即可求出萬(wàn)的小

數(shù)部分；

(2)根據(jù)平方運(yùn)算估算出若，，詁的值，即可解答；

(3)利用(1)的結(jié)論可得11<10+若<12,從而求出尤，y的值，進(jìn)而求出x-y的值，然后根據(jù)相反數(shù)

的意義，即可解答.

【解答】解：(1)1<3<4,

1<\/3<2,

.-.[A/3]=1,

4<7<9，

.\2<77<3,

二.訴=2,

17/31

萬(wàn)的小數(shù)部分為：兀-3、

故答案為：1,2,萬(wàn)一3；

(2)4<5<9,

：.2<y/5<3,

75的整數(shù)部分為2,

，括的小數(shù)部分為：A/5-2,

a—,x/s-2,

9<13<16,

.-.3<A/13<4,

炳=3,

.,.°+而］-石=君-2+3-石

=19

故答案為：1；

(3)1〈百<2,

.-.11<10+^<12,

10+y/3=x+y,尤是整數(shù)，且0<”1,

=,y=10+石=

x—y=11—(\/3—1)

=11-3+1

=12-73,

的相反數(shù)為：73-12,

故答案為：6-12.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了估算無(wú)理數(shù)的大小，熟練掌握平方數(shù)是解題的關(guān)鍵.

三.實(shí)數(shù)的運(yùn)算(共6小題)

15.(2022春?海門市期中)計(jì)算：一厲+|6-2|-色尸—

【分析】直接利用絕對(duì)值的性質(zhì)以及二次根式的性質(zhì)、負(fù)整數(shù)指數(shù)幕的性質(zhì)分別化簡(jiǎn)，進(jìn)而得出答案.

【解答】解：原式=-36+2-A/5-3

=—4^/3—1.

故答案為：—4^—1.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，正確化簡(jiǎn)各數(shù)是解題關(guān)鍵.

16.(2022春?崇川區(qū)校級(jí)期中)計(jì)算：

18/31

（1）||2|-111；

（2）返+J（-2）2_￡+（-i嚴(yán)8.

【分析】（1）直接利用絕對(duì)值的性質(zhì)化簡(jiǎn)，再合并得出答案；

（2）直接利用二次根式的性質(zhì)以及立方根的性質(zhì)、有理數(shù)的乘方運(yùn)算法則，進(jìn)而計(jì)算得出答案.

【解答】解：（1）原式=若一行+2-世一（拒-1）

=—A/2+2—AS/3—yf2+1

=—2^2+3；

(2)原式=2+2-1+1

2

4

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，正確化簡(jiǎn)各數(shù)是解題關(guān)鍵.

17.（2022春?海安市校級(jí)月考）計(jì)算:

(1)716+

V64

(2)72(72+2).

【分析】（1）直接利用二次根式的性質(zhì)以及立方根的性質(zhì)分別化簡(jiǎn)，進(jìn)而得出答案;

（2）直接利用二次根式的乘法運(yùn)算法則計(jì)算得出答案.

【解答】解：（1）原式=4一』

4

(2)原式=2+20.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，正確化簡(jiǎn)各數(shù)是解題關(guān)鍵.

18.（2021秋?玄武區(qū)校級(jí)期末）計(jì)算

【分析】先化簡(jiǎn)各數(shù)，然后再進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】解:

-+2

2

5

2

19/31

故答案為：-.

2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，準(zhǔn)確熟練地化簡(jiǎn)各數(shù)是解題的關(guān)鍵.

19.（2022?鹽城開學(xué)）計(jì)算：|-31+芋萬(wàn)-4+㈠產(chǎn)。.

【分析】根據(jù)絕對(duì)值、立方根、算術(shù)平方根和有理數(shù)的乘方計(jì)算.

【解答】解：原式=3+（-3）—4+1=—3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握絕對(duì)值、立方根、算術(shù)平方根和有理數(shù)的乘方的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

20.（2022春?海安市校級(jí)月考）計(jì)算：

（1）A/T6x3p|+7（-2）2-|73-2|；

（2）應(yīng)X4+揚(yáng)-65-?

【分析】（1）首先計(jì)算開平方、開立方和絕對(duì)值，然后計(jì)算乘法，最后從左向右依次計(jì)算，求出算式的值

即可.

（2）首先根據(jù)乘法分配律計(jì)算乘法，然后從左向右依次計(jì)算，求出算式的值即可.

=4X(-|)+2-(2-^)

=-6+2-2+6

=—6+.

(2)+夜)_逐(5_君)

=0x3+0x應(yīng)-5百+^x遙

=1+2-5^+5

=8-575.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解答此題的關(guān)鍵是要明確：在進(jìn)行實(shí)數(shù)運(yùn)算時(shí)，和有理數(shù)運(yùn)算一樣,

要從高級(jí)到低級(jí)，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號(hào)的要先算括號(hào)里面的，同級(jí)運(yùn)算要

按照從左到右的順序進(jìn)行.

四.近似數(shù)和有效數(shù)字（共3小題）

21.（2021秋?射陽(yáng)縣校級(jí)期末）小明體重為48.94奴，這個(gè)數(shù)精確到十分位的近似值為（）

A.48kgB.48.9kgC.49kgD.49.0kg

【分析】把百分位上的數(shù)字4進(jìn)行四舍五入即可.

20/31

【解答】解：48.94依精確到十分位的近似值為48.9像.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了近似數(shù)：“精確到第幾位”是精確度的常用的表示形式.

22.（2021秋?句容市期末）小亮的體重為49.654，精確到0.1奴得到的近似值為49.7依.

【分析】把百分位上的數(shù)字5進(jìn)行五入即可.

【解答】解：小亮的體重為49.65依，精確到0.1版得到的近似值為49.7依.

故答案為：49.7.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了近似數(shù)：“精確到第幾位”和“有幾個(gè)有效數(shù)字”是精確度的兩種常用的表示形式，

它們實(shí)際意義是不一樣的，前者可以體現(xiàn)出誤差值絕對(duì)數(shù)的大小，而后者往往可以比較幾個(gè)近似數(shù)中哪個(gè)

相對(duì)更精確一些.

23.按括號(hào)里的要求對(duì)下列各數(shù)取近似值.

（1）1.5982（精確到0.01）

（2）0.03049（精確至!J0.0091）

（3）33074（精確到百位）

（4）816056.1（精確到10000）

【分析】（1）直接將小數(shù)點(diǎn)后第三位四舍五入即可；

（2）直接將小數(shù)點(diǎn)后第五位四舍五入即可；

（3）先用科學(xué)記數(shù)法表示，然后按要求精確即可；

（4）先用科學(xué)記數(shù)法表示，然后按要求精確即可；

【解答】解：（1）1.5982?1.60（精確到0.01）

（2）0.03049?0.0305（精確至U0.0001）

（3）33074=3.3074xlO4-3.31xlO4（精確到百位）

（4）816056.1=8.160561xl05?8.2x10s（精確到10000）

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了近似數(shù)和有效數(shù)字：經(jīng)過四舍五入得到的數(shù)叫近似數(shù)；從一個(gè)近似數(shù)左邊第一個(gè)不為0

的數(shù)數(shù)起到這個(gè)數(shù)完為止，所有數(shù)字都叫這個(gè)數(shù)的有效數(shù)字.

■【過關(guān)檢測(cè)】

選擇題（共4小題）

1.（2021秋?江都區(qū)期末）用四舍五入法得到的近似數(shù)1.05萬(wàn)，下列說法正確的是（）

A.精確到百分位B.精確到0.01C.精確到百位D.精確到萬(wàn)位

21/31

【分析】根據(jù)近似數(shù)的精確度求解.

【解答】解：四舍五入法得到的近似數(shù)1.05萬(wàn)，近似數(shù)精確到百位.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了近似數(shù)：“精確到第幾位”是精確度的常用的表示形式，

2.（2021秋?沐川縣期末）比較2月和3&的大小，下面結(jié)論正確的是（）

A.24<3^B.24=3點(diǎn)C.20>3忘D.無(wú)法比較

【分析】先求出這兩個(gè)數(shù)的平方，然后再進(jìn)行比較即可.

【解答】解：（2①=12,（3五產(chǎn)=18,

.-.12<18,

2A/3<3A/2,

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)大小比較，算術(shù)平方根，熟練掌握平方運(yùn)算比較大小是解題的關(guān)鍵.

3.（2022春?錫山區(qū)期中）已知x滿足條件而<x<&TT,若尤為整數(shù)，則滿足條件的整數(shù)x的個(gè)數(shù)為（

）

A.5個(gè)B.6個(gè)C.7個(gè)D.8個(gè)

【分析】估算無(wú)理數(shù)的大小即可得出答案.

【解答】解：9<11<16,100<111<121,

;.3〈而<4,10<A/m<ll,

x為整數(shù)，

.??滿足條件的整數(shù)x有4,5,6,7,8,9,10共7個(gè)，

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了無(wú)理數(shù)的估算，無(wú)理數(shù)的估算常用夾逼法，用有理數(shù)夾逼無(wú)理數(shù)是解題的關(guān)鍵.

4.（2021秋?高郵市期中）下列各式中，正確的是（）

A.716=±4B.（-0了=4C.7（~5）2=-5D.^=27=-3

【分析】先利用開方、平方運(yùn)算逐個(gè)計(jì)算，再得結(jié)論.

【解答】解：J話=4#±4,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

（一點(diǎn)了=2片4,故選項(xiàng)3錯(cuò)誤；

J（-5）2=5~5,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

亞行=-3,故選項(xiàng)。正確.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，掌握開方運(yùn)算和平方運(yùn)算是解決本題的關(guān)鍵.

二.填空題（共9小題）

22/31

5.（2022春?亭湖區(qū)校級(jí)月考）比較大小：2歷_>_屈.

【分析】首先求出2血、后的平方，比較出它們的大小關(guān)系；然后根據(jù)：兩個(gè)正實(shí)數(shù)，平方大的，這個(gè)

數(shù)也大，判斷出2&1、屈的大小關(guān)系即可.

【解答】解：（2V1T）2=44,（回產(chǎn)=43,44>43,

2血>V43,

故答案為：>,

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了實(shí)數(shù)大小比較的方法，解答此題的關(guān)鍵是要明確：正實(shí)數(shù)>0>負(fù)實(shí)數(shù)，兩個(gè)正實(shí)

數(shù)，平方大的，這個(gè)數(shù)也大.

6.（2021秋?海陵區(qū)期末）對(duì)于實(shí)數(shù)s、f,我們用符號(hào)〃?ax{s,r}表示s、f兩數(shù)中較大的數(shù)，如

1}=3.若max，一10,3/}=6,貝|x=_±A/2_.

【分析】分/-10=6和3/=6兩種情況討論，求出符合題意的x的值即可.

【解答】解：若尤2-10=6,則*=16,3/=48,

48>6,

不合題意，

若=6,則爐=2,%2-10=-8,

-8<6,符合題意，

%2=2,

:.x=±y/2,

故答案為：±0.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查實(shí)數(shù)的大小比較，關(guān)鍵是要考慮到兩種情況，會(huì)分類討論.

7.（2021秋?沐陽(yáng)縣校級(jí)期末）若加的值在兩個(gè)整數(shù)。與。+1之間，則。=3.

【分析】利用癡的取值范圍，進(jìn)而得出。的值.

【解答】解：曲的值在兩個(gè)整數(shù)a與a+1之間，3VM<4,

.,.ci=3.

故答案為：3.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了估算無(wú)理數(shù)的大小，正確得出質(zhì)的取值范圍是解題關(guān)鍵.

8.（2021秋?高郵市期末）無(wú)理數(shù)布-2的整數(shù)部分是1.

【分析】估算出JTT的范圍，寫出而-2的范圍，從而得到整數(shù)部分.

【解答】解:9<11<16,

;.3〈而<4,

.-.l<VTl-2<2,

，8-2的整數(shù)部分是1,

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故答案為：1.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了無(wú)理數(shù)的估算，無(wú)理數(shù)的估算常用夾逼法，用有理數(shù)夾逼無(wú)理數(shù)是解題的關(guān)鍵.

9.（2021秋?淮陰區(qū)期末）已知a是正整數(shù)，且扃<a+l,則a的值為5.

【分析】估算出用的范圍，即可得出答案.

【解答】解：?V25<^34<V36

5<5/34<6，

a為正整數(shù)，且a<7§?<a+l,

.,.a=5.

故答案為：5.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了估算無(wú)理數(shù)的大小，正確得出接近無(wú)理數(shù)的整數(shù)是解題關(guān)鍵.

10.（2021春?淮安月考）對(duì)于任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)a、b,定義運(yùn)算“※”如下：“※匕='巫，如3

ab

==逝，那么6X12=—.

3x26-24一

【分析】按新定義的運(yùn)算規(guī)定化簡(jiǎn)求值.

【解答】解：6派12=逅還

6x12

V18

~^n

_3叵

一五

一交

"24,

故答案為：也.

24

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，掌握、理解新定義的規(guī)定是解決本題的關(guān)鍵.

11.（2021秋?海陵區(qū)校級(jí)月考）已知實(shí)數(shù)x,y滿足|3+劃+6與=0,則代數(shù)式（x+y嚴(yán)的值為

【分析】利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出x與y的值，代入原式計(jì)算即可得到結(jié)果.

【解答】解：」S+xl+TT^nO，

3+x=09y—2=0,

解得：％=—3,y=2,

貝IJ原式=（—3+2）2°21=—1.

故答案為：-1.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

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12.（2021秋?東臺(tái)市期末）東臺(tái)市西溪天仙緣景區(qū)建筑以漢朝風(fēng)格為主，一個(gè)美麗的傳說，各式傳統(tǒng)的小

吃，吸引著無(wú)數(shù)游客心馳神往.景區(qū)游客日最大接待量為55500人，數(shù)字55500用四舍五入法精確到千位

可以表示為_5.6xl04_.

【分析】精確到千位，根據(jù)四舍五入法，保留到第二個(gè)5這一位，將后面的5“五入”即可.

【解答】解：數(shù)字55500用四舍五入法精確到千位可以表示為5.6x104.

故答案為：5.6xlO4.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查近似數(shù)和有效數(shù)字，用科學(xué)記數(shù)法表示近似數(shù)，精確到哪一位是需要識(shí)記的內(nèi)容，經(jīng)常

會(huì)出錯(cuò).

13.（2021秋?驛城區(qū)期末）若逐-1的整數(shù)部分是。，小數(shù)部分是6,則"=_遂-2_.

【分析】先估計(jì)百的范圍，求出a,b,再求ab.

【解答】解：?2＜百＜3,

:.a—1,b=\[5—1—1=\/5—2.

ab=A/5-2.

故答案為：A/5-2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查估計(jì)無(wú)理數(shù)范圍，估