專題一集合、集合間的關系、集合的運算

落實主干知識

1.集合的概念及其表示

（1）.集合中元素的三個特征：

①.確定性：給定一個集合，那么任何一個元素在不在這個集合中就確定了.

②.互異性：一個集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重復出現(xiàn)的.

③.無序性：即集合中的元素無順序，可以任意排列、調(diào)換。

（2）.元素與集合的關系有且只有兩種：屬于（用符號“反”表示）和不屬于（用符號“空”表示）.

⑶.集合常用的表示方法有三種：列舉法、Venn圖、描述法.

（4）.常見的數(shù)集及其表示符號

名稱自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集

（非負整數(shù)集）

表示符號NN*或N+ZQR

2.集合間的基本關系

關系自然語言符號語言Venn圖

集合A中所有元素都在集合B中（即若

子集

尤GA,貝1）x^2）（或

或c5Q

集合A是集合8的子集，且集合8中至少AB

真子集

有一個元素不在集合A中（或BA）O）

集合A,2中元素完全相同或集合A,B互

集合相等A=B

為子集

【名師提醒】

子集與真子集的區(qū)別與聯(lián)系：一個集合的真子集一定是其子集，而其子集不一定是其真子集.

3.集合之間的基本運算

如果一個集合包含了我們所要研究的各個集合的全部元素，這樣的集合就稱為全集，全集通常用字母，

表示;

集合的并集集合的交集集合的補集

怎匹

圖形

AC\B

符號或無eg}

【名師提醒】

4.德?摩根定律：

【名師點睛】

1.判斷一組對象能否組成集合，關鍵看該組對象是否滿足確定性，如果此組對象滿足確定性，就可以組成集

合；否則，不能組成集合.同時還要注意集合中元素的互異性、無序性.

2.集合中的元素具有三個特性，求解與集合有關的字母參數(shù)值（范圍）時，需借助集合中元素的互異性來檢

驗所求參數(shù)是否符合要求.

3.解答含有字母的元素與集合之間關系的問題時，要有分類討論的意識.

4.利用集合的關系求參數(shù)的范圍問題，常涉及兩個集合，其中一個為動集合（含參數(shù)），另一個為靜集合（具體

的），解答時常借助數(shù)軸來建立變量間的關系，需特別注意端點問題.

5.求集合并集的兩種基本方法：

（1）定義法：若集合是用列舉法表示的，可以直接利用并集的定義求解；

（2）數(shù)形結(jié)合法：若集合是用描述法表示的由實數(shù)組成的數(shù)集，則可以借助數(shù)軸求解.

6.求集合交集的方法為：

（1）定義法，

（2）數(shù)形結(jié)合法.

（3）若A,8是無限連續(xù)的數(shù)集，多利用數(shù)軸來求解.但要注意，利用數(shù)軸表示不等式時，含有端點的值

用實點表示，不含有端點的值用空心點表示.

探究重點睢A

考點1集合的概念及其表示

歸納總結(jié)：與集合中的元素有關問題的求解策略

（1）確定集合的元素是什么，即集合是（數(shù)軸）數(shù)集、（平面直角坐標系）點集還是其他類型的集合.

（2）看這些元素滿足什么限制條件.

（3）根據(jù)限制條件求參數(shù)的值或確定集合中元素的個數(shù)，要注意檢驗集合是否滿足元素的互異性.

例1.（1）、（集合的確定性）（2023?河北?高三學業(yè)考試）下列各組對象不能構(gòu)成集合的是（）

C.某中學高一年級開設的所有課程D.充分接近有的所有實數(shù)

小試石T|

1、（2022秋?上海浦東新?高一統(tǒng)考期末）請將下列各組對象能組成集合的序號填在后面的橫線上

①上海市2022年入學的全體高一年級新生；

③影響力比較大的中國數(shù)學家；

A.1B.-1C.3D.2

74

A.0B.1C.—D.—

63

考點2元素與集合的關系

(1)屬于：如果。是集合A的元素，就說a屬于集合A,記作a^A.

(2)不屬于：如果a不是集合A中的元素，就說°不屬于集合A,記作

(3)常見的數(shù)集及表示符號

數(shù)集非負整數(shù)集(自然數(shù)集)正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集

符號NN*或N+ZQR

歸納總結(jié)：

(1)判斷集合間的關系，要注意先對集合進行化簡，再進行判斷，并且在描述關系時，要盡量精確.

(2)已知兩個集合間的關系求參數(shù)時，關鍵是將條件轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點間的關系(要注意區(qū)間端點的取

舍)，進而轉(zhuǎn)化為參數(shù)所滿足的關系，常用數(shù)軸、Venn圖等來直觀解決這類問題.

例2.(1)(集合與元素的關系)(2023?江蘇?高一假期作業(yè))下列關系中，正確的有()

A.1個B.2個

C.3個D.4個

A.4B.5C.10D.12

小試南|

A.4B.5C.6D.7

A.-4B.3C.4D.6

（1）若集合A的子集只有一個，求實數(shù)a的取值范圍;

（2）若集合A中有且只有一個元素，求實數(shù)a的值.

小試南|

⑴若-2是集合A中的元素，試求實數(shù)。的值；

⑵-5能否為集合A中的元素？若能，試求出該集合中的所有元素；若不能，請說明理由.

考點3集合間的基本關系

1.集合A中含有〃個元素，則有

(1)A的子集的個數(shù)有2"個.(2)A的非空子集的個數(shù)有2"—1個.

(3)A的真子集的個數(shù)有2"—1個.(4)A的非空真子集的個數(shù)有2"—2個.

2.空集是任何集合的子集，因此在解的含參數(shù)的問題時，要注意討論A=0和AR0兩種情況，前

者常被忽視，造成思考問題不全面.

A.7個B.6個C.4個D.3個

小試石71

A.8B.7C.6D.5

小試石;I

(1)若。是A的真子集，求。的范圍;

考點4集合的基本運算

1.由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合叫A與B的并集,記作AU8；符號表示為AUB={x|x

GA或xGB}

2.并集的性質(zhì)

AUB=BUA,AUA=A,AU0=4，A^,AUB.

3.對于兩個給定的集合A、B,由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合叫A與8的交集，記作An瓦

符號為ACyB=[x\x^A

4.交集的性質(zhì)

Ar\B=BQA,ArU=A,An0=0,AHBQA.

5、對于一個集合A,由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補集，

記作盤4符號語言：Cr/A={x|xGU,且娓A}。

歸納總結(jié)：

集合基本運算的求解規(guī)律

(1)離散型數(shù)集或抽象集合間的運算，常借用Venn圖求解.

(2)集合中的元素若是連續(xù)的實數(shù)，常借助數(shù)軸求解，但是要注意端點值能否取到的情況.

(3)根據(jù)集合運算求參數(shù)，先把符號語言譯成文字語言，然后靈活應用數(shù)形結(jié)合求解.

小試牛刀

考點5集合的綜合應用（壓軸題訓練）

例8.（1）、（2023?全國?高三專題練習）向某50名學生調(diào)查對A,8兩事件的態(tài)度，其中有30人贊成A,

其余20人不贊成A；有33人贊成8,其余17人不贊成&且對A,8都不贊成的學生人數(shù)比對A,2都贊

成的學生人數(shù)的三分之一多1人，則對A,8都贊成的學生人數(shù)為（）

A.18B.19C.20D.21

小試南|

A.7B.6C.5D.4

、（2022秋?高一?？紗卧獪y試）已知集合A3都是N*的子集，A8中都至少含有兩個元素，且A8滿足:

A.5B.6C.7D.8

⑴當〃=6時，試寫出一個三元子集A；

小試薪I

(2)若A是由5個正整數(shù)構(gòu)成的集合，求其生成集2