遼寧省大連市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期7月期末考試

數(shù)學(xué)試題

一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.）

1.已知復(fù)數(shù)z滿足（1—i）z=l,則2=（）

11.

A.iB.1+iC.-iD.—+—i

222

【答案】D

11+i1+i1i

【解析】根據(jù)題意，Z—1.-,，x--.

1—111—1v11111ZZ0ZQ

故選：D.

-,sin?+costz1__、，,、

2.已知tana=2,則-------------的tM值為（）

sin。一cos。

,11

A.—B.3C.—D.-3

33

【答案】B

…sina+cosatan+13-

【解析】?.?tane=2,------------------=-------------=-=3.

sin。一cos。tancif-11

故選：B.

3.已知圓錐的底面半徑是1,高為君，則圓錐的側(cè)面積是（）

A.71B.舟C.4兀D.2兀

【答案】D

【解析】因為圓錐的底面半徑是高為相，所以圓錐的母線長為（、回）+儼=

1,J22，

所以圓錐的側(cè)面積為71x2x1=271.

故選：D.

4.下列四個函數(shù)中，以兀為最小正周期，且為奇函數(shù)的是（）

A.y=sin[]—2x）B.y=cos12x+3）

C.y=tan（2x+?i）D.y=sin（2兀-x）

【答案】B

【解析】對A,y=sinI-2xI=cos2x,其定義域為R,設(shè)〃x)=cos2x,

因為〃f)=cos(-2x)=cos2x,故其為偶函數(shù)，故A錯誤;

對B,y=cos=—sin2x,其定義域為R,設(shè)0(x)=—sin2x,

貝i]/z(—x)=—sin(-2x)=sin2x=—/z(x),則其為奇函數(shù)，且最小正周期為；~=兀,

故B正確;

對D,y=sin(271-x)=-sinx,其最小正周期為2兀，故D錯誤.

故選：B.

5.將函數(shù)〃x)=sin2x圖象上的所有點向右平移9個單位，得到函數(shù)g(x)的圖象，則

O

g(x)圖象的一條對稱軸為()

兀兀3兀5兀

A.x-B.x——C.x——D.x——

881616

【答案】A

【解析】根據(jù)題意，g(X)=/(X-^)=sin2(x-^)=sin|2x-1,

OOI4/

令2x-：=]+E,(keZ),得x=g+今,(左eZ),

兀

當(dāng)左=—1時，x=——.

8

故選：A.

6.設(shè)c,□是兩個不重合平面，加，/是兩條不重合直線，則()

A.若〃/。，mua,則加/〃B.若加//夕，aL/3,則m_L〃

C.若mA_a,I工。，ml/I,則a//￡D.若aJ■尸，mlla,/〃尸，貝1b"_L/

【答案】C

【解析】對A,若〃/。，mua,貝卜〃/〃或加與/異面，故A錯誤；

對B,若m〃a,a，4，則〃，與夕可能相交、平行或wu/7,故B錯誤；

對C,若相，￡,mill，則/La,又因為/，，，則。//￡,故C正確；

對D,若a上月,mlla,1//(3,當(dāng)加,/都與名，的交線平行時，滿足題設(shè)條件，

此時///根，故D錯誤.

故選：C.

7.已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點A(0,1),。為原點，線段Q4繞原點按逆時針方向旋

。(0＜。＜兀)且長度變?yōu)樵瓉淼囊话?，得到線段若點A，的縱坐標(biāo)為得，貝i]cosa=

()

5-12735A/3-12.573+1265+1273

AA.------------DB.-------------C.-------------L).-------------

26262626

【答案】A

【解析】線段。4中點縱坐標(biāo)為工〉』，則點A在第二象限，而。4'=L。4=1,

2132

12

則有點A，的橫坐標(biāo)為-一，

13

點A(A/3,1)在角色的終邊上，則點A在角色+a的終邊上，

66

./兀、5/兀、12

sin(—Foc)——,cos(—oc)-------,

613613

而卜1“兀、兀】/兀、1./兀、6/12155-126

JTT以C0S6Z=cos|(—+a)——I=——cos(—+a)+—sin(—+a)=——x(-----)+—x-=--------------.

66262621321326

故選：A.

8.已知&4BC中，AB=4,AC=3,|AB+2A^=2713,尸為“BC所在平面內(nèi)一點，

APAB=8＞則兩.定的最小值為()

-17

A.—5B.----C.0D.一

44

【答案】D

【解析】在AABC中，AB=4,AC=3,由|須+2"|=2而，

得AB+4AC2+4AB-AC=52-

則荏?正=0，即AB_LAC，

以點A為原點，射線A5,AC分別為軸建立平面直角坐標(biāo)系,

則4(0,0),5(4,0),C(0,3),設(shè)尸(x,y),Q=(羽”而=(4,0),行=(x,y—3),

由Q?通=8，得4%=8,解得x=2,

__39377

PAkPC=APCP=x2+y（y-3）=4+（y――）2=（y――）2+->-,

24244

當(dāng)且僅當(dāng)y=巳3時取等號，所以中.定的最小值為7一.

-24

故選：D.

二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有

多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分.）

9.已知復(fù)數(shù)4，Z2,則下列說法正確的是（）

A.若Z=3+2i,則A的共輾復(fù)數(shù)為3—2i

B.若（加—1）+（和+l）ieR）為純虛數(shù)，則加=1

C.若卜上閆，則4=4

口.卜/2卜|馬憶|

【答案】ABD

【解析】對A,根據(jù)共軌復(fù)數(shù)的概念知4的共輾復(fù)數(shù)為3-2i,故A正確；

—1—0

對B,若Z?=（加一1）+（〃/+1）耳機61i）為純虛數(shù)，貝卜+]W0，解得根=1，故B正確；

對C,舉例Z]=l,Z2=i,滿足卜卜卜|，但Z1#Z2，故C錯誤；

對D,設(shè)4=。+歷，z2=c+di,其中a,0,c,deR,

則不2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(〃+bc)i,

貝1J|ZE2|=^{ac-bd\+[ad+bcy=y/a2c2+b2d2+crd~+b2c2，

222222222222

|z1||z2|=\la+b-7c+d=yjac+ad+bc+bd，

所以上烏卜聞目.

故選：ABD.

10.己知角a的頂點與坐標(biāo)原點重合，角a的始邊落在無軸的正半軸上，如果P（x,y）是角

a終邊上不同于坐標(biāo)原點的任意一點，記―西+曠,當(dāng)角a的終邊不在y軸上時，稱

r

—為角a的正割，記作seca.則下列說法正確的是（）

x

A.sec—兀=2C

3

B.函數(shù)〃x）=secx的最小正周期為2兀，其圖象的對稱軸為x='+加/eZ）

C.sec（a+m=secesec/?（其中戊和夕的取值使各項都有意義）

l-tanatan/?

hc

D.在銳角AABC中，角A,B,。的對邊分別為“，b,C,則a=——+——

secBsecC

【答案】AC

JQY]

【解析】依題意，cosa――,當(dāng)xwO時，seca==----,

rxcosa

兀1c

S0Q__—-------------2

對于A,3兀，A正確；

cos

3

對于B,函數(shù)/（x）=secx=^^,/（x）的最小正周期為2兀，

COSX

其圖象的對稱軸為X=E（左￡Z）,B錯誤；

1_1_secasec/7

對于C,sec(a+尸)=C正確;

cos(a+廣)cosacos/一sinasin/?1-tancrtan/?

對于D,由余弦定理得

—+-^―=bcosC+ccosB^b-'一｝+c-且+廣一無=a,D錯誤.

secCsecBlablac

故選：AC.

11.如圖，正三棱臺ABC-A4G的上、下底面邊長分別為1和3,側(cè)棱長為2,則下列說

法正確的是（）

該三棱臺的體積為之也

A.

4

B.若過點的平面a與平面AB4A平行，則平面a截該三棱臺所得的截面面積為百

C.若點P在棱5與上，則AP+CP的最小值為3石

D.該三棱臺內(nèi)半徑最大球的體積為逐兀

【答案】BC

【解析】對于A,正三棱臺ABC-A4G中，取上、下底面的中心a，。，連接OOi,OC,QG，

則aG=/，oc=如,高oq=Jcc；—(oc—O[Ci￥=卜(6—卓2=半

三棱臺的體積Y亭入序X亭;+4爪半二竽,A錯誤;

對于B,在AC,5C上分別取點D,E,使=連接C]￡＞，GE,

而ADIAC、,BEIRG，則四邊形A4G0，BBCE均為平行四邊形,

1XX

即。1。//明，C[E]/BB[,

而平A4U平面A34A,GD<Z平面A381A，則C]。//平面ABB]A,

同理〃平面A84A,

又。1?？凇晔?。1，。1。，4石<=1,因此△GDE為平面a截該三棱臺所得的截面,

而GO=￡E=2,又CD=CE=2,則△CDE為正三角形，DE=2,

截面面積S,所=3x2?=若，B正確；

△C|L)tL4

對于C,把等腰梯形A34A與BCG^i展開置于同一平面，連接AC，

由選項B知NA35]=NCBB[=60°,等腰^ABC底邊AC=2ABsin60°=36，

,3

而AC邊的中點到點B的距離A3cos600=-<BB],

2

因此當(dāng)點P為線段AC與3片的交點時，AP+CP的最小值為3百，C正確；

對于D,體積為灰兀的球半徑A,如氏3=&兀，解得R=?I,該球的直徑2R>OO-

32

則此球不可能在正三棱臺ABC-44G內(nèi)，D錯誤.

故選：BC.

三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共15分.其中第14題第一空2分，第二空3

分.)

12.己知向量2=(3,尤)，S=(l,-1),若Z'B，則實數(shù)x=.

【答案】3

【解析】由題意得3—x=0,解得x=3.

故答案為：3.

13.已知函數(shù)/(x)=2sin~x+1}0〉0)在0,；上單調(diào)遞增，則0的最大值為.

【答案】|2

【解析】因為xe0,：，則0x+1，

4j31343_

由函數(shù)/(x)=2sin/x+1](0〉O)在區(qū)間0,：上單調(diào)遞增，

7T/?)7T7T229

可得烈+求得0W—,則0<?！丁?故。的最大值為：.

432333

2

故答案為：—.

14.已知矩形ABCD中，AB=4,AD=3,將AACD沿AC折至△ACD,得到三棱錐

D'-ABC,則該三棱錐體積的最大值為一；該三棱錐外接球的表面積為一.

【答案】y2571

【解析】過作D'ELAC于E,過E在平面ABC內(nèi)作EF1AC,則AC，平面D'EF，

又ACu平面ABC,于是平面￡>'EF_L平面ABC,平面ZXEFc平面ABC=EF，

AD'CD'12

因此。'石在平面ABC內(nèi)的射影為斯，而。石=——■一=一，

74.(Z,5

點OC到平面ABC的距離無=D'EsinZD'EF<y,當(dāng)且僅當(dāng)ZD'EF=90°時取等號，

11I924

三棱錐D'—ABC的體積V=—SABC/=—?6/zV2x—=—；

3355

取AC的中點。，連接03,0。'，由NABC=NAD'C=90°，

得OB=OD'=OA=OC=-,

2

因此三棱錐D'-ABC的外接球的球心為。，半徑為-,

2

52,

所以三棱錐D'-ABC的外接球的表面積S=4兀義(1)=25K.

D'

故答案為：y25兀.

四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）

15.已知AABC,角A,B,C的對邊分別為b,滿足G〃cosB=bsinA.

（1）求角3的大小；

（2）若b=7,a+c=13,求AA3C的面積.

解：（1）在AABC中，由6〃cosB=bsinA及正弦定理，得百sinAcosB=sin_BsinA,

而A￡（0,TI）,即sinAwO,因此6cos_B=sin_B,即有tanB=g，又5￡（0,兀），

所以8=三.

（2）由余弦定理，得49—/—/+/—2〃ccos—="+C?—CLCj

3

又（a+c）2=〃+/+lac=169,則=40,

所以△ABC的面積S=—x40x——=10\/3?

ABC22

16.如圖，在直三棱柱ABC-ABJG中，AB=BB[,AB±BC.

（1）求證：平面ABC,平面AB44

(2)求證：AC,1A.B.

解：（1）在直三棱柱ABC-431G中,

因為，平面ABCBCu平面ABC,所以

又因為BCJ_AB,ABu平面ABB^,B】Bu平面ABB^,ABcBB1=B,

所以BCJ.平面A84A，

又因為BCu平面ABC,所以平面ABC，平面AB4A.

（2）連接AB],由（1）可知3cl平面A84A,

因為A5u平面A38]A，所以

因為BC〃4G，所以用￡，43,

又因為在正方形ABBX\中43，AB1；

AB「B]CiU平面AB。，AB!cBg=4，

所以A3,平面A片￡,

又因為u平面ABC，所以45J.AC—即A￡，48.

17.如圖，某沿海地區(qū)計劃鋪設(shè)一條電纜聯(lián)通M,N兩地，M地位于岸邊東西方向的直線

AB上，N地位于海上一個燈塔處，在M地用測角器測得ZNMB的大小，設(shè)/NMB=%,

5771

已知tang=一.在M地正東方向一km的點尸處，用測角器測得NNPB=—.在直線AB

1254

71

上選一點Q,設(shè)NNQB=a,且々。〈。〈,，先沿線段A/Q在地下鋪設(shè)電纜，再沿線段

QN在水下鋪設(shè)電纜.已知地下、水下的電纜鋪設(shè)費用分別為3萬元/km,6萬元/km.

（1）求M,N兩點間距離;

(2)設(shè)鋪設(shè)電纜總費用為/(a).

①求/(a)的表達式;

②求鋪設(shè)電纜總費用的最小值，并確定此時"0的長度.

.221

sm%+cosa0=l

解：(1)在ZxMNP中，由tan0(,=得，得<sina。_5

cos412

f.512

解得sin%=——，cosg=——

1313

則sin/MNP=sin(--6Z)=-(—-—)=，

4°02131326

MNMP

由正弦定理，得----------------------，

sinZNPMsinZMNP

742

—x----

13〃、

所以M,N兩點間的距離MN=5/=y(km).

7V2

■

13

I-MQ—NQ

(2)①在△MNQ中，由正弦定理得=

sin(兀一a)sin(a—團一三’

13

112?

XT八1一sincr-coscif

A解73得4BNQ=^—,5

sina/或P--------:----------

sma

12.

匚匕［I-sincc—coscc1、

所以f4(a)、=Q3x-5----------------+y6x----1--=——36+--3-(-2--—--c--o-s--。--)(a<a<―兀)

sinasina5sinan2

_cosoc

②令。=—:-----，貝1ksine+cose=2,則sin(tz+0)=2，

sincir

1f2

其中銳角。由sm。=不二,cose=7^確定，于是sm(a+9)=—,

Vr+11+1

2

則有不丁1'而解得,5當(dāng)且僅當(dāng)好時取等號'

121_12V3時，/(。)有最小值,+，

即當(dāng)36

tana53

所以總費用的最小值為史+36萬元，此時MQ的長度為U一'3km.

553

18.如圖，在四棱錐尸—A5CD中，底面A3CD為菱形，ZBAD=60°,PA±PD，E

為PC中點.

（1）證明：B4//平面3DE；

（2）若PA=PB=26,PD=2.

①求二面角P-AD-B的余弦值；

②求直線BC與平面ABP所成角的正弦值.

解：（1）連接AC,交BD于點O,連接OE,

因為底面A3CD為菱形，所以。為AC的中點,

因為E為網(wǎng)的中點，所以EO〃B4,

又因為平面￡0（=平面瓦汨，

所以？A//平面瓦汨.

（2）①因為AD=AB,NA4D=60°,所以△A3。為等邊三角形,

取AD的中點E，連接班'，則即，AD，

在△K4Z）中，作〃交AP于點/,

所以N/EB為二面角P—AD—5的平面角，

在中，因為P4=2j5,PD=2,所以NPAD=30°，

所以AD=4,3R=2/，

在RtZVL77中，AF=2,NPAD=30。，

所以公李小受'

步入27>AP2+AB2-BP2>/3

在AAB/中，cosZIAB=cosZPAB=---------------=——

2APAB3

由余弦定理得期=JA/2+A82-2A/.ABx也=±也，

V33

FI2+BF2-BI21

在ABFI中，由余弦定理cosZIFB=——=-

3FI1BF

所以二面角P-AD-B的余弦值為工.

3

②設(shè)點C在平面ABP內(nèi)的射影為點Q，

則NCBQ為直線BC與平面A3尸所成的角,

因為PA=PB,AD=BD,所以△PADmPBD，

所以NBPD=NAPD=90°，所以PDLPB,

又因為PD_LR4,PAu平面ABP，P3u平面ABP，PAp\PB=P,

所以PD,平面AHP，

又因為A5〃CD,ABu平面Afi。，CD0平面ABP，

所以CD〃平面A3P，且CQ=PD=2,

所以sinNC3Q=￡^=!，

BC2

所以直線BC與平面ABP所成角的正弦值為;.

19.已知函數(shù)尸/(九)，xeD,若對于任意實數(shù)a,b,ceD,f(a),于回,f(c)

都能構(gòu)成三角形的三條邊長，則稱函數(shù)y=/(%)為D上的“完美三角形函數(shù)”.

(1)試判斷函數(shù)"X)=cos?x+sin%+?是否為R上的“完美三角形函數(shù)”，并說明理由；

(2)設(shè)向量加=(2依inx,2cos%),n-(cosx,2fcosx),若函數(shù)且(％)=加.〃-2左+1為

0,-上的“完美三角形函數(shù)”，求實數(shù)上的取值范圍；

4

(3)已知函數(shù)Mx)=sin[2x+^J為今。(。為常數(shù))上的“完美三角形函數(shù)”.函數(shù)/i(x)

的圖象上，是否存在不同的三個點4(%，?%)乂'=1，2,3),滿足玉+演=2々，

/2(%)+〃(％3)=九2)?若存在，求COS&—Xj)的值；若不存在，說明理由.

解：(1)/(X)是R上的“完美三角形函數(shù)”，

，/、2.15.,.19(.1丫<

f(x)=cos-x+sinx+一=-sin_x+sin%H---=-sin%——+5，

44I

因為一IWsinxWl,所以/(X)max=5,/(x)min=T，

所以2/(X)1mn〉/(X)max，

因為“2/(%)^>/(x)111ax”是“y=/(X)為D上的“完美三角形函數(shù)”的充要條件，

所以函數(shù)/(%)=cos2x+sinx+?是R上的“完美三角形函數(shù)”.

(2)因為g(x)=根?”-2左+1,

所以g(x)=2左sinxcosx+4左cos?x-2左+1

且sinQ=半,cosG=t，

=ksinlx+2kcos2x+1=非ksin(2x+夕)+1,

71