第01講空間向量及其線性運(yùn)算

目錄

第01講空間向量及其線性運(yùn)算.................................................................1

一、空間向量概念..............................................................................2

基礎(chǔ)知識(shí)...................................................................................2

考點(diǎn)1空間向量相關(guān)概念...................................................................2

二、空間向量線性運(yùn)算.........................................................................6

基礎(chǔ)知識(shí)...................................................................................6

考點(diǎn)2空間向量加減運(yùn)算...................................................................6

考點(diǎn)3空間向量線性運(yùn)算...................................................................8

考點(diǎn)4由空間向量的線性運(yùn)算求參數(shù)........................................................10

三、共線、共面向量...........................................................................14

基礎(chǔ)知識(shí)..................................................................................14

考點(diǎn)5向量共線的判定....................................................................14

考點(diǎn)6向量共面的判定....................................................................17

考點(diǎn)7由空間向量共線、共面求參數(shù).......................................................20

四、課后作業(yè).................................................................................22

單選題....................................................................................22

多選題....................................................................................25

填空題....................................................................................27

解答題....................................................................................28

、空間向量概念

基礎(chǔ)知識(shí)

1.空間向量概念

(1)定義：在空間，具有大小和方向的量叫做空間向量.

(2)長(zhǎng)度或模：向量的大小.

(3)表示方法：

①幾何表示法：空間向量用有向線段表示；

②字母表示法：用字母a,b,c,…表示；若向量a的起點(diǎn)是A,終點(diǎn)是B,也可記作同，其模記為|a|或|嬴

I.

(4)幾類特殊的空間向量

名稱定義及表示

零向量長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量，記為0

單位向量模為1的向量稱為單位向量

相反向量與向量a長(zhǎng)度相等而方向相反的向量，稱為a的相反向量，記為一a

共線向量如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么

(平行向量)這些向量叫做共線向量或平行向量.規(guī)定:對(duì)于任意向量a,都有0〃a

相等向量方向相同且模相等的向量稱為相等向量

【注】

(1)空間中點(diǎn)的一個(gè)平移就是一個(gè)向量；

(2)數(shù)學(xué)中討論的向量與向量的起點(diǎn)無(wú)關(guān)，只與大小和方向有關(guān)，只要不改變大小和方向，空間向量可在空

間內(nèi)任意平移，故我們稱之為自由向量.

考點(diǎn)1空間向量相關(guān)概念

【例1.1](23-24高二上?山東日照?階段練習(xí))下列命題中為真命題的是()

A.向量通與瓦?的長(zhǎng)度相等

B.將空間中所有的單位向量移到同一個(gè)起點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)圓

C.空間非零向量就是空間中的一條有向線段

D.不相等的兩個(gè)空間向量的模必不相等

【解題思路】由于向量的長(zhǎng)度與向量的方向無(wú)關(guān)，相反向量的長(zhǎng)度相等，由此可判斷AD,將空間所有的單

位向量平移到一個(gè)起點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)球面，由此可判斷B,由向量與有向線段的關(guān)系判斷C.

【解答過(guò)程】

選項(xiàng)A：因?yàn)榭臻g向量荏與反?互為相反向量，所以空間向量荏與瓦?的長(zhǎng)度相等，所以A正確；

選項(xiàng)B：將空間所有的單位向量平移到一個(gè)起點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)球面，所以B錯(cuò)誤；

選項(xiàng)C：空間向量可以用空間中的一條有向線段表示，但空間向量不是有向線段，所以C錯(cuò)誤；

選項(xiàng)D：兩個(gè)空間向量不相等，它們的?？赡芟嗟?，也可能不相等，如向量屈與瓦?的模相等，所以D錯(cuò)誤；

故選：A.

【例1.2]（23-24高二上.山東聊城.階段練習(xí)）給出下列命題：

①空間向量就是空間中的一條有向線段；

②在正方體ABCD—&B1C1D1中，必有尼=a/；

③Ml=同是向量2=3的必要不充分條件；

④若空間向量沅，元，萬(wàn)滿足萬(wàn)I玩，n\\p,則沆歷.

其中正確的命題的個(gè)數(shù)是（）.

A.1B.2C.3D.0

【解題思路】根據(jù)空間向量的相關(guān)概念逐項(xiàng)判斷.

【解答過(guò)程】有向線段起點(diǎn)和終點(diǎn)是固定的，而空間向量是可以平移的，故①錯(cuò)誤；

旅和41cl大小一樣、方向相同，貝!|ac=&Ci，故②正確；

若㈤=同，則之和茄勺模相等，方向不一定相同，若[=一則江和3的模相等,方向也相同，所以同=同是

向量,=%的必要不充分條件，故③正確；

向量的平行不具有傳遞性，比如當(dāng)元為零向量時(shí)，零向量與任何向量都平行，則沅，戶不一定平行，故④錯(cuò)誤.

綜上所述，②③正確.

故選:B.

IJ111Y個(gè),：已知正方體力BCD—的中心為。，則在下列各結(jié)論中

正確的共有（）

①底？+而與商+律是一對(duì)相反向量；

②而-反與而-折是一對(duì)相反向量；

③初+OB+OC+而與'而+OB7+OC7+初是一對(duì)相反向量；

④67-瓦?與瓦-正是一對(duì)相反向量.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【解題思路】

根據(jù)向量線性運(yùn)算、相等向量和相反向量定義依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.

【解答過(guò)程】

對(duì)于①，vOA=-0C7,00=-0^,01+00=-（OB7+OC7）,

.?.瓦5+礪與礪7+玩7是一對(duì)相反向量，①正確；

對(duì)于②，???礪一方=而，瓦不一而=瓦］，又施=加不，

.?.麗-瓦與。不一亦不是相反向量，②錯(cuò)誤；

對(duì)于③，???0A=-0C7,OB=-0D7,0C=一而，0D=一利，

.-.OA+OB+OC+OD=-（而+OS7+OC7+而），

.?.瓦5+/+方+而與。幣+痔+旅+彷'是一對(duì)相反向量，③正確;

對(duì)于④，?.?瓦不一示=加，oc-or=rc,又而7=-示，

.?.d-科與反-瓦7是一對(duì)相反向量，④正確.

故選：C.

【變式1.2］（23-24高二上.全國(guó)?課后作業(yè)）給出下列命題：

①零向量沒(méi)有方向；

②若兩個(gè)空間向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同；

③若空間向量a1滿足㈤=同，則a=b；

④若空間向量沅，冗/滿足記=元，元=/，則記=濟(jì)

⑤空間中任意兩個(gè)單位向量必相等.

其中正確命題的個(gè)數(shù)為（）

A.4B.3

C.2D.1

［解題思路】根據(jù)空間向量的有關(guān)定義判斷可得答案.

【解答過(guò)程】零向量的方向是任意的，但并不是沒(méi)有方向，故①錯(cuò)誤；

當(dāng)兩個(gè)空間向量的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同時(shí)，這兩個(gè)向量必相等.但兩個(gè)向量相等，起點(diǎn)和終點(diǎn)不一定相

同，故②錯(cuò)誤；

根據(jù)相等向量的定義，要保證兩個(gè)向量相等，不僅模要相等，而且方向也要相同，但③中向量石與另的方向

不一定相同，故③錯(cuò)誤；

命題④顯然正確；

對(duì)于命題⑤，空間中任意兩個(gè)單位向量的模均為1,但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤錯(cuò)誤.

故選：D.

二、空間向量線性運(yùn)算

基礎(chǔ)知識(shí)

1.空間向量的線性運(yùn)算

加法a+b=oA+AS=ofeA

空間向減法a-b=oA-6t=cA0aA

量的線

當(dāng)Q>0時(shí)，九a=M51=R；

M

性運(yùn)算/。/

//A/Aa(A>0)/Aa(A<O)

數(shù)乘r//

當(dāng)九<0時(shí)，Za=X6A=M$i；

OP，N

當(dāng)九=0時(shí)，Za=0

交換律：a+b=b+a；

運(yùn)算律結(jié)合律：a+(b+c)=(a+b)+c,X(|ia)=(k|i)a；

分配律：(X+|i)a=Xa+|ia,X(a+b)=Xa+Xb.

【注】

(1)空間向量的運(yùn)算是平面向量運(yùn)算的延展，空間向量的加法運(yùn)算仍然滿足平行四邊形法則和三角形法則，

而且滿足交換律、結(jié)合律，這樣就可以自由結(jié)合運(yùn)算，可以將向量合并.

(2)向量的減法運(yùn)算是向量加法運(yùn)算的逆運(yùn)算，滿足三角形法則.

(3)空間向量加法的運(yùn)算的小技巧：

①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量，因此，求空間若干向量

之和時(shí)，可通過(guò)平移使它們轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量；

②首尾相接的若干向量若構(gòu)成一個(gè)封閉圖形，則它們的和為零向量.

考點(diǎn)2空間向量加減運(yùn)算

【例1.1】(23-24高:下?北京?開(kāi)學(xué)考試)已知平行六面體4BCD-4B'C'D',則下列四式中錯(cuò)誤的是()

A.AB-CB=AC

B.ZC7=AB+FC+CC7

C.AA/^CC7

D.^4B+BB7+BC+C7C=ZC7

【解題思路】根據(jù)平行六面體的性質(zhì)及空間向量線性運(yùn)算法則計(jì)算可得.

【解答過(guò)程】對(duì)于A：AB-CB^AB+BC^AC,故A正確；

對(duì)于B：因?yàn)闋t?7=前，所以方+正+律=南+爐可+赤=律，故B正確；

對(duì)于C：A?=CC7,故C正確；

對(duì)于D：因?yàn)辂?=赤，所以荏+兩+炭+,=（而+近）+（而7-赤）=左，

故D錯(cuò)誤.

故選：D.

【例1.2]（23-24高二上?浙江紹興?期末）已知E,F分別是空間四邊形力BCD的對(duì)角線AC,BD的中點(diǎn)，點(diǎn)G是

線段EF的中點(diǎn)，P為空間中任意一點(diǎn)，則而+而+無(wú)+方=（）

A.PGB.2PGC.3PGD.4PG

【解題思路】根據(jù)向量加法運(yùn)算可解.

【解答過(guò)程】由題知：PA+PB+PC+PD=2PE+2PF=4PG.

故選：D.

【變式1.1]（23-24高二上.江西景德鎮(zhèn).期末）在空間四邊形048C中，化簡(jiǎn)市+通一荏=（）

A.~0AB.0C

C.ACD.OB

【解題思路】利用向量的加減運(yùn)算求解.

【解答過(guò)程】OA+AB-CB=OB-CB=BC-BO=OC.

故選：B.

在三棱錐P—4BC中，M為4C的中點(diǎn)，則由=（）

A.-BA+-BC+~BPB.-^A+-~BC-~BP

2222

C.-BA+-BC--BPD.-BA+-BC+-BP

222222

【解題思路】連接BM,根據(jù)空間向量的運(yùn)算法則，準(zhǔn)確化簡(jiǎn)，即可求解.

【解答過(guò)程】連接BM,根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得由=前-麗=［瓦？+］前-前.

考點(diǎn)3空間向量線性運(yùn)算

［例2.1］（23-24高二下?湖北孝感?期中）在三棱柱4BC-中,E是BC的中點(diǎn),AG=2GE,則函＞=

（）

A.-AB--AC+AAlB.-AB+-AC+AA1

331331

C.--AB+-AC+AA1D.--AB+-AC-AA1

33L331

【解題思路】依題意可得而=1荏，再根據(jù)空間向量線性運(yùn)算法則計(jì)算可得.

【解答過(guò)程】因?yàn)槟?2請(qǐng)，所以礪=1荏，

所以弱=赤+芯+鬲=［荏+（阮+京

——x—（4B+4C）+-（4C__i4B）+AA-y

=|左號(hào)荏+西.

【例17「24高M(jìn)L」如圖，在四面體48CD中，E,尸分別為8&4E的中點(diǎn)，G為△"￡＞的

重心，則而=（）

A.--AB+—AC+-AD

3124

B.--AB+—AC+-AD

4123

C.-AB--AC+-AD

4123

D.-AB+—AC--AD

3124

【解題思路】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算，將而用荏，前,同表示即可.

【解答過(guò)程】因?yàn)榉謩e為BC,AE的中點(diǎn)，所以而=：版=［（荏+福）.

因?yàn)镚為Aaco的重心，所以南=：（彳？+而），

所以而=AG-AF=^（AC+AD）—：（同+而）=-^AB+^AC+|M

故選：B.

'「：：）四面體A8CD中,E為棱BC的中點(diǎn)，則赤+《（而+反）=（）

A.ABB.ACC.AED.DE

【解題思路】根據(jù)向量的加法、數(shù)乘運(yùn)算求解即可.

【解答過(guò)程】如圖，

因?yàn)镋為棱BC的中點(diǎn)，

所以而+|（DB+0C）=AD+|x2DE=AD+DE=AE,

故選：C.

【變式2.2]（23-24高二上?河南南陽(yáng)?階段練習(xí)）求（a+23—3U+3x（|c!—M--(a-2b+弓為

（）

■2—?t—?

A.2a+-6-2cB.2a+-b-2c

22

C.2d—b—2cD.2d—b—2c

22

【解題思路】根據(jù)向量的數(shù)乘運(yùn)算以及加減運(yùn)算的性質(zhì)，求解即可得出答案.

【解答過(guò)程】原式=2+3x|a—3+23—3x23+23—3^+3x|0-3=22+|b-2c.

故選：B.

考點(diǎn)4由空間向量的線性運(yùn)算求參數(shù)

[M,M]（23-24；：7j.I-.111]島.明末）已知四面體。4BC中，瓦？==石,而==AAM(2>O),yV

為BC中點(diǎn)，^MN=--a+-b+-c,則4=（）

422

11

A.3B.2C.-D.-

23

【解題思路】根據(jù)空間向量的運(yùn)算法則，化簡(jiǎn)得到標(biāo)=-乙結(jié)合題意，列出方程，即可求

1+A22

解.

【解答過(guò)程】根據(jù)題意，利用空間向量的運(yùn)算法則，可得：MN=ON-OM=\(OB+OC}-^-OA=

21+A

---A-a-+-1oW+-1cT,

l+A22

因?yàn)镸N=—工/++工冷所以工7=工，解得A=2

4221+A43

故選：D.

【例3.2](22-23高二上?福建莆田?期末)如圖，平行六面體ABC。—中，點(diǎn)M在881上，點(diǎn)N在DA

上，且BM=3BBi，D]N=觸m,若麗=t荏+y茄+zM，則汽+y+z=()

A

【解題思路】根據(jù)空間向量的運(yùn)算法則確定而=-AB+AD+^AAl，得到答案.

6

【解答過(guò)程】J4N=^4B+BA+AD+DN=--AA^-AB+AD+-AA[=-AB+AD+-AA^,

236

故％=—1,y=1,z=-,x+y+z=-.

66

故選：A.

【變式3.1](23-24高二上?福建泉州?階段練習(xí))如圖所示，在平行六面體力BCD-力i/QDi中，點(diǎn)E為上

底面對(duì)角線4C】的中點(diǎn)，若麗=甌+久屈+y而，貝I]()

【解題思路】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算即可求解.

【解答過(guò)程】根據(jù)題意，得；BE=BB1+\（BA+BC}

―.1--1-.

=AAi+~BA+~BC

122

—1一1一

=AAr

又?:BE=AAr+xAB+yAD

11

???x=-y，

故選：A.

【變式3.2］（23-24高二江蘇?假期作業(yè)）如圖所示，平行六面體A8CQ-A乃/GS中，E,產(chǎn)分別在

和乙。上，且BE=3BBi，DF^DDi.^EF=xAB+yAD+zAA^,則x+y+z等于（）

A.-1B.0C.-D.1

3

【解題思路】根據(jù)空間向量的加法、減法和數(shù)乘的運(yùn)算法則即可得解.

【解答過(guò)程】解：EF=EB+BA+AD+DF

1、、*2、

3131

1kkx2___.

=——AA^—AB+AD+—AA1

—、—、1--x

——AB+ADH—AA^,

3x

???EF=xAB+yAD+zAAr,

?一1一1—i

??x--1,y-19z—，

J3

.1

??x+y+z=-

故選：c.

三、共線、共面向量

基礎(chǔ)知識(shí)

1.共線向量

(1)空間兩個(gè)向量共線的充要條件

對(duì)于空間任意兩個(gè)向量“，以厚0),的充要條件是存在實(shí)數(shù)加使

(2)直線的方向向量

在直線/上取非零向量a,我們把與向量a平行的非零向量稱為直線/的方向向量.

規(guī)定：零向量與任意向量平行，即對(duì)任意向量a,都有0//a.

(3)共線向量定理的用途：

①判定兩條直線平行；

②證明三點(diǎn)共線.

【注】：證明平行時(shí)，先從兩直線上取有向線段表示兩個(gè)向量，然后利用向量的線性運(yùn)算證明向量共線，

進(jìn)而可以得到線線平行，這是證明平行問(wèn)題的一種重要方法；證明三點(diǎn)共線問(wèn)題，通常不用圖形，直接利

用向量的線性運(yùn)算即可，但一定要注意所表示的向量必須有一個(gè)公共點(diǎn).

2.共面向量

⑴共面向量

如圖，如果表示向量a的有向線段次所在的直線04與直線/平行或重合，那么稱向量a平行于直線/.如果

直線0A平行于平面a或在平面a內(nèi)，那么稱向量a平行于平面a.平行于同一個(gè)平面的向量,叫做共面向量.

a

~~OV

dI

(2)向量共面的充要條件

如果兩個(gè)向量a,不共線，那么向量o與向量a,B共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y),使p

—xa+yb.

(3)共面向量定理的用途：

①證明四點(diǎn)共面；

②證明線面平行.

考點(diǎn)5向量共線的判定

[例1](224課后作業(yè))已知向量五，X,1不共面，而’=4江+5石+3洛尼=2=+33+落

AD=6a+7b+5c.求證：B,C,。三點(diǎn)共線.

【解題思路】將三點(diǎn)共線問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求證向量共線問(wèn)題求證即可.

【解答過(guò)程】因?yàn)榍?42+53+33AC=2a+3b+c,AD=6a+7b+5c,

所以阮-XC-XB=2a+3b+c-(4a+5b+3c)=-2a-2b-2c,

BD=AD-AB=6a+7b+5c-(4a+5b+3c')=2a+2b+2c,

所以近=-BD,

所以阮〃麗，又B為公共點(diǎn)，

所以B,C,。三點(diǎn)共線.

四棱柱ABCD-ABO的六個(gè)面都是平行四邊形，點(diǎn)M在對(duì)角

線4B上，且|AM|=||MB|,點(diǎn)N在對(duì)角線4c上，且|AN|=：|NC|.

(1)設(shè)向量AB=a,AD=b,AA'=c,用N、b、3表示向量ZTM、D，N；

(2)求證：M、N、D'三點(diǎn)共線.

【解題思路】(1)借助空間向量的線性運(yùn)算計(jì)算即可得；

(2)借助向量共線定理證明而〃而即可得.

【解答過(guò)程】⑴因?yàn)?4Ml=1|MB|,則祈厲=式前5+加爐)=一：4不+(同,

所以西+而=_而+（_］加+［四）=|a-&-jc,

又因?yàn)閨4N|=］|NC|,則標(biāo)=：衣=5（H1+南+前），

T-?TTfTf

所以O(shè)N=D'A'+A'N=-AD+^A'A+AB+AI）\-^AD-^AA'

⑵因?yàn)辂?行一行4//方=乂/一誦）一專0=9玩一擊0

,■----------->----------->---------->----------->1--------->------->1--------->

=3回一:/)且MD'=4。'—4M=4。-p，B=BC-y,8,

所以標(biāo)=工板，即M、N、￡＞，三點(diǎn)共線.

4

全國(guó)?課前預(yù)習(xí)）已知45P三點(diǎn)共線，。為直線外空間任意一點(diǎn)，^OP=aOA+

0旗,求證：a+p=1.

【解題思路】利用共線向量定理，可設(shè)而=t而，結(jié)合向量的減法運(yùn)算，求得加=（1-t）就+t而，利

用平面向量分解的唯一性，得到a=l-t1=t,進(jìn)而證得.

【解答過(guò)程】由4B,P三點(diǎn)共線，得Q=t荏，

即而一萬(wàn)5=t（OB-OA）.

整理得加=（1-t）OA+tOB.

又因?yàn)榉?aOA+POB,

所以a=1—t,0=t.

所以a+/?=1.

23-24高二上.湖南長(zhǎng)沙.階段練習(xí)）如圖，己知。,4B,C,D,民F,G,H為空間的9個(gè)點(diǎn)，且反=

kOA,OF=kOB,OH=kOD,AC=AD+mAB,EG=EH+mEF,fc0,m0.

求證：（1）AC//EG；

（2）OG=kOC.

【解題思路】（1）由題意，EG=~EH+mEF,轉(zhuǎn)化麗=麗-赤，而=赤-云，代入結(jié)合題干條件運(yùn)

算即得證；

（2）由題意，OG=OE+EG,又而=卜瓦?,麗=卜尼，運(yùn)算即得證

【解答過(guò)程】證明：（1）麗=麗+血麗=而一赤+山（而一歷）

=k(0D-~0A)+km(0B-fll)

=kAD+kmAB-k{AD+mXB)=kAC

：.AC//EG.

(2)~0G=~0E+~EG=kOA+kAC=k(0A+硝=kOC.

考點(diǎn)6向量共面的判定

【例2,1]（23-24高荷酉球后作業(yè)）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，過(guò)平面AC外一點(diǎn)。作射線

OA,OB,OC,OD,在四條射線上分別取點(diǎn)E,F,G,H,并且使第=釜=器=瞿=k.求證：E,F,

lz/1CzDL/CUU

G,X四點(diǎn)共面.

【解題思路】利用共面向量定理證明，由麗=麗+麗可得四點(diǎn)共面.

【解答過(guò)程】證明：因?yàn)閺膱F(tuán)4BCD所在平面外一點(diǎn)O作射線OB,OC,OD,在四條射線上分別取點(diǎn)

E,F,G,H,且滿足女=竺=竺="=匕則有向量市=k市，OF=kOB,OG=kOC,OH=kOD,

而在13aBe。中，有前=荏+而，所以

EG=OG-OE=k(OC-04)=kAC=k(AB+AD)=k(0B-OA+OD-0X)

=k(OB+0D-20A)=k(^OF+yOH-:宿=OF-OE+OH-OE

\KKK/

=EF+EH

故E,F,G,"四點(diǎn)共面，證畢.

【例2.2](2024高;上?全國(guó)?專題習(xí))已知三點(diǎn)不共線，對(duì)于平面4BM外的任意一點(diǎn)。，判斷在

下列各條件下的點(diǎn)P與點(diǎn)4B,M是否共面.

(1)OB+OM=3OP-OA；

(2)0?=4OA-OB-OM.

【解題思路】(1)根據(jù)空間向量的共面定理及推論，即可求解；

(2)根據(jù)空間向量的共面定理及推論，即可求解；

【解答過(guò)程】(1)解：因?yàn)?B,M三點(diǎn)不共線，可得三點(diǎn)共面，

對(duì)于平面ABM外的任意一點(diǎn)。，若麗+麗=3而一瓦?，

即。p=LA+-0B+-0M,

3033

又因?yàn)?+：+:=1,根據(jù)空間向量的共面定理，可得點(diǎn)P與共面.

(2)解：因?yàn)镸三點(diǎn)不共線，可得三點(diǎn)共面，

對(duì)于平面4BM外的任意一點(diǎn)。，若加=4成一而一而，此時(shí)4—1一1=2彳1,

根據(jù)空間向量的共面定理，可得點(diǎn)尸與4,8,“不共面.

:?全國(guó)?專題練習(xí))如圖，已知。、4艮。、。、￡、產(chǎn)、￡8為空間的9個(gè)點(diǎn)，且荏=kOA,

OF=kOB,OH=kOD,AC=AD+mAB,~EG=EH+mEF,k,meR.求證：A、8、C、O四點(diǎn)共面，E、F、

G、X四點(diǎn)共面；

【解題思路】

根據(jù)題意，由空間向量共面定理分別證得正，而，荏是共面向量，麗，麗，而是共面向量，即可得到結(jié)果.

【解答過(guò)程】因?yàn)榍?AD+mAB,~EG=~EH+mEF,

所以由共面向量定理可得而，而，屈是共面向量，前，麗，麗是共面向量，

因?yàn)槟?，同，前有公共點(diǎn)4,麗，麗，而有公共點(diǎn)E,

所以48、C、Z)四點(diǎn)共面，及尸、G、H四點(diǎn)共面.

廠「如圖，已知0,A,B,C,D,E,F,G,"為空間的9個(gè)點(diǎn)，且布=kOA,

OF=kOB,OH=kOD,AC=AD+mAB,EG=EH+mEF,k手Q,m0.

(1)求證：A,B,C,。四點(diǎn)共面，E,F,G,”四點(diǎn)共面；

(2)求證：平面4BCD〃平面EFCH；

⑶求證：0G=kOC.

【解題思路】

(1)利用空間向量共面定理即可求證；

(2)由空間向量線性運(yùn)算可得的=k衣，由空間向量共線定理可證明而〃前，再由線面平行的判定定理

可得EG〃平面4BCD,同理可證明〃平面力BCD,由面面平行的判定定理即可求證；

(3)由(2)知麗=k左，再利用空間向量的線性運(yùn)算即可求證.

【解答過(guò)程】

(1)因?yàn)榍?詬+小屈，m0,

所以灰，AD,而共面，即4B,C,。四點(diǎn)共面.

因?yàn)辂?麗+小麗，m0,

所以麗，麗，而共面，即E,F,G,"四點(diǎn)共面.

(2)連接HF,BD,EG=EH+mEF=OH-OE+m(0F-OE)=k(0D-ol)+km(0B-ol)

=kAD+kmAB=k(AD+mAB)=kAC,所以前〃南，

又因?yàn)镋GC平面4Cu平面ABC。，所以EG〃平面48CD.

因?yàn)槎?OH-OF=k(0D-而)=k'BD,所以麗〃麗，

又FHC平面ABCD,BDu平面4BCD,所以F”〃平面4BCD,

因?yàn)镋G與FH相交，所以平面ABC?！ㄆ矫鍱FGH.

(3)由(2)^QEG=kAC,所以而=赤+前=卜旅+k就=k@+就)=k瓦.

考點(diǎn)7由空間向量共線、共面求參數(shù)

【例3.1】(23-24高遼寧?期中)設(shè)向量百二國(guó)不共面，已知而=-3/-、+2氏前==+4石-6部,

CD=4e7+2e2+8e^,若三點(diǎn)共線，貝!M=()

A.0B.1C.2D.3

【解題思路】把A、C、。三點(diǎn)共線轉(zhuǎn)化為滿足麗=y左，列方程組，求出2即可.

【解答過(guò)程】因?yàn)?B=-3瓦＞—&2+2瓦,BC=瓦+A^26可，CD=4ej*+2e2+8否，

所以2C=AB+BC-2e1+(A-De2-4eg,

因?yàn)?&D三點(diǎn)共線，所以存在唯一的y,使得加=3/前，

即4/+通+晦=y(-2e7+(A-l)ej—4瓦)，

，4=—2y

即2=y(4—1),解得：P=°?.

8=-4yU=-2

故選：A.

。為空間任意一點(diǎn)，若?=—；次+；而+t方，若4,B,

48

C,P四點(diǎn)共面，貝肛=()

911

A.1B.-C.-D.-

884

【解題思路】將族=-工況+工赤+t反化簡(jiǎn)為：OP=-OA+-OB+tOC,利用四點(diǎn)共面定理可得三+工+

484848

t=1,即可求解.

【解答過(guò)程】因?yàn)橛?而一示，所以羽=一工成+工麗+而？，可化簡(jiǎn)為：OP-OA^--OA+-OB+

4848

toe,即加=三市+工市+tU?,

48

由于4,B,C,P四點(diǎn)共面，貝葉+；+t=l,解得：t=；；

488

故選：C.

j<U，津,：設(shè)向量引G，瓦不共面，已知四=久+石+/，BC=K+

2瓦+瓦，==4瓦*+8瓦+4同，若A,C,。三點(diǎn)共線，則4=()

A.1B.2C.3D.4

【解題思路】根據(jù)A,C,。三點(diǎn)共線，可得於〃麗，則存在唯一實(shí)數(shù)的使得前=〃歷，再根據(jù)空間向

量共線定理即可得解.

【解答過(guò)程】由荏=江+石+可，SC=e7++e；,

得前=AB+BC=2e;+^l+2)/+2可，

因?yàn)锳,C,。三點(diǎn)共線，所以灰〃而，

則存在唯一實(shí)數(shù)〃，使得前=〃而，

2=4〃r_1

則1+4=8〃，解得"=5.

,2=4^14=3

故選：C.

后fW已知。為空間任意一點(diǎn)，4B,C,P滿足任意三點(diǎn)不共線，但四點(diǎn)

共面，且麗=山瓦5+4+反，則m的值為()

A.-1B.2C.-2D.-3

【解題思路】借助空間向量的線性運(yùn)算及四點(diǎn)共面的充要條件即可判斷選項(xiàng).

【解答過(guò)程】因?yàn)?。為空間任意一點(diǎn)，~BP=mOA+OB+0C,

所以赤-0B=mOA+0B+0C,

所以而=mOA+20B+OC,

因?yàn)锳,B,C,尸滿足任意三點(diǎn)不共線，但四點(diǎn)共面，

所以m+2+1=1,解得m=-2.

故選：C.

四、課后作業(yè)

單選題

1.（23-24高二上.新疆.階段練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（）

A.若|2|〈向，貝!<bB.若1，3互為相反向量，則匯+3=0

C.空間中兩平行向量相等D.在四邊形A8CQ中，AB-AD=~DB

（解題思路】根據(jù)向量的相關(guān)定義即可求解ABC,根據(jù)向量的減法運(yùn)算即可求解D.

【解答過(guò)程】對(duì)于A,向量不可以比較大小，所以A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,若出B互為相反向量，則/+?=6,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,兩向量相等需要向量的方向相同，且長(zhǎng)度相同，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,四邊形中，AB-AD=DB,故D正確.

故選：D.

2.（23-24高福建泉州.期中）在正方體A8CD-2/1。也中，與向量麗相反的向量是（）

A.C^BB.~BC[C.B^AD.南

【解題思路】根據(jù)正方體的特征及相反向量的概念判定即可.

如圖所示，可知”是麗的相反向量.

故選：A.

3.（2024高二全國(guó).專題練習(xí)）已知空間四邊形ABCD,連接AC,BD,N為CD中點(diǎn)，如圖所示，則說(shuō)+

+BC)=()

A.ANB.CN

C.~BCD.-BC

2

【解題思路】

直接利用向量的加法運(yùn)算得答案.

【解答過(guò)程】連接AN,BN,

因?yàn)镹為CO的中點(diǎn)，所以前=|（前+配），

所以通+|（而+就）=AB+BN=AN,

故選：A.

4.（23-24高二下?江蘇鹽城期中）如圖，在平行六面體48co-4/Ci%中，M為AG與aD1的交點(diǎn).若荏=

則下列向量中與前相等的是（）

a,AD=b,AAr=c,

B.—CLH—b+c

2222

Cc.—ja—1b7*+.cD.-1a-——1b-+7c

2222

【解題思路】利用空間向量基本定理表示出前，得到答案.

【解答過(guò)程】因?yàn)榍?兩+可環(huán)=京+之瓦4+［瓦77=磯一之荏+3而--|a+|fa+c.

所以BM=——d+—/?+c.

故選：B.

5.（23-2-11..卜」［川中）已知拓?，麗是空間兩個(gè)不共線的向量，流=5M？-3麗，那么必有（）

A.前共線B.拓瓦標(biāo)共線

C.前1,而,就共面D.涼，麗，而不共面

【解題思路】利用空間向量的共線定理與共面定理.

【解答過(guò)程】若加,共線，則=AMX（AGR）,

又祈？=SMA-3MB=AMA=SMA-3MB=笥a拓5=MB,則拓?，麗共線，

與條件矛盾，故A錯(cuò)誤；

同理若麗，流共線，則荻=AMB（2GR）,

又祈？=5AM-3MBnAMB=5AM-3初n=MA,則拓?，麗共線，

與條件矛盾，故B錯(cuò)誤；

根據(jù)空間向量的共面定理可知為I麗，標(biāo)共面，即C正確，D錯(cuò)誤.

故選：C.

6.（22-23高二上?福建福州?階段練習(xí)）下列命題中正確的是（）

A.若4,B,C,。是空間任意四點(diǎn)，^AB+BC+CD+DA=O

B.|團(tuán)一同=忖+同是3共線的充要條件

C.若希，而共線，貝ij4B〃CD

D.對(duì)空間任意一點(diǎn)。不共線的三點(diǎn)4B,C,^OP^xOA+yOB+zOC（其中x,y,zeR）,貝|P,A,B,C

四點(diǎn)共面

【解題思路】根據(jù)向量加法三角形法則可判斷A；根據(jù)向量模的定義可判斷B；根據(jù)向量共線可判斷C；通過(guò)

久+y+z與1的關(guān)系可判斷D.

【解答過(guò)程】根據(jù)向量加法三角形法則可知A對(duì)；

若五、石同向共線則不滿足|磯一同=|五+同,可知B錯(cuò)；

若荏，前共線，則或重合，可知C錯(cuò)；

對(duì)空間任意一點(diǎn)P與不共線的三點(diǎn)A、B、C,若赤=茄1+、礪+z浙（x,y,z€R）,當(dāng)久+y+z=l時(shí)P、4、B、C四

點(diǎn)共面,可知D錯(cuò).

故選：A.

（22-23高二上?新疆伊犁.期末）已知瓦*、石、可為空間三個(gè)不共面的向量，向量2=區(qū)+4孩+4瓦，

3=3久+9孩+4瓦，若2與3共線，則4+〃=（）

A.-3B.3C.-15D.15

【解題思路】設(shè)N=k灰keR）,根據(jù)空間向量共線的基本定理可得出關(guān)于晨4、〃的方程組，解出這三個(gè)

量的值，即可得解.

【解答過(guò)程】因?yàn)榘佟⑼?、石為空間三個(gè)不共面的向量，向量2=瓦（+〃孩+4藥，5=3瓦+9尻+2瓦，

若2與石共線，設(shè)&=k}k€R）,即瓦*+〃石+4瓦=k（3瓦+9石+4瓦），

1=3k（k=g

可得〃=9k,解得=12,故久+〃=15.

4=入卜[〃=3

故選：D.

:X鹽城；明末）已知點(diǎn)D在△ABC確定的平面內(nèi)，。是平面2BC外任意一點(diǎn)，若正實(shí)數(shù)久,y

滿足曲=xOA+2yOB-0C,則箸的最小值為（）

59

A.-B.-C.2D.4

22

【解題思路】由四點(diǎn)共面可得為+2y=2,再由“1”的技巧及均值不等式求解.

【解答過(guò)程】由四點(diǎn)共面，可知％+2y—l=l,即％+2y=2,

由x>O,y>。，箸抖+2雙?事+尹韻

>|（5+2-y）=I.當(dāng)且僅當(dāng)￡=孑，即x=y=削寸等號(hào)成立，

故選：B.

多選題

9.（23-24高二下.江蘇連云港.階段練習(xí)）下列選項(xiàng)中正確的是（）

A.若存在實(shí)數(shù)x,y,使麗=%拓？+y麗，則點(diǎn)尸，M,A,8共面；

B.若萬(wàn)與2,3共面，則存在實(shí)數(shù)x,?使萬(wàn)=久2+融；

C.若向量2、3所在的直線是異面直線，則向量2、3一定不共線；

D.若入京3是空間三個(gè)向量，則對(duì)空間任一向量向，總存在唯一的有序?qū)崝?shù)組（x,y,z）,使萬(wàn)=xa+yb+

zc.

【解題思路】由空間向量共面定理即可判斷AB,由共線向量的概念即可判斷C,由空間向量基本定理即可

判斷D

【解答過(guò)程】由向量共面定理可知，若存在實(shí)數(shù)X,?使麗=%加+丫麗，則點(diǎn)尸，M,A,8共面，故

A正確；

若,石共線，力不與反共線，則不存在實(shí)數(shù)x,y,使萬(wàn)=x2+yB,故B錯(cuò)誤；

若向量入3所在的直線是異面直線，貝必花的方向不相同也不相反，且所在直線也不

相交，所以向量忘3一定不共線，故C正確；

若b,不是空間三個(gè)基底向量，則對(duì)空間任一向量小總存在唯一的有序?qū)崝?shù)組（x,y,z）,Up=xa+yb+

zc,故D錯(cuò)誤；

故選：AC.

1（）.（23-24高一上.山西長(zhǎng)治.期末）在三棱錐。—ABC中，OA=a,OB=b,OC=c,點(diǎn)M在直線。4上，

且。M=2M4N是8C的中點(diǎn)，則下列結(jié)論可能成立的是（）

A.01V=-（a+b）B.MN=--a+-b+-c

2v7322

C.NA=^（N0+NM）D.CM=-|a-c

【解題思路】根據(jù)題意，結(jié)合