第03講幕函數(shù)與二次函數(shù)

目錄

01考情解碼?命題預警..........................................................2

02體系構(gòu)建.思維可視............................................................3

03核心突破?靶向攻堅............................................................4

知能解碼...................................................................4

知識點1幕函數(shù).........................................................4

知識點2一元二次方程....................................................5

知識點3二次函數(shù)及其性質(zhì)................................................5

知識點4一元二次、分式、絕對值不等式...................................6

題型破譯....................................................................7

題型1幕函數(shù)的圖象.....................................................7

重

9

題型4幕函數(shù)的綜合應(yīng)用...............................................10

10

題型6分式、絕對值、高次不等式........................................11

題型7二次函數(shù)的解析式................................................11

題型8二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)............................................12

題型9二次函數(shù)的實根分布..............................................13

13

04真題溯源?考向感知...........................................................14

05木才???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????15

01

考情解碼-命題預警

考點要求考察形式2025年2024年2023年

2024年新I卷，第1題,5

1.掌握指數(shù)對數(shù)累函數(shù)的

2025年全國二卷，第4分

圖象與性質(zhì)回單選題

題,5分2023年新I卷，第1題,5

2.會指數(shù)對數(shù)的相關(guān)運算回多選題

回填空題2025年全國二卷，第12分2023?新課標I

3.會指對累函數(shù)值的大小□解答題

題,5分2023年新I卷，第4題,5卷

比較

分

考情分析：1.解三次不等式

2.二次函數(shù)圖象解不等式

3.二次函數(shù)單調(diào)區(qū)間求參數(shù)值或范圍

本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的命題載體內(nèi)容，通常會結(jié)合其他知識點考查，需要掌握幕函數(shù)的基本性質(zhì)，難度中等偏下

復習目標：

1.掌握暴函數(shù)的定義及一般形式，掌握y=X,y=犬,y=丁,y==—,y==&的圖象和性質(zhì)

X

2.理解并掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（單調(diào)性、對稱性、頂點、最值等）

3.理解并掌握幕函數(shù)y=%力。w0）的單調(diào)性和奇偶性

P

02

體系構(gòu)建?思維可視1

幕

函

數(shù)

與

次

函

數(shù)

03

核心突破-靶向攻堅

知識點1幕函數(shù)

(1)塞函數(shù)的定義及一般形式

形如的函數(shù)稱為幕函數(shù)，其中X是自變量，a為常數(shù)

(2)塞函數(shù)的圖象和性質(zhì)

①塞函數(shù)的單調(diào)性

a>0時，/(x應(yīng)第一象限單調(diào)遞增

/(x)=xJ

aVO時，“x底第一象限單調(diào)遞減

②塞函數(shù)的奇偶性

a為偶數(shù)，/(x)為偶函數(shù)

a為整數(shù)<

a為奇數(shù)，〃只為奇函數(shù)

7(x)3'p為偶數(shù)時，/(%)為非奇非偶函數(shù)

設(shè)a=@為與粉口Jq為奇數(shù)，/(x)為奇函數(shù)

a為分數(shù),為奇數(shù)時［q為偶數(shù)，/(x)為偶函數(shù)

自主檢測給定一組函數(shù)解析式:

①)=/；②y=/；③y=%2；?y=x;⑤y=/；⑥y=%'；⑦>=

如圖所示一組函數(shù)圖象.圖象對應(yīng)的解析式號碼順序正確的是()

C.⑥④③②⑦①⑤D.⑥④③②⑦⑤①

知識點2一元二次方程

ax2+bx+c=0（。w0）

①方程有兩個實數(shù)根O△=尸-4ac20

A>0

②方程有同號兩根o<c

xx=—>0

r2a

A>0

③方程有異號兩根。JC?

%%2=一<6

a

hr

④韋達定理及應(yīng)用：x+x——,=—

12aa

?檢測設(shè)常數(shù)peR,己知關(guān)于x的一元二次方程,+2（p-l）x+p2-P=0的兩個實根分別為a、P，若

4+￡2=12,貝1|。=

知識點3二次函數(shù)及其性質(zhì)

（1）二次函數(shù)

①一'般式：y—cix^+bx-\-c—ci^xH---了H---------（〃。0）,對稱軸是％=----,

la4-a2a

頂點是；

②頂點式：y=〃（%+用/+左（。。0）,對稱軸是％=—〃頂點是；

③交點式：y=〃（%-玉）（%-%2）（。。0），其中（40），（x2,0）是拋物線與x軸的交點

（2）二次函數(shù)的性質(zhì)

①函數(shù)y=ax2+bx+c（aw0）的圖象關(guān)于直線對稱。

b

②。＞0時，在對稱軸（x=——）左側(cè)，y值隨X值的增大而減少；在對稱軸（x=——）右側(cè)；y

2a2a

的值隨X值的增大而增大。當％=-2時，y取得最小值?一

la4a

AA

③。＜0時，在對稱軸（冗二——）左側(cè)，y值隨X值的增大而增大；在對稱軸（%=——）右側(cè)；y

2a2a

h4〃「一Z72

的值隨X值的增大而減少。當九二-二時，y取得最大值--------

2a4a

I自主檢測I在同一平面直角坐標系中,函數(shù)/（x）=1+x+l和函數(shù)g（x）=ox+l的圖象不可能是（）

知識點4一元二次、分式、絕對值不等式

（1）解一元二次不等式

“三個二次”：一元二次不等式與一元二次方程及二次函數(shù)的聯(lián)系

判別式

A>0A=0A<0

A=b2-4ac

一元二次方程有兩個相等實根

有兩個不等實根

ax1+bx+c-0（?w0）b無實數(shù)根

王，元2（設(shè)X＜%2）X\=%2=一丁

的根2a

u

二次函數(shù)

y=ax2+bx+c（a＞0）/

O/x2X

的圖象X1=X2X

ax2-\-bx+c>0(。>0)

{x|x<JR

的解集卜"-副

ax2+bx+c<0(a>0)

國力<x<x2}

的解集00

(2)解分式不等式

①^^<0=/(x)g(x)<0②^^〉0o/(x)g(x)〉0

③在<0—1坐次。④吁產(chǎn)。

/(X)IAx)#。/(%)IAx)#。

(3)解單絕對值不等式

W>a(a>0)=>%<一〃或IRva(a>6)^-a<x<a

自主檢測不等式2x-3），+4工+4）＜0的解集是（）

A.{x|九<-1或x>3}B,或2Vx<3}

C.{x|-l<x<3}D.{x|-2<x<3}

題型1幕函數(shù)的圖象

例1-1若幕函數(shù)、=/,丫=^與＞=/在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，則機與〃的取值情況為（）

A.-l<m<0<n<lB.-1<n<0<m<—

2

C.-l<m<O<n<—D.—l<n<O<m<l

2

----2

例1-2|幕函數(shù)的圖象大致為（）

方法技巧

（1）對于幕函數(shù)圖象的掌握只要抓住在第一象限內(nèi)三條線分第一象限為六個區(qū)域，即尤=l,y=l,=無所分區(qū)

域.根據(jù)夕＜0,0＜。＜1,。=1,。＞1的取值確定位置后，其余象限部分由奇偶性決定.

⑵在比較暴值的大小時，必須結(jié)合基值的特點，選擇適當?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進行比較.

【變式訓練1-1】已知募函數(shù)y=/（peZ）的圖象關(guān)于y軸對稱，如圖所示，則（）

A.p為奇數(shù)，且。＞。B.p為奇數(shù)，且。＜°

C.P為偶數(shù)，且P＞oD.p為偶數(shù)，且。＜。

【變式訓練1-2］（多選）已知/（x）=x“（aeR）,則下列說法正確的是（）

A.當a=-l時，/（尤）的值域為RB.當a=3時，/（兀）＞/（3）

C.當《時，/（d）是偶函數(shù)D.當c=g時，/。）是奇函數(shù)

題型2嘉函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性|重

例2』（多選）已知函數(shù)“元）=（4〃?-田一3卜2”為幕函數(shù)，則下列結(jié)論正確的為（）

A.m=2B./（X）為偶函數(shù)

C.〃尤）為單調(diào)遞增函數(shù)D.“X）的值域為［0,”）

例2-2,口圖所示是函數(shù)/（優(yōu)、〃eN*且互質(zhì)）的圖象，貝I（）

B.相是偶數(shù)，”是奇數(shù)，且‘<1

n

C.根是偶數(shù)，，是奇數(shù)，且‘>1D.m,〃是偶數(shù)，且‘>1

nn

方法技巧

①所有的塞函數(shù)在（0,+8）都有定義，并且圖象都過點（1,1）

②&>0時，嘉函數(shù)的圖象通過原點，并且在［0,+。）上是增函數(shù)

特別地，當夕>1時，暴函數(shù)變化快，圖象下凹；當0<2<1時，褰函數(shù)變化慢，圖象上凸

③。<0時，塞函數(shù)的圖象在（0,+8）上是減函數(shù).在第一象限內(nèi)，當x從右邊趨向原點時，圖象在y軸右方

無限地逼近y軸正半軸，當x趨于+。時，圖象在x軸上方無限地逼近x軸正半軸.

【變式訓練2-1】（多選）下列關(guān)于幕函數(shù)y=x"的性質(zhì)，描述正確的有（）

A.當。=-1時，函數(shù)在其定義域上為減函數(shù)B.當a=0時，函數(shù)y=x"不是暴函數(shù)

C.當。=2時，函數(shù)是偶函數(shù)D.當。=3時，函數(shù)與無軸有且只有一個交點

【變式訓練2-2?變考法】已知事函數(shù)/（》）=（療一37〃+3口后為偶函數(shù)，則（）

A.m=lB.m=2

C.m=1或根=2D.加不存在

【變式訓練2-3?變載體】（多選）己知函數(shù)/■（x）=x"的圖象經(jīng)過點（3,￡|,則（）

A.””的圖象經(jīng)過點B.〃“在（。,+8）內(nèi)的值域為（0+8）

C./（X）在定義域上單調(diào)遞減D./（X）的圖象關(guān)于y軸對稱

方法技巧

a>0時，/（x庵第一象限單調(diào)遞增

aVO時，施第一象限單調(diào)遞減

【變式訓練3-1］（多選）已知實數(shù)x,y滿足］］則下列關(guān)系式中恒成立的是（）

A.e2x+1>e2y+1B.sinx>siny

C.X3>y3D.2工一2>〉3-”—3f

【變式訓練3-2】若幕函數(shù)是R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間（f,0）上單調(diào)遞減，若a=/（T.5）,6=/（-1.4）,

c=/（0.6）,則。,4c的大小關(guān)系為（）

A.c>a>bB.a>b>cC.c>b>aD.b>c>a

題型4幕函數(shù)的綜合應(yīng)用

例411已知幕函數(shù)3加+3）/是R上的偶函數(shù),且函數(shù)g（x）=〃x）-2依在區(qū)間［1,3］上單調(diào)遞

減，則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.[3,+co)B.(fl]C.(-00,1)D.(-8/]。[3,+8)

d—3無2+8%+15=0

例4-2已知實數(shù)無，y滿足貝"+y=

/-9/+32y-63=0

【變式訓練4-1】已知函數(shù)〃力=6一一6",若干?m—2k）>以m—2）,則下列錯誤的是（)

一H八r?m-1m

A.em<ek-lB.右相>0,則^―-<—

K-lk

33

C.ln(^-m)<0D,府>?

【變式訓練42變載體】已知幕函數(shù)/（力=（1-6〃+9）-在（0,+“）上單調(diào)遞增，若正數(shù)。、6滿足

43

3々+4b=〃，則一的最小值為_________

ab

題型5—元二次不等式重

例5-1|(2025?重慶九龍坡?三模)已知集合M=[^<x<a],N={x\%2-6^+5<0),若NM=M,則

實數(shù)?的取值范圍是()

A.[5,+co)B.(5,+oo)C.[3,+oo)D.(3,+oo)

麗亙命題“3xeR,x2+(a+i)x+i<o”為假命題，則實數(shù)。的取值范圍為()

A.(-oo,-3]u[l,+oo)B.(-oo,-3)l.I(l,+oo)

C.[—3,1]D.(—3,1)

【變式訓練5-1】已知關(guān)于元的不等式爐—4冰+3/<0(〃<0)的解集為(石,々)，則玉+%+—的最大值是

()

A4布R4mrn

3333

【變式訓練5-2】已知/(x)=-3x2+cz(6-a)x+6.

(1)解關(guān)于。的不等式/⑴>0

⑵若不等式/(￡)>6的解集為(T3),求實數(shù).涉的值.

題型6分式、絕對值、高次不等式

--------x-4

例6-1(2025?全國二卷?高考真題)不等式的解集是()

--------x-1

A.{x\-2<x<l}B.{x\x<-2]

C.{x|-2<x<l}D.[x\x>l]

---------(x-l)(x-3)(x-5)2024

例6-2關(guān)于x的不等式^一勺7八匹)Y0的解集為____.

---------(x-2)(4-x)(x-6)

【變式訓練6-1】(多選)不等式(X-4)2023(%—1)2。24。一2嚴25<0(其中?！闞)的解集可以是()

A.何0<%<2且xwl}B.{x|l<x<2}

C.0D.或l<x<2或%>3}

【變式訓練6-2】已知集合4=卜|—1<了<0},B=jx|-^<o|,貝IJAB=()

A.{x|x<0}B.{x|x<l}

C.{x|-l<x<0}D.{x|-l<x<l}

題型7二次函數(shù)的解析式

例7-11圖象是以(L3)為頂點且過原點的二次函數(shù)/(%)的解析式為()

A./(x)=-3%2+6xB,/(X)=-2J;2+4X

C./(X)=3X2-6XD,/(X)=2X2—4X

例7-2|(2025?陜西?模擬預測)設(shè)函數(shù)的定義域為R,且x+l)=—〃x+l)J(x+2)=/(—x+2),

當％目0』時，/(%)=2八區(qū)+c,〃3)_〃2)=6,則b+c=()

A.-4B.-3C.1D.-2

方法技巧求二次函數(shù)解析式的三個策略

⑴已知三個點的坐標，宜選用一般式.

⑵已知頂點坐標、對稱軸、最大(小)值等，宜選用頂點式.

⑶已知圖象與X軸的兩交點的坐標，宜選用零點式.

【變式訓練7-1】已知二次函數(shù)“X)滿足/'(2)=T/(l-x)=f(x),且“X)的最大值是8,則此二次函數(shù)

的解析式為/(x)=()

A.-4x2+4.r+7B.4x2+4%+7

C.-4%2-4X+7D.-4X2+4X-7

【變式訓練7-2】二次函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(4,3),在x軸上截得的線段長為2,且VxeR,都有

/(2+x)=/(2-x),試確定/(x)的解析式.

題型8二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

例8-1|已知二次函數(shù)/(了)=依2+法+。(4片0)圖象如圖所示,則下列說法不正確的是()

A.“X)在區(qū)間18,上單調(diào)遞減

B.不等式加+6x+c>0的解集為(i°,-l)u(2，+8)

C.Q+6+C>0

D.不等式4十陵十。>o的解集為[-1,]]

例8-2|已知函數(shù)尤+3]在回，司上的最大值、最小值分別為1,0,則”5的取值范圍是(

【變式訓練8-2】若函數(shù)/(x)=々+("3)丈+1在區(qū)間［-1,行)上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是(

A.[-3,0)B.y,-3]C.[-2,0]D.[-3,0]

,、lg(x2+9),0<x<l

【變式訓練8-3】已知函數(shù)/(力=?>在區(qū)間(0,2)上單調(diào)遞增，求參數(shù)。的取值范

x—3ax+2a,1<x<2

圍______.

題型9二次函數(shù)的實根分布

例9-1|已知七,無2是關(guān)于X的一元二次方程/+依+26=0的兩個實數(shù)根，且占e(0,1),%2e(1,2),則實數(shù)b的取

值范圍為()

A.(0,+oo)B./［JC.(0,1)D.(o,"!)

例9-2己知關(guān)于x的方程f+(機-3)%+根=。有兩個正根，求機的取值范圍.

方法技巧

解決由一個一元二次方程根的分布情況，確定方程中系數(shù)的取值范圍問題，主要從以下三個方面

建立關(guān)于系數(shù)的不等式(組)進行求解.

(1)判別式/的符號.

b

(2)對稱軸%=--與所給區(qū)間的位置關(guān)系.

2a

(3)區(qū)間端點處函數(shù)值的符號.

【變式訓練9-1］若函數(shù)〃x)=m/+2x-l在(-1,3)上有且僅有一個零點，則加的范圍是.

【變式訓練9-2?變考法】關(guān)于x的方程分2-2(a+l)x+a—1=。，求。為何值時？

(1)方程有唯一實根；

(2)方程一根大于1,一根小于1.

題型io重

例10-1已知函數(shù)/(%)=%2一比一1,求當xe［-l,2］時，例%)的最大值G⑺.

例10-2已知函數(shù)/（%）=x2-2ax-3.

（1）已知F。）在[3,+8）上單調(diào)遞增，求。的取值范圍;

⑵求/'（x）在[T,2]上的最小值.

方法技巧

A

①函數(shù)y=奴0？+bx+c（aw0）的圖象關(guān)于直線x=-二對稱。

2a

hh

②〃>0時，在對稱軸（無二——）左側(cè)，y值隨元值的增大而減少；在對稱軸（X二——）右側(cè)；y的

2a2a

h4CLC-Z?2

值隨X值的增大而增大。當x=-2時，y取得最小值1

2a4a

Ah

③a<0時，在對稱軸（x=-2）左側(cè)，y值隨x值的增大而增大；在對稱軸（x=-二）右側(cè)；y

2a2a

b4-ctc—h~

的值隨x值的增大而減少。當x=-2時，y取得最大值--------

2a4a

yXKITl

c”"存在最小值，則"，的最大值為________.

）x-