深圳華附2024-2025學年第二學期期中考試

局一數(shù)學

時間：120分鐘分值：150分

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題選項中，只有一項是符合題目

要求的.

??2024

1—1

1.在復平面內(nèi)，設i是虛數(shù)單位，則復數(shù)2+i的共軟復數(shù)對應的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【解析】

12024-113

【分析】由」一=—,得-一+—i,然后根據(jù)共輾復數(shù)的定義，再確定在復平面內(nèi)對應的點所在的象

2+i2+i55

限.

--2024

1—1i—1_（2—i）（i—1）__l+3i_13

【詳解】由題意知,___---------------------------------1---1

2+i2+i（2-i）（2+i）555

13

其共軌復數(shù)為-y-1i,

|,位于第三象限.

所以在復平面內(nèi)對應的點為

故選：C.

2.已知VA3C中，內(nèi)角所對的邊分別為d瓦c,若。=11=百,A=30。，則8=（

A.30°B.30?；?50°

C.60°D.60?；?20°

【答案】D

【解析】

【分析】利用正弦定理求出sinB,從而求出反

【詳解】由正弦定理一「=―也，得」—=巫，解得sin5=，3,

smAsinBsin30°sinB2

又0°<5<150°,所以3=60?；?=120°.

故選：D

3.如圖，在VA5C中，AD=gAB,點E是。的中點.設=CB=b^則胡=（）

D.，+為

B.—ciH—bC.-a—b

366363

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)向量的線性運算即可求得答案.

【詳解】由題意在VA5C中，AD=』AB,點E是CD的中點,

3

故麗=-荏=」陽+砌」包」而

222

=LCAAAB=-CA--（CB-CA）

2626

2—.1―.?-1-

=-CA——CB=-a——b,

3636

故選：A

4.如圖，四邊形ABCD的斜二測畫法直觀圖為等腰梯形AB'C'D'.已知A8=4，CD'=2,則下列說

法正確的是（）

B.Ab=2V2

C.四邊形A3CD的周長為4+2夜+2月

D.四邊形ABCD的面積為6應

【答案】D

【解析】

【分析】利用斜二測畫法將圖形還原計算幾何圖形的面積與周長以及相關.

【詳解】如圖可知AB=4,A'D'=42,AD=242,

四邊形ABC。的周長為6+20+26，四邊形ABC。的面積為gx(4+2)x2&=6jL

故選:D.

5.在直三棱柱ABC—451G中，9=5,AB=5,BC=12,AC=13,則該三棱柱內(nèi)能放置的最大

球的表面積是()

A.16兀B.24兀C.25兀D.36兀

【答案】A

【解析】

分析】通過內(nèi)切圓、內(nèi)切球等知識進行分析，從而確定正確答案.

【詳解】AB2+BC2^AC\所以所以三角形ABC是直角三角形，

設VABC的內(nèi)切圓半徑為廠，則S/Bc=1(5+12+13)r=1x5xl2,r=2,

2r=4<A4,所以三棱柱內(nèi)能放置的最大球的半徑為2,

則最大球的表面積是4兀x2?=16兀.

故選：A

6.如圖，向透明塑料制成的長方體容器ABCD-AgG。內(nèi)灌進一些水，水是定量的(體積為V).固定

容器底面一邊3c于地面上，BC=1,再將容器傾斜，隨著傾斜度的不同，有下面結論，其中錯誤的是

A.水面EEGH所在四邊形的面積不是定值B.沒有水的部分始終呈棱柱形

C.棱4。一定與平面EEGH平行D.當容器傾斜如圖所示時，BEBF=V（定值）

【答案】D

【解析】

【分析】畫出隨著傾斜度得到的圖形，根據(jù)線面平行的性質(zhì)及棱柱的定義判斷A,B,C,再根據(jù)柱體的體

積公式判斷D.

對于A：水面EEGH是矩形，線段FG的長一定，從圖1到圖2,再到圖3的過程中，

線段跖長逐漸增大，則水面EFGH所在四邊形的面積逐漸增大，故A正確；

對于B：依題意，BC〃水面EFGH,而平面3。。］用0平面EEGH=FG,

3。＜=平面5。￡用，則5C〃FG,同理3C7/EH,^BCHAD,BC=FG=EH=AD,

又BC上平面ABB^,平面ABBAH平面CDDg,

因此有水的部分的幾何體是直棱柱，長方體去掉有水部分的棱柱，沒有水的部分始終呈棱柱形，故B正

確；

對于C：因為&DJIBC/IFG,FGu平面EEGH,平面EEGH,因此42〃平面EEGH,

即棱4R一定與平面EEG77平行，故C正確；

對于D：當容器傾斜如圖3所示時，有水部分的幾何體是直三棱柱，其高為3C=1,體積為V,

12V

又S、BEF=-BE-BF,V=SREF-BC,所以3石-3歹=——=2V,故D錯誤.

故選：D

7.已知正三棱臺的高為1,上、下底面邊長分別為3百和4石，其頂點都在同一球面上，則該球的表面

積為（）

A.100兀B.128兀C.144nD.19271

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)題意可求出正三棱臺上下底面所在圓面的半徑不馬，再根據(jù)球心距，圓面半徑，以及球的半

徑之間的關系，即可解出球的半徑，從而得出球的表面積.

【詳解】設正三棱臺上下底面所在圓面半徑與右，所以24=衛(wèi)叵一,2馬=心叵一，即[=3,々=4,

設球心到上下底面的距離分別為4,球的半徑為R,所以&=JR2_9,《=占2_16,故

同―4|=1或4+由=1,即：火2_9_,火2_]6=]或JR2_9+JR2_]6=],解得上=25符合題

意，所以球的表面積為S=4兀我2=ioo兀.

故選：A.

8.十七世紀法國數(shù)學家、被譽為業(yè)余數(shù)學家之王的皮埃爾?德?費馬提出一個著名的幾何問題：已知一個三角

形，求作一點，使其與這個三角形的三個頂點的距離之和最小.其答案如下：當三角形的三個角均小于

120。時，所求的點為三角形的正等角中心，即該點與三角形三個頂點的連線兩兩成120°角；當三角形有

一內(nèi)角大于或等于120。時，所求的點為三角形最大內(nèi)角的頂點.在費馬問題中所求的點被稱為費馬點.已知

a,b,c分別是VABC的內(nèi)角A&C的對邊，且。？+c?-〃=3,2siaBsin[C+m)=J§sinA,若p為

VABC的費馬點，則麗?麗+麗?定+西.定=（）

3

A.-1B.-2C.-3D.——

2

【答案】D

【解析】

【分析】首先分析題意，根據(jù)兩角和的三角函數(shù)公式進行化簡，下一步依據(jù)三角函數(shù)的同角關系，余弦定理,

結合向量數(shù)量積的定義進行求解即可.

【詳解】因為2sinBsinfC+—=2sinB—sinC+cosC=sinBsinC+A/3sinBcosC,

I3；（22J

V3sinA=gsin（3+C）=V3sinBcosC+V3cosBsinC,

所以sinBsinC+GsinBcosC=gsiaBcosC+VScosBsinC，

.inR

即sinBsinC=百5111。803.因為sinCw0,所以tanB=------=A/3.

cosB

因為5￡（0,兀），所以3=1.

由三角形內(nèi)角和性質(zhì)可知，VA5C的三個內(nèi)角均小于120°，結合題設易知P點一定在VA5C的內(nèi)部.

由余弦定理可得"_2accosB=3,

解得ac=3且Me=3PA|?|sin女+g「斗|PC|sin"：PA|?|PC|?sin0=工acsinB=辿，

23232324

所以I期?歸到+1。斗|尸q+1%?|尸q=3,

^,TT.

所以PAPB+PBPC+PAPC=|PA||PB|cosy+|PB||PC|cosy+|PA||PC|cosy

=（|PA|.|PB|+|PB|.|PC|+|PA|.|PC|）cos^=-|.

故選：D.

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.下列說法正確是（）

A.z-z=|z|2>zeC

2024

B.i=-l

C.若忖=1,zee,則|z—2］的最小值為1

D.若—4+3i是關于x的方程￡+px+q=OMqeR)的根，則。=8

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)復數(shù)的乘法運算結合復數(shù)的模的計算，可判斷A；根據(jù)虛數(shù)單位的性質(zhì)可判斷B；設

z=x+yi,Q,yeR),根據(jù)復數(shù)的模的計算公式，可得必+/=］,以及上一2|=J—4x+5,結合元的范

圍可判斷C；將-4+3i代入方程，結合復數(shù)的相等，求出p,即可判斷D.

2

【詳解】對于A,zeC,設復數(shù)z=a+bi,(a,Z?eR),則彳=a-歷,(a,Z?eR),|z|=+/,,

故=(a+bi)(a-bi)=a~+b2=|z-，A正確；

對于B,由于i2=—革4=1,故［2024=C4)506=1,R錯誤；

對于C,ZGC,設z=x+W，(x,yeR),由于|z|=l,則了=1,;./+產(chǎn)=1，

故|z—2|=7(^-2)2+/=7(^-2)2+l-x2=J-4x+5，

由必+/=1,得一則Tx+521,

故當x=l時，|z—2］的最小值為1,C正確；

對于D,-4+31是關于工的方程12+°%+4=0(。應€1^)的根,

故(-4+3i)2+p(_4+3i)+q=0(p,qeR),即7_4.+q+(3p_24)i=0,

1-4p+q=Qjp=8

D正確,

3p-24=0"[q=25

故選：ACD

10.如下圖，VABC的角A,B,。所對的邊分別為。，b,c,y/3(acosC+ccosA)=2bsinB,且

JT

ZCAB=-.若點D在VA5C外，DC=1,DA=3,則下列說法中正確的有()

3

13

TTjr

A.ZABC=-B.ZACB=-

33

c.四邊形A8C0面積的最大值為3?+3

D.四邊形ABC。面積無最大值

2

【答案】ABC

【解析】

【分析】利用正弦定理將邊化角，再由兩角和的正弦公式求出3,即可求出從而判斷A、B,再

由面積公式及余弦定理判斷C、D.

【詳解】因為J§(acosC+ccosA)=26sin8,

由正弦定理得、/^(sinAcosC+sinCcosA)=2sin2B，

所以J^sin(A+C)=Zsin?3,整理得6sin=2sin?3，又，所以sin5>0,所以

sinB=—

2

因為NCA3=二，所以BeO,?,故3=巴，

3I3J3

TT

所以。=?！狝—"B=—，因此A和B正確，

3

2

四邊形ABC。面積等于S△ARr+SArn=-4AC+-2ADDCsinZADC

+DC2-2AD-DC-cosZADC)+^AD-DC-sinZADC

—573+3sinfzADC--K—+3,

=^(9+l-6cosZADC)+-x3sinZADC=兀

232

所以當NADC-工=工，即NAOC=區(qū)時四邊形ABC。面積的取得最大值，最大值為上叵+3,因此

3262

C正確，D錯誤.

故選：ABC

11.如圖，AC為正圓錐SO底面圓。的直徑，點8是圓。上異于AC的動點，SO=OC=2,則下列結論

正確的是()

s

A.圓錐SO的側面積為4A￡兀

Q

B.三棱錐S-ABC體積的最大值為一

3

（7i

C.NS4B的取值范圍是

D.三棱錐S-ABC體積最大時，其內(nèi)切球半徑為4-2百

【答案】ABD

【解析】

【分析】先求出圓錐的母線長，利用圓錐的側面積公式判斷A；當時，VA3C的面積最大，計

7T]

算體積最大值判斷B；先用取極限的思想求出NAS5的范圍，再利用NS43=——NAS3求范圍判斷

22

C；.先由基本不等式確定B點位置，再結合等體積法即可求得三棱錐S-ABC的內(nèi)切球半徑，則D可求.

【詳解】在RtZXSOC中，SC=\JSO2+OC-=242-則圓錐的母線長/=20，半徑廠=OC=2,

對于A,圓錐SO的側面積為：仃/=4j%，A正確；

1111/922,\1,28

對于B,K.Kr=-x-ABBCSO=-x2ABBC<-（AB+BC）=-AC=-,

S~ABC3266V763

當且僅當AB=3C=2后時等號成立，即A8=8C=2四時三棱錐S—A5C的體積取最大值3,

7T

對于c,△S43是等腰三角形，SA=SB,乂因為SA2+SC2=16=402,則/ASC=—,

2

依題意，0<NAS3〈巴，而NS43=/—L/AS3,因此NS4Be（乙,四），C錯誤；

22242

對于D,結合B選項的解析可知，

Q

當且僅當AB==2應時等號成立，即AB=BC=2后時三棱錐S—ABC的體積取最大值-,

此時三棱錐S—ABC的表面積為：S,a”=2x且x2應x2j1+2xLx20x2j1=46+8,

設三棱錐S-ABC的內(nèi)切球半徑為R,

3x-

由等體積法可得氏=也-ABC_1-=4-2后故口對?

^S-ABC4A/3+8

故選：ABD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.若向量5滿足同=￥，*「a.L^a-b^,則忸+可=.

【答案】用

【解析】

【分析】根據(jù)題設，由平面向量的數(shù)量積的運算律求解即可.

【詳解】由5）,有?。ㄈf—B）=o,即汗2_無3=0,得=不=工，

又慳+同=4-a2+4a-b+b2=3+3+l=7,得忤+B卜近.

故答案為：用.

13.如圖，中華中學某班級課外學習興趣小組為了測量某座山峰的高氣度，先在山腳A處測得山頂C處的

仰角為60。，又利用無人機在離地面高400m的〃處（即"0=400）,觀測到山頂C處的仰角為15。，山腳

A處的俯角為45。，則山高___________m.

【解析】

【分析】確定AM=400后，ZACM=45°,/MAC=75。,在ZW4c中，利用正弦定理計算得到答

案.

【詳解】ZAMD=45°,貝UAM="I〃)=400ENCM4=45°+15°=60。，NC4B=60°,

故ZMAC=180°-60°-45°=75°,ZACM=180°—75°—60°=45°,

在△MAC中，由正弦定理得———=———,即，U=竺逑，

sinZAMCsinZACMsin60°sin45°

解得AC=4006，則笈。=人。5由60°=600.

故答案為：600

14.如圖在棱長為6的正方體ABC?！狝gG，中，瓦E分別是中點，p在側面ADAA上（包

括邊界），且滿足三棱錐P-BEF的體積等于9,則PQ的長度的取值范圍__________.

【答案】［3?,6行］U{68}

【解析】

【分析】根據(jù)題意計算/?=迪，確定尸的軌跡為線段4。和點A,分別計算點尸在線段4。上時和點A

2

時的范圍，得到答案.

【詳解】設?。縀F中邊所的高為〃，連接AC，3D,

則三棱錐P—8EF的體積V=』XLX30/IX6=9,故八匹,

322

4。和點A到EF的距離為逑，故P的軌跡為線段A.D和點A,

2

點尸在線段4。上時，AAG。為邊長為6行■的等邊三角形，

故p到G的最短距離為3X6及=3"，最長距離為6A/2;

2

點P與點A重合時，PC1=6百，

綜上所述：Pg長度的取值范圍為[3面,6UkG}.

故答案為：[3詬6行”{6百}.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知復數(shù)z=a+2i(aeR),且z(2—i)是純虛數(shù).

(1)求復數(shù)z；

(2)若復數(shù)(z-nii)2(〃zeR)在復平面內(nèi)對應的點在第四象限，求加的取值范圍.

【答案】(1)z=—l+2i

(2)(1,2)

【解析】

【分析】(1)由純虛數(shù)的定義列出方程得出復數(shù)z；

(2)由復數(shù)的四則運算結合復數(shù)(z-〃zi)2在復平面內(nèi)對應的點所在象限，列出不等式得出機的取值范

圍.

【小問1詳解】

z=a+2i,

z(2—i)=(a+2i)(2—i)=2a—ai+4i-2i2=2a—ai+4i+2=(2a+2)+(4—a)i,

又z(2-i)是純虛數(shù)，

，2a+2=0且4—aH0,即a=—1,

Az=-l+2i.

【小問2詳解】

由(1)得：z=—l+2i，

則(z-mi)2=(-1+=[-1+(2-m)i]2=l-(2-/zz)2-2(2-m)i,

,/復數(shù)(z-mi)2(meR)在復平面內(nèi)對應的點在第四象限，

.1-(2-777)2>0

'J-2(2-777)<0，

故m的取值范圍為(L2).

16.在VABC中，角A,8,C所對的邊分別是a,b,c,且滿足2Z?cosC=2a-c

(1)求角B；

(2)如圖，若VA3C外接圓半徑為2匹,。為AC的中點，且瓦)=2,求VA3C的周長.

3

7T

【答案】(1)B=-

3

(2)2V2+2V5

【解析】

【分析】(1)利用正弦定理邊化角和兩角和差正弦公式可化簡已知等式求得COS6,由此可得8;

(2)利用正弦定理可求得AC,由余弦定理可得/+c2—ac=8；

方法一：根據(jù)cosNBZM+cosN3￡>C=0，利用余弦定理可得ac=4,根據(jù)(a+c)'=/+c?+2ac可

求得a+c,進而得到三角形周長；

UlflUUULUUU

方法二：根據(jù)23。=胡+50，由向量數(shù)量積定義和運算律可左右平方求得ac=4,根據(jù)

(a+c)2=〃+c2+2ac可求得a+c,進而得到三角形周長.

【小問1詳解】

由正弦定理得：2sin5cosC=2sinA-sinC,又A+5+C=?,

/.2sinBcosC=2sin(B+C)—sinC=2sinBcosC+2cosBsinC—sinC,

即2cos5sinC=sinC,又CE(0,乃)，sinCwO,..cosBug,

又3e(O,B=(.

【小問2詳解】

由正弦定理得：-^—=2%巫,解得：b=20，即AC=2j5，

sinB3

??,?D為AC邊上的中點，:5。=CD=應,

由余弦定理得：b2=a2+c2-2ACCOSB-HPa2+c2-ac=8.?.?;

4+2-c2

方法一：在△ABD中，cos/BD4=--------產(chǎn),

2x2x也

cosNBDC=4+2-%

在△BCD中,

2X2XV2

ZBDA-^ZBDC=7i,cosZBDA+cosZBDC=0,

4+2-c24+2—a2

即-------產(chǎn)+-------尸二°，整理得：々2+02=]2…②，由①②得：ac=4,

2x2xJ22x2xJ2

(a+c)2=a?+02+2〃c=20,解得：〃+c=2^/^，

「.△ABC的周長為Q+6+C=20+2百.

UUIUUliUUIU

方法二：由向量加法得：2BD=BA+BC，

:.4BD2=BA+BC^+2BABC>HP16=+c2+ac...?<由①②得：ac=4,

(<2+c)=a1+c1+lac=20,解得：a+c=2下,

」.△ABC的周長為。+。+°=20+26.

1―.—.—.

17.在邊長為1的正方形A8CO中，點E為線段C。的三等分點，CE=3DE,BE=ABA+^iBC,

(2)若尸為線段BE上的動點，G為AF中點，求衣.礪的最小值.

4

【答案】(1)2+〃=—

3

(2)——

18

【解析】

【分析】(1)建立直角坐標系得出而，麗，而再代入計算求解系數(shù)即可；

(2)設尸(a,-3a),結合中點坐標得出再應用數(shù)量積坐標公式結合二次函數(shù)值域計算

求解.

小問1詳解】

以8為坐標原點建立平面直角坐標系，如圖所示，

可得麗=(—1,0),配=(0,1),第=(—g,l],

因為屜=4麗+〃沅=(一九〃)，

—A=—4

則3,所以％+〃=鼻；

〃=1

【小問2詳解】

因為點P在線段BE：y=-3x,xe-1,0上，

-|(Q]3

設廠(。,一3。)，ae--,0,且G為A/7中點，則G，一

可得AF=(a+l,—3a),DG=——,———,

且〃￡-1,0,函數(shù)單調(diào)遞增，

所以當〃=時，AF.DG取到最小值為一二；

31o

18.已知長方體ABCD—AgG。中AB=3,AAl>BC,其外接球的表面積為29兀，平面4。避截去長

方體的一個角后，得到如圖所示的幾何體A3CD-4G2,其體積為20.

(1)證明：平面AG8〃平面AC，；

(2)求棱AA的長；

(3)求幾何體A3CD—AG2的表面積.

【答案】(1)證明見解析

(2)4

(3)39+病

【解析】

【分析】(1)根據(jù)長方體的性質(zhì)得到ACJ/AC、A.B//CD,,即可得證；

(2)設AB=a=3,BC=b,M=c(ob),根據(jù)外接球的表面積及棱柱、棱錐的體積公式得到方程

組，解得即可；

(3)根據(jù)表面積公式計算可得.

【小問1詳解】

根據(jù)長方體的性質(zhì)可知A4〃CG且AA=CG,所以四邊形441aC為平行四邊形，

所以4G〃ac,又AGu平面acu平面4G3,所以AC〃平面4。逐，

又且42=4。，BC//ADS.BC=AD,

所以3c且42=BC,所以四邊形為平行四邊形，所以AB〃C。，

又平面AGB,C2(z平面AG^，所以CD//平面AG^，

又C￡)]CAC=C,CR,ACu平面AC。],所以平面〃平面ACQ；

【小問2詳解】

設AB=〃=3,BC=b,A4j=c(c>Z?),

又Q2+/+C2=4H2(R為長方體外接球半徑)，

又外接球的表面積為29兀，即4兀尺2=29兀，所以4H2=29,

???〃+/=2。①；

V20

又=%CD-ABGq一為一A4G==，

ABCD-\CXD{1?

Z?c=8②；

b=20=4

由①②解得/或{c（舍去），，棱長A4]為4；

c=4[c=2

【小問3詳解】

若a=3,b=2,c=4,則QZ?+Z?c+ca=3x2+2><4+3x4=26,

AG=V32+22=V13-43=432+4、=5,Bq=6+不=2百，

在△4GB中由余弦定理cos幺8￡=夕+(2⑹-(響=_J_,

則sinZ4BQ=71-cos2Z^BC,=卑,

5A/5

底裳=府,

所以S.4BG32<5'

所以SABCD-^D,=2(ab+bc+ca)-^(ab+bc+ca)+S^BCi

3

=-(ab+bc+ca)+SAAiBCi

=3x26+府=39+府.

2

19.“但有一枝堪比玉，何須九嘛始征蘭”，盛開的白玉蘭是上海的春天最亮麗的風景線，除白玉蘭外，上海

還種植木蘭科的其他栽培種，如黃玉蘭和紫玉蘭等.某種植園準備將如圖扇形空地AOB分成三部分，分別

種植白玉蘭、黃玉蘭和紫玉蘭；已知扇形的半徑為70米，圓心角為g,動點P在扇形的弧上，點