山東省濟(jì)南市市中區(qū)濟(jì)南育英中學(xué)2024-2025學(xué)年八年級下學(xué)

期期末測試數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知。，瓦C是實(shí)數(shù)，若a>b,c<0,則（）

A.a-\-c<b+cB.ac>be

C.tzc2>be2D.a-c<b

2.若分式土蘭的值為零，則x等于（）

x-2

A.0B.2C.-2D.±2

3.許多裝飾圖案中都蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)之美.下列圖案是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形

4.下列由左邊到右邊的變形，屬于因式分解的是（）

A.（a+l）（a—1）=Q?-1B.儲+a+l=a（a+l）+l

C.am+bm=m（a+b）D.a2+2a=a2+

5.參加創(chuàng)客興趣小組的同學(xué)，給機(jī)器人設(shè)定了如圖所示的程序，機(jī)器人從點(diǎn)。出發(fā)，沿直

線前進(jìn)1米后左轉(zhuǎn)18。，再沿直線前進(jìn)1米，又向左轉(zhuǎn)18。……照這樣走下去，機(jī)器人第一

次回到出發(fā)地。點(diǎn)時(shí)，一共走的路程是（）

A.10米B.18米C.20米D.36米

6.若關(guān)于x的分式方程43+」C，LX=2無解，則a的值是（）

3-尤尤一3

A.3或2B.1C.1或2D.1或3

7.下列說法中，錯誤的是（）

A.平行四邊形的兩組對邊分別相等B.菱形的兩條對角線相等

C.正方形的四條邊都相等D.矩形的四個角都相等

8.若關(guān)于x的方程m2一人+2=0有實(shí)數(shù)根，則機(jī)的取值范圍是（）

A.m<2B.mwOC.機(jī)?2且〃件0D.m<2

9.如圖，VABC中，ZBAD=ZCAD,BE=CE,AD±BD,AB=5,AC=9,則。E的

值為（）

A.7B.4C.2D.5

10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系尤0y中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（3,0）,點(diǎn)8是函數(shù)y=~\x+2（0<x

4

<4）的圖像上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)8作8cLy軸父函數(shù)y=1x+4的圖像于點(diǎn)C,點(diǎn)。在無軸

上（點(diǎn)。在點(diǎn)A的左側(cè)），且AZXBC,連接A8,CD.有如下四個結(jié)論：

①四邊形ABCD一定是平行四邊形；②四邊形ABC?？赡苁橇庑?；③四邊形A8CD可能是

矩形；④四邊形A8CD可能是正方形.所有正確結(jié)論的序號是（）

A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④

二、填空題

11.如圖，四邊形為平行四邊形，一ABC的角平分線交AD于點(diǎn)E,若BC=7,CD=4,

則瓦>的長為.

答案第2頁，共35頁

E

4D

-----------------------'c

12.如圖，將VABC沿3C方向平移3cm得到_DEF（其中點(diǎn)A,B,C分別與點(diǎn)。，E,

尸對應(yīng)）.若CE=6cm,則3尸=cm.

13.如圖，已知直線％=2x+3與直線%=依+可七0）交于點(diǎn)（〃,6）,則關(guān)于x的不等式

h+622x+3的解集為.

14.如圖，一張長12cm、寬10cm的矩形鐵皮，將其剪去兩個全等的正方形和兩個全等的矩

形，剩余部分（陰影部分）可制成底面積是24cm2的有蓋的長方體鐵盒，則該鐵盒的體積為

15.是中國傳統(tǒng)吉祥圖案，婚禮中，剪出大紅雙喜字貼于洞房中堂，指婚姻中男女雙方

共同迎接喜慶的一天.如圖舅的剪法圖解③中，已經(jīng)折過2次后的紅紙左右寬2.6cm,如果

在最上層A處扎一個小孔，則在取開展平的喜喜中會出現(xiàn)4、A、A.另外三個小孔，則4點(diǎn)距

離左側(cè)邊緣為L5cm（即AB=1.5cm）,則.

②再向右時(shí)折

三、解答題

16.因式分解:

(l)xy(x-j)-x(x-y)2；

⑵/-8/〃+16/.

17.解方程:

(H；

⑵3f+2x-2=0.

答案第4頁，共35頁

x-3（x-1）>1

18.解不等式組1+3%，并寫出它的所有非負(fù)整數(shù)解.

---->x-l

I2

19.如圖，點(diǎn)E在正方形ABCD的邊A5上，點(diǎn)尸在邊5C的延長線上，且N￡D尸=90。.求

證：DE=DF.

（o、丫2_6+9

20.先化簡，再求值：1——-U—『，請從0,1,2,3四個數(shù)中選取一個你喜歡

1x-1Jx-1

的X代入求值.

21.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(-2,2),B(-L4),C(Y,5),請解答下列問題:

⑴若AABC經(jīng)過平移后得到44瓦G,已知點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,0)作出△4片￡并寫出其余兩個

頂點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)將AABC繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。得到△&居G，作出2G；

⑶若將△AB|G繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)可得到2G,直接寫出旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)

答案第6頁，共35頁

22.“雨過園亭綠暗時(shí)，櫻桃紅顆壓枝低”，如圖，櫻桃富含維生素C,嶗山北宅素有“中國

櫻桃之鄉(xiāng)，，的美譽(yù).在2023年櫻桃節(jié)某水果商城為了了解兩種櫻桃市場銷售情況，購進(jìn)了一

批數(shù)量相等的“櫻珠”和“櫻桃”供客戶對比品嘗，其中購買“櫻桃”用了630元，購買“櫻珠”用

了1134元，已知每千克“櫻珠”進(jìn)價(jià)比每千克“櫻桃”貴8元.

(1)求每千克“櫻珠”和“櫻桃”進(jìn)價(jià)各是多少元？

(2)若該水果商城決定再次購買同種“櫻珠”和“櫻桃”共60千克，且再次購買的費(fèi)用不超過

1000元，且每種櫻桃進(jìn)價(jià)保持不變.若“櫻珠”的銷售單價(jià)為30元，“櫻桃”的銷售單價(jià)為18

元，則該水果商城應(yīng)如何進(jìn)貨，使得第二批的“櫻珠”和“櫻桃”售完后獲得利潤最大？最大利

潤是多少？

23.如圖，在中，154。的平分線交于點(diǎn)E,交DC的延長線于尸，以EC、CF

為鄰邊作ECFG.

⑴證明：ECFG是菱形;

(2)若/ABC=120。，連接30、CG,求N3DG的度數(shù)；

⑶若NABC=90。，AB=6,AD=8,M是砂的中點(diǎn)，求DM的長.

9Q

24.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線外>=-§、+§交x軸于點(diǎn)A,交y軸于點(diǎn)8,點(diǎn)C為

y軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，且。4=6oc,直線4經(jīng)過A，C兩點(diǎn).

(1)求直線4的解析式;

⑵如圖1,將直線4向上平移2有個單位長度得到直線4,與直線4交于點(diǎn)。，與左軸，》

軸分別交于點(diǎn)。，點(diǎn)E點(diǎn)尸是直線《上位于第四象限內(nèi)的一點(diǎn)，點(diǎn)M,N分別在直線4，k

上.若點(diǎn)N在點(diǎn)M左側(cè)，且NMVQ=60°,連接PM,PC,ON,當(dāng)S四邊形一JS板=46

時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)以及尸加+MN+ON的最小值；

(3)如圖2,將CMC繞點(diǎn)0逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)e(O°<a<270°)得到VOA'C',在旋轉(zhuǎn)過程中，直線AC'

與無軸于交點(diǎn)G,與直線4交于點(diǎn)H,在平面內(nèi)確定一點(diǎn)K,使得四邊形AGHK為菱形，請

直接寫出所有符合條件的點(diǎn)K的坐標(biāo).

答案第8頁，共35頁

25.【問題情景】如圖1,在VA2C中，CM為VABC的中線，若AC=2,BC=4,求CM

的取值范圍.中線倍長法：如圖2,延長CM至點(diǎn)。，使得MD=CM,連結(jié)30,可證明

AACM^ABDM,由全等得到3。=AC=2,從而在△BCD中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可以

確定C。的范圍，進(jìn)一步即可求得CM的范圍.

（1）在上述過程中，證明AACM^^BDM的依據(jù)是,CM的范圍為；

【思考探究】（2）如圖3,在VABC中，ZACB=90°,〃為48中點(diǎn)，D、E分別為AC、BC

上的點(diǎn)，連結(jié)MD、ME、DE,NDME=90。,若3E=1,AT>=2,求DE的長；

【拓展延伸】

（3）如圖4,C為線段A3上一點(diǎn)，AC>3C,分別以AC、BC為斜邊向上作等腰直角.,ACD

和等腰直角△CBE,M為中點(diǎn)，連結(jié)。0,EM,DE.

①判斷：0形的形狀，并說明理由；

②若將圖4中的等腰RtaCBE繞點(diǎn)C轉(zhuǎn)至圖5的位置（A,C,8不在同一條直線上），連結(jié)

AB,M為中點(diǎn)，且。，￡在同側(cè)，連結(jié)。Af,EM.若A￡>=5,EB=3,直接寫出：

ADAM和AEBM的面積之差為.

《山東省濟(jì)南市市中區(qū)濟(jì)南育英中學(xué)2024-2025學(xué)年八年級下學(xué)期期末測試數(shù)學(xué)試題》參

考答案

題號12345678910

答案CCCCCCBACA

1.C

【分析】本題主要考查不等式的性質(zhì)，熟練掌握不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.根據(jù)不等式的

進(jìn)行判定即可.

【詳解】解：“，6，c是實(shí)數(shù)，若a>b,c<0,

a+ob+c,故選項(xiàng)A錯誤；

ac<be,故選項(xiàng)B錯誤；

ac1>be1,故選項(xiàng)C正確；

a-c>b-c,故選項(xiàng)D錯誤.

故選C.

2.C

【分析】分式有意義時(shí)，分母不為零；分式的值為零時(shí)，分子等于零，據(jù)此可得

元+2=0,%—2片0,求解即可.

【詳解】???分式土土工的值為零，

x-2

x+2=0,%—2w0,

解得x=-2,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式的值為零時(shí)的條件，熟練掌握分式的值為0的條件是解題的關(guān)鍵.

3.C

【分析】本題考查了中心對稱圖形和軸對稱圖形的定義.尋找對稱中心、對稱軸是解題的關(guān)

鍵；

軸對稱圖形是指一個圖形可以沿著一條直線（對稱軸）折疊，使得直線兩側(cè)的圖形能夠完全

重合；中心對稱圖形則是指一個圖形可以繞著一個點(diǎn)（對稱中心）旋轉(zhuǎn)180。，使得旋轉(zhuǎn)前

后的圖形互相重合.根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱的定義逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】A.可以找到對稱軸，使圖形兩側(cè)能夠完全重合，是軸對稱圖形，也可以找到一點(diǎn)

旋轉(zhuǎn)180。后與原圖重合，是中心對稱圖形，故選項(xiàng)不符合題意；

B.找不到對稱軸，使圖形兩側(cè)能夠完全重合，不是軸對稱圖形，但是找到一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。后

答案第10頁，共35頁

與原圖重合，是中心對稱圖形，故選項(xiàng)不符合題意；

C.可以找到對稱軸，使圖形兩側(cè)能夠完全重合，是軸對稱圖形，找不到一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。后與

原圖重合，不是中心對稱圖形，故選項(xiàng)符合題意；

D.找不到對稱軸，使圖形兩側(cè)能夠完全重合，不是軸對稱圖形，可找到一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。后與

原圖重合，是中心對稱圖形，故選項(xiàng)不符合題意；

故選：C.

4.C

【分析】題考查了因式分解的定義，要與整式的乘法區(qū)分開，二者是互逆運(yùn)算，容易出錯.

根據(jù)因式分解的定義，把一個多項(xiàng)式寫成幾個整式積的形式，叫做因式分解，對各選項(xiàng)分析

判斷后利用排除法求解.

【詳解】解：A.(?+l)(a-l)=a2-l,是整式的乘法，不是因式分解，故此選項(xiàng)不符合題

思

B.a2+?+l=a(a+l)+l,右邊不是整式積的形式，故此選項(xiàng)不符合題意；

C.am+bm=m(a+b),是因式分解，故此選項(xiàng)符合題意；

D.=+右邊的因式不是整式，故此選項(xiàng)不符合題意；

故選：C.

5.C

【分析】本題考查了多邊形的外角和定理的應(yīng)用.由題意可知小華所走的路線為一個正多邊

形，根據(jù)多邊形的外角和即可求出答案.

【詳解】解：：360°+18°=20,

...他需要走20次才會回到原來的起點(diǎn)，

即一共走了20x1=20(米).

故選：C

6.C

【分析】本題考查了分式方程無解.熟練掌握：分式方程無解情況①分式方程化為整式方程

后，整式方程無解，即分式方程無解；②分式方程化為整式方程后，整式方程有解，但這個

解會使分式方程的最簡公分母為0,即解為分式方程的增根；是解題的關(guān)鍵.先解分式方程

得到(a-2)x=-3,再進(jìn)行討論，①當(dāng)。=2時(shí)，整式方程無解，則分式方程無解；②把增

根x=3代入（。-2.=一3求解.

【詳解】解：J-+R=2

3-xx-3

ov-3=2（x-3）,

（a—2）x——3,

①當(dāng)。=2時(shí)，整式方程無解，則分式方程無解；

②把增根x=3代入（〃一2）%=—3得，a—2=—l,

解得：a=l,

3ny

綜上：當(dāng)a=l或。=2時(shí)，分式方程4+」3=2無解，

3-xx-3

故選：C.

7.B

【分析】本題考查平行四邊形、菱形、正方形、矩形的性質(zhì).根據(jù)各圖形的性質(zhì)逐一判斷即

可.

【詳解】解：A.平行四邊形的兩組對邊分別相等，符合平行四邊形的性質(zhì)，正確；

B.菱形的兩條對角線互相垂直且平分，但長度不一定相等（僅當(dāng)菱形為正方形時(shí)對角線相

等），因此錯誤；

C.正方形的四條邊都相等，符合正方形的性質(zhì)，正確；

D.矩形的四個角均為直角，故都相等，正確.

故選：B.

8.A

【分析】分類討論：當(dāng)m=0,方程變形為-4x+2=0,一元一次方程有實(shí)數(shù)解；當(dāng)n#0,根據(jù)

判別式的意義得到△=（-4）2-4mx2>0,解得mW2,然后綜合兩種情況即可.

【詳解】當(dāng)m=0,方程變形為-4x+2=0,方程的解為x=g；

當(dāng)n#0,△=（-4）2-4mx2>0,解得m/2；

綜上所知當(dāng)mW2時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根.

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a^0,a,b,c為常數(shù)）根的判別式△=b2-4ac.當(dāng)

A>0,方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)A=0,方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)4<0,方程

答案第12頁，共35頁

沒有實(shí)數(shù)根.

9.C

【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形中位線定理，解題的關(guān)鍵是熟練

掌握并靈活運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)、定理.延長80交AC于點(diǎn)尸，可證得&W岸△APD,得到

AF=AB=5,即可求解CP,可證得DE是VBC廠的中位線，從而得出DE=工3的值，即

2

可求解

【詳解】解：延長8。交AC于點(diǎn)產(chǎn)，

?/ADVBD

ZADB=ZADF=90°

在△ABZZ^AFD中

"NBAD=NFAD

<AD=AD

NADB=ZADF

，.ABD^AFD(ASA)

：.BD=DF,AF=AB=5,

：.CF=AC-AF=9-5=4,

又：BE=CE,

：.OE是VBC尸的中位線，

DE=-FC=2,

2

故選：C.

10.A

【分析】①由軸得到AO〃BC，結(jié)合AD=2C,得到四邊形ABC。是平行四邊形，可

作判斷；

②根據(jù)BC=AB列方程，方程有解在0?4之間，由此可作判斷；

③當(dāng)A與8的橫坐標(biāo)相等時(shí)，四邊形A8CO是矩形，此種情況存在，可作判斷；

④在矩形的基礎(chǔ)上，計(jì)算AO與AB不相等，可作判斷.

【詳解】解：①如圖1,軸，

C.AD//BC,

又,：AD=BC,

???四邊形ABCD是平行四邊形,

故①正確;

②設(shè)B(m,--m+2),則(-網(wǎng)士型

C---m+2),

282

5m+2013m+20

BC=m-

當(dāng)時(shí)，四邊形ABCO是菱形,

2

,^13^20^=(m-3)^.lm+2^.

89m2+1032m-432=0,

(m+12)(89m-36)=0,

解得：mi=-12(不符合題意)，餌=1^，

89

存在2C=AB的情況，

即四邊形A8C?？赡苁橇庑?，

故②正確；

③如圖2,點(diǎn)B是函數(shù)y=-；x+2(0<x<4)的圖像上的一個動點(diǎn),

答案第14頁，共35頁

存在點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為3,此時(shí)四邊形ABC。是矩形，

故③正確；

31

④當(dāng)x=3時(shí)，y=_；+2=5，

此時(shí)如圖2所示，

四邊形ABCD不為正方形，

故④錯誤，不符合題意；

本題正確的結(jié)論有：①②③.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題反比例函數(shù)與四邊形的綜合題，考查了一次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，平行四

邊形的判定與性質(zhì)，菱形的判定，正方形的判定，解題的關(guān)鍵是熟知特殊四邊形的判定.

11.3

【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，角平分線的定義，熟練掌握以

上知識點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵.

證明AB=AE=4,AD=BC=1,即可得出結(jié)論.

【詳解】解：四邊形是平行四邊形，

.-.AD//BC,AD=BC=1,AB=CD=4,

:.ZAEB=ZEBC,

8E平分/ABC,

:.ZABE=ZEBC,

:.ZAEB=ZABE,

.-.AB=AE=4,

DE=AD-AE=7-4=3,

故答案為：3.

12.12

【分析】根據(jù)平移性質(zhì)求解即可.本題考查平移的性質(zhì)，由平移性質(zhì)求得班=CF=3cm是

解答的關(guān)鍵.

【詳解】解：???將VA8C沿5C方向平移3cm得到DEF,

BE=CF=3cm,

又CE-6cm,

???BF=BE+CE+CF=12cm，

故答案為：12.

13.x^—

2

【分析】本題主要考查了一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系，掌握數(shù)形結(jié)合思想成為解題的

關(guān)鍵.從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直線%="+可左。。)在必=2%+3上方部分對應(yīng)兀的

取值范圍即可該不等式的解集.

【詳解】解：把(〃,6)代入乂=2x+3,得：6=2〃+3,解得：〃=9，

直線必=2x+3與直線為=丘+6化工0)交于點(diǎn)，

3

當(dāng)xW—時(shí)，貝Ax+ON2x+3.

2

3

故答案為：

14.48

【分析】設(shè)剪去的正方形的邊長為無cm,則制成有蓋的長方體鐵盒的底面長為(10-2x)cm,

寬為(6-x)cm,根據(jù)長方體鐵盒的底面積是24cm2即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取

其符合題意的值即可得出結(jié)論；

【詳解】解：設(shè)剪去的正方形的邊長為wm,則制成有蓋的長方體鐵盒的底面長為

J2-2r

(10-2x)cm,寬為-2.=(6-x)cm,

依題意得：(10-2x)(6-x)=24,

整理得：X2-11X+18=0,

解得：玉=2,%=9(不合題意，舍去).

該紙盒的體積為2x4x6=48(cn?)；

故答案為：48.

答案第16頁，共35頁

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及全等圖形，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次

方程是解題的關(guān)鍵.

15.5.2cm

【分析】本題主要考查圖形折疊的性質(zhì)以及軸對稱圖形的性質(zhì).解題的關(guān)鍵在于理解兩次對

折后圖形的對稱關(guān)系，明確4與人3的對稱位置，從而利用紙張折后的寬度來計(jì)算4人3的長

度.本題圍繞剪紙過程中圖形的折疊與對稱性質(zhì)展開.則紅紙經(jīng)過兩次對折后的寬度以及小

孔A到左側(cè)邊緣的距離，需要利用圖形的對稱關(guān)系求出A4的長度.

【詳解】解：紅紙經(jīng)過兩次向右對折，根據(jù)折疊的性質(zhì)，折疊前后圖形關(guān)于折痕對稱.

，經(jīng)過兩次對折后，紙張被平均分成了4層，且這4層是完全重合的.

A與A關(guān)于第二次對折的折痕對稱.

:折過2次后的紅紙左右寬2.6cm,A與4關(guān)于第二次對折的折痕對稱，

AA的長度剛好是折后紅紙寬度的2倍（從對稱關(guān)系角度理解，A到折痕的距離與4到

折痕的距離相等，二者距離之和就是紙張寬度的2倍）.

貝［AA=2x2.6=5.2cm.

故答案為：5.2cm

16.（\）x^x-y）（2y-x）

⑵（。-26）2（a+26）2

【分析】本題考查因式分解，掌握提公因式法和公式法分解因式是解題關(guān)鍵.

（1）提公因式尤（x—y）計(jì)算即可；

（2）先利用完全平方公式分解，再根據(jù)平方差公式分解即可.

【詳解】（1）解：沖尤一》）？

=x（x-y）（2y-x）；

（2）解:a4-Sa2b2+16b4

222222

=（a）-2xax4Z?+（4fe）

=(?2-4&2)2

二［(〃-2Z?)(a+2/?)丁

二(Q-2Z?)2(a+2Z?)2.

17.⑴x=—3

-1+A/7-1-a

(2)項(xiàng)

323

【分析】本題考查分式方程的解法以及一元二次方程的公式法求解，解題的關(guān)鍵是通過去分

母將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，且要檢驗(yàn)根的有效性.

（1）先將分式方程中分母化為相同，再去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求解整式方程后檢驗(yàn);

⑵先確定0、°、c’再計(jì)算判別式A-c,最后代入求根公式釬然區(qū)求解.

9r1

【詳解】⑴解：三--=1

2x+l=x—2

x=-3

當(dāng)犬=一3時(shí)，％—200,

所以x=-3是原方程的解；

（2）解：3爐+2尤-2=0

A=22-4X3X（-2）=28>0

則.4空

2x3

所以X尸二1子，也

18.-3<x<l,非負(fù)整數(shù)解為0

【分析】本題主要考查了解一元一次不等式組，求不等式組的整數(shù)解，先求出每個不等式的

解集，再根據(jù)“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到（無解）”求出不

等式組的解集，再求出其非負(fù)整數(shù)解即可.

x-3（x-1）>1①

【詳解】解：l+3x，臺

------>x-[②

I2

解不等式①得了<1,

解不等式②得尤>-3,

???不等式組的解為一3<x<l,

答案第18頁，共35頁

???不等式組的非負(fù)整數(shù)解為①

19.詳見解析

【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，由正方形的性質(zhì)可得

AD=CD,ZA=NDCF=ZADC=90。，再證明SF(ASA)即可得證.

【詳解】證明：??,四邊形ABCD是正方形，

：.AD=CD,ZA=NQCF=ZADC=90。，

又???NEDF=90。,

ZADE+ZEDC=ZCDF+NEDC,

：.ZADE=ZCDF,

在VAO石與VCD廠中，

/ADE=/CDF

<AD=CD,

ZA=ZDCF

：.ADE^CDF(ASA)

:.DE=DF.

20.,當(dāng)x=0時(shí)，原式二一工；當(dāng)x=2時(shí)，原式二一1

x-33

【分析】本題考查了分式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是明確分式的化簡求值的方法，注意代入

的的值必須使得原分式有意義.先將原式化簡，然后從0,1,2,3四個數(shù)中選取使得原

分式有意義的x的值代入化簡后的分式即可解答本題.

x-l(x-3)2

1

由題意可知，x-1^0,x—3w0,

..xwl,xw3,

當(dāng)x=0時(shí)，原式=---=--（當(dāng)無=2時(shí)，原式=-----1）.

0-332-3

21.⑴作圖見解析；4（3-3）,耳（4,-1）

（2）見解析

⑶（5,0）

【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)C平移后的坐標(biāo)G，可以得到平移的規(guī)律，然后根據(jù)規(guī)律把A、8的坐

標(biāo)計(jì)算出來，標(biāo)出來，連接點(diǎn)坐標(biāo)即可得；

（2）把點(diǎn)A、B、C繞點(diǎn)。按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。得到4、層、Q,連接三點(diǎn)坐標(biāo)即可；（3）

先找到△△耳G和的兩組對應(yīng)點(diǎn)，連接對應(yīng)兩點(diǎn)，即4&、B島,分別作44、B出2

這兩條線段的中垂線，兩條中垂線相交的地方就是旋轉(zhuǎn)中心.

【詳解】（1）解：如圖，△AB|G即為所求作三角形;

答案第20頁，共35頁

（3）解：取點(diǎn)石（0,-1）,產(chǎn)（5,0）,連接封，44，”為，F(xiàn)A1?%,跖交44于點(diǎn)G,

,.?。石=a。，OF=DA],ZEOF=N4%=90°,

OEF'DA2A,

??.ZOFE=ZDA^,

?.?Z^MG=ZFMH,

又,.?NA2AlD+ZA^MG+ZAfiM=ZOFE+ZFMH+ZFHM,

.?.ZA^GM=ZFHM=90°,

EFLA^,

,?*A,F=/2-5）2+2?=屈,A[=#_3了+㈠丫=屈,

z

\F=242T,

?.?EFIA^,

.?.AG=4G,

???￡1/垂直平分A4，

???4（4,T）,與（4,1）,

軸垂直平分與生，

???△ABiG繞點(diǎn)/旋轉(zhuǎn)可得到△人與G,

旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)為(5,0).

-5

【點(diǎn)睛】本題考查作圖一旋轉(zhuǎn)變換，坐標(biāo)與圖形變化-平移，幾何變換的類型，熟練掌握旋

轉(zhuǎn)和中心對稱的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

22.(1)每千克“櫻珠”進(jìn)價(jià)是18元，每千克“櫻桃”進(jìn)價(jià)是10元

(2)該該水果商城應(yīng)購買50千克“櫻珠”，10千克“櫻桃”，使得第二批的“櫻珠”和“櫻桃”售完

后獲得利潤最大，最大利潤是680元.

【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的

關(guān)鍵是：(1)找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；(2)找出數(shù)量關(guān)系，正確列出一元一次不

等式和一次函數(shù)關(guān)系式.

(1)設(shè)每千克“櫻珠”進(jìn)價(jià)是x元，則每千克“櫻桃”進(jìn)價(jià)是(x-8)元，根據(jù)購進(jìn)了一批數(shù)量

相等的“櫻珠,，和“櫻桃,，供客戶對比品嘗，其中購買“櫻桃”用了630元，購買“櫻珠”用了1134

元，列出分式方程，解方程即可；

(2)設(shè)購買。千克“櫻珠”，則購買(60-。)千克“櫻桃”，根據(jù)再次購買的費(fèi)用不超過1000

元，列出一元一次不等式，解得a<50,再設(shè)總利潤為w元，根據(jù)題意列出w關(guān)于a的一次

函數(shù)關(guān)系式，然后由一次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題.

【詳解】(1)解：設(shè)每千克“櫻珠”進(jìn)價(jià)是x元，則每千克“櫻桃”進(jìn)價(jià)是(x-8)元，根據(jù)題意

得：

1134_630

=—■,

XX-6

解得：%=18,

經(jīng)檢驗(yàn)，％=18是原方程的解，且符合題意，

%—8=10,

答案第22頁，共35頁

答：每千克“櫻珠”進(jìn)價(jià)是18元，每千克“櫻桃”進(jìn)價(jià)是10元；

（2）解:設(shè)購買。千克“櫻珠”，則購買（60-a）千克“櫻桃”，根據(jù)題意得：

18o+10（60-a）<1000,

解得：a<50,

設(shè)總利潤為w元，

根據(jù)題意得：w=（30-18）fl+（18-10）（60-a）=4a+480,

4>0,

最。的增大而增大，

...當(dāng)。=50時(shí)，w有最大值，咻大=4x50+480=680,

此時(shí)，60—ci—10j

答：該該水果商城應(yīng)購買50千克“櫻珠”，10千克“櫻桃”，使得第二批的“櫻珠”和“櫻桃”售

完后獲得利潤最大，最大利潤是680元.

23.⑴見解析

（2）ZBZX?=60°

0）DM=542

【分析】（1）先根據(jù)角平分線的定義可得=根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和平行線

的性質(zhì)可得=ZBAF=NCFE,從而可得NCEF=NCFE,再根據(jù)等腰三角

形的判定可得CE=CF,然后根據(jù)菱形的判定即可得證；

（2）先證出ABEG咨ADCG,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得3G=OG,NBGE=NDGC,

再證出CEG和.BDG是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得；

（3）先證出四邊形EC尸G為正方形，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得NCEE=45。，再根據(jù)等腰直角

三角形的判定與性質(zhì)求出a=AD=8,從而可得CE=b=2,M/=；跖=0,然后過Af

作產(chǎn)于根據(jù)勾股定理求出必￡,尸H的長，從而可得的長，最后在

中，利用勾股定理求解即可得.

【詳解】（1）證明：AF平分NEW,

:.ZBAF=ZDAF,

四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AD//BC,AB//CD,

,\ZDAF=ZCEF9ZBAF=/CFE,

:.ZCEF=ZCFE,

:.CE=CF,

又二四邊形EC廠G是平行四邊形，

???四邊形反尸G為菱形.

(2)解：四邊形A5CD是平行四邊形，

AAB//CD,AB=DC,AD//BC,

ZABC=120°,

../BCD=60。,ZBCF=120°,

由(1)知，四邊形ECFG是菱形，

:.CE=GE,ZBCG=-ZBCF=60°,EG//DF,

2

：.CG=GE=CE,/DCG=120。,

EG//DF,

:./BEG=ZBCF=120°=ZDCG,

AE是NBA。的平分線，

:.ZDAE=ZBAE,

-：AD//BC,

:.ZDAE=ZAEB,

:.ZBAE=ZAEB,

AB=BE,

/.BE=CD,

BEG空DCG(SAS),

/.BG=DG,/BGE=/DGC,

:.ZBGD=ZCGEf

CG=GE=CE,

??.CEG是等邊三角形，

.*.ZCGE=60°,

ZBGD=60°f

BG=DG,

答案第24頁，共35頁

:.ABDG是等邊二角形,

.\ZBDG=6Q°.

(3)解：ZABC=90°,四邊形A5CD是平行四邊形，AB=6,

.??四邊形ABCD是矩形，AB=DC=6,

：.BC1CD,ADLCD,

又由(1)可知，四邊形EC廠G為菱形，

二?四邊形EC尸G為正方形.

???NCFE=45。,

ARtADF是等腰直角三角形，

..DF=AD=8f

；?CE=CF=DF—CD=2,

EF=yJCE2+CF2=2A/2，

：M是的中點(diǎn)，

MF=-EF=yf2,

2

如圖，過“作于H,

△MHF是等腰直角三角形，

MF=y]MH2+FH2=啦FH=啦MH=應(yīng)，

，F(xiàn)H=MH=1,

：.DH=DF-FH=7,

在RtADMW中，DM=y/DH2+MH2=V72+l2=572-

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、勾股定理、二次根式的應(yīng)用

等知識，熟練掌握特殊四邊形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

04/64布

24-⑴ny=『--—

(2)^2+273

3

(3)1+平,2一2⑸或［2一半，一2一2追

I3Jk3)

【分析】(1)先求出4(4,0),得出。4=4,結(jié)合題意可得OC=竽，從而得出C卜,一手］,

再利用待定系數(shù)法求解即可；

(2)先求出S.AOB=)，gc=8+y,設(shè)尸上,_儂+|)(加>0),結(jié)合

S四邊形OCM一JSAOB=4>/5，得出SBCP—］S,AOB=4百，求出S改尸=+8，從而求出

尸(6,-小，求出直線4的解析式為丫=1了+冬8,CE=2百，8=2,OE=正,

k3；333

DE=y］OD2+OE2=述，作MR〃CE交于尸，則四邊形R0CE為平行四邊形，MNF

4

為等邊三角形，MN=FM=20作NG1.W交FAf于G,求出GM=工句W,

22

NG=^-MN,利用平移得出尸［3,-，+珞］,則尸P=MN,PP'//MN,證明四邊形MNHP

為平行四邊形，得出尸河=PN,作點(diǎn)。關(guān)于直線Z3的對稱點(diǎn)O',連接。。交4于打，連接07’,

則O'H=OH,求出。［-1,月)，由軸對稱的性質(zhì)可得ON=OW,從而可得

PM+ON=P'N+O'N>OP,即尸河+ON的最小值為0'尸'，求出O'P的值即可得解；

(3)分兩種情況：四邊形AG”第一次為菱形時(shí)，過點(diǎn)A作AELx軸于點(diǎn)E,過點(diǎn)H作

HWLx軸于點(diǎn)W,利用含30。角的直角三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)G和點(diǎn)H的坐標(biāo)，再利用菱形

AGEK中，AK是平移來的，結(jié)合點(diǎn)G到點(diǎn)A的平移方式，即可求出點(diǎn)K的坐標(biāo)；當(dāng)

四邊形AG//K第二次為菱形時(shí)，過點(diǎn)H作HLLx軸于點(diǎn)L,此時(shí)點(diǎn)G與點(diǎn)C'重合，得出點(diǎn)

G坐標(biāo)，利用含30。角的直角三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)7/的坐標(biāo)，再利用菱形AG〃K中，AK是

G8平移來的，結(jié)合點(diǎn)G到點(diǎn)A的平移方式，即可求出點(diǎn)K的坐標(biāo).

【詳解】(1)解：\?直線4：丫=-：工+|交x軸于點(diǎn)4

28

.?.當(dāng)y=0時(shí)，一耳天+§=0,

解得尤=4,即4(4,0),

答案第26頁，共35頁

**?OA=4,

OA=y/3OC,

.??"4’

設(shè)直線4的解析式為y=kx+b(kw0),

將A(4,0),C0,-代入解析式,

4k+b=0

得：工46,

b=--------

3

k=裊

3

解得:

,4A/3

b---------

3

A/34石

???直線4的解析式為y=——x--------;

33

8

(2)解：在4：y=-gx+j中，當(dāng)x=0時(shí)，?=|,即80,

Q

：.OB=-

3

?V

,?OAOB=-xOAxOB=-x4x-=—

2233

/

由(1)可得C0,—

???點(diǎn)尸是直線/］上位于第四象限內(nèi)的一點(diǎn),

.??設(shè)根，一g機(jī)+g(m>0),

,**S四邊形OCPA_5sA06=,

?*(5四邊形"叢+SAOB=4百，即SBCP一^SAOB=4g,

/SAOB+SAOB

SBCP~~X~~=^^，

**?SBCP=4^/3+8,

??1廠18+4A/3AO

?SR「p——BC,x=-x---------?77t=4,3+8,

BCP2Pp23

m=6,

.282（8_4日RD（二41

33333I3J

?：OA=moC,ZCOA=90°,

:.AC=2OC,

???ZOAC=30°,

1??將直線向上平移2+個單位長度得到直線/3,直線k的解析式為y=咚x-竽，

二直線4的解析式為丫=弓犬_華+2石=停工+竿，DQ//AC,ZQDA=ZOAC=30°,

：.NDEC=90°-ZEDO=60°,

當(dāng)尤=0時(shí)，y=即,

當(dāng)y=0時(shí)，gx+￥=0,解得x=—2,即。（一2,0）,

.,.CE=罕（竽）=2石，OD=2,OE=可,

,DE=y/OD2+OE2=迪，

3

如圖，作AZR〃CE交￡?。于歹，

則四邊形FMCE為平行四邊形，ZNFM=ZDEC=60°,

答案第28頁，共35頁

，MF=CE=26,

?：ZMNQ=60°,

/.ZMNQ=ZNFM=60°,

ACVF為等邊三角形，MN=FM=2^3,

作NGLWVf交FM于G,則=

22

NG=>JMN2-MG2=3>

將點(diǎn)尸沿MN方向平移2有單位長度得到點(diǎn)尸'（即向左平移3個單位長度，向上平移6個

單位長度），

則尸[6_3,_[+6],即尸'卜廠g+珞），

則PP=A?V,PP'//MN,

.,?四邊形MNP'P為平行四邊形，

PM=P'N,

作點(diǎn)。關(guān)于直線4的對稱點(diǎn)。，連接。0交4于連接0尸，則OO'LDH,CfH=OH,

過點(diǎn)。'作O'X_Lx軸于點(diǎn)X,

S=-ODxOE=-DExOH,

0nDnEF22

.1R2A/3_1M

2323

O'H=OH=1,

：.00'=2,

ZDEO=60°,

/O'OX=60。，

O'X=1o,O=l,OX=y/3O'X=V3,

由軸對稱的性質(zhì)可得ON=O'N,

：.PM+ON=PN+O'N>O'P',

/.PM+ON的最小值為O'P',

VO'P'=(-l-3)2+V3-一+

/.PM+ON的最小值為生叵，

3

PM+ACV+ON的最小值生回+2班；

3

(3)解:如圖，四邊形AGHK第一次為菱形時(shí),過點(diǎn)A(作AE，x軸于點(diǎn)E,過點(diǎn)H作HW±x

軸于點(diǎn)W,

此時(shí)，AGH為等腰三角形，且NGAH=AGHA=30°,

：.ZAGA=ZHGO=60°,

：./G4'E=30°,

由旋轉(zhuǎn)知/aVC'=NQ4C=30。，04=04=4,

ZAOE=30°,

?；AE_Lx軸，

AA'E=^OA'=2,OE=s/3A'E=273,

GE=AE空

丁

AOG=OE-GE=^—,AG=OA-OG=4--—,

33

?.?'-/J逑,uol,

I3J

:四邊形AGHK為菱形,

，HG=AG=4--,

3

答案第30頁，共35頁

：.WG=-HG=2-^-

，WH=y/3WG=2^-2,

23

4J3

OW=OG-WG=—L-=2不-2,

3

AH(2A/3-2,2-2A/3),

由菱形AGHK中，HG//KA,HG=KA,

：.AK是G//平移來的，

???點(diǎn)G到點(diǎn)A的平移方式是水平向右平移AG=4-拽個單位長度,

3

???點(diǎn)K為點(diǎn)H水平向右平移4-生叵個單位長度，

3

（4出廠）

.,.點(diǎn)K的坐標(biāo)為2^r-2+4......-,2-2A/3,

、

即K2,2-2有；

7

過點(diǎn)H作HL，尤軸于點(diǎn)3

此時(shí)AG4為等腰三角形，且NG4"=NGH4=30。，

AZHGL=60°,/A'GA=60°,

由旋轉(zhuǎn)知NA'CO=60°,即ZAGA=ZAC'O=60°,

，點(diǎn)G與點(diǎn)C重合,

：.OG=OC=^-

4J3

AG=OG+OA=-L-+4,

I3J3

???ZGHA=ZOAC=30°,

HG=AG=-L-+4,

3

ZGHL=90°-ZHGL=30°,ZHLG=90°,

LG=-HG=^^+2,LH=￡LG=2+26,

23

A￡O=OG+￡G=^+—+2=2.73+2,

33

//(-273-2,-25/3-2),

同上平移方法可得點(diǎn)K為點(diǎn)、H水平向右平移AG=逑+4個單位長度，

3

，點(diǎn)K的坐標(biāo)為12道一2+^^+4,一2退一2,

即K}￥+2,-2出-2)；

綜上所述，K[{+2,2—26或—+2,-2\/3—2.

【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)與幾何綜合，涉及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，特殊角的三角

函數(shù)值，菱形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定

理趙橋鋪路與將軍飲馬最值問題，熟練掌握這些性質(zhì)與方法是解題的關(guān)鍵.

25.(1)SAS,1<CM<3；(2)石；(3)①為等腰直角三角形，理由見