期末熱點(diǎn).重難點(diǎn)空間直線、平面的垂直

選擇題（共5小題）

1.（2024秋?周口期末）在正四棱柱ABC。-420中，A4i=2AB=2,尸為棱8以上的動點(diǎn)（不包含

端點(diǎn)），則AC1與。1尸所成角的余弦值的取值范圍為（）

1214

A.（0,B.（0,1）C.（0,/D.（0,J）

2.（2024秋?景德鎮(zhèn)期末）在正方體ABC。-ALBICLDI中，則異面直線ALBI與C￡h的所成角為（）

71717171

A.-B.—C.—D.一

6432

3.（2024秋?廈門校級期末）如圖，△A8C和△ACO均是邊長為2的正三角形，△A3。是以8。為斜邊的

等腰直角三角形，則異面直線與8c夾角的大小為（）

4.（2024秋?商水縣期末）如圖，在正方體ABC。-AIBICLDI中，點(diǎn)尸在線段43上運(yùn)動，則下列結(jié)論錯

誤的是（）

B.BCA.AP

C.。。，平面41。1尸

D.平面P8C1與平面A1AP不垂直

5.（2025?安徽模擬）在四邊形ABC。中，AD//BC,AD^AB,ZBCD=45°,ZBAD=90°,將△AB。

折起，使平面ABO_L平面BCD,構(gòu)成三棱錐A-BCD,如圖，則在三棱錐4-BCD中，下列結(jié)論不正

確的是（）

A

A.CDLABB.CD±BD

C.平面A￡）C_L平面A3。D.平面A8C_L平面8Z）C

多選題（共4小題）

（多選）6.（2024秋?荷澤期末）在正方體ABC。-421C1D中，。為四邊形481C1D1的中心，平面AOB

C平面COD=/,則下列結(jié)論正確的是（）

A.直線AO與BCi異面B.AO±BD

C.平面平面C。。D./〃平面A8C1D1

（多選）7.（2025?武漢模擬）如圖，以Ai,Bi,Ci,A,B,C為頂點(diǎn)的六面體中，四邊形44C1C為菱

1

形，BiCJ/BC,BiCi=^BC,ZCiCA=60°,AC=2,AB=2,ZBAC=12O°，貝！J（）

A.AC±AiB

B.AC〃平面A1581

「V5

C.當(dāng)4/=連時，二面角4-A5-C的正弦值為g

「，，、.........573

D.當(dāng)A/=遮時，此K面體的體積為---

4

（多選）8.（2024秋?自貢校級期末）如圖所示，在棱長為2的正方體ABC。-421C1D中，M,N分別

為棱CLDI,GC的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.直線AM與BN是平行直線

B.直線MN與AC所成的角為60°

C.直線MN與平面ABC。所成的角為45°

9

D.平面BMN截正方體所得的截面面積為另

（多選）9.（2024秋?昆明校級期末）如圖，正方體48。-421?！辏?中正四面體4-3。。的棱長為2,

71

A.異面直線48與AO1所成的角是三

B.B￡）iu平面4C1B

V3

C.平面ACB1截正四面體Ai-8DC1所得截面面積為三

2rz

D.正四面體Ai-BDC1的高為3-

三.填空題（共3小題）

10.（2024秋?西安期末）在正方體ABC。-4810中，E是8C上靠近8的三等分點(diǎn)，則直線。歸與

平面8CC181所成角的正弦值為.

11.（2024秋?達(dá)州期末）三棱錐P-ABC^p,AB±BC,AB=BC=2VL面小2_1面ABC,PA=PB=V17,

以△ABC的邊AC所在直線為旋轉(zhuǎn)軸將442。旋轉(zhuǎn)，則在旋轉(zhuǎn)過程中，|尸2|的取值范圍

是.

12.（2024秋?虹口區(qū)校級期末）在三棱錐尸-A8C中，48=2&，PC=1,PA+PB=4,CA-CB2,

且PC±AB,則二面角尸-AB-C的余弦值的最小值為.

四.解答題(共3小題)

13.(2024秋?深圳期末)如圖，在四棱錐P-ABC。中，平面PCO_L平面ABCD,AD1AB,AB//CD,AB

=AD=1,CD=2,PD=PC=近,點(diǎn)E在棱加上，PE=2EA.

(1)證明：PC〃平面DBE；

(2)求PC與平面B42所成角的余弦值.

14.(2024秋?重慶校級期末)如圖，四棱錐P-A8C￡)的底面為正方形，陰，底面A8CD,B4=A8,點(diǎn)E

在棱尸。上，且2PE=ED,點(diǎn)尸是棱PC上的動點(diǎn).

(1)若F為棱尸。的中點(diǎn)，證明：〃平面AEF；

V5PF

(2)若直線B4與平面AEF所成角的正弦值為二,求一.

5FC

15.(2024秋?唐山期末)如圖，在平行六面體ABCD-A121C1D中，所有棱長均為2,且

=ZDAB=60°.

(1)證明：AC1LBD；

(2)求二面角A-BD-A1的余弦值；

(3)求直線BC1與平面48。所成角的正弦值.

參考答案與試題解析

選擇題(共5小題)

1.(2024秋?周口期末)在正四棱柱A3CD-4B1C1O1中，AAi=2AB=2,尸為棱881上的動點(diǎn)(不包含

端點(diǎn))，則AC1與。1尸所成角的余弦值的取值范圍為()

A.(0,分B.(0,C.(0,令D.(0,引

【考點(diǎn)】異面直線及其所成的角.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解.

【答案】B

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)尸(1,1,?)(0<G<2),利用異面直線所成的角的夾角公式可得COS。=

眸2)1天平方后利用換元法可求范圍.

屈<j2+(a—2)2

【解答】解：正四棱柱ABC。-AiBiCiDi中，A4i=2AB=2,P為棱821上的動點(diǎn)(不包含端點(diǎn))，

以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以ZM,DC,DD所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)P(l,1,a)(0<a<2),則D；P=(1,1,a—2),ACr=(-1,1,2),

設(shè)AG與Oi尸所成的角為①則cos。=吧山甲=—a-2)1

|"11"|exj2+(a-2)2

.\cos20=—曲"2)~令/=(。-2)2,re(0,4),

12+6(a—2)

r442

.".cos26=12+66(0，g)，cosd6(0,g)-

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查異面直線所成角等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

2.(2024秋?景德鎮(zhèn)期末)在正方體ABC。-ALBCLDI中，則異面直線481與CD1的所成角為()

【考點(diǎn)】異面直線及其所成的角.

【專題】數(shù)形結(jié)合；定義法；空間角；運(yùn)算求解.

【答案】B

【分析】利用異面直線夾角的定義求出角的大小.

【解答】解：在正方體ABCD-A181QD1中，

,：AiBi//C\D\,

：.ZCDiCi是異面直線ALBI與的所成角或所成角的補(bǔ)角,

在等腰RtACDiCi中，NCDiQ=全

TI

???在正方體ABC。-ALBCLDI中，異面直線ALBI與CD1的所成角為一.

4

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查異面直線夾角的定義等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

3.（2024秋?廈門校級期末）如圖，△ABC和△AC。均是邊長為2的正三角形，△A3。是以8。為斜邊的

等腰直角三角形，則異面直線與BC夾角的大小為（）

【考點(diǎn)】異面直線及其所成的角.

【專題】數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；空間角；運(yùn)算求解.

【答案】C

—>—>

【分析】根據(jù)已知數(shù)據(jù)可知BC，CD，再由向量的夾角公式可得cosy。，BO,由此可得答案.

【解答】解：依題意，ABBC=AC=ADCD=2,BD=V22+22=2a,

則在△BCD中，由于5c2+0)2=302,則BCJ_CZ),

->—>―>―>―>―>―>—>―>-1

4>BC(4C+CD>BCAC-BC+CD-BC2x2x(一分

所以cos<4D,

—\AD~\\B—C\=-\A-D~\\B-C-\=-----2x2------=~2ZxX2Z~

7T

所以異面直線AD與BC夾角的大小為J

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查異面直線所成角，屬于基礎(chǔ)題.

4.（2024秋?商水縣期末）如圖，在正方體ABC。-AIBICLDI中，點(diǎn)尸在線段48上運(yùn)動，則下列結(jié)論錯

A.AP〃平面CDD\Ci

B.BC±AP

C.CiD_L平面AiOiP

D.平面尸81cl與平面4AP不垂直

【考點(diǎn)】平面與平面垂直；直線與平面平行；直線與平面垂直.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；邏輯思維；運(yùn)算求解.

【答案】D

【分析】對于A,由平面CDDC1〃平面A831A1,得AP〃平面CDD1C1；對于3,由BC_L平面

WBC1AP；對于C,由C1O_LA1D1,CiD±AiB,得CiD_L平面4rhP；對于。，由BiCi_L平面AMP,

得平面尸BiCi_L平面AiAP.

【解答】解：在正方體ABCD-ALBICIDI中，點(diǎn)尸在線段AW上運(yùn)動，

對于A,:平面CAO1C1〃平面A881A1,APu平面AB81A1,

.?.42〃平面。。10,故A正確；

對于8,：8C_L平面A8B1A1,APu平面48814,：.BC±AP,故3正確；

對于C,VCiDXAiDi,C1D1A1B,AiDinAiB=Al,

...C1Z)_L平面AifhP,故C正確;

對于￡>,：810_1平面43尸，BiCiu平面PBiCi,

平面BB1C1，平面44P,故O錯誤.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查線面平行、線面垂直、面面垂直的判定與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中

檔題.

5.（2025?安徽模擬）在四邊形ABC。中，AD//BC,AD=AB,ZBCD=45°,ZBA￡）=90°,將△AB。

折起，使平面平面BCD,構(gòu)成三棱錐A-BCD,如圖，則在三棱錐A-BCD中，下列結(jié)論不正

確的是（）

A.CD±ABB.CDLBD

C.平面A￡）C_L平面A3。D.平面ABC_L平面BZ5C

【考點(diǎn)】平面與平面垂直.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；邏輯思維.

【答案】D

【分析】根據(jù)線面、面面垂直的判定定理以及線面、面面垂直的性質(zhì)定理逐項(xiàng)判斷即可.

【解答】解：對于3,如圖，

A____________D

因?yàn)锳O〃2C,AD=AB,ZBAD=90°,

所以/ABD=NAOB=45°,

又因?yàn)?BCD=45°,AD//BC,

所以/AZ)C=135°,

所以/A￡)B=135°-45°=90°,

所以CZ）_L3。，所以8正確;

對于A,由B選項(xiàng)知CDLBD,

又因?yàn)槠矫鍭BD_L平面BCD,CQu平面8。，平面ABOA平面

所以。_1平面46。，

因?yàn)锳Bu平面AB。，

所以C￡）_LAB,所以A正確；

對于C,由選項(xiàng)A知，6?。1_平面48。，

因?yàn)镃Du平面ADC,

所以平面AOCJ_平面AB。，所以C正確；

對于。，如圖，過點(diǎn)A作AE_L2D,垂足為E,

因?yàn)槠矫鍭BD_L平面BCD,AEu平面AB。，平面ABDA平面8CO=8。，

所以AE_L平面BCD,

顯然AEC平面ABC,所以平面ABC與平面BOC不垂直，所以。錯誤.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查線面，面面位置關(guān)系的判斷，屬于中檔題.

二.多選題（共4小題）

（多選）6.（2024秋?荷澤期末）在正方體A8CD-481C1O1中，。為四邊形AiBiCiD的中心，平面AO8

C平面CO￡>=/,則下列結(jié)論正確的是（）

A.直線AO與8cl異面B.AOLBD

C.平面A08_L平面CODD./〃平面ABCiZh

【考點(diǎn)】平面與平面垂直；異面直線的判定；直線與平面平行.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；邏輯思維；空間想象.

【答案】ABD

【分析】選項(xiàng)A，設(shè)平面ABB14的中心為G,結(jié)合反證法，推出平面。48cl與平面。GBC1重合，與

題意矛盾，從而作出判斷；選項(xiàng)B,分別證明8DLAC,AA11BD,再由線面垂直的判定定理，即可判

斷；選項(xiàng)C,分別取AB,的中點(diǎn)E,F,連接OE,OF,EF,先證。E，/,OF±l,由二面角的定

義知/EOF即為平面AQB與平面C。。所成的角，再利用余弦定理求出cos/EOF的值，即可判斷；選

項(xiàng)。，結(jié)合選項(xiàng)B中所得，根據(jù)線面平行的判定定理，即可判斷.

【解答】解：選項(xiàng)A,設(shè)平面A8B1A1的中心為G,則G是A18的中點(diǎn)，

因?yàn)椤Ｊ?C1的中點(diǎn)，所以。G〃BCi,

所以。，G,B,G四點(diǎn)共面，

假設(shè)直線A。與BG共面，

由于平面OA8G與平面OGB0有3個交點(diǎn)。，B,Ci,且。，B,G三點(diǎn)不共線，

所以平面OABC1與平面OGBC1重合，顯然點(diǎn)AC平面OGBC1,

所以假設(shè)不成立，即直線AO與3Q異面，故選項(xiàng)A正確；

選項(xiàng)2,由正方體的性質(zhì)知，BD±AC,A4i_L平面A8CZ),

因?yàn)?￡)u平面A8CD,所以AAi_LB。，

又ACCA4i=A,AC、A4iu平面ACC1A1,所以平面ACC1A1,

因?yàn)锳Ou平面ACC1A1,所以AO_LB。，故選項(xiàng)B正確；

選項(xiàng)C,分別取AB,CD的中點(diǎn)E,F,連接OE,OF,EF,顯然。E_L48,OFLCD,

因?yàn)锳B〃CD,48c平面C。。，CDu平面COD,所以42〃平面CO。，

又A8u平面AO8,平面AO8C平面COO=/,所以AB〃/,BPAB//CD//I,

所以O(shè)EU,OFU,

所以/EOF即為平面AQB與平面CO。所成的角，

設(shè)正方體的棱長為2,則跖=2,OE=OF=乖,

在中，由余弦定理知，cos/EOF=。"卷就鏟=J霆=|,

所以NEOBH90°,即平面492,平面C。。不成立，故選項(xiàng)C錯誤；

選項(xiàng)。，由選項(xiàng)8知，AB//1,

因?yàn)锳Bu平面ABCiDi,/C平面ABCiOi,所以/〃平面ABQfh,故選項(xiàng)。正確.

故選：ABD.

【點(diǎn)評】本題考查立體幾何的綜合應(yīng)用，熟練掌握異面直線的判定方法，線與面平行、垂直的判定定理

或性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵，考查空間立體感，邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

（多選）7.（2025?武漢模擬）如圖，以Ai,Bi,Ci,A,B,C為頂點(diǎn)的六面體中，四邊形AAC1C為菱

1

形，B1C1//BC,BiCi=^BCfZC1CA=6O°,AC=2,AB=2fZBAC=120°，則（）

A.AC.LAiB

B.ACi〃平面Ai5A

l，V5

C.當(dāng)4/=逐時，二面角Ai-AB-C的正弦值為w

「,......................5A/3

D.當(dāng)時，此K面體的體積為:一

4

【考點(diǎn)】幾何法求解二面角及兩平面的夾角；棱柱的體積.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；立體幾何；運(yùn)算求解.

【答案】ABD

【分析】通過證明43_L面ACP,可判斷A；通過證明平面〃平面AC1N,可判斷8；過4作4M

C

LCA于點(diǎn)證明出平面ABC,根據(jù)cos。=苦逆"求出答案，可判斷C；取BC中點(diǎn)G,連接

BIG,AG,該幾何體可分割為三棱錐4出1。-47。和三棱錐2-4431,B-AGBi,通過計(jì)算體積和得

到結(jié)果，可判斷D

【解答】解：對于A,取42中點(diǎn)P,因?yàn)锳CC1A1為菱形，所以AAi=AC=2,

所以A4i=AB=2,所以4P_LAiB,

1

2

△ACA1中，ZAiAC=120°,A1C=4+4-2x2x2x(-^)=12,

1

△4BC中，BC2=4+4-2x2x2x(-1)=12,

所以4C=8C,所以CPJ_A18,

因?yàn)锳P,CPc?ACP,APHCP=P,所以&18_1面467\

因?yàn)锳Cu面ACP,所以ALBLAC,故A正確；

1

對于8,取8C中點(diǎn)N,因?yàn)锽iCi〃BC,且

則21cI〃CN,BiCi=CMB1C1//BN,B\C\=BN,

即BiCiNB為平行四邊形，BiCiCN為平行四邊形，

所以BiN〃CCi,BiN=CCi,所以BiN〃41A,BiN=AiA,

所以四邊形ANBiAi為平行四邊形，所以AN〃BiAi,

又因?yàn)镃iN〃與的，ANu平面ACW,BMW平面AC1N,

所以814〃平面AGN,同理〃平面AGN,

因?yàn)?14,3B1U平面A1B81,BiAiABBi=Bi,

所以平面AiBBi//平面AC1N,

因?yàn)锳Ciu平面AC1N,所以AQ〃平面故B正確；

對于C,過4作AiM_LCA于點(diǎn)M,因?yàn)?AiAC=/B4C=120°,AB=AAi,

所以8M_LAC,且力==

又因?yàn)?8=逐，所以

又因?yàn)?M_LCA,BM,CAu平面ABC,BMHCA=M,

所以4M_L平面ABC,記二面角Ai-AB-C的平面角為8,

孚=在

所以COS。=q:"BM

5原〃4?為卞屈x理一5'

所以s/e=竽，故c錯誤;

對于。，取8c中點(diǎn)G,連接8iG,AG,

該幾何體可分割為三棱柱A1B1C1-AGC和三棱錐B-4A81,B-AGB1,

則幾何體體積U=以i/G-AGC+^B-AGB1=^ArBrCr-AGC+2VBiTBG，

圖中=BM=ArB=V3,Ai到底面ABC的距離為弓x0=|,

所以'=S2AGC?7+2Sd/GB.,x2=號x,+V3x故D正確.

乙乙。乙乙乙什

故選：ABD.

【點(diǎn)評】本題考查立體幾何綜合問題，屬于中檔題.

（多選）8.（2024秋?自貢校級期末）如圖所示，在棱長為2的正方體ABCD-421?！分?，M,N分別

為棱CLDI,CIC的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.直線AM與BN是平行直線

B.直線MN與AC所成的角為60°

C.直線MN與平面ABC。所成的角為45°

9

D.平面3MN截正方體所得的截面面積為5

【考點(diǎn)】幾何法求解直線與平面所成的角；異面直線及其所成的角.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；空間角；邏輯思維；運(yùn)算求解.

【答案】BCD

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法可判斷A、B、C,作出平面截正方體所得的截面即可

求出面積判斷D.

【解答】解：在棱長為2的正方體A2CD-481C1D中，M,N分別為棱CiD,C1C的中點(diǎn)，

對于A，以。為原點(diǎn)，D4所在直線為x軸，。。所在直線為y軸，所在直線為z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(0,0,0),Di(0,0,2),Ci(0,2,2).

'：M,N分別為棱C1D1,CG的中點(diǎn)，：.M(0,1,2)、N(0,2,1),

—>—>—>

則4M=(-2,1,2),BN=(-2,0,1),和BN不共線，

...線AM與BN不是平行直線，故A錯誤；

—>T

對于8,'：MN=(0,1,-1),AC=(-2,2,0),

AC>=—>---―=>-7=~7==□，

\MN\-\AC\

：.<MN,2C>=*.?.直線MN與AC所成的角為60°,故B正確.

對于C,由于平面ABC。的一個法向量為幾=(0,0,1),

COS<71,

-?t37r

<n,MN>=*,

直線MN與平面ABC。所成的角為45°,故C正確；

對于連接48,易知則平面截正方體所得的截面為等腰梯形A18MN,

:棱長為2,：.ArB=2V2,MN=五,BN=V1T4=V5,

???等腰梯形的高為Js^（務(wù)=為

133

???S=六//+MN)X(2V2+V2)X

9

，平面8MN截正方體所得的截面面積為故。正確.

故選：BCD.

【點(diǎn)評】本題考查線線平行的判定、異面直線所成角、截面面積等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中

檔題.

（多選）9.（2024秋?昆明校級期末）如圖，正方體ABCD-AiBiCiDi中正四面體Ai-BOCi的棱長為2,

則下列說法正確的是（）

7T

A.異面直線43與AD1所成的角是5

B.BDiu平面4C1B

V3

C.平面AC81截正四面體Ai-8￡>Ci所得截面面積為三

D.正四面體4-BOC1的高為

【考點(diǎn)】異面直線及其所成的角；直線與平面平行；棱柱的結(jié)構(gòu)特征.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；空間角；邏輯思維；運(yùn)算求解.

【答案】AD

【分析】選項(xiàng)A，利用正方體的結(jié)構(gòu)特征找到異面直線所成的角；選項(xiàng)2,根據(jù)基本事實(shí)三即可判斷;

選項(xiàng)C,由面面平行及相似三角形的性質(zhì)得，平面ACB1截正四面體Ai-BDC1所得截面面積為△ACB1

面積的四分之一；選項(xiàng)。，求出正四面體AL8OQ的高即可判斷.

【解答】解：正方體ABCO-AIBICLDI中正四面體Ai-8OC1的棱長為2,

對于A,正方體ABCD-A181QO1中，由題意知ADi〃8Ci,

異面直線A\B與ADi所成的角即直線A1B與BC1所成的角，即ZA1BC1,

△AiBCi為等邊三角形，貝必/Ci=全

71

則異面直線48與AD1所成的角是］故A正確；

對于2，假設(shè)BDu平面AC1B,

平面AiCiBn平面AiCiDi=AiCi,

8D1C平面AiCi?=Z)i,即Di為平面A1C1B與平面4C1D的公共點(diǎn),

/.AbCi,5三點(diǎn)共線，顯然不成立，即假設(shè)不成立，故B錯誤；

對于C,在正方體ABC。-AiBiCiDi中，如圖，

"：AiBi//CD,AiBi=CD,

四邊形A1B1CD是平行四邊形，

：A1￡)C平面A31C,BiCu平面ABC,平面AB1C,

同理,4cl〃平面ABC,

又4OnAiCi=4,平面ABC〃平面4C1D

平面MNP〃平面AiCiD,

則平面ACB1截正四面體Ai-BDC\所得截面為

1

又AMNPSAAICID,且相似比為一，

2

1y/3

SRArn-X2X2X—、叵

:.叢MNP的面積為一3=2------工=—,

444

/o

平面AC81截正四面體Al-BDC1所得截面面積為一，故C錯誤；

4

對于。，連接設(shè)B1D1A平面4。。=。，連接4。，Bi8_L平面AiBiCiDi,

AiCiu平面421cl￡>1,即4cl_LB12,

XAiCi±BiDi,BiBHBiDi—Bi,

有A1C1_L平面BDiu平面8￡>Z)iBi,：.BD11A1C1,

同理可證BD1_L4。，AiCiAAi￡)=Ai,AiCi,AiOu平面ACiD,

平面A1C1Z),即BO_L平面A1C1Q,

則8在底面的射影為△4G。的重心,

.,.40=*25嗚=竽，；.B0=Ja/2_&02=2傷

2%

..?正四面體4-80。的高為丁’故。正確.

故選：AD.

【點(diǎn)評】本題考查正方體的結(jié)構(gòu)特征、異面直線所成角的平面角、正四面體的性質(zhì)、結(jié)合幾何圖形確定

截面的面積等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

填空題（共3小題）

10.（2024秋?西安期末）在正方體ABC。-ALBICLDI中，E是2C上靠近2的三等分點(diǎn)，則直線。歸與

3422

平面2℃出1所成角的正弦值為一后一

【考點(diǎn)】直線與平面所成的角.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；立體幾何；運(yùn)算求解.

3V22

【答案】f

【分析】先確定直線。汨與平面BCCLBI所成的角為/O1EQ,再解三角形即可求解.

【解答】解：如圖，連接C1E,

在正方體中，平面BCC1B1,

所以直線O1E與平面BC081所成的角為/。宙。,

設(shè)A8=3a,因?yàn)镋是3C上靠近8的三等分點(diǎn)，

所1以BE=a,EC=2a,

所以C1E=JCG+EC2=V13cz,

D]E=.C/+C/2=V22a,

所以siriNDiEG=%"=

3422

故答案為：

【點(diǎn)評】本題考查線面角，考查直觀想象的核心素養(yǎng)，屬于中檔題.

11.（2024秋?達(dá)州期末）三棱錐P-ABC^,AB±BC,AB=BC=2VL面出2_1面ABC,PA=PB=V17,

以△ABC的邊AC所在直線為旋轉(zhuǎn)軸將△ABC旋轉(zhuǎn),則在旋轉(zhuǎn)過程中，|尸2|的取值范圍是」遮/國

【考點(diǎn)】平面與平面垂直.

【專題】數(shù)形結(jié)合；向量法；立體幾何；運(yùn)算求解.

【答案】[世，V37].

【分析】根據(jù)題意找出點(diǎn)8的位置，建立空間直角坐標(biāo)系找出點(diǎn)P到2所在平面距離，將問題轉(zhuǎn)化到

平面上，求出尸點(diǎn)在平面上的射影P1到B點(diǎn)距離的最大值和最小值，再根據(jù)勾股定理求出|P8|的最大

值和最小值，得到答案.

【解答】解：三棱錐P-ABC中，ABLBC,AB=BC=242,面.面A8C,

PA=PB=V17,以△ABC的邊AC所在直線為旋轉(zhuǎn)軸將△ABC旋轉(zhuǎn)，

取A3的中點(diǎn)AC的中點(diǎn)。，連PM、MO,

由等腰三角形的性質(zhì)，PM±AB,

由已知平面叢8與平面ABC垂直，可得PM_L平面ABC,

進(jìn)而可得出PALMA,M。兩兩垂直，

以M為坐標(biāo)原點(diǎn)，MA,MO,KP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立坐標(biāo)系，如圖，

根據(jù)幾何關(guān)系，得：

M(0,0,0,),P(0,0,V15),0(0,V2,0),4(魚，0,0),C(-加,2a0).

不妨記旋轉(zhuǎn)過程中點(diǎn)B所在的平面為a,

由題目已知，在旋轉(zhuǎn)過程中，8點(diǎn)在平面a截以。為圓心，2為半徑的球所得到的圓上.

記點(diǎn)P在a內(nèi)的射影為尸1,P到平面a的距離為垂線段PP1的長度，記該距離為d.

->—>

由PO=(0,V2,V15),AC=(-2V2,2V2,0)可用坐標(biāo)法計(jì)算點(diǎn)尸到平面a的距離［為:

,_.PO-AC._.Ox(-272)+(-72)X272+(-715)X0._.

a-II-I7|一］，

由勾股定理，口1。|=一『Pi』=J(g)2—F=4

由幾何關(guān)系，|PB『=弓2+|P//，可知當(dāng)|尸田最小時，|「為最??；|尸閩最大時，1PBi最大.

可得|尸田的最大值為6,最小值為2,

IP8I的最大值為J62+|PP1|2=V62+I2=V37,最小值為，22+12=V5.

【點(diǎn)評】本題考查了空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征應(yīng)用問題，也考查了推理與運(yùn)算能力，是難題.

12.(2024秋?虹口區(qū)校級期末)在三棱錐尸-4BC中，力B=2/，PC=1,PA+PB=4,CA-CB=2,

V2

且則二面角P-AB-C的余弦值的最小值為一.

-3-

【考點(diǎn)】幾何法求解二面角及兩平面的夾角.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；立體幾何；運(yùn)算求解.

【答案】y.

【分析】首先得尸，C的軌跡方程，進(jìn)一步作二面角P-AB-C的平面角為結(jié)合軌跡的參數(shù)方

程以及余弦定理、基本不等式即可求解，注意取等條件.

x2y2

【解答】解：因?yàn)锽4+P8=4=2〃，所以〃=2,點(diǎn)尸的軌跡方程為二+77=1（橢圓），

42

又因?yàn)镃A-CB=2,所以點(diǎn)C的軌跡方程為7-y2=i,（雙曲線的一支）,

過點(diǎn)尸作f7/_LA2,AB1PC,FfffPHHPC^P,PF,PCc?PHC,

設(shè)。為AB中點(diǎn)，則二面角P-A8-C為

所以不妨設(shè)。H=2cos8,de(0,芻，PH=yf2sind,CH=74cos2。-1,

2s譏2。+4cos2?！?—1_V2l—sin2d

所以cos/PHC=

2y/2sin6^4cos29—l?sinfiJs—4sin20

2

1(1—sin2o0)

所以cos24PHe=

2sin26(3—4sin23y

令1-sin20=Z,O<Z<1,

[「21/-27

所以C0s2/P”C=5'rif"4f-2-------------------2=Q>

[2>

等號成立當(dāng)且僅當(dāng)t=|=1-sin29,

所以當(dāng)且僅當(dāng)sin。=,cosd=^^時，(cosz.PHC)min=孝.

V2

故答案為：—.

【點(diǎn)評】本題考查二面角的計(jì)算，考查軌跡方程的應(yīng)用，屬于難題.

四.解答題(共3小題)

13.(2024秋?深圳期末)如圖，在四棱錐尸-ABCD中，平面PC￡?_L平面ABCQ,ADLAB,AB//CD,AB

=AO=1,CD=2,PD=PC=V2,點(diǎn)E在棱B4上，PE=2EA.

(1)證明：PC〃平面D8E；

(2)求尸C與平面P48所成角的余弦值.

【考點(diǎn)】幾何法求解直線與平面所成的角；直線與平面平行.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；空間角；邏輯思維；運(yùn)算求解.

【答案】(1)證明見解答；

V3

(2)—.

2

【分析】(1)根據(jù)面面垂直的性質(zhì)和線面垂直的性質(zhì)可得。尸_LOB,建立空間直角坐標(biāo)系。-移z,即

可利用空間向量法證明線面平行；

(2)由(1),利用空間向量法求解線面角即可.

【解答】解：(1)證明：如圖，取的中點(diǎn)。，連接。尸，OB,

則。尸_LCD,OBLCD,且。。=OC=1,

由平面PC。_L平面ABC。，平面PCDCl平面A2CD=C￡),

OPu平面PCD,所以O(shè)P_L平面ABCD,

又OBu平面ABC。，所以O(shè)P_L08,

建立如圖空間直角坐標(biāo)系O-xyz,

由PC=PD=五,OD=1,得OP=y/PD2-OD2=1,

則A(1,-1,0),B(1,0,0),C(0,1,0),D(0,-1,0),P(0,0,1),

由PE=2EA,得PE=2EA,

即(XE,yE,ZE-1)=2(1-XE,-1-yE,-ZE),

Xp=}

3

-xE=2-2XE

得加=-2-2為，解得<=_@，即3)，

&-1=-2ZE]

IZE=□

T7211T

所以DB=(1,1,0),OF=(|,j,力PC=(0,1,-1),

設(shè)平面。BE的一個法向量為蔡=(a,b,c),

->T

m?DB=a+b=0

則由7nlDB,m1DE,可得

->t=211

m,DE7yd4-7rb-FTTC=0

ODD

令4=1,得Z?=-l,C=-1,可得771=(1,-1/-1),

由Hi?PC=0—1+1=0,可得m1PC,

又PCU平面O3E,所以尸?！ㄆ矫?。BE；

—>—>—>

(2)由(1)知P2=(l,-1,-1),PB=(1,0,-1),PC=(0,1,-1),

設(shè)平面PAB的一個法向量為蔡=(x,y,z),

’T—

T——Tn-PA=x—y—z=0

則由n1PA,n1PB,可得，TT

m-PB=x—z=0

令x=l,得z=l,y=0,可得九=(L0,1),

設(shè)PC與平面B45所成角為e(8為銳角)，

TTT

則sin。=\cos<PC,n>\=?=廠1廠

\PC\\n\02x42

所以cos。=V1—sin20=

即PC與平面PAB所成角的余弦值為日.

PA

E」

…一A

【點(diǎn)評】本題考查線面平行的判定及直線與平面所成的角的求法，屬中檔題.

14.(2024秋?重慶校級期末)如圖，四棱錐尸-ABC。的底面為正方形，E4,底面ABC。，E4=AB,點(diǎn)￡

在棱上，且2PE=E￡),點(diǎn)F是棱PC上的動點(diǎn).

(1)若尸為棱PC的中點(diǎn)，證明：尸8〃平面AEF；

y/~Cpp

(2)若直線以與平面AM所成角的正弦值為w，求正.

【考點(diǎn)】直線與平面所成的角；直線與平面平行.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解.

【答案】(1)證明見解析；

1

(2)—.

2

【分析】(1)建立如圖空間直角坐標(biāo)系，證明尾與平面AEF的法向量垂直，即證結(jié)論.

—>—>

(2)令PF=QC,求出平面AEF的法向量，利用線面角的向量求法，結(jié)合已知正弦值求出入即可.

【解答】解：(1)根據(jù)題意，四棱錐P-A8C。底面為正方形，出，底面A8CD,得直線AS,AD,AP

兩兩垂直，

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線AB,AD,AP分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-