反比例與二次函數(shù)專題強化訓練題一、引言反比例函數(shù)（\(y=\frac{k}{x}\),\(k\neq0\)）與二次函數(shù)（\(y=ax^2+bx+c\),\(a\neq0\)）是初中數(shù)學的核心內(nèi)容，也是中考的重點考查對象。反比例函數(shù)的“雙曲線”圖像與二次函數(shù)的“拋物線”圖像具有獨特的幾何性質(zhì)，兩者的綜合應用更是體現(xiàn)了函數(shù)思想的靈活性。本專題通過分層訓練（基礎概念→性質(zhì)應用→綜合拓展），覆蓋高頻考點，強化易錯點，幫助學生系統(tǒng)提升函數(shù)綜合應用能力。二、反比例函數(shù)專題訓練（一）基本概念與表達式1.若反比例函數(shù)圖像過點\((2,3)\)，則其表達式為（）A.\(y=\frac{2}{x}\)B.\(y=\frac{6}{x}\)C.\(y=\frac{3}{2}x\)D.\(y=-\frac{6}{x}\)2.反比例函數(shù)\(y=-\frac{3}{x}\)的圖像性質(zhì)描述正確的是（）A.圖像在第一、三象限B.\(y\)隨\(x\)增大而減小C.在第二象限內(nèi)，\(y\)隨\(x\)增大而增大D.圖像過原點答案與解析1.B解析：代入點\((2,3)\)得\(3=\frac{k}{2}\)，解得\(k=6\)，表達式為\(y=\frac{6}{x}\)。2.C解析：\(k=-3<0\)，圖像在第二、四象限；在每個象限內(nèi)，\(y\)隨\(x\)增大而增大（注意“每個象限內(nèi)”是易錯點）。（二）圖像與性質(zhì)3.若反比例函數(shù)\(y=\frac{k}{x}\)在第一象限內(nèi)\(y\)隨\(x\)增大而減小，則\(k\)的取值范圍是（）A.\(k>0\)B.\(k<0\)C.\(k\geq0\)D.\(k\leq0\)4.已知反比例函數(shù)\(y=\frac{m+1}{x}\)的圖像在第二、四象限，則\(m\)的取值范圍是（）A.\(m>-1\)B.\(m<-1\)C.\(m\geq-1\)D.\(m\leq-1\)答案與解析3.A解析：反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)\(y\)隨\(x\)增大而減小，說明\(k>0\)（\(k>0\)時，雙曲線在第一、三象限，每象限內(nèi)單調(diào)遞減）。4.B解析：圖像在第二、四象限，說明\(m+1<0\)，解得\(m<-1\)。（三）\(k\)的幾何意義5.如圖，反比例函數(shù)\(y=\frac{k}{x}\)的圖像上有一點\(P\)，過\(P\)作\(x\)軸的垂線，垂足為\(A\)，連接\(OP\)。若\(\triangleOPA\)的面積為\(4\)，則\(k\)的值為（）A.\(4\)B.\(8\)C.\(\pm4\)D.\(\pm8\)6.如圖，矩形\(ABCD\)的頂點\(A\)、\(B\)在\(x\)軸上，\(C\)、\(D\)在反比例函數(shù)\(y=\frac{6}{x}\)的圖像上，若\(AB=2\)，則矩形\(ABCD\)的面積為（）A.\(6\)B.\(12\)C.\(24\)D.無法確定答案與解析5.D解析：\(\triangleOPA\)的面積\(=\frac{1}{2}|k|=4\)，故\(|k|=8\)，\(k=\pm8\)。6.A解析：設\(A(x,0)\)，則\(B(x+2,0)\)，\(D(x,\frac{6}{x})\)，\(C(x+2,\frac{6}{x})\)（矩形對邊相等）。矩形面積\(=AB\timesAD=2\times\frac{6}{x}\)？不對，修正：矩形\(ABCD\)中，\(AD\perpx\)軸，\(BC\perpx\)軸，故\(D(x,\frac{6}{x})\)，\(C(x+2,\frac{6}{x+2})\)？不，矩形對邊平行且相等，正確做法：設\(D(a,b)\)，則\(C(a+2,b)\)（\(AB=2\)），因\(D\)、\(C\)在反比例函數(shù)上，故\(ab=6\)，\((a+2)b=6\)？矛盾，說明矩形的邊應平行于坐標軸，此時\(D(a,\frac{6}{a})\)，\(C(a+2,\frac{6}{a})\)，則\(C\)點坐標滿足\((a+2)\times\frac{6}{a}=6\)？等式恒成立，故矩形面積\(=AB\timesAD=2\times\frac{6}{a}\)？不對，實際應為：平行于坐標軸的矩形，面積等于\(|k|\)（如\(D(a,\frac{k}{a})\)，\(C(b,\frac{k}{a})\)，則面積\(=|b-a|\times\frac{k}{a}\)？不，正確結(jié)論：若矩形的邊平行于坐標軸，且兩個頂點在反比例函數(shù)\(y=\frac{k}{x}\)上，則矩形面積為\(|k|\)（例如\(D(a,\frac{k}{a})\)，\(C(b,\frac{k})\)，若\(AD\perpx\)軸，\(BC\perpx\)軸，則\(AB=|b-a|\)，\(AD=\frac{k}{a}\)，面積\(=|b-a|\times\frac{k}{a}\)，但此時\(C\)點縱坐標應為\(\frac{k}\)，若矩形則\(\frac{k}{a}=\frac{k}\)，故\(a=b\)，矛盾，說明題目6應改為“正方形”或調(diào)整條件。此處修正為：6.如圖，正方形\(ABCD\)的頂點\(A\)、\(B\)在\(x\)軸上，\(C\)、\(D\)在反比例函數(shù)\(y=\frac{6}{x}\)的圖像上，若\(AB=2\)，則正方形面積為（），此時\(D(a,2)\)（正方形邊長為2），代入反比例函數(shù)得\(2=\frac{6}{a}\)，\(a=3\)，故面積\(=2\times2=4\)？不對，可能我需要換一個\(k\)的幾何意義的題目，比如：5.若點\(P(x,y)\)在反比例函數(shù)\(y=\frac{k}{x}\)的圖像上，且\(x=2\)時，\(y=3\)，則\(\triangleOPA\)（\(A\)為\(P\)在\(x\)軸上的垂足）的面積為（），答案是\(3\)，因為\(k=6\)，面積\(=\frac{1}{2}|k|=3\)。（四）與一次函數(shù)綜合7.聯(lián)立反比例函數(shù)\(y=\frac{2}{x}\)與一次函數(shù)\(y=-x+3\)，求交點坐標及當\(\frac{2}{x}<-x+3\)時\(x\)的取值范圍。答案與解析聯(lián)立方程：\(\frac{2}{x}=-x+3\)，兩邊乘\(x\)（\(x\neq0\)）得\(2=-x^2+3x\)，即\(x^2-3x+2=0\)，解得\(x=1\)或\(x=2\)，對應\(y=2\)或\(y=1\)，故交點為\((1,2)\)、\((2,1)\)。取值范圍：畫出圖像（反比例函數(shù)在第一、三象限，一次函數(shù)過第一、二、四象限），當\(\frac{2}{x}<-x+3\)時，\(x<0\)或\(1<x<2\)（注意：第三象限的反比例函數(shù)值恒負，一次函數(shù)在\(x<0\)時值恒正，故\(x<0\)時滿足；第一象限內(nèi)，兩交點之間的區(qū)域滿足）。三、二次函數(shù)專題訓練（一）表達式與待定系數(shù)法8.已知二次函數(shù)圖像過點\((0,3)\)、\((1,0)\)、\((-1,4)\)，求其表達式。答案與解析設一般式\(y=ax^2+bx+c\)，代入點得：\(c=3\)（\(x=0\)時）；\(a+b+3=0\)（\(x=1\)時）；\(a-b+3=4\)（\(x=-1\)時）。解得：\(a=-1\)，\(b=-2\)，\(c=3\)，故表達式為\(y=-x^2-2x+3\)。（二）圖像性質(zhì)（開口、頂點、對稱軸）9.二次函數(shù)\(y=2x^2-4x+1\)的開口方向、對稱軸及頂點坐標分別為（）A.向上，\(x=1\)，\((1,-1)\)B.向上，\(x=-1\)，\((-1,-1)\)C.向下，\(x=1\)，\((1,-1)\)D.向下，\(x=-1\)，\((-1,-1)\)10.若二次函數(shù)\(y=ax^2+bx+c\)的圖像對稱軸為\(x=2\)，且過點\((1,0)\)、\((3,0)\)，則其表達式為（）A.\(y=x^2-4x+3\)B.\(y=x^2+4x+3\)C.\(y=-x^2-4x-3\)D.\(y=-x^2+4x-3\)答案與解析9.A解析：\(a=2>0\)，開口向上；對稱軸\(x=-\frac{2a}=1\)；頂點縱坐標\(y=2(1)^2-4(1)+1=-1\)，故頂點\((1,-1)\)。10.A解析：對稱軸為\(x=2\)，且過\((1,0)\)、\((3,0)\)（對稱點），設交點式\(y=a(x-1)(x-3)\)，展開得\(y=a(x^2-4x+3)\)，對稱軸\(x=2\)符合條件，取\(a=1\)，得\(y=x^2-4x+3\)。（三）與一元二次方程的關(guān)系11.二次函數(shù)\(y=x^2-2x-3\)與\(x\)軸的交點坐標為（）A.\((3,0)\)、\((-1,0)\)B.\((-3,0)\)、\((1,0)\)C.\((3,0)\)、\((1,0)\)D.\((-3,0)\)、\((-1,0)\)12.若二次函數(shù)\(y=ax^2+bx+c\)與\(x\)軸有兩個不同交點，則判別式\(\Delta=b^2-4ac\)滿足（）A.\(\Delta>0\)B.\(\Delta=0\)C.\(\Delta<0\)D.\(\Delta\geq0\)答案與解析11.A解析：令\(y=0\)，得\(x^2-2x-3=0\)，解得\(x=3\)或\(x=-1\)，故交點為\((3,0)\)、\((-1,0)\)。12.A解析：二次函數(shù)與\(x\)軸有兩個不同交點，等價于一元二次方程有兩個不同實根，故\(\Delta>0\)。（四）實際應用（最值問題）13.某商店銷售一種玩具，每件進價為\(20\)元，售價為\(x\)元時，每天銷售量為\(y\)件，且\(y\)與\(x\)滿足一次函數(shù)關(guān)系：\(y=-10x+500\)（\(20\leqx\leq50\)）。求每天利潤\(w\)與\(x\)的函數(shù)關(guān)系式，并求當\(x\)為多少時，利潤最大，最大利潤是多少？答案與解析利潤\(w=(\text{售價}-\text{進價})\times\text{銷售量}=(x-20)y=(x-20)(-10x+500)\)，展開得：\(w=-10x^2+500x+200x-____=-10x^2+700x-____\)。求最值：\(a=-10<0\)，拋物線開口向下，頂點為最大值點。對稱軸\(x=-\frac{2a}=-\frac{700}{2\times(-10)}=35\)，此時\(w=-10(35)^2+700\times35-____=-____+____-____=2250\)。結(jié)論：當售價為\(35\)元時，利潤最大，最大利潤為\(2250\)元。四、反比例與二次函數(shù)綜合訓練14.已知二次函數(shù)\(y=x^2-4x+3\)與反比例函數(shù)\(y=\frac{k}{x}\)的圖像交于點\(A(1,0)\)，求反比例函數(shù)表達式及另一個交點\(B\)的坐標。答案與解析步驟1：求反比例函數(shù)表達式點\(A(1,0)\)在二次函數(shù)上（代入驗證：\(1-4+3=0\)，正確），但\(A\)點縱坐標為\(0\)，無法代入反比例函數(shù)（\(k=0\)，不符合\(k\neq0\)），故題目修正：點\(A(4,m)\)是兩函數(shù)的交點，且\(A\)在二次函數(shù)上，求\(k\)及另一個交點。修正后題目：已知二次函數(shù)\(y=x^2-4x+3\)與反比例函數(shù)\(y=\frac{k}{x}\)的圖像交于點\(A(4,3)\)，求反比例函數(shù)表達式及另一個交點\(B\)的坐標。解析：點\(A(4,3)\)在反比例函數(shù)上，故\(3=\frac{k}{4}\)，解得\(k=12\)，反比例函數(shù)表達式為\(y=\frac{12}{x}\)。聯(lián)立兩函數(shù)方程：\(x^2-4x+3=\frac{12}{x}\)，兩邊乘\(x\)（\(x\neq0\)）得\(x^3-4x^2+3x-12=0\)，因式分解：\(x^2(x-4)+3(x-4)=(x-4)(x^2+3)=0\)，解得\(x=4\)或\(x^2=-3\)（無實根），故只有一個實交點？不對，再修正點\(A\)為\((3,0)\)，但同樣無法代入反比例函數(shù)，故正確題目：14.已知二次函數(shù)\(y=x^2-3x+2\)與反比例函數(shù)\(y=\frac{k}{x}\)的圖像交于點\(A(2,0)\)，求反比例函數(shù)表達式及另一個交點\(B\)的坐標。解析：點\(A(2,0)\)在二次函數(shù)上（驗證：\(4-6+2=0\)，正確），但\(A\)點不在反比例函數(shù)上（\(k=0\)），故調(diào)整點\(A\)為\((1,0)\)，代入二次函數(shù)得\(1-3+2=0\)，正確；求\(k\)：需另一個點，比如設兩函數(shù)交于\(A(1,0)\)和\(B(m,n)\)，但\(A\)不在反比例函數(shù)上，故正確思路：兩函數(shù)交于\(P(a,b)\)，\(P\)在二次函數(shù)和反比例函數(shù)上，如：14.已知二次函數(shù)\(y=x^2-2x-3\)與反比例函數(shù)\(y=\frac{k}{x}\)的圖像交于點\(P(4,5)\)，求反比例函數(shù)表達式及另一個交點\(Q\)的坐標。解析：點\(P(4,5)\)在反比例函數(shù)上，故\(5=\frac{k}{4}\)，解得\(k=20\)，反比例函數(shù)表達式為\(y=\frac{20}{x}\)。聯(lián)立兩函數(shù)方程：\(x^2-2x-3=\frac{20}{x}\)，兩邊乘\(x\)得\(x^3-2x^2-3x-20=0\)，因式分解（試根法）：可能的有理根為\(\pm1,\pm2,\pm4,\pm5,\pm10,\pm20\)，代入\(x=4\)得\(64-32-12-20=0\)，故\((x-4)\)是因式，分解得：\(x^3-2x^2-3x-20=(x-4)(x^2+2x+5)\)，二次因式\(x^2+2x+5=0\)的判別式\(\Delta=4-20=-16<0\)，故只有一個實交點（說明點\(P\)是唯一交點）。15.如圖，二次函數(shù)\(y=-x^2+2x+3\)與反比例函數(shù)\(y=\frac{k}{x}\)的圖像交于點\(A(1,4)\)，求\(\triangleAOB\)的面積（\(O\)為原點，\(B\)為二次函數(shù)與\(x\)軸的正交點）。答案與解析步驟1：求反比例函數(shù)\(k\)值點\(A(1,4)\)在反比例函數(shù)上，故\(k=1