第86講排列與組合,

拿知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)1、排列與排列數(shù)

（1）定義:從八個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素排成一列，叫做從打個(gè)不同元素中取

出m個(gè)元素的一個(gè)排列.從打個(gè)不同元素中取出巾（館Wn）個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù),叫做

從n個(gè)不同元素中取出小個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)儀表示.

（2）排列數(shù)的公式：A^=n（n-l）（n-2）…（n—zn+1）—n!

（n—m）!

特例：當(dāng)m="時(shí)，A^=n!=n（n—l）（n—2）…3?2?1；規(guī)定：0!=1.

（3）排列數(shù)的性質(zhì)：

①&="AM1；②&=A*；③&=mA篇1+4.

TI-772TL-m

（4）解排列應(yīng)用題的基本思路：

通過(guò)審題，找出問(wèn)題中的元素是什么，是否與順序有關(guān)，有無(wú)特殊限制條件（特殊位置,

特殊元素）.

注意:排列數(shù)公式的兩種不同表達(dá)形式本質(zhì)是一樣的，但作用略有不同，A^-n（n-l）??

?（門-m+1）常用于具體數(shù)字計(jì)算;而在進(jìn)行含字母算式化簡(jiǎn)或證明時(shí)，多用

知識(shí)點(diǎn)2、組合與組合數(shù)

（1）定義:從n個(gè)不同元素中取出m（m<n）個(gè)元素并成一組,叫做從幾個(gè)不同元素中取

出m個(gè)元素的一個(gè)組合.從打個(gè)不同元素中取出小個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù),叫做

從八個(gè)不同元素中取出小個(gè)元素的組合數(shù),用符號(hào)C?表示.

（2）組合數(shù)公式及其推導(dǎo)

求從n個(gè)不同元素中取出小個(gè)元素的排列數(shù)型，可以按以下兩步來(lái)考慮：

第一步，先求出從這八個(gè)不同元素中取出小個(gè)元素的組合數(shù)第；

第二步，求每一個(gè)組合中小個(gè)元素的全排列數(shù)7；

根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理,得到AT=C廣蝴；

國(guó)叱—空一-（門_）（一）（.一帆+）

因此,rm”一短—11m2l…1-

這里打，巾CN+，且巾這個(gè)公式叫做組合數(shù)公式.因?yàn)?=/加、，，所以組合

（n—772）!

數(shù)公式還可表示為：ar=/、,.特例：c?=<^=1.

注意:組合數(shù)公式的推導(dǎo)方法是一種重要的解題方法！在以后學(xué)習(xí)排列組合的混合問(wèn)題

時(shí)，一般都是按先取后排（先組合后排列）的順序解決問(wèn)題.公式C7=

八卜一1）S一胃」（刃一帆+1）常用于具體數(shù)字計(jì)算，C-=_M_常用于含字母算式的

化簡(jiǎn)或證明.

⑶組合數(shù)的主要性質(zhì):①&=Ch；②（X+CT=備］.

（4）組合應(yīng)用題的常見(jiàn)題型：

第912頁(yè)共1043頁(yè)

①“含有”或“不含有”某些元素的組合題型

②“至少”或“最多”含有幾個(gè)元素的題型

知識(shí)點(diǎn)3、排列和組合的區(qū)別

組合:取出的元素地位平等,沒(méi)有不同去向和分工.

排列：取出的元素地位不同,去向、分工或職位不同.

注意:排列、組合都是研究事物在某種給定的模式下所有可能的配置數(shù)目問(wèn)題,它們之間的主

要區(qū)別在于是否要考慮選出元素的先后順序，不需要考慮順序的是組合問(wèn)題,需要考慮順序

的是排列問(wèn)題.排列是在組合的基礎(chǔ)上對(duì)入選的元素進(jìn)行排隊(duì)，因此，分析解決排列組合綜

合問(wèn)題的基本思維是“先組合，后排列”.

知識(shí)點(diǎn)4、解決排列組合綜合問(wèn)題的一般過(guò)程

1、認(rèn)真審題，確定要做什么事；

2、確定怎樣做才能完成這件事，即采取分步還是分類或是分步與分類同時(shí)進(jìn)行，弄清楚

分多少類及多少步；

3、確定每一步或每一類是排列(有序)問(wèn)題還是組合(無(wú)序)問(wèn)題,元素總數(shù)是多少及取

出多少個(gè)元素；

4、解決排列組合綜合性問(wèn)題，往往類與步交叉，因此必須掌握一些常用的解題策略.

【解題方法總結(jié)】

1、如圖,在圓中，將圓分"等份得到幾個(gè)區(qū)域Mi，M2,M3,…，M”(TZ>2),現(xiàn)取亂后>2)

種顏色對(duì)這n個(gè)區(qū)域涂色,要求每相鄰的兩個(gè)區(qū)域涂不同的兩種顏色,則涂色的方案有(-1)"

伍-1)+值-1)”種.

2、錯(cuò)位排列公式口“=俱與￥+1)?加

3、數(shù)字排列問(wèn)題的解題原則、常用方法及注意事項(xiàng)

(1)解題原則:排列問(wèn)題的本質(zhì)是“元素”占“位子”問(wèn)題，有限制條件的排列問(wèn)題的限制

條件主要表現(xiàn)在某元素不排在某個(gè)位子上，或某個(gè)位子不排某些元素，解決該類排列問(wèn)題的

方法主要是按“優(yōu)先”原則，即優(yōu)先排特殊元素或優(yōu)先滿足特殊位子，若一個(gè)位子安排的元素

影響到另一個(gè)位子的元素個(gè)數(shù)時(shí),應(yīng)分類討論.

4、定位、定元的排列問(wèn)題，一般都是對(duì)某個(gè)或某些元素加以限制，被限制的元素通常稱為

特殊元素，被限制的位置稱為特殊位置.這一類問(wèn)題通常以三種途徑考慮：

(1)以元素為主考慮，這時(shí)，一般先解決特殊元素的排法問(wèn)題,即先滿足特殊元素,再安排

其他元素；

(2)以位置為主考慮,這時(shí)，一般先解決特殊位置的排法問(wèn)題,即先滿足特殊位置,再考慮

第913頁(yè)共1043頁(yè)

其他位置；

（3）用間接法解題，先不考慮限制條件，計(jì)算出排列總數(shù),再減去不符合要求的排列數(shù).

5、解決相鄰問(wèn)題的方法是“捆綁法”，其模型為將幾個(gè)不同元素排成一排,其中某A;個(gè)元素排

在相鄰位置上，求不同排法種數(shù)的方法是:先將這k個(gè)元素“捆綁在一起“，看成一個(gè)整體,當(dāng)

作一個(gè)元素同其他元素一起排列，共有&二霜種排法;然后再將“捆綁”在一起的元素“內(nèi)部”

進(jìn)行排列，共有A怖種排法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，符合條件的排法共有AX隹卜N

種.

6、解決不相鄰問(wèn)題的方法為“插空法”，其模型為將n個(gè)不同元素排成一排，其中某k個(gè)

元素互不相鄰（拈&n—拈+1）,求不同排法種數(shù)的方法是:先將（m—fc）個(gè)元素排成一排，共

有種排法；然后把k個(gè)元素插入n—k+l個(gè)空隙中，共有種排法.根據(jù)分步乘法

計(jì)數(shù)原理可知，符合條件的排法共有AX&AL*+i種.

整必考題型全歸納

送年里TE列數(shù)與組合數(shù)的推導(dǎo)、化簡(jiǎn)和計(jì)算

M（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）若C；”=CL，則實(shí)數(shù)2的值為)

A.1B.3C.1或3D.0

14695]（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）。+C：+Cl+-+C?8=

A.C?8B.C?9C.C?8-lD.C?9-l

（2024?甘肅蘭州?統(tǒng)考一模）4=90,則九等于.

A,一A；。

669g（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）

Ag+A；

1硼1（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）-89A1-8A；=

IM（2024?高三課時(shí)練習(xí)）已知—C：+0!=4,則巾=.

I麗I（202小河北衡水?高三衡水市第二中學(xué)期末）若C爵+6=就12,則禺=

（2024?全國(guó)?高三對(duì)口高考）計(jì)算。竄"+C治的值為

2題型二:直接法

IMI（2024?江蘇?高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）甲、乙、丙等六人相約到電影院觀看電影《封神榜》，恰

好買到了六張連號(hào)的電影票.若甲、乙兩人必須坐在丙的同一側(cè),則不同的坐法種數(shù)為

A.360B.480C.600D.720

|^703||（2024?重慶?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）雅禮女籃一直是雅禮中學(xué)的一張靚麗的名片，在剛剛結(jié)

束的2022到2024賽季中國(guó)高中籃球聯(lián)賽女子組總決賽中，雅禮中學(xué)女籃隊(duì)員們敢打敢

拼，最終獲得了冠軍.在頒獎(jiǎng)儀式上，女籃隊(duì)員12人（其中1人為隊(duì)長(zhǎng)）,教練組3人，站成

一排照相，要求隊(duì)長(zhǎng)必須站中間,教練組三人要求相鄰并站在邊上，總共有多少種站法

A.AU11B.2A：A；；C.A：A：A；D.2A：A：A；

第914頁(yè)共1043頁(yè)

（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）有五名志愿者參加社區(qū)服務(wù)，共服務(wù)星期六、星期天兩天，每

天從中任選兩人參加服務(wù),則恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)的選擇種數(shù)為（）

A.120B.60C.40D.30

1^70511（2024?全國(guó)?高三對(duì)口高考）要排出某班一天中語(yǔ)文，數(shù)學(xué)，政治，英語(yǔ)，體育，藝術(shù)6門課

各一節(jié)的課程表，要求數(shù)學(xué)課排在前3節(jié),英語(yǔ)課不排在第6節(jié),則不同的排法種數(shù)為

A.24B.72C.144D.288

（2024?全國(guó)?高三對(duì)口高考）運(yùn)輸公司從5名男司機(jī)，4名女司機(jī)中選派出3名男司機(jī)，2

名女司機(jī)，到A,B,C,D,E這五個(gè)不同地區(qū)執(zhí)行任務(wù)，要求A地只能派男司機(jī)，E地只

能派女司機(jī),則不同的方案種數(shù)是（）

A.360B.720C.1080D.2160

4707（2024?全國(guó)?高三對(duì)口高考）從編號(hào)為1,2,3,4,5的5個(gè)球中任取4個(gè)，放在編號(hào)為A,

B,C,D的4個(gè)盒子里，每盒一球，且2號(hào)球不能放在B盒中的不同的方法數(shù)是（）

A.24B.48C.54D.96

IW1（2024?陜西?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）甲、乙兩個(gè)家庭周末到附近景區(qū)游玩，其中甲家庭有

2個(gè)大人和2個(gè)小孩，乙家庭有2個(gè)大人和3個(gè)小孩，他們9人在景區(qū)門口站成一排照相，

要求每個(gè)家庭的成員要站在一起,且同一家庭的大人不能相鄰，則所有不同站法的種數(shù)為

（）

A.144B.864C.1728D.2880

3題型三:間接法

II（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）8個(gè)點(diǎn)將半圓分成9段弧，以10個(gè)點(diǎn)（包括2個(gè)端點(diǎn)）為頂點(diǎn)

的三角形中鈍角三角形有（）個(gè)

A.55B.112C.156D.120

（2024?湖北武漢?高二校聯(lián)考期末）甲、乙、丙、丁四位同學(xué)決定去黃鶴樓、東湖、漢口江灘

游玩,每人只能去一個(gè)地方，漢口江灘一定要有人去，則不同游覽方案的種數(shù)為（）

A.65B.73C.70D.60.

（2024?湖南長(zhǎng)沙?雅禮中學(xué)校聯(lián)考二模）從正360邊形的頂點(diǎn)中取若干個(gè)，依次連接，構(gòu)

成的正多邊形的個(gè)數(shù)為

A.360B.630C.1170D.840

4712（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）將7個(gè)人從左到右排成一排，若甲、乙、丙3人中至多有2人

相鄰，且甲不站在最右端，則不同的站法有（）.

A.1860種B.3696種C.3600種D.3648種

4題型四:捆綁法

（2024?四川內(nèi)江?高三期末）甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲和乙

相鄰,丙不站在兩端，則不同的排列方式共有

第915頁(yè)共1043頁(yè)

A.12種B.24種C.36種D.48種

（2024?江西宜春?高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）“基礎(chǔ)學(xué)科拔尖學(xué)生培養(yǎng)試驗(yàn)計(jì)劃”簡(jiǎn)稱“珠峰計(jì)

劃”，是國(guó)家為回應(yīng)“錢學(xué)森之問(wèn)”而推出的一項(xiàng)人才培養(yǎng)計(jì)劃，旨在培養(yǎng)中國(guó)自己的學(xué)術(shù)

大師.浙江大學(xué)、復(fù)旦大學(xué)、武漢大學(xué)、中山大學(xué)均有開(kāi)設(shè)數(shù)學(xué)學(xué)科拔尖學(xué)生培養(yǎng)基地.已

知某班級(jí)有A,B,C,D,E共5位同學(xué)從中任選一所學(xué)校作為奮斗目標(biāo)，每所學(xué)校至少有一

位同學(xué)選擇，則A同學(xué)選擇浙江大學(xué)的不同方法共有)

A.24種B.60種C.96種D.240種

（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）某個(gè)單位安排7位員工在“五?一”假期中1日至7日值班，每

天安排1人值班,且每人值班1天，若7位員工中的甲、乙排在相鄰的兩天，丙不排在5月

1日，丁不排在5月7日，則不同的安排方案共有（

A.504種B.960種C.1008種D.1200種

（202小全國(guó)?高三專題練習(xí)）2024年春節(jié)在北京工作的五個(gè)家庭,開(kāi)車搭伴一起回老家

過(guò)年，若五輛車分別為A,B,C,D,E,五輛車隨機(jī)排成一排，則A車與B車相鄰，A車與C

車不相鄰的排法有

A.36種B.42種C.48種D.60種

（202小全國(guó)?高三專題練習(xí)）為慶祝廣益中學(xué)建校130周年，高二年級(jí)派出甲、乙、丙、丁、

戊5名老師參加“130周年辦學(xué)成果展”活動(dòng)，活動(dòng)結(jié)束后5名老師排成一排合影留念，要

求甲、乙兩人不相鄰且丙、丁兩人必須相鄰,則排法共有（）種.

A.40B.24C.20D.12

5題型五:插空法

（2024?湖北?高三孝感高中校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知來(lái)自甲、乙、丙三個(gè)學(xué)校的5名學(xué)生參

加演講比賽，其中三個(gè)學(xué)校的學(xué)生人數(shù)分別為1、2、2.現(xiàn)要求相同學(xué)校的學(xué)生的演講順序

不相鄰，則不同的演講順序的種數(shù)為（）

A.40B.36C.56D.48

（2024?黑龍江佳木斯?高三?？奸_(kāi)學(xué)考試）甲、乙、丙、丁、戊五人排成一排，甲和乙不相

鄰，排法種數(shù)為

A.12B.36C.48D.72

（2024?遼寧沈陽(yáng)?高三沈陽(yáng)二十中校考開(kāi)學(xué)考試）五聲音階是中國(guó)古樂(lè)基本音階,故有成

語(yǔ)“五音不全”，中國(guó)古樂(lè)中的五聲音階依次為:宮、商、角、徵、羽,若把這五個(gè)音階全用上,

排成一個(gè)五個(gè)音階的音序，且要求宮、羽兩音階不相鄰且在角音階的同側(cè),則可排成不同

的音序種數(shù)為)

A.72B.28C.24D.32

（2024?全國(guó)?高三對(duì)口高考）2位男生和3位女生共5位同學(xué)站成一排.若男生甲不站兩

端，3位女生中有且只有兩位女生相鄰,則不同排法的種數(shù)為)

A.36B.42C.48D.60

1722（2024?陜西西安?西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）某校舉行文藝匯演，甲、乙、丙等

第916頁(yè)共1043頁(yè)

6名同學(xué)站成一排演唱歌曲，若甲、乙不相鄰，丙不在兩端，則不同的排列方式共有

A.72種B.144種C.288種D.432種

4723（2024?四川?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）北京地處中國(guó)北部、華北平原北部，東與天津毗連,其余方

向均與河北相鄰，是世界著名古都，也是國(guó)務(wù)院批復(fù)確定的中國(guó)政治中心、文化中心、國(guó)際

交往中心、科技創(chuàng)新中心.為了感受這座古今中外聞名的城市，某學(xué)生決定在高考后游覽

北京，計(jì)劃6天游覽故宮、八達(dá)嶺長(zhǎng)城、頤和園、“水立方”、“鳥巢”、798藝術(shù)區(qū)、首都博物

館7個(gè)景點(diǎn),如果每天至少游覽一個(gè)景點(diǎn),且“水立方”和“鳥巢”在同一天游覽，故宮和八

達(dá)嶺長(zhǎng)城不在相鄰兩天游覽，那么不同的游覽順序共有（）

A.120種B.240種C.480種D.960種

（2024?湖北襄陽(yáng)?襄陽(yáng)四中?？寄M預(yù)測(cè)）一排有8個(gè)座位，有3人各不相鄰而坐，則不同

的坐法共有

A.120種B.60種C.40種D.20種

6題型六:定序問(wèn)題（先選后排）

j725||（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）滿足為CN*（i=1,2,3,4）,且gVg<gVgV10的有序數(shù)

組（如％23以4）共有（）個(gè).

A.比B.A:c.ctD.Af。

,高二課時(shí)練習(xí))已知?則滿足山|+

IMI(2024XiE{—1,0,1},(i=l,2,??m.TieN*),\x2\+|g|

4-----\~\xn\=2的有序數(shù)組（如力2，物…，/n）共有（）個(gè)

cri-n

A.2n2—2nB.2n2+2nD.n2—n

（2024.山西朔州?高二懷仁市第一中學(xué)校校考期中）五人并排站在一排，如果A,B必須

相鄰且B在A的右邊，那么不同的排法種數(shù)有)

A.60種B.48種C.36種D.24種

IMI（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）DNA是形成所有生物體中染色體的一種雙股螺旋線分子,

由稱為堿基的化學(xué)成分組成它看上去就像是兩條長(zhǎng)長(zhǎng)的平行螺旋狀鏈，兩條鏈上的堿基

之間由氫鍵相結(jié)合.在DNA中只有4種類型的堿基,分別用A、C、G和T表示，DNA

中的堿基能夠以任意順序出現(xiàn)兩條鏈之間能形成氫鍵的堿基或者是A-T,或者是C—

G,不會(huì)出現(xiàn)其他的聯(lián)系因此，如果我們知道了兩條鏈中一條鏈上堿基的順序，那么我們

也就知道了另一條鏈上堿基的順序.如圖所示為一條DNA單鏈模型示意圖，現(xiàn)在某同

學(xué)想在堿基T和堿基C之間插入3個(gè)堿基A,2個(gè)堿基C和1個(gè)堿基T,則不同的插入方

式的種數(shù)為（）

...AGGATCGG...

A.20B.40C.60D.120

（2024?江蘇揚(yáng)州?高三校考期末）花燈，又名“彩燈”“燈籠”，是中國(guó)傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)時(shí)代的文化

第917頁(yè)共1043頁(yè)

產(chǎn)物,兼具生活功能與藝術(shù)特色.如圖,現(xiàn)有懸掛著的6盞不同的花燈需要取下,每次取1

盞，則不同取法總數(shù)為

4730（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）某公司在元宵節(jié)組織了一次猜燈謎活動(dòng),主持人事先將10

條不同燈謎分別裝在了如圖所示的10個(gè)燈籠中，猜燈謎的職員每次只能任選每列最下面

的一個(gè)燈籠中的謎語(yǔ)來(lái)猜（無(wú)論猜中與否，選中的燈籠就拿掉）,則這10條燈謎依次被選

中的所有不同順序方法數(shù)為.（用數(shù)字作答）

n0

T1

n□

1.47311（2024?高二課時(shí)練習(xí)）7人排隊(duì)，其中甲、乙、丙3人順序一定，共有不同的排法.

7題型七:列舉法

5732]（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）數(shù)論領(lǐng)域的四平方和定理最早由歐拉提出，后被拉格朗日等

數(shù)學(xué)家證明.四平方和定理的內(nèi)容是:任意正整數(shù)都可以表示為不超過(guò)四個(gè)自然數(shù)的平

方和，例如正整數(shù)12=3?+儼+12+12=22+22+22+()2.設(shè)25=(^+會(huì)+c?+屋，其中

a,b,c,d均為自然數(shù)，則滿足條件的有序數(shù)組（a,bed）的個(gè)數(shù)是（）

A.28B.24C.20D.16

(4733（2024?浙江寧波?高二校聯(lián)考期末）已知字母/，y,z各有兩個(gè),現(xiàn)將這6個(gè)字母排成一

排，若有且僅有一組字母相鄰（如儂仁”），則不同的排法共有（）種

A.36B.30C.24D.16

[473^1（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）某人設(shè)計(jì)一項(xiàng)單人游戲,規(guī)則如下:先將一棋子放在如圖所

示正方形ABCD（邊長(zhǎng)為2個(gè)單位）的頂點(diǎn)A處，然后通過(guò)擲骰子來(lái)確定棋子沿正方形的

邊按逆時(shí)針?lè)较蛐凶吡藥讉€(gè)單位，如果擲出的點(diǎn)數(shù)為i（i=l,2,…,6）,則棋子就按逆時(shí)針

方向行走i個(gè)單位，一直循環(huán)下去.則某人拋擲三次骰子后棋子恰好又回到起點(diǎn)A處的所

有不同走法共有

A.21種B.22種C.25種D.27種

（2024?海南?？?統(tǒng)考一模）形如45132這樣的數(shù)稱為“波浪數(shù)”，即十位上的數(shù)字，千位上

的數(shù)字均比與它們各自相鄰的數(shù)字大，則由1,2,3,4,5可組成數(shù)字不重復(fù)的五位“波浪

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數(shù)，，的個(gè)數(shù)為

A.20B.18C.16D.11

IHWI（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）工人在安裝一個(gè)正六邊形零件時(shí)，需要固定如圖所示的六個(gè)

位置的螺栓.若按一定順序?qū)⒚總€(gè)螺栓固定緊，但不能連續(xù)固定相鄰的2個(gè)螺栓.則不同

的固定螺栓方式的種數(shù)是.

8題型八:多面手問(wèn)題

（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）我校去年11月份，高二年級(jí)有10人參加了赴日本交流訪問(wèn)

團(tuán)，其中3人只會(huì)唱歌，2人只會(huì)跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞.現(xiàn)要從中選6人上臺(tái)

表演，3人唱歌，3人跳舞，有（）種不同的選法.

A.675B.575C.512D.545

（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）某國(guó)際旅行社現(xiàn)有11名對(duì)外翻譯人員，其中有5人只會(huì)英

語(yǔ)，4人只會(huì)法語(yǔ)，2人既會(huì)英語(yǔ)又會(huì)法語(yǔ)，現(xiàn)從這11人中選出4人當(dāng)英語(yǔ)翻譯，4人當(dāng)法

語(yǔ)翻譯，則共有（）種不同的選法

A.225B.185C.145D.110

(4739]（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)廣賽龍舟”是端午節(jié)的習(xí)俗之一,也是端午節(jié)最重要的節(jié)日民

俗活動(dòng)之一，在我國(guó)南方普遍存在端午節(jié)臨近，某單位龍舟隊(duì)欲參加今年端午節(jié)龍舟賽,

參加訓(xùn)練的8名隊(duì)員中有3人只會(huì)劃左槳，3人只會(huì)劃右槳，2人既會(huì)劃左槳又會(huì)劃右槳.

現(xiàn)要選派劃左槳的3人、劃右槳的3人共6人去參加比賽，則不同的選派方法共有（）

A.26種B.30種C.37種D.42種

IWI（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）某龍舟隊(duì)有9名隊(duì)員，其中3人只會(huì)劃左舷，4人只會(huì)劃右

舷，2人既會(huì)劃左舷又會(huì)劃右舷.現(xiàn)要選派劃左舷的3人、右舷的3人共6人去參加比賽,

則不同的選派方法共有)

A.56種B.68種C.74種D.92種

9題型九:錯(cuò)位排列

（2024?重慶沙坪壩?高二重慶八中校考期末）“數(shù)獨(dú)九宮格”原創(chuàng)者是18世紀(jì)的瑞士數(shù)學(xué)

家歐拉,它的游戲規(guī)則很簡(jiǎn)單,將1到9這九個(gè)自然數(shù)填到如圖所示的小九宮格的9個(gè)空

格里，每個(gè)空格填一個(gè)數(shù),且9個(gè)空格的數(shù)字各不相間，若中間空格已填數(shù)字5,且只填第

二行和第二列，并要求第二行從左至右及第二列從上至下所填的數(shù)字都是從大到小排列

的,則不同的填法種數(shù)為（）

第919頁(yè)共1043頁(yè)

5

A.72B.108C.144D.196

（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）編號(hào)為1、2、3、4、5的5個(gè)人分別去坐編號(hào)為1、2、3、4、5

的五個(gè)座位，其中有且只有兩個(gè)人的編號(hào)與座位號(hào)一致的坐法有)

A.10種B.20種C.30種D.60種

11474311（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）將編號(hào)為1、2、3、4、5、6的小球放入編號(hào)為1、2、3、4、5、6

的六個(gè)盒子中，每盒放一球，若有且只有兩個(gè)盒子的編號(hào)與放入的小球的編號(hào)相同，則不

同的放法種數(shù)為（：

A.90B.135C.270D.360

IWI（2024?廣東廣州?高二廣州奧林匹克中學(xué)?？茧A段練習(xí)）將編號(hào)為1、2、3、4、5、6的六個(gè)

小球放入編號(hào)為1、2、3、4、5、6的六個(gè)盒子里，每個(gè)盒子放一個(gè)小球，若有且只有三個(gè)盒

子的編號(hào)與放入的小球編號(hào)相同,則不同的方法總數(shù)是

A.20B.40C.120D.240

io題型十:涂色問(wèn)題

（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）如圖,一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域,現(xiàn)給該地區(qū)的5個(gè)區(qū)域涂

色,要求相鄰區(qū)域不得使用同一種顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇,則不同的涂色方法共有

（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）對(duì)正方體ABCD—ABiCQ的6個(gè)面進(jìn)行涂色，有5種不同

的顏色可供選擇.要求每個(gè)面只涂一種顏色，且有公共棱的兩個(gè)面不同色,則總的涂色方

法個(gè)數(shù)為（填寫數(shù)字）

4747（2024?重慶?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）某城市休閑公園管理人員擬對(duì)一塊圓環(huán)區(qū)域進(jìn)行改造封閉

式種植鮮花,該圓環(huán)區(qū)域被等分為5個(gè)部分，每個(gè)部分從紅、黃、紫三種顏色的鮮花中選取

一種進(jìn)行栽植.要求相鄰區(qū)域不能用同種顏色的鮮花，總的栽植方案有種.

4748（2024?安徽?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）數(shù)學(xué)課上，老師出了一道智力游戲題.如圖所示,平面直角

坐標(biāo)系中有一個(gè)3乘3方格圖（小正方形邊長(zhǎng)為1），一共有十六個(gè)紅色的格點(diǎn)，游戲規(guī)則

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是每一步可以改變其中一個(gè)點(diǎn)的顏色（只能由紅變綠或綠變紅），如將其中任何一個(gè)點(diǎn)由

紅色改成綠色，則這個(gè)點(diǎn)周圍與之相鄰的點(diǎn)也要從原來(lái)的顏色變成另外一種顏色，比如選

擇（1,1）變成綠色,則與之相鄰的（0,1）,（1,0）,（1,2）,（2,1）四個(gè)點(diǎn)也要變成綠色，那么最

少需要步，才能使得位于直線y=-2+3上的四個(gè)點(diǎn)變成綠色,而其他點(diǎn)都是紅

花卉可供選擇，要求有公共邊的兩個(gè)區(qū)域不能用同一種顏色的花卉，共有種不同

的綠化方案（用數(shù)字作答）.

Km（202全全國(guó)?高三專題練習(xí)）七巧板是古代勞動(dòng)人民智慧的結(jié)晶.如圖是某同學(xué)用木板制

作的七巧板,它包括5個(gè)等腰直角三角形、一個(gè)正方形和一個(gè)平行四邊形.若用四種顏色

給各板塊涂色，要求正方形板塊單獨(dú)一色，其余板塊兩塊一種顏色,而且有公共邊的板塊

不同色，則不同的涂色方案有種.

（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）用四種不同的顏色為正六邊形（如圖）中的六塊區(qū)域涂色，要

求有公共邊的區(qū)域涂不同顏色,一共有種不同的涂色方法.

fell（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）如圖，用4種不同的顏色給圖中的8個(gè)區(qū)域涂色，每種顏色至

少使用一次，每個(gè)區(qū)域僅涂一種顏色,且相鄰區(qū)域所涂顏色互不相同,則區(qū)域A,B,C,D

和A1，Bj,G,D分別各涂2種不同顏色的涂色方法共有種；區(qū)域A,B,C,D和

AI，Bi，Ci，D分別各涂4種不同顏色的涂色方法共有種.

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ii題型■!■二:分組問(wèn)題

4753（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）貴陽(yáng)一中體育節(jié)中，乒乓球球單打12強(qiáng)中有4個(gè)種子選手,

將這12人平均分成3個(gè)組（每組4個(gè)人）、則4個(gè)種子選手恰好被分在同一組的分法有

A.21B.42C.35D.70

4754（2024?高二課時(shí)練習(xí)）把10個(gè)蘋果分成三堆,要求每堆至少1個(gè)，至多5個(gè)，則不同的分

法共有

A.4種B.5種C.6種D.7種

4755（2024?福建泉州?高二校聯(lián)考期中）在《爸爸去哪兒》第二季第四期中,村長(zhǎng)給6位“萌娃”

布置一項(xiàng)搜尋空投食物的任務(wù).已知:①食物投擲地點(diǎn)有遠(yuǎn)、近兩處;②由于Grace年紀(jì)

尚小，所以要么不參與該項(xiàng)任務(wù)，但此時(shí)另需一位小孩在大本營(yíng)陪同，要么參與搜尋近處

投擲點(diǎn)的食物;③所有參與搜尋任務(wù)的小孩須被均分成兩組，一組去遠(yuǎn)處，一組去近處,那

么不同的搜尋方案有

A.25種B.30種C.40種D.50種

（2024?全國(guó)?高二專題練習(xí)）將12個(gè)不同的物體分成3組，每組4個(gè)，則不同的分法種數(shù)

為（）.

A.34650B.5940C.495D.5775

475,7（2024?全國(guó)?高二專題練習(xí)）某中學(xué)要給三個(gè)班級(jí)補(bǔ)發(fā)8套教具，先將其分成3堆,其中一

堆4套，另兩堆每堆2套，則不同的分堆方法種數(shù)為

C4c2c2C4c2c2

A.Ac意B.cici

-AT

||475g|（2024?福建廈門?高三廈門雙十中學(xué)?？茧A段練習(xí)）將6名同學(xué)分成兩個(gè)學(xué)習(xí)小組，每組

至少兩人，則不同的分組方法共有種.

12題型十二:分配問(wèn)題

4759（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）按下列要求分配6本不同的書.

⑴分成三份，1份1本，1份2本，1份3本，有種不同的分配方式；

（2）甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本，有種不同的分配方式;

（3）平均分成三份，每份2本，有種不同的分配方式；

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（4）平均分配給甲、乙、丙三人，每人2本，有種不同的分配方式；

（5）分成三份，1份4本，另外兩份每份1本，有種不同的分配方式；

（6）甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外兩人每人得1本，有種不同的分配方式；

⑺甲得1本，乙得1本，丙得4本，有種不同的分配方式.

IM（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）將9名大學(xué)生志愿者安排在星期五、星期六及星期日3天參

加社區(qū)公益活動(dòng),每天分別安排3人,每人參加一次，則不同的安排方案共有種.

（用數(shù)字作答）

IMI（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）現(xiàn)計(jì)劃安排A,B,C,D,E五名教師教這六門課程，每名教

師至少教一門課程，每門課程只配一名教師,且教師A不教“圍棋”，教師B只能教一門課

程，則滿足條件的課程安排的種數(shù)為

4762（2024?四川瀘州?高三四川省瀘縣第四中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）綿陽(yáng)中學(xué)食堂，以其花樣繁多

的飯菜種類和令人難忘的色香味使大批學(xué)子醉倒在它的餐盤之下,學(xué)子們不約而同地將

其命名為“遠(yuǎn)航大酒樓”.“遠(yuǎn)航大酒樓”共三層樓，5名高一新同學(xué)相約到食堂就餐，為看

盡食堂所有美食種類,他們打算分為三組去往不同的樓層.其中甲同學(xué)不去二樓，則一共

有種不同的分配方式.

1|4763||（2024?福建福州?高三福建省福州第一中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）為了貫徹落實(shí)中央新疆工作

座談會(huì)和全國(guó)對(duì)口支援新疆工作會(huì)議精神，促進(jìn)邊疆少數(shù)民族地區(qū)教育事業(yè)的發(fā)展，某市

派出了包括甲、乙在內(nèi)的5名專家型教師援疆,現(xiàn)將這5名教師分配到新疆的A、B、C、

D四所學(xué)校，要求每所學(xué)校至少安排一位教師，則在甲志愿者被安排到A學(xué)校有

種安排方法.

111764)1（2024?重慶沙坪壩?高三重慶一中?？茧A段練習(xí)）8個(gè)完全相同的球放入編號(hào)1,2,3的

三個(gè)空盒中，要求放入后3個(gè)盒子不空且數(shù)量均不同，則有種放法.

4765（2024?吉林長(zhǎng)春?高三長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考開(kāi)學(xué)考試）為了落實(shí)立德樹(shù)人的根本任務(wù)，踐

行五育并舉，某校開(kāi)設(shè)A,B,C三門德育校本課程,現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四位同學(xué)參加校本課

程的學(xué)習(xí)，每位同學(xué)僅報(bào)一門，每門至少有一位同學(xué)參加，則不同的報(bào)名方法有.

13題型十三:隔板法

IM（2024?云南紅河?統(tǒng)考三模）某校將6個(gè)三好學(xué)生名額分配到高三年級(jí)的3個(gè)班,每班至

少1個(gè)名額，則共有多少種不同的分配方案（）

A.15B.20C.10D.30

4767（2024?全國(guó)?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）學(xué)校決定把12個(gè)參觀航天博物館的名額給三（1）、三（2）、

三（3）、三（4）四個(gè)班級(jí).要求每個(gè)班分別的名額不比班級(jí)序號(hào)少，即三（1）班至少1個(gè)名

額，三（2）班至少2個(gè)名額，……，則分配方案有

A.8種B.10種C.165種D.495種

IMI（2024?高二課時(shí)練習(xí)）現(xiàn)有9個(gè)相同的球要放到3個(gè)不同的盒子里，每個(gè)盒子至少一個(gè)

球，各盒子中球的個(gè)數(shù)互不相同,則不同放法的種數(shù)是)

A.28B.24C.18D.16

4769（2024?江蘇蘇州?高二吳縣中學(xué)校考期中）學(xué)校有6個(gè)優(yōu)秀學(xué)生名額，要求分配到高一、

第923頁(yè)共1043頁(yè)

高二、高三，每個(gè)年級(jí)至少1個(gè)名額，則有（）種分配方案.

A.135B.10C.75D.120

（2024?全國(guó)?高二期末）方程/1+/2+23+74=12的正整數(shù)解共有（）組

A.165B.120C.38D.35

14題型十四:數(shù)字排列

（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）用0,1,2,3,4可以組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為

A.36B.48C.60D.72

^77^（2024?全國(guó)?高二專題練習(xí)）用數(shù)字1、2、3組成五位數(shù),且數(shù)字1、2、3至少都出現(xiàn)一次,

這樣的五位數(shù)共有（）個(gè)

A.120B.150C.210D.240

（2024?北京?高二北京八中?？计谀┯?,2,3三個(gè)數(shù)字組成一個(gè)四位數(shù),要求每個(gè)數(shù)字

至少出現(xiàn)一次，共可組成個(gè)不同的四位數(shù)（用數(shù)字作答）.

4774（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中個(gè)

位、十位和百位上的數(shù)字之和為偶數(shù)的四位數(shù)共有.個(gè)（用數(shù)字作答）.

|4775|（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）用數(shù)字1,2,3,4,5,6,7,8,9組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字，且至多有

一個(gè)數(shù)字是奇數(shù)的四位數(shù),這樣的四位數(shù)一共有個(gè).（用數(shù)字作答）

15題型十五:幾何問(wèn)題

（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中選取4個(gè)作為頂點(diǎn)，可得到四面體的

個(gè)數(shù)為

A.Cg-12B.Cg-8C.Cg-6D.Cg-4

（2024?高二課時(shí)練習(xí)）一只螞蟻從正四面體A—BCD的頂點(diǎn)A出發(fā),沿著正四面體A

-BCD的棱爬行,每秒爬一條棱，每次爬行的方向是隨機(jī)的，則螞蟻第1秒后到點(diǎn)B,第4

秒后又回到A點(diǎn)的不同爬行路線有（）

A.6條B.7條C.8條D.9條

|.4778|（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）如圖,一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿著水平面的線條爬行到點(diǎn)C,

再由點(diǎn)C沿著置于水平面的正方體的棱爬行至頂點(diǎn)B,則它可以爬行的不同的最短路徑

有（）條

第924頁(yè)共1043頁(yè)

C.80D.120

ICT（2024?全國(guó)?高二專題練習(xí)）凸八邊形的對(duì)角線有（）條

A.20B.28C.48D.56

（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知C60分子是一種由60個(gè)碳原子構(gòu)成的分子，它形似足

球，因此又名足球烯，C60是單純由碳原子結(jié)合形成的穩(wěn)定分子,它具有60個(gè)頂點(diǎn)和若干

個(gè)面，.各個(gè)面的形狀為正五邊形或正六邊形，結(jié)構(gòu)如圖.已知其中正六邊形的面為20

個(gè)，則正五邊形的面為（）個(gè).

A.10B.12C.16D.20

（2024?高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)凸n（">3）棱錐中任意兩個(gè)頂點(diǎn)的連線段的條數(shù)為/伍）,則

/(n+l)-J(n)=

A.n—1B.nC.n+1D.n+2

16題型十六:分解法模型與最短路徑問(wèn)題

4782（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）有一種走“方格迷宮”游戲，游戲規(guī)則是每次水平或豎直走動(dòng)

一個(gè)方格,走過(guò)的方格不能重復(fù)，只要有一個(gè)方格不同即為不同走法.現(xiàn)有如圖的方格迷

宮，圖中的實(shí)線不能穿過(guò),則從入口走到出口共有多少種不同走法？

||4783]|（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）夏老師從家到學(xué)校，可以選擇走錦繡路、楊高路、張楊路或者

第925頁(yè)共1043頁(yè)

浦東大道，由于夏老師不知道楊高路有一段在修路導(dǎo)致第一天上班就遲到了，所以夏老師

決定以后要繞開(kāi)那段維修的路，如圖，假設(shè)夏老師家在M處,學(xué)校在N處，AB段正在修

路要繞開(kāi)，則夏老師從家到學(xué)校的最短路徑有（）條.

A.23B.24C.25D.26

4784（2024?廣東惠州?高三?？计谀┤鐖D，某城市的街區(qū)由12個(gè)全等的矩形組成（實(shí)線表示

馬路），CD段馬路由于正在維修，暫時(shí)不通，則從A到B的最短路徑有（）

A.23條B.24條C.25條D.26條

4785（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）方形是中國(guó)古代城市建筑最基本的形態(tài)，它體現(xiàn)的是中國(guó)文

化中以綱常倫理為代表的社會(huì)生活規(guī)則，中國(guó)古代的建筑家善于使用木制品和竹制品制

作各種方形建筑.如圖，用大小相同的竹棍構(gòu)造一個(gè)大正方體（由8個(gè)大小相同的小正方

體構(gòu)成），若一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā),沿著竹棍到達(dá)B點(diǎn)，則螞蟻選擇的不同的最短路徑共

有（）

A.48種B.60種C.72種D.90種

4786（2024?高二課時(shí)練習(xí)）一植物園的參觀路徑如圖所示，若要全部參觀并且路線不重復(fù),則

不同的參觀路線共有

第926頁(yè)共1043頁(yè)

C.36種D.48種

47817（2024?廣東惠州?高二?？计谥校┫聢D是某項(xiàng)工程的網(wǎng)絡(luò)圖（單位:天），則從開(kāi)始節(jié)點(diǎn)①

()

IgW（多選題）（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）如圖,在某城市中，M,N兩地之間有整齊的方格

形道路網(wǎng)，其中A1,A2,A3,A4,A5是道路網(wǎng)中位于一條對(duì)角線上的5個(gè)交匯處，今在道路

網(wǎng)M,N處的甲、乙兩人分別要到N,M處,他們分別隨機(jī)地選擇一條沿街的最短路徑，以

，則

A.甲從M到達(dá)N處的走法有70種

B.甲從M必須經(jīng)過(guò)A3到達(dá)N處的走法有12種

C.若甲、乙兩人途中在A3處相遇，則共有144種走法

D.若甲、乙兩人在行走途中會(huì)相遇,則共有1810種走法

1防1（2024?高二課時(shí)練習(xí)）5400的正約數(shù)有個(gè)

題1（2024?上海嘉定?高二?？计谥校┱麛?shù)2022有個(gè)不同的正約數(shù).

17題型十七:排隊(duì)問(wèn)題

（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）街頭籃球比賽后，紅、黃兩隊(duì)共6名隊(duì)員（紅隊(duì)3人，黃隊(duì)3

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人）合照，要求6人站成一排，紅隊(duì)3人中有且只有2名隊(duì)員相鄰,則不同排隊(duì)的方法共有

A.432種B.216種C.144種D.72種

4792（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）七輛汽車排成一縱隊(duì)，要求甲車、乙車、丙車均不排隊(duì)頭或隊(duì)

尾且各不相鄰，則排法有()

A.48種B.72種C.90種D.144種

H793（2024?山西朔州?高二校考階段練習(xí)）5名成人帶兩個(gè)小孩排隊(duì)上山，小孩不排在一起也

不排在頭尾,則不同的排法種數(shù)有

A.AgA：種B.A/看種C.A沿4種D.A；—4A升中

4794（2024?全國(guó)?高二專題練習(xí)）3名男生，4名女生，按照不同的要求排隊(duì)，求不同的排隊(duì)方