?？贾械臍W拉函數(shù)題

一、單M

1.（2024.山東.二模）歐拉函數(shù)？S）SCN*）的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù),且與"互質(zhì)的正整數(shù)的個(gè)

數(shù)，例如？（4）=2.已知bn=2n,neN*,Tn是數(shù)列｛bn｝的前幾項(xiàng)和，若看（M恒成立，則"的最

9（3九十1）

小值為（）

A.4B.1C.5D.2

46

二、多選題

2.（2024?湖北?模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于正整數(shù)"，0（n）是小于或等于"的正整數(shù)中與打互質(zhì)的數(shù)的數(shù)目.函數(shù)

卬⑺）以其首名研究者歐拉命名，稱為歐拉函數(shù)，例如3（9）=6（1,245,7,8與9互質(zhì)），則（）

A.若71為質(zhì)數(shù)，則W（71）=71—1B.數(shù)列｛。（n）｝單調(diào)遞增

C.數(shù)列［虛］｝的最大值為1D.數(shù)列缶（3"）｝為等比數(shù)列

3.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）歐拉函數(shù)是初等數(shù)論中的重要內(nèi)容.對(duì)于一個(gè)正整數(shù)八,歐拉函數(shù)?⑺）表示小于

或等于"且與4互質(zhì)的正整數(shù)的數(shù)目.換句話說，3（刃是所有不超過"且與九互素的數(shù)的總數(shù).如：

由5）=4,少（14）=6.則以下是真命題的有（）

A.0伽）的定義域?yàn)镹*,其值域也是N*

B.夕（均在其定義域上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)

C.不存在小CN*,使得方程夕⑺=&有無數(shù)解

D.ip（n）Wn—L當(dāng)且僅當(dāng)n是素?cái)?shù)時(shí)等號(hào)成立【答案】ACD

【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)新定義、素?cái)?shù)和合數(shù)

三、填空題

4.（2024高三下?全國(guó)?專題練習(xí)）若正整數(shù)小，口只有1為公約數(shù)，則稱小，n互質(zhì).對(duì)于正整數(shù)八，3（0是小

于或等于"的正整數(shù)中與"互質(zhì)的數(shù)的個(gè)數(shù)，函數(shù)少⑺）以其首位研究者歐拉命名，稱為歐拉函數(shù)，例

如：？（3）=2,0（7）=6,。（9）=6,則下列說法正確的序號(hào)是.

①9（5）=9（10）；②?（2"-1）=1；

③？（32）=16；

④0（2n+2）>?（2幾）,n是正整數(shù).

5.（2024?貴州黔南?二模）歐拉函數(shù)？（九）表示不大于正整數(shù)"且與口互素（互素:公約數(shù)只有1）的正整數(shù)的

個(gè)數(shù).已知0(H)=?2(1—工卜??(1一工)(1一」-),其中「1，02,…，是九的所有不重復(fù)的質(zhì)因數(shù)(質(zhì)因

數(shù)：因數(shù)中的質(zhì)數(shù)).例如9(100)=100x(l—/)(1—=40.若數(shù)列｛冊(cè)｝是首項(xiàng)為3,公比為2的等比

100

數(shù)列，則(p(aj+<p(a2)+<p(a3)HF^(aioo)=.【答案】2

【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)新定義、寫出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、求等比數(shù)列前九項(xiàng)和

6.(2024.河北.三模)歐拉是十八世紀(jì)數(shù)學(xué)界最杰出的人物之一，他不但在數(shù)學(xué)上作出偉大貢獻(xiàn),而且把數(shù)

學(xué)用到了幾乎整個(gè)物理領(lǐng)域，為紀(jì)念歐拉的成就，函數(shù)0(n)就是以其名字命名的，稱為歐拉函數(shù).人教

A版新教材選擇性必修二第8頁指出：歐拉函數(shù)少⑺)⑺CN*)的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)打，且與

打互素的正整數(shù)個(gè)數(shù).歐拉函數(shù)有很多性質(zhì)，比如歐拉函數(shù)是積性函數(shù)，即如果小,幾互素，則3(nm)=

研口)磯n).請(qǐng)計(jì)算數(shù)列1TL的前八項(xiàng)和s”=

7.(2024.湖北武漢.二模)歐拉函數(shù)儀n)(nGN*)的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)門，且與n互質(zhì)的正整數(shù)

的個(gè)數(shù)(公約數(shù)只有1的兩個(gè)正整數(shù)稱為互質(zhì)整數(shù))，例如：履3)=2,卬(4)=2,則研8)=；若

鼠=產(chǎn)二，則吼的最大值為

0(2")

四、解答題

8.(2024?河南開封?二模)在密碼學(xué)領(lǐng)域，歐拉函數(shù)是非常重要的，其中最著名的應(yīng)用就是在RSA加密算法

中的應(yīng)用.設(shè)是兩個(gè)正整數(shù)，若p,q的最大公約數(shù)是1,則稱p,q互素.對(duì)于任意正整數(shù)打，歐拉函

數(shù)是不超過"且與口互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù),記為9⑺).(1)試求研3),鼠9),葭7),卬(21)的值；

(2)設(shè)n是一個(gè)正整數(shù)，p,q是兩個(gè)不同的素?cái)?shù).試求0(3")，0(pq)與？(p)和？(q)的關(guān)系；

(3)_RSA算法是一種非對(duì)稱加密算法，它使用了兩個(gè)不同的密鑰:公鑰和私鑰.具體而言：

①準(zhǔn)備兩個(gè)不同的、足夠大的素?cái)?shù)p,q；

②計(jì)算n=歐拉函數(shù)少⑺);

③求正整數(shù)k，使得物除以狀n)的余數(shù)是1；

④其中(H,q)稱為公鑰，(ri,乃)稱為私鑰.

已知計(jì)算機(jī)工程師在某AS4加密算法中公布的公鑰是(187,17).若滿足題意的正整數(shù)自從小到大排列

得到一列數(shù)記為數(shù)列｛⑥｝,數(shù)列｛品｝滿足80品=0+47,求數(shù)列｛tan品?tan品+J的前幾項(xiàng)和黑.

_______B

9.（2024?浙江?二模）歐拉函數(shù)卬伽）⑺CN*）的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)"且與八互素的正整數(shù)的個(gè)

數(shù),例如：卬（1）=1,?（4）=2,?（8）=4,數(shù)列｛冊(cè)｝滿足冊(cè)=?（2"）（?ieN*）.

（1）求出，a2,a3,并求數(shù)列｛飆｝的通項(xiàng)公式；

（2）記bn=（_夏姓絲也,求數(shù)列出｝的前八和S”.

電71

10.（2024?湖北?模擬預(yù)測(cè)）歐拉函數(shù)在密碼學(xué)中有重要的應(yīng)用.設(shè)n為正整數(shù)，集合X”=｛1,2,-,n-1｝，歐

拉函數(shù)以日）的值等于集合X“中與打互質(zhì)的正整數(shù)的個(gè)數(shù);記M⑶y）表示宓除以夕的余數(shù)（x和y均為

正整數(shù)），（1）求以6）和卬租5）；

（2）現(xiàn)有三個(gè)素?cái)?shù)p,q,e（p<Q<e）,n=pq,存在正整數(shù)d滿足Al（de,0（n））=1；已知對(duì)素?cái)?shù)a和xG

X0,均有M（rc°_1,a）=1,證明：若rrCX”,則x=M（［M（<xe,n）］d,n）；

（3）設(shè)ri為兩個(gè)未知素?cái)?shù)的乘積，生，e2為另兩個(gè)更大的已知素?cái)?shù)，且2ei=3e2+l；又5=河3%"），C2

=M（cc?2,n）,xEX”,試用Ci，c?和n求出x的值.

模考中的歐拉函數(shù)題

一、單M

1.（2024.山東.二模）歐拉函數(shù)？S）SCN*）的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù),且與"互質(zhì)的正整數(shù)的個(gè)

數(shù)，例如^（4）=2.已知bn=2n,neN*,Tn是數(shù)列｛bJ的前幾項(xiàng)和，若看（M恒成立，則"的最

9（3九十1）

小值為（）

C..

A—B.1D.2

40

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】錯(cuò)位相減法求和、數(shù)列不等式恒成立問題

【分析】由歐拉函數(shù)的定義可求出bn=—,由錯(cuò)位相減法求出北，可得瑪〈工即,即可求出M的最

3n44

小值.【詳解】因?yàn)?為質(zhì)數(shù)，在不超過3日的正整數(shù)中，所有能被3整除的正整數(shù)的個(gè)數(shù)為3九-1,

0（3九）=3n—3n-1=2x3n-1（nETV*）,

+12nn

（計(jì)）（）

所以031=3"-3"=2x3"九6N*,則bn=（）

9371+12x3n3n

所以黑=仇+昆+b3H-----也-1+bn,

^4+1+1+…+n—1

371T+奈

,n—1,n

3Tn32+33+34+~\---------1------7，

3九3九+1

兩式相減可得：工工=5+二++...H-----^―n

3332333n3n+13n+1

所以看=今一（打得+5*

因?yàn)閎”=a>0,所以北在nCN*在單調(diào)遞增,

3”

所以看■恒成立，所以

所以M的最小值為伴.

故選：A.

二、多選題

2.（2024?湖北?模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于正整數(shù)"，0（n）是小于或等于"的正整數(shù)中與打互質(zhì)的數(shù)的數(shù)目.函數(shù)

卬⑺）以其首名研究者歐拉命名，稱為歐拉函數(shù)，例如3（9）=6（1,245,7,8與9互質(zhì)），則（）

A.若71為質(zhì)數(shù)，則W（71）=71—1B.數(shù)列｛少（71）｝單調(diào)遞增

C.數(shù)列｛瑞y1的最大值為ID.數(shù)列缶（3”）｝為等比數(shù)列

【答案】ACD

【知識(shí)點(diǎn)】判斷數(shù)列的增減性、由定義判定等比數(shù)列、函數(shù)新定義

【分析】利用新定義，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性和等比數(shù)列的定義逐個(gè)判斷即可.

【詳解】因?yàn)?為質(zhì)數(shù)，故小于或等于九的正整數(shù)中與n互質(zhì)的數(shù)的數(shù)目為九一1,此時(shí)wM)=n-l,故A正

確.因?yàn)?⑹=2,p(5)=4,所以p(6)<次5),故數(shù)列｛w⑺)｝不是單調(diào)遞增,故B錯(cuò)誤.

小于等于2*的正整數(shù)中與2"互質(zhì)的數(shù)為1,3,5,…，2”—1,數(shù)目為2"—2"T=2"T,

所以T—="-在nCN*時(shí)遞減，故當(dāng)九=1時(shí)，數(shù)列(Tv)的最大值為1,故。正確.

W(2")2"T1W(2”)J

小于等于3”的正整數(shù)中與3”互質(zhì)的數(shù)的數(shù)為1,2,4,5,…，3”—2,3"—1,數(shù)目為—371T=2?3"『,

故g⑶)=2-3"T,而［⑶)=3,故數(shù)列例(3。)｝為等比數(shù)列，故D正確.

0(3"T)

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：從質(zhì)數(shù)定義入手，結(jié)合題目信息，逐步解答.

3.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))歐拉函數(shù)是初等數(shù)論中的重要內(nèi)容.對(duì)于一個(gè)正整數(shù)打，歐拉函數(shù)少⑺)表示小于

或等于"且與"互質(zhì)的正整數(shù)的數(shù)目.換句話說，卬⑺)是所有不超過"且與"互素的數(shù)的總數(shù).如:

研5)=4,0(14)=6.則以下是真命題的有()

A.磯口的定義域?yàn)镹*,其值域也是N*

B.卬⑺)在其定義域上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)

C.不存在eN*,使得方程w(n)=n0有無數(shù)解

D.w(n)Wn—1,當(dāng)且僅當(dāng)n是素?cái)?shù)時(shí)等號(hào)成立【答案】/①

【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)新定義、素?cái)?shù)和合數(shù)

【分析】根據(jù)歐拉函數(shù)的定義和性質(zhì)，以及與素?cái)?shù)的關(guān)系進(jìn)行判斷選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于4,根據(jù)歐拉函數(shù)的定義，可得歐拉函數(shù)的定義域?yàn)镹*,其值域也是N*,所以4正確；

對(duì)于B,歐拉函數(shù)在其定義域上不是單調(diào)遞增的，如少(5)=4g(6)=2,所以B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,由于(p(n)的值域?yàn)镹*,所以不存在n0,使方程p(n)=n。有無數(shù)解，故。正確；

對(duì)于D,因?yàn)閚的素因數(shù)都是大于1,,所以p(n)—1,當(dāng)且僅當(dāng)n時(shí)素?cái)?shù)時(shí)等號(hào)成立，故。正確.

故選：ACD

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)是理解歐拉函數(shù)的定義和性質(zhì)，以及與素?cái)?shù)的關(guān)系.

三、填的

4.(2024高三下?全國(guó)?專題練習(xí))若正整數(shù)小，九只有1為公約數(shù)，則稱m,n互質(zhì).對(duì)于正整數(shù)九”(功是小

于或等于"的正整數(shù)中與九互質(zhì)的數(shù)的個(gè)數(shù)，函數(shù)卬⑺)以其首位研究者歐拉命名，稱為歐拉函數(shù)，例

如：卬(3)=2,0(7)=6,。(9)=6,則下列說法正確的序號(hào)是.

①？(5)=0(10)：②?(28-1)=1；

③-(32)=16；

④p(2n+2)>0(2%)，n是正整數(shù).

【答案】①③:

【知識(shí)點(diǎn)】求函數(shù)值、函數(shù)新定義

【分析】利用歐拉函數(shù)定義求解判斷；

【詳解】?.?小于或等于5的正整數(shù)中與5互質(zhì)的正整數(shù)為1,2,3,4,：

小于或等于10的正整數(shù)中與10互質(zhì)的正整數(shù)為1,3,7,9,

二p（5）=?（10）=4,故①正確；

當(dāng)n=2時(shí)，0（3）=2/1,故②不正確；

-/小于或等于32的正整數(shù)中與32互質(zhì)的正整數(shù)為1,3,5,7,

9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29,31,共有16個(gè)，

.?.0（32）=16,故③正確；

,.1當(dāng)n=2時(shí)，？（4）=?（6）=2,故④不正確.

故答案為：①③

5.（2024?貴州黔南?二模）歐拉函數(shù)?⑺）表示不大于正整數(shù)"且與九互素（互素:公約數(shù)只有1）的正整數(shù)的

個(gè)數(shù).已知,⑺=十土卜（14）（一加，其中八?是"的所有不重復(fù)的質(zhì)因數(shù)（質(zhì)因

數(shù)：因數(shù)中的質(zhì)數(shù)）.例如夕（100）=100X—!）=40.若數(shù)列｛%｝是首項(xiàng)為3,公比為2的等比

數(shù)列，則0（Q1）+0（。2）+0（。3）H-----F^（aioo）—?【答案】2100

【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)新定義、寫出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、求等比數(shù)列前幾項(xiàng)和

【分析】計(jì)算出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式后，結(jié)合歐拉函數(shù)8（九）計(jì)算即可得解.

rl

【詳解】由題意可得an=3x2t,則=0（3）=3x（1—■去）=2,

當(dāng)n>2時(shí)，o(a")=3?2"Tx(l-3)(l—：)=2"T,

乙O

2(1-2")

則())()(電)12=2100.

05+<p(a2+0&3+…+000—2+2+2H-----F2"-2+-1^2-

故答案為：21。。.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)在于分n=1及n>2進(jìn)行討論，結(jié)合題中公式求缶（飆）｝的通項(xiàng)公式.

6.（2024?河北?三模）歐拉是十八世紀(jì)數(shù)學(xué)界最杰出的人物之一，他不但在數(shù)學(xué)上作出偉大貢獻(xiàn)，而且把數(shù)

學(xué)用到了幾乎整個(gè)物理領(lǐng)域，為紀(jì)念歐拉的成就，函數(shù)就是以其名字命名的，稱為歐拉函數(shù).人教

A版新教材選擇性必修二第8頁指出：歐拉函數(shù)（p（n）MEN*）的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)71,且與

九互素的正整數(shù)個(gè)數(shù).歐拉函數(shù)有很多性質(zhì)，比如歐拉函數(shù)是積性函數(shù)，即如果rn,n互素，則R（nm）=

0（小）0（?2）.請(qǐng)計(jì)算數(shù)列（71的前幾項(xiàng)和Sn=

1。（6九）J

M_fA18AMY

【答案】5,二2515n+25八6J

【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)新定義、錯(cuò)位相減法求和

【分析】根據(jù)題意得到p（6九）=2義6*1,從而有Tv=?xI（5）'i,再利用錯(cuò)位相減法，即可求出結(jié)果.

9（6九）2

【詳解】由歐拉函數(shù)的定義知：若山為素?cái)?shù)，則（p（m）=m—l,

k

若m為素?cái)?shù)，kEN*,則（p（mk）=mk—=（m-1）-mfc-1,

m

所以p（6九）=0（2九）?0（3冷）=2乂6九一1,得至寸一-p—=2x

9（6九）2

所以S”制+>春+--+界佶F①，/制4+介(/+…+界/②，

(/+,,,+n—l

即/&制+力叱："Wx佶y,整理得到.畸母+副佶「

16

故答案為:s“=券-借"+鎮(zhèn).（甘

7.（2024.湖北武漢.二模）歐拉函數(shù)w（/i）deN*）的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)九，且與n互質(zhì)的正整數(shù)

的個(gè)數(shù)（公約數(shù)只有1的兩個(gè)正整數(shù)稱為互質(zhì)整數(shù)），例如：由3）=2,9（4）=2,則履8）=；若

圖=Tv，則勾的最大值為

0（2八）

【答案】44

4

【知識(shí)點(diǎn)】判斷數(shù)列的增減性、函數(shù)新定義、確定數(shù)列中的最大（?。╉?xiàng)

【分析】由歐拉函數(shù)定義，確定1?8中與8互質(zhì)的數(shù)的個(gè)數(shù)求8（8）,且0（2"）=2九t,應(yīng)用作差法判斷⑥的單調(diào)

性，即可求最大值.

【詳解】由題設(shè)9⑵=1,則1?8中與8互質(zhì)的數(shù)有1,3,5,7,共4個(gè)數(shù)，故0⑻=4,

在1?2。中，與2n互質(zhì)的數(shù)為范圍內(nèi)的所有奇數(shù)，共2臺(tái)1個(gè)，即0（2"）=2九t,

所以6“=」^=上，則與+i—0=紅土上—上=出±1二近，

w（2"）271T2n271T2n

當(dāng)n42時(shí)bn+1—bn>0,當(dāng)ri>3時(shí)bn+1—，1Vo，即仇Vb2Vb3>R>生>...,

所以限的最大值為b3=Tj=".

23T4

故答案為：4,今

四、解答題

8.（2024?河南開封?二模）在密碼學(xué)領(lǐng)域，歐拉函數(shù)是非常重要的，其中最著名的應(yīng)用就是在RSA加密算法

中的應(yīng)用.設(shè)p,q是兩個(gè)正整數(shù)，若p,q的最大公約數(shù)是1,則稱p,q互素.對(duì)于任意正整數(shù)九,歐拉函

數(shù)是不超過"且與口互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù),記為9⑺）.（1）試求儀3）4（9）,?（7）,限21）的值；

（2）設(shè)ri是一個(gè)正整數(shù)，p,q是兩個(gè)不同的素?cái)?shù).試求？（3“），p（pq）與？（p）和？（q）的關(guān)系；

（3）354算法是一種非對(duì)稱加密算法，它使用了兩個(gè)不同的密鑰:公鑰和私鑰.具體而言：

①準(zhǔn)備兩個(gè)不同的、足夠大的素?cái)?shù)p,q；

②計(jì)算n=pq,歐拉函數(shù)0（%）；

③求正整數(shù)k，使得kq除以少⑺）的余數(shù)是1:

④其中（%q）稱為公鑰，（",3）稱為私鑰.

已知計(jì)算機(jī)工程師在某RS4加密算法中公布的公鑰是（187,17）.若滿足題意的正整數(shù)k從小到大排列

得到一列數(shù)記為數(shù)列｛⑥｝,數(shù)列｛cn｝滿足80品=廉+47,求數(shù)列｛tancn-tancn+1｝的前n項(xiàng)和Tn.

【答案】（1）0（3）=2,少⑼=6,0（7）=6,『（21）=12;

（2）。（3"）=2?3"T,（p（pq）=<p（p）-<p（q）;

tan（2n+2）_n_L

tan2

【知識(shí)點(diǎn)】裂項(xiàng)相消法求和、數(shù)列新定義、用和、差角的正切公式化簡(jiǎn)、求值

【分析】（1）利用歐拉函數(shù)的定義直接求值.

(2)利用歐拉函數(shù)的定義求出p(3"),?(p),p(q),進(jìn)而分析計(jì)算w(pq).

(3)根據(jù)給定信息求出再利用差角的正切公式,借助裂項(xiàng)求和法求解即得.

【詳解】(1)由歐拉函數(shù)的定義知,不越過3且與3互素的正整數(shù)有1,2,則以3)=2,

不越過9且與9互素的正整數(shù)有1,2,4,5,7,8,則。(9)=6,

不越過7且與7互素的正整數(shù)有1,2,3,4,5,6,則「(7)=6,

不越過21且與21互素的正整數(shù)有1,2,4,5,8,10,11,13,16,17,19,20,則「(21)=12,

所以卬(3)=2,p(9)=6,^(7,)=6,p(21)=12.

(2)在不大于3"的正整數(shù)中，只有3的倍數(shù)不與3?；ニ?，而3的倍數(shù)有3"-1個(gè)，

因此p(33)=3"-3"T=2?3?T.

由p,q是兩個(gè)不同的素?cái)?shù)，得<p(p)—p—l,?(q)—q—1,

在不超過pq-1的正整數(shù)中，p的倍數(shù)有q—1個(gè)，q的倍數(shù)有p-1個(gè)，

于是p(pq)=pq—1—(p—1)—(q—l)=pq—p—q+l=(p—l)(q—1),

所以p(pq)=p(p)7(q).

(3)計(jì)算機(jī)工程師在某昂￡4加密算法中公布的公鑰是(187,17),則n=187,q=17,從而p=11

由(2)得,w(n)=<p(187)=w(llx17)=@(11)。(17)=10x16=160,

即正整數(shù)A;滿足的條件為：17k=160cc+1避CN,

k=9rr+1(7c+1),令夕=1(7力+1),則17y=7x+1,x=2y+y(32/—1),

令z=:(39-1),則7z=3。一1,"=2z+1■(z+1),

Io

取z二3九一1,則g二7九-2,/=17n—5,fc=160n—47,于是bn=160n—47,

因此80金=吼+47=160n,即cn—2n,

/、tan(2n+2)—tan2n

tanc,tanci=tan2n,tan(2n+2)=------------------------------1,

nn+tan2

Tn—tanCi?tanc2+tanc2?tanc3H----Ftancn,tancn+i

=tan2?tan4+tan4,tan6H-----|-tan2n?tan(2n+2)

tan4—tan2+tan6—tan4H----Ftan(2n+2)—tan2n

=--------------------------------------------------------------------------n

tan2

tan(2n+2)—tan2tan(2n+2).

=----------------------------n—-------------------n—1.

tan2tan2

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：數(shù)歹"｛tan2九?tan(2n+2)｝求和，利用差角的正切變式tanatan/?=三―'y'—1進(jìn)行

tan(a—6)

裂項(xiàng)是求解的關(guān)鍵.

9.(2024.浙江.二模)歐拉函數(shù)0S)(nGN*)的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)八且與幾互素的正整數(shù)的個(gè)

數(shù)，例如：8(1)=1,0⑷=2,0(8)=4,數(shù)列｛o/滿足冊(cè)=0(2壯)(726?/*).

(1)求。2,。3,并求數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式；

(2)記bn=(T)"四也，求數(shù)列他｝的前八和s”.

a2n

n-1

【答案】(l)Qi=l,。2=2,。3=4,an—2

⑵S-6?20n+6

⑵4―25+25X(-<

【知識(shí)點(diǎn)】寫出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、錯(cuò)位相減法求和

【分析】(1)根據(jù)題意理解可求?,a2,&3,結(jié)合與2"互素的個(gè)數(shù)可求數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式；

(2)求出數(shù)列｛鼠｝的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法求和即可.

【詳解】(1)由題意可知%=0(2)=1,a2=w(4)=2,a3=P(8)=4,

由題意可知，正偶數(shù)與2九不互素，所有正奇數(shù)與2"互素，比2"小的正奇數(shù)有2九-1個(gè)，

所以Q九=0(2幾)=2九T;

nnn2n-1

(2)由⑴知an=(p(2)=2t,所以出漁=w(2?)=2,

所以勾=(T)/*=(―4四安二=(一4(21)0=(4n-2)(-1)n,

Sn=b1+b2~\---也,

所以S*=2x(-J)'+6xJ-)2+---+(4n-6)x(-jP1+(4n-2)x(-1J,①

(T)S"=2X(一打+6x+…+(471—6)x(，)”+(4n-2)x(一]「，②

所以①—②得

》=2X(—()'+4](得了+???+(一[)”]-(4?-2)X(一]「

i一(F

1,1T-.(1\n-1l/.c、、，(1An+1_320n+6

=一了+百口―L4)J-(4n-2)x(-zJ=-而-5義(_4嚴(yán),

江—g620n+6

所以S九=一=十?二一――.

2525X(-4)

10.(2024?湖北.模擬預(yù)測(cè))歐拉函數(shù)在密碼學(xué)中有重要的應(yīng)用.設(shè)幾為正整數(shù)，集合Xh={1,2,…,7i—1},歐

拉函數(shù)8仇)的值等于集合X。中與幾互質(zhì)的正整數(shù)的個(gè)數(shù);記M(x,y)表示力除以g的余數(shù)(力和y均為

正整數(shù))，⑴求3(6)和8(15)；

(2)現(xiàn)有三個(gè)素?cái)?shù)p,q,e(p<Q<e),?i=pq,存在正整數(shù)d滿足朋'(de,0(n))=1；已知對(duì)素?cái)?shù)a和xE

Qaled

X,均有M{x~,a)—L證明：若力EXn,]j[^x=M(<[M(<x,n)],n)；

e

(3)設(shè)n為兩個(gè)未知素?cái)?shù)的乘積，生，e2為另兩個(gè)更大的已知素?cái)?shù)，且2生=3e2+1;又ci=M(x\n),c2

=M(xe\n),xEX”試用5,s和九求出c的值.

【答案】(1)夕(6)=2,以15)=8;

(2)證明見解析；

(3)x=Af(a0Ci,n).

【知識(shí)點(diǎn)】由遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式、函數(shù)新定義、整除和余數(shù)問題

【分析】(1)利用歐拉函數(shù)9(H)的定義直接求出0(6)和0(15).

(2)分析求出力與不互質(zhì)的數(shù)的個(gè)數(shù)，求得(p{n)=(p—l)(q—1),設(shè)7W(力,p)=s,=力，結(jié)合二項(xiàng)式

展開式證明(力，⑺,n)=1,再按s力W0與s1=0分類求證即得.

⑶利用AfQ,g)的定義，記％=咫，n。=n,令nW=M(TIL),那么以￡N+,且nAUm,3koEN+Jtnko

=1,則nko+1=0,再探求數(shù)列{nJ項(xiàng)數(shù)及遞推關(guān)系即可求得答案.

【詳解】(1)X6中，與6互質(zhì)的數(shù)有1和5,貝U0(6)=2;

區(qū)5中，與15互質(zhì)的數(shù)有1、2、4、7、8、11、13和14,則白(15)=8.

(2)因?yàn)閚=pq,p和q為素?cái)?shù)，則對(duì)力GX”僅當(dāng)—G7V+或且GN+時(shí)，力和口不互質(zhì)，

pq

又名〈九，則n=p,2°,…(q—l)p,或x—q,2g,…(p—l)q時(shí)，力與九不互質(zhì)，

則9(九)=n—1—(p—1)—(q—1)=(p—l)(g—1),

設(shè)M(①,p)=s,M{x,q)=1,可知s,t不全為0,下證s3#0時(shí)，⑹,九)=1;

由題知，朋XsPT,p)=M$T,q)=1,

又rcPT=(切+s)PT=(也廣1+