4/24第08講專題利用導(dǎo)數(shù)研究恒(能)成立問題目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01方法技巧與總結(jié) 202題型歸納總結(jié) 3題型一：直接法 3題型二：端點恒成立 5題型三：端點不成立 6題型四：分離參數(shù)之全分離，半分離，換元分離 7題型五：洛必達法則 9題型六：同構(gòu)法與朗博同構(gòu) 10題型七：必要性探路 11題型八：max，min函數(shù)問題 13題型九：構(gòu)造函數(shù)技巧 14題型十：雙變量最值問題 16題型十一：恒成立問題求參數(shù)的具體值 1703過關(guān)測試 18

1、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題的求解策略：（1）通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；（2）利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題；（3）根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．2、利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進行求解：（1），；（2），；（3），；（4），．3、不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：一般地，已知函數(shù)，，，．（1）若，，有成立，則；（2）若，，有成立，則；（3）若，，有成立，則；（4）若，，有成立，則的值域是的值域的子集．4、法則1若函數(shù)和滿足下列條件：（1）及；（2）在點的去心HYPERLINK鄰域內(nèi)，與可導(dǎo)且；（3），那么=．法則2若函數(shù)和滿足下列條件：（1）及；（2），和在與上可導(dǎo)，且；（3），那么=．法則3若函數(shù)和滿足下列條件：（1）及；（2）在點的去心HYPERLINK鄰域內(nèi)，與可導(dǎo)且；（3），那么=．注意：利用洛必達法則求未定式的極限是微分學(xué)中的重點之一，在解題中應(yīng)注意：（1）將上面公式中的，，，洛必達法則也成立．（2）洛必達法則可處理，，，，，，型．（3）在著手求極限以前，首先要檢查是否滿足，，，，，，型定式，否則濫用洛必達法則會出錯．當(dāng)不滿足三個前提條件時，就不能用洛必達法則，這時稱洛必達法則不適用，應(yīng)從另外途徑求極限．（4）若條件符合，洛必達法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止．，如滿足條件，可繼續(xù)使用洛必達法則．題型一：直接法【典例1-1】（2024·河南信陽·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，．(1)試比較與的大?。?2)若恒成立，求的取值范圍．【典例1-2】（2024·山西·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，恒成立，求的取值范圍.【變式1-1】（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)討論的零點個數(shù)；(2)若關(guān)于的不等式在上恒成立，求的取值范圍.【變式1-2】（2024·湖南衡陽·三模）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求函數(shù)在點處的切線方程；(2)若，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【變式1-3】（2024·四川成都·模擬預(yù)測）設(shè)(1)當(dāng)，求函數(shù)的零點個數(shù).(2)函數(shù)，若對任意，恒有，求實數(shù)的取值范圍題型二：端點恒成立【典例2-1】（2024·廣西·三模）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的極值；(2)若對任意，求的取值范圍.【典例2-2】（2024·四川·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)若有3個極值點，求的取值范圍；(2)若，求的取值范圍．【變式2-1】（2024·山西·三模）已知函數(shù)(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；(2)當(dāng)時，恒成立，求的取值范圍【變式2-2】（2024·河北·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，.(1)當(dāng)時，求的極值；(2)當(dāng)時，恒成立，求的取值范圍.題型三：端點不成立【典例3-1】（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測）已知．（）(1)討論的單調(diào)性；(2)若，且存在，使得，求的取值范圍．【典例3-2】（2024·山東泰安·三模）已知函數(shù).(1)討論的最值；(2)若，且，求的取值范圍.【變式3-1】（2024·四川·模擬預(yù)測）已知函數(shù)（，）在點處的切線方程為．(1)求函數(shù)的極值；(2)設(shè)（），若恒成立，求的取值范圍．【變式3-2】（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測）.(1)若的圖象在點處的切線經(jīng)過原點，求；(2)對任意的，有，求的取值范圍.【變式3-3】（2024·浙江金華·三模）已知函數(shù)在（為自然對數(shù)的底數(shù)）處取得極值．(1)求實數(shù)a的值；(2)若不等式恒成立，求k的范圍．題型四：分離參數(shù)之全分離，半分離，換元分離【典例4-1】（2024·陜西咸陽·三模）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求函數(shù)極值；(2)若對任意，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【典例4-2】（2024·湖南衡陽·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，函數(shù)．(1)若直線與函數(shù)交于點A，直線與函數(shù)交于點B，且函數(shù)在點A處的切線與函數(shù)在點B處的切線相互平行或重合，求a的取值范圍；(2)函數(shù)在其定義域內(nèi)有兩個不同的極值點，，且，存在實數(shù)使得不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【變式4-1】已知函數(shù)．(1)若函數(shù)，，討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若不等式恒成立，求實數(shù)b的取值范圍．【變式4-2】（2024·山東濟南·三模）已知函數(shù)，其中且．(1)若是偶函數(shù)，求a的值；(2)若時，，求a的取值范圍．【變式4-3】（2024·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)的兩個極值點分別為．(1)求實數(shù)的取值范圍；(2)若不等式恒成立，求正數(shù)的取值范圍（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）．【變式4-4】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，曲線在點處的切線與軸平行．(1)求實數(shù)的值；(2)若對于任意，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【變式4-5】（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.題型五：洛必達法則【典例5-1】已知函數(shù)在處取得極值，且曲線在點處的切線與直線垂直.(1)求實數(shù)的值；(2)若，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【典例5-2】設(shè)函數(shù).當(dāng)時，，求的取值范圍.【變式5-1】設(shè)函數(shù)．如果對任何，都有，求的取值范圍．【變式5-2】（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)若對任意的恒成立，求的范圍.題型六：同構(gòu)法與朗博同構(gòu)【典例6-1】已知函數(shù).(1)若，判斷的零點個數(shù)；(2)當(dāng)時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【典例6-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【變式6-1】已知函數(shù)，其中.(1)討論函數(shù)極值點的個數(shù)；(2)對任意的，都有，求實數(shù)的取值范圍.【變式6-2】（2024·海南?？凇ひ荒＃┮阎瘮?shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)已知，若存在，不等式成立，求實數(shù)的最大值.【變式6-3】（2024·云南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)(1)若函數(shù)在處的切線也與函數(shù)的圖象相切，求的值；(2)若恒成立，求的取值范圍.【變式6-4】（2024·內(nèi)蒙古·三模）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若恒成立，求的取值范圍.題型七：必要性探路【典例7-1】（2024·江西九江·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)(1)討論f(x)的單調(diào)性：(2)當(dāng)時，若，，求實數(shù)m的取值范圍．【典例7-2】已知函數(shù)）在處的切線斜率為.(1)求a的值；(2)若，，求實數(shù)m的取值范圍.【變式7-1】（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求的零點個數(shù)；(2)已知函數(shù)，若在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【變式7-2】（2024·浙江溫州·模擬預(yù)測）函數(shù)(1)求的單調(diào)區(qū)間.(2)若在時恒成立，求的取值范圍.【變式7-3】（2024·湖北·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若關(guān)于x的不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.【變式7-4】（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求函數(shù)在區(qū)間上零點的個數(shù)；(2)若時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【變式7-5】（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，其中為常數(shù).(1)當(dāng)時，討論函數(shù)在上的單調(diào)性；(2)若，，求實數(shù)的取值范圍.【變式7-6】（2024·重慶·三模）已知函數(shù).(1)若，求在點處的切線方程，并求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:(2)若在定義域上的值域是的子集，求實數(shù)的取值范圍.題型八：max，min函數(shù)問題【典例8-1】已知函數(shù)，，其中.（1）證明：當(dāng)時，；當(dāng)時，；（2）用表示m，n中的最大值，記.是否存在實數(shù)a，對任意的，恒成立.若存在，求出a；若不存在，請說明理由.【典例8-2】已知是自然對數(shù)的底數(shù)，函數(shù)，直線為曲線的切線，．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)求的值；(3)定義函數(shù)，在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍．【變式8-1】已知函數(shù)，，設(shè)表示，的最大值，設(shè).(1)討論在上的零點個數(shù)；(2)當(dāng)時，求的取值范圍.【變式8-2】已知函數(shù)，，其中.(1)證明：當(dāng)時，；當(dāng)時，；(2)用表示中的最大值，記.是否存在實數(shù)a，對任意的，恒成立.若存在，求出，若不存在，請說明理由.【變式8-3】已知為實數(shù)，函數(shù).(1)若函數(shù)在處的切線斜率為2，求的值；(2)討論函數(shù)在上的零點個數(shù)；(3)設(shè)表示的最大值，設(shè).當(dāng)時，，求的取值范圍.題型九：構(gòu)造函數(shù)技巧【典例9-1】已知函數(shù)，．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，且關(guān)于的不等式在上恒成立，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．【典例9-2】已知關(guān)于x的函數(shù)與在區(qū)間D上恒有．（1）若，求h(x)的表達式；（2）若，求k的取值范圍；（3）若求證：．【變式9-1】已知函數(shù).(1)求函數(shù)在處的切線方程；(2)若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【變式9-2】已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若恒成立，求的取值范圍.【變式9-3】已知函數(shù)．(1)判斷的導(dǎo)函數(shù)的零點個數(shù)；(2)若，求a的取值范圍．【變式9-4】（2023·安徽合肥·合肥市第六中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)，（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．(1)若函數(shù)的最大值為0，求a的值；(2)若對于任意正數(shù)x，恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．題型十：雙變量最值問題【典例10-1】（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）已知關(guān)于不等式對任意和正數(shù)恒成立，則的最小值為（

）A． B．1 C． D．2【典例10-2】（2024·江蘇·模擬預(yù)測）已知，，對于，恒成立，則的最小值為（

）A． B．－1 C． D．－2【變式10-1】若對于任意正實數(shù)，都有(為自然對數(shù)的底數(shù))成立，則的最小值是.【變式10-2】已知函數(shù)，，其中(1)若，且的圖象與的圖象相切，求的值；(2)若對任意的恒成立，求的最大值.【變式10-3】（2024·高三·江蘇蘇州·開學(xué)考試）已知函數(shù)，，．（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若曲線在點(1，0)處的切線為l:x＋y－1＝0，求a，b的值；（3）若恒成立，求的最大值．題型十一：恒成立問題求參數(shù)的具體值【典例11-1】已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，討論在區(qū)間上的單調(diào)性；(2)若，求的值．【典例11-2】（2024·福建福州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，其中為自然對數(shù)的底數(shù).(1)證明：時，；(2)求函數(shù)在內(nèi)的零點個數(shù)；(3)若，求的取值范圍.【變式11-1】（2024·河北保定·三模）已知函數(shù).(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若恒成立，求的取值集合.【變式11-2】（2024·福建福州·三模）已知函數(shù)．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)若恒成立，求的值1．（2024·遼寧沈陽·三模）已知函數(shù)（其中），.(1)當(dāng)時，求函數(shù)的圖象在點處的切線方程；(2)當(dāng)時，若恒成立，求的取值范圍.2．（2024·甘肅酒泉·三模）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的極值；(2)若對任意，都有成立，求實數(shù)的取值范圍．3．（2024·河北邯鄲·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求函數(shù)在處的切線方程；(2)若為增函數(shù)，求的取值范圍.4．（2024·廣西·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)，．(1)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)證明：．5．（2024·江西·模擬預(yù)測）已知曲線在點處的切線方程為．(1)求a，b的值；(2)求的單調(diào)區(qū)間；(3)已知，且，證明：對任意的，．6．（2024·河南·三模）已知函數(shù).(1)如果，求曲線在處的切線方程；(2)如果對于任意的都有且，求實數(shù)滿足的條件.7．（2024·湖北荊州·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若對于任意，都有，求實數(shù)a的取值范圍.8．（2024·吉林長春·模擬預(yù)測）已知，函數(shù).(1)當(dāng)時，求的最小值；(2)若時，恒成立，求的取值范圍.9．（2024·河南信陽·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)，(1)已知對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(2)已知直線與曲線，分別切于點，，其中．①求證：；②已知對任意恒成立，求的取值范圍．10．（2024·黑龍江·三模）設(shè)函數(shù)(1)討論的單調(diào)性;(2)若為正數(shù)，且存在，使得求的取值范圍.11．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)若存在唯一的負整數(shù)，使得，求的取值范圍；(2)若，當(dāng)時，，求的取值范圍．12．（2024·福建廈門·三模）已知函數(shù).(1)若，設(shè)，討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)令，若存在，使得，求的取值范圍.13．（2024·云南昭通·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)，.(1)當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若，求實數(shù)的取值范圍.14．（2024·寧夏銀川·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；(2)如果存在，使得當(dāng)時，恒有成立，求的取值范圍.15．（2024·河北·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若存在實數(shù)，使得關(guān)于的不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.16．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍．17．（2024·河南·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)，，求的取值范圍.18．（2024·江西·二模）設(shè)函數(shù)，其中.(