第1頁、共2頁2012年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（山東卷）理科數(shù)學(xué)本試卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷兩部分，共4頁.滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.考試結(jié)束后，務(wù)必將本試卷和答題卡一并交回.注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、縣區(qū)和科類填寫在答題卡上和試卷規(guī)定的位置上.2.第Ⅰ卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號，答案不能答在試卷上.3.第Ⅱ卷必須用0.5毫米黑色簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置，不能寫在試卷上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不能使用涂改液、膠帶紙、修正帶.不按以上要求作答的答案無效.4.填空題請直接填寫答案，解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.參考公式：錐體的體積公式：，其中是錐體的底面積，是錐體的高.如果事件互斥，那么；如果事件獨(dú)立，那么.第I卷（共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.（1）若復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則為（A）（B）（C）（D）（2）已知全集，集合，則為（A）（B）（C）（D）（3）設(shè)且，則“函數(shù)在上是減函數(shù)”，是“函數(shù)在上是增函數(shù)”的（A）充分不必要條件（B）必要不充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件（4）采用系統(tǒng)抽樣方法從960人中抽取32人做問卷調(diào)查，為此將他們隨機(jī)編號為1,2，…，960，分組后在第一組采用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽到的號碼為9.抽到的32人中，編號落入?yún)^(qū)間的人做問卷，編號落入?yún)^(qū)間的人做問卷，其余的人做問卷.則抽到的人中，做問卷的人數(shù)為（A）7（B）9（C）10（D）15（5）已知變量滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的取值范圍是（A）（B）（C）（D）（6）執(zhí)行下面的程序圖，如果輸入，那么輸出的的值為（A）2（B）3（C）4（D）5（7）若，，則（A）（B）（C）（D）（8）定義在上的函數(shù)滿足.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，。則（A）335（B）338（C）1678（D）2012(9)函數(shù)的圖像大致為（10）已知橢圓的離心學(xué)率為.雙曲線的漸近線與橢圓有四個(gè)交點(diǎn)，以這四個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為16，則橢圓的方程為（A）（B）（C）（D）（11）現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各4張.從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張.不同取法的種數(shù)為（A）232(B)252(C)472(D)484(12)設(shè)函數(shù)，若的圖象與圖象有且僅有兩個(gè)不同的公共點(diǎn),則下列判斷正確的是A.當(dāng)時(shí)，B.當(dāng)時(shí)，C.當(dāng)時(shí)，D.當(dāng)時(shí)，第Ⅱ卷（共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分.（13）若不等式的解集為，則實(shí)數(shù)__________.（14）如圖，正方體的棱長為1，分別為線段上的點(diǎn)，則三棱錐的體積為____________.（15）設(shè).若曲線與直線所圍成封閉圖形的面積為，則______.（16）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一單位圓的圓心的初始位置在，此時(shí)圓上一點(diǎn)的位置在，圓在軸上沿正向滾動。當(dāng)圓滾動到圓心位于時(shí)，的坐標(biāo)為______________.三、解答題：本大題共6小題，共74分.（17）（本小題滿分12分）已知向量，函數(shù)的最大值為6.（Ⅰ）求；（Ⅱ）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象.求在上的值域.（18）（本小題滿分12分）在如圖所示的幾何體中，四邊形是等腰梯形，∥，平面.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值.（19）（本小題滿分12分）先在甲、乙兩個(gè)靶.某射手向甲靶射擊一次，命中的概率為，命中得1分，沒有命中得0分；向乙靶射擊兩次，每次命中的概率為,每命中一次得2分，沒有命中得0分.該射手每次射擊的結(jié)果相互獨(dú)立.假設(shè)該射手完成以上三次射擊.（Ⅰ）求該射手恰好命中一次得的概率；（Ⅱ）求該射手的總得分的分布列及數(shù)學(xué)期望.（20）（本小題滿分12分）在等差數(shù)列中，.（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）對任意，將數(shù)列中落入?yún)^(qū)間內(nèi)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為，求數(shù)列的前項(xiàng)和.（21）（本小題滿分13分）在平面直角坐標(biāo)系中，是拋物線的焦點(diǎn)，是拋物線上位于第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，過三點(diǎn)的圓的圓心為，點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為.（Ⅰ）求拋物線的方程；（Ⅱ）是否存在點(diǎn)，使得直線與拋物線相切于點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；（Ⅲ）若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，直線與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，與圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求當(dāng)時(shí)，的最小值.22(本小題滿分13分)已知函數(shù)（為常數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù)），曲線在點(diǎn)處的切線與軸平行.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）設(shè),其中為的導(dǎo)函數(shù).證明：對任意.2012年山東省高考數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（5分）（2012?山東）若復(fù)數(shù)x滿足z（2﹣i）=11+7i（i為虛數(shù)單位），則z為（）A．3+5iB．3﹣5iC．﹣3+5iD．﹣3﹣5i分析：等式兩邊同乘2+i，然后化簡求出z即可．解答：解：因?yàn)閦（2﹣i）=11+7i（i為虛數(shù)單位），所以z（2﹣i）（2+i）=（11+7i）（2+i），即5z=15+25i，z=3+5i．故選A．2．（5分）（2012?山東）已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={2，4}，則（?UA）∪B為（）A．{1，2，4}B．{2，3，4}C．{0，2，4}D．{0，2，3，4}分析：由題意求出A的補(bǔ)集，然后求出（?UA）∪B．解答：解：因?yàn)槿疷={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={2，4}，則?UA={0，4}，（?UA）∪B={0，2，4}．故選C．3．（5分）（2012?山東）設(shè)a＞0且a≠1，則“函數(shù)f（x）=ax在R上是減函數(shù)”，是“函數(shù)g（x）=（2﹣a）x3在R上是增函數(shù)”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件分析：根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)結(jié)合充分條件和必要條件的定義即可得到結(jié)論．解答：解：a＞0且a≠1，則“函數(shù)f（x）=ax在R上是減函數(shù)”，所以a∈（0，1），“函數(shù)g（x）=（2﹣a）x3在R上是增函數(shù)”所以a∈（0，2）；顯然a＞0且a≠1，則“函數(shù)f（x）=ax在R上是減函數(shù)”，是“函數(shù)g（x）=（2﹣a）x3在R上是增函數(shù)”的充分不必要條件．故選A．4．（5分）（2012?山東）采用系統(tǒng)抽樣方法從960人中抽取32人做問卷調(diào)查，為此將他們隨機(jī)編號為1，2，…，960，分組后在第一組采用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽到的號碼為9．抽到的32人中，編號落入?yún)^(qū)間[1，450]的人做問卷A，編號落入?yún)^(qū)間[451，750]的人做問卷B，其余的人做問卷C．則抽到的人中，做問卷B的人數(shù)為（）A．7B．9C．10D．15分析：由題意可得抽到的號碼構(gòu)成以9為首項(xiàng)、以30為公差的等差數(shù)列，求得此等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=9+（n﹣1）30=30n﹣21，由451≤30n﹣21≤750求得正整數(shù)n的個(gè)數(shù)．解答：解：960÷32=30，故由題意可得抽到的號碼構(gòu)成以9為首項(xiàng)、以30為公差的等差數(shù)列，且此等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=9+（n﹣1）30=30n﹣21．由451≤30n﹣21≤750解得15.7≤n≤25.7．再由n為正整數(shù)可得16≤n≤25，且n∈z，故做問卷B的人數(shù)為10，故選：C．5．（5分）（2012?山東）設(shè)變量x，y滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)z=3x﹣y的取值范圍是（）A．B．C．[﹣1，6]D．分析：作出不等式組表示的平面區(qū)域；作出目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的直線；由目標(biāo)函數(shù)中z的幾何意義可求z的最大值與最小值，進(jìn)而可求z的范圍解答：解：作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示由z=3x﹣y可得y=3x﹣z，則﹣z為直線y=3x﹣z在y軸上的截距，截距越大，z越小結(jié)合圖形可知，當(dāng)直線y=3x﹣z平移到B時(shí)，z最小，平移到C時(shí)z最大由可得B（，3），由可得C（2，0），zmax=6∴故選A6．（5分）（2012?山東）執(zhí)行程序框圖，如果輸入a=4，那么輸出的n的值為（）A．2B．3C．4D．5分析：通過循環(huán)求出P，Q的值，當(dāng)P＞Q時(shí)結(jié)束循環(huán)，輸出結(jié)果即可．解答：解：第1次判斷后循環(huán)，P=1，Q=3，n=1，第2次判斷循環(huán)，P=5，Q=7，n=2，第3次判斷循環(huán)，P=21，Q=15，n=3，第3次判斷，不滿足題意，退出循環(huán)，輸出n=3．故選B．7．（5分）（2012?山東）若，，則sinθ=（）A．B．C．D．分析：結(jié)合角的范圍，通過平方關(guān)系求出二倍角的余弦函數(shù)值，通過二倍角公式求解即可．解答：解：因?yàn)?，，所以cos2θ=﹣=﹣，所以1﹣2sin2θ=﹣，所以sin2θ=，，所以sinθ=．故選D．8．（5分）（2012?山東）定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+6）=f（x），當(dāng)﹣3≤x＜﹣1時(shí)，f（x）=﹣（x+2）2，當(dāng)﹣1≤x＜3時(shí)，f（x）=x．則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）=（）A．335B．338C．1678D．2012分析：由f（x+6）=f（x）可知，f（x）是以6為周期的函數(shù)，可根據(jù)題目信息分別求得f（1），f（2），f（3），f（4），f（5），f（6）的值，再利用周期性即可得答案．解答：解：∵f（x+6）=f（x），∴f（x）是以6為周期的函數(shù)，又當(dāng)﹣1≤x＜3時(shí)，f（x）=x，∴f（1）+f（2）=1+2=3，f（﹣1）=﹣1=f（5），f（0）=0=f（6）；當(dāng)﹣3≤x＜﹣1時(shí)，f（x）=﹣（x+2）2，∴f（3）=f（﹣3）=﹣（﹣3+2）2=﹣1，f（4）=f（﹣2）=﹣（﹣2+2）2=0，∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）=1+2﹣1+0+（﹣1）+0=1，∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）=[f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2010）]+f（2011）+f（2012）=335×1+f（1）+f（2）=338．故選：B．9．（5分）（2012?山東）函數(shù)y=的圖象大致為（）A．B．C．D．分析：由于函數(shù)y=為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，可排除A，利用極限思想（如x→0+，y→+∞）可排除B，C，從而得到答案D．解答：解：令y=f（x）=，∵f（﹣x）==﹣=﹣f（x），∴函數(shù)y=為奇函數(shù)，∴其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，可排除A；又當(dāng)x→0+，y→+∞，故可排除B；當(dāng)x→+∞，y→0，故可排除C；而D均滿足以上分析．故選D．10．（5分）（2012?山東）已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率為，與雙曲線x2﹣y2=1的漸近線有四個(gè)交點(diǎn)，以這四個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為16，則橢圓C的方程為（）A．+=1B．+=1C．+=1D．+=1分析：由題意，雙曲線x2﹣y2=1的漸近線方程為y=±x，根據(jù)以這四個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為16，可得（2，2）在橢圓C：+=1．利用，即可求得橢圓方程．解答：解：由題意，雙曲線x2﹣y2=1的漸近線方程為y=±x∵以這四個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為16，故邊長為4，∴（2，2）在橢圓C：+=1（a＞b＞0）上∴又∵∴∴a2=4b2∴a2=20，b2=5∴橢圓方程為：+=1故選D．11．（5分）（2012?山東）現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各4張，從中任取3張，要求取出的這些卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張，不同取法的種數(shù)為（）A．232B．252C．472D．484分析：不考慮特殊情況，共有種取法，其中每一種卡片各取三張，有種取法，兩種紅色卡片，共有種取法，由此可得結(jié)論．解答：解：由題意，不考慮特殊情況，共有種取法，其中每一種卡片各取三張，有種取法，兩種紅色卡片，共有種取法，故所求的取法共有﹣﹣=560﹣16﹣72=472故選C．12．（5分）（2012?山東）設(shè)函數(shù)f（x）=，g（x）=ax2+bx（a，b∈R，a≠0）若y=f（x）的圖象與y=g（x）圖象有且僅有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），則下列判斷正確的是（）A．當(dāng)a＜0時(shí)，x1+x2＜0，y1+y2＞0B．當(dāng)a＜0時(shí)，x1+x2＞0，y1+y2＜0C．當(dāng)a＞0時(shí)，x1+x2＜0，y1+y2＜0D．當(dāng)a＞0時(shí)，x1+x2＞0，y1+y2＞0分析：畫出函數(shù)的圖象，利用函數(shù)的奇偶性，以及二次函數(shù)的對稱性，不難推出結(jié)論．解答：解：當(dāng)a＜0時(shí)，作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，若y=f（x）的圖象與y=g（x）圖象有且僅有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，必然是如圖的情況，因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=是奇函數(shù)，所以A與A′關(guān)于原點(diǎn)對稱，顯然x2＞﹣x1＞0，即x1+x2＞0，﹣y1＞y2，即y1+y2＜0，同理，當(dāng)a＞0時(shí)，有當(dāng)a＞0時(shí)，x1+x2＜0，y1+y2＞0故選B．二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分．13．（4分）（2012?山東）若不等式|kx﹣4|≤2的解集為{x|1≤x≤3}，則實(shí)數(shù)k=2．分析：|kx﹣4|≤2?（kx﹣4）2≤4，由題意可知1和3是方程k2x2﹣8kx+12=0的兩根，有韋達(dá)定理即可求得k的值．解答：解：∵|kx﹣4|≤2，∴（kx﹣4）2≤4，即k2x2﹣8kx+12≤0，∵不等式|kx﹣4|≤2的解集為{x|1≤x≤3}，∴1和3是方程k2x2﹣8kx+12=0的兩根，∴1+3=，∴k=2．故答案為2．14．（4分）（2012?山東）如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1，E，F(xiàn)分別為線段AA1，B1C上的點(diǎn)，則三棱錐D1﹣EDF的體積為．分析：將三棱錐D1﹣EDF選擇△D1ED為底面，F(xiàn)為頂點(diǎn)，進(jìn)行等體積轉(zhuǎn)化VD1﹣EDF=VF﹣D1ED后體積易求．解答：解：將三棱錐D1﹣EDF選擇△D1ED為底面，F(xiàn)為頂點(diǎn)，則=，其==，F(xiàn)到底面D1ED的距離等于棱長1，所以=××1=S故答案為：15．（4分）（2012?山東）設(shè)a＞0，若曲線y=與直線x=a，y=0所圍成封閉圖形的面積為a2，則a=．分析：利用定積分表示圖形的面積，從而可建立方程，由此可求a的值．解答：解：由題意，曲線y=與直線x=a，y=0所圍成封閉圖形的面積為==，∴=a2，∴a=．故答案為：．16．（4分）（2012?山東）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一單位圓的圓心的初始位置在（0，1），此時(shí)圓上一點(diǎn)P的位置在（0，0），圓在x軸上沿正向滾動．當(dāng)圓滾動到圓心位于（2，1）時(shí)，的坐標(biāo)為（2﹣sin2，1﹣cos2）．分析：設(shè)滾動后圓的圓心為O'，切點(diǎn)為A，連接O'P．過O'作與x軸正方向平行的射線，交圓O'于B（3，1），設(shè)∠BO'P=θ，則根據(jù)圓的參數(shù)方程，得P的坐標(biāo)為（2+cosθ，1+sinθ），再根據(jù)圓的圓心從（0，1）滾動到（2，1），算出θ=﹣2，結(jié)合三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，化簡可得P的坐標(biāo)為（2﹣sin2，1﹣cos2），即為向量的坐標(biāo)．解答：解：設(shè)滾動后的圓的圓心為O'，切點(diǎn)為A（2，0），連接O'P，過O'作與x軸正方向平行的射線，交圓O'于B（3，1），設(shè)∠BO'P=θ∵⊙O'的方程為（x﹣2）2+（y﹣1）2=1，∴根據(jù)圓的參數(shù)方程，得P的坐標(biāo)為（2+cosθ，1+sinθ），∵單位圓的圓心的初始位置在（0，1），圓滾動到圓心位于（2，1）∴∠AO'P=2，可得θ=﹣2可得cosθ=cos（﹣2）=﹣sin2，sinθ=sin（﹣2）=﹣cos2，代入上面所得的式子，得到P的坐標(biāo)為（2﹣sin2，1﹣cos2）∴的坐標(biāo)為（2﹣sin2，1﹣cos2）．故答案為：（2﹣sin2，1﹣cos2）三、解答題：本大題共6小題，共74分．17．（12分）（2012?山東）已知向量=（sinx，1），=（Acosx，cos2x）（A＞0），函數(shù)f（x）=?的最大值為6．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）將函數(shù)y=f（x）的圖象像左平移個(gè)單位，再將所得圖象各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象．求g（x）在[0，]上的值域．分析：（Ⅰ）利用向量的數(shù)量積展開，通過二倍角公式以及兩角和的正弦函數(shù)化為，一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，通過最大值求A；（Ⅱ）通過將函數(shù)y=f（x）的圖象像左平移個(gè)單位，再將所得圖象各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象．求出g（x）的表達(dá)式，通過x∈[0，]求出函數(shù)的值域．解答：解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=?==A（）=Asin（2x+）．因?yàn)锳＞0，由題意可知A=6．（Ⅱ）由（Ⅰ）f（x）=6sin（2x+）．將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移個(gè)單位后得到，y=6sin[2（x+）+]=6sin（2x+）．的圖象．再將所得圖象各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=6sin（4x+）的圖象．因此g（x）=6sin（4x+）．因?yàn)閤∈[0，]，所以4x+，4x+=時(shí)取得最大值6，4x+=時(shí)函數(shù)取得最小值﹣3．故g（x）在[0，]上的值域?yàn)閇﹣3，6]．18．（12分）（2012?山東）在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，F(xiàn)C⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB=CD=CF．（Ⅰ）求證：BD⊥平面AED；（Ⅱ）求二面角F﹣BD﹣C的余弦值．分析：（Ⅰ）由題意及圖可得，先由條件證得AD⊥BD及AE⊥BD，再由線面垂直的判定定理即可證得線面垂直；（II）解法一：由（I）知，AD⊥BD，可得出AC⊥BC，結(jié)合FC⊥平面ABCD，知CA，CA，CF兩兩垂直，因此可以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以CA，CB，CF所在的直線為X軸，Y軸，Z軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)CB=1，表示出各點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出兩個(gè)平面的法向量的坐標(biāo)，由公式求出二面角F﹣BD﹣C的余弦值即可；解法二：取BD的中點(diǎn)G，連接CG，F(xiàn)G，由于CB=CD，因此CG⊥BD，又FC⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，可證明出∠FGC為二面角F﹣BD﹣C的平面角，再解三角形求出二面角F﹣BD﹣C的余弦值．解答：（I）證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°．所以∠ADC=∠BCD=120°．又CB=CD，所以∠CDB=30°，因此，∠ADB=90°，AD⊥BD，又AE⊥BD且，AE∩AD=A，AE，AD?平面AED，所以BD⊥平面AED；（II）解法一：由（I）知，AD⊥BD，同理AC⊥BC，又FC⊥平面ABCD，因此CA，CB，CF兩兩垂直，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以CA，CB，CF所在的直線為X軸，Y軸，Z軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)CB=1，則C（0，0，0），B（0，1，0），D（，﹣，0），F(xiàn)（0，0，1），因此=（，﹣，0），=（0，﹣1，1）設(shè)平面BDF的一個(gè)法向量為=（x，y，z），則?=0，?=0所以x=y=z，取z=1，則=（，1，1），由于=（0，0，1）是平面BDC的一個(gè)法向量，則cos＜，＞===，所以二面角F﹣BD﹣C的余弦值為解法二：取BD的中點(diǎn)G，連接CG，F(xiàn)G，由于CB=CD，因此CG⊥BD，又FC⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以FC⊥BD，由于FC∩CG=C，F(xiàn)C，CG?平面FCG．所以BD⊥平面FCG．故BD⊥FG，所以∠FGC為二面角F﹣BD﹣C的平面角，在等腰三角形BCD中，由于∠BCD=120°，因此CG=CB，又CB=CF，所以GF==CG，故cos∠FGC=，所以二面角F﹣BD﹣C的余弦值為19．（12分）（2012?山東）現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)靶．某射手向甲靶射擊一次，命中的概率為，命中得1分，沒有命中得0分；向乙靶射擊兩次，每次命中的概率為，每命中一次得2分，沒有命中得0分．該射手每次射擊的結(jié)果相互獨(dú)立．假設(shè)該射手完成以上三次射擊．（Ⅰ）求該射手恰好命中一次得的概率；（Ⅱ）求該射手的總得分X的分布列及數(shù)學(xué)期望EX．分析：（I）記：“該射手恰好命中一次”為事件A，“該射手射擊甲靶命中”為事件B，“該射手第一次射擊乙靶命中”為事件C，“該射手第二次射擊乙靶命中”為事件D，由于A=B++，根據(jù)事件的獨(dú)立性和互斥性可求出所求；（II）根據(jù)題意，X的所有可能取值為0，1，2，3，4，根據(jù)事件的對立性和互斥性可得相應(yīng)的概率，得到分布列，最后利用數(shù)學(xué)期望公式解之即可．解答：解：（I）記：“該射手恰好命中一次”為事件A，“該射手射擊甲靶命中”為事件B，“該射手第一次射擊乙靶命中”為事件C，“該射手第二次射擊乙靶命中”為事件D由題意知P（B）=，P（C）=P（D）=由于A=B++根據(jù)事件的獨(dú)立性和互斥性得P（A）=P（B）+P（）+P（）=P（B）P（）P（）+P（）P（C）P（）+P（）P（）P（D）=×（1﹣）×（1﹣）+（1﹣）××（1﹣）+（1﹣）×（1﹣）×=（II）根據(jù)題意，X的所有可能取值為0，1，2，3，4，5根據(jù)事件的對立性和互斥性得P（X=0）=P（）=（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）=P（X=1）=P（B）=×（1﹣）×（1﹣）=P（X=2）=P（+）=P（）+P（）=（1﹣）××（1﹣）+（1﹣）×（1﹣）×=P（X=3）=P（BC）+P（BD）=××（1﹣）+×（1﹣）×=P（X=4）=P（）=（1﹣）××=P（X=5）=P（BCD）=××=故X的分布列為X012345P所以E（X）=0×+1×+2×+3×+4×+5×=20．（12分）（2012?山東）在等差數(shù)列{an}中，a3+a4+a5=84，a9=73．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）對任意m∈N*，將數(shù)列{an}中落入?yún)^(qū)間（9m，92m）內(nèi)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為bm，求數(shù)列{bm}的前m項(xiàng)和Sm．分析：（I）由已知及等差數(shù)列的性質(zhì)可求a4，由可求公差d，進(jìn)而可求a1，進(jìn)而可求通項(xiàng)（II）由可得9m+8＜9n＜92m+8，從而可得，由等比數(shù)列的求和公式可求解答：解：（I）∵數(shù)列{an}是等差數(shù)列∴a3+a4+a5=3a4=84，∴a4=28設(shè)等差數(shù)列的公差為d∵a9=73∴==9由a4=a1+3d可得28=a1+27∴a1=1∴an=a1+（n﹣1）d=1+9（n﹣1）=9n﹣8（II）若則9m+8＜9n＜92m+8因此9m﹣1+≤n≤92m﹣1+故得∴Sm=b1+b2+…+bm=（9+93+95+…+92m﹣1）﹣（1+9+…+9m﹣1）==21．（13分）（2012?山東）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)是拋物線C：x2=2py（p＞0）的焦點(diǎn)，M是拋物線C上位于第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，過M，F(xiàn)，O三點(diǎn)的圓的圓心為Q，點(diǎn)Q到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為．（Ⅰ）求拋物線C的方程；（Ⅱ）是否存在點(diǎn)M，使得直線MQ與拋物線C相切于點(diǎn)M？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；（Ⅲ）若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，直線l：y=kx+與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B，l與圓Q有兩個(gè)不同的交點(diǎn)D，E，求當(dāng)≤k≤2時(shí)，|AB|2+|DE|2的最小值．分析：（Ⅰ）通過F（0，），圓心Q在線段OF平分線y=上，推出求出p=1，推出拋物線C的方程．（Ⅱ）假設(shè)存在點(diǎn)M（x0，），（x0＞0）滿足條件，拋物線C在點(diǎn)M處的切線的斜率為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出Q的坐標(biāo)，利用|QM|=|OQ|，求出M（）．使得直線MQ與拋物線C相切與點(diǎn)M．（Ⅲ）當(dāng)x0=時(shí)，求出⊙Q的方程為．利用直線與拋物線方程聯(lián)立方程組．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），利用韋達(dá)定理，求出|AB|2．同理求出|DE|2，通過|AB|2+|DE|2的表達(dá)式，通過換元，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值．解答：解：（Ⅰ）由題意可知F（0，），圓心Q在線段OF平分線y=上，因?yàn)閽佄锞€C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y=﹣，所以，即p=1，因此拋物線C的方程x2=2y．（Ⅱ）假設(shè)存在點(diǎn)M（x0，），（x0＞0）滿足條件，拋物線C在點(diǎn)M處的切線的斜率為y′==x0．令y=得，，所以Q（），又|QM|=|OQ|，故，因此．又x0＞0．所以x0=，此時(shí)M（）．故存在點(diǎn)M（），使得直線MQ與拋物線C相切與點(diǎn)M．（Ⅲ）當(dāng)x0=時(shí)，由（Ⅱ）的Q（），⊙Q的半徑為：r==．所以⊙Q的方