專題15概率的進一步認識

取內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲

第一步：學(xué)

析教材學(xué)知識：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)

練題型強知識：7大核心考點精準練

第二步：記

串知識識框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識框架、學(xué)習(xí)目標復(fù)核內(nèi)容掌握

第三步：測

過關(guān)測穩(wěn)提升：小試牛刀檢測預(yù)習(xí)效果、查漏補缺快速提升

知識點01用樹狀圖或表格求概率

1.樹狀圖：當一次試驗要涉及3個或更多個因素時，為了不重不漏地列出所有可能的結(jié)果,

通常采用樹形圖，也稱樹形圖、樹圖.

樹形圖是用樹狀圖形的形式反映事件發(fā)生的各種情況出現(xiàn)的次數(shù)和方式，以及某一事件發(fā)生

的可能的次數(shù)和方式，并求出概率的方法.

要點：(1)樹形圖法適用于各種情況出現(xiàn)的總次數(shù)不是很大時，求概率的問題；

(2)在用樹形圖法求可能事件的概率時，應(yīng)注意各種情況出現(xiàn)的可能性務(wù)必相同.

2.列表法：當一次試驗要涉及兩個因素，并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時，為不重不漏地

列出所有可能的結(jié)果，通常采用列表法.

列表法是用表格的形式反映事件發(fā)生的各種情況出現(xiàn)的次數(shù)和方式，以及某一事件發(fā)生的可

能的次數(shù)和方式，并求出概率的方法.

要點：(1)列表法適用于各種情況出現(xiàn)的總次數(shù)不是很大時，求概率的問題；

(2)列表法適用于涉及兩步試驗的隨機事件發(fā)生的概率.

3.用列舉法求概率的一般步驟

(1)列舉(列表、畫樹狀圖)事件所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，并判斷每個結(jié)果發(fā)生的可能性是

否都相等；

(2)如果都相等，再確定所有可能出現(xiàn)的結(jié)果的個數(shù)〃和其中出現(xiàn)所求事件/的結(jié)果個數(shù)

試卷第1頁，共18頁

m；(3)用公式計算所求事件/的概率.即P(A)=-.

n

知識點02用頻率估計概率

1.頻率與概率的定義

頻率：在相同條件下重復(fù)〃次試驗，事件4發(fā)生的次數(shù)加與試驗總次數(shù)〃的比值.

概率：事件/的頻率上接近與某個常數(shù)，這時就把這個常數(shù)叫做事件/的概率，記作尸

n

(A).

2.頻率與概率的關(guān)系

事件的概率是一個確定的常數(shù)，而頻率是不確定的，當試驗次數(shù)較少時，頻率的大小搖擺不

定，當試驗次數(shù)增大時，頻率的大小波動變小，并逐漸穩(wěn)定在概率附近.可見，概率是頻率

的穩(wěn)定值，而頻率是概率的近似值.

要點：(1)頻率本身是隨機的，在試驗前不能確定，無法從根本上來刻畫事件發(fā)生的可能性

的大小，在大量重復(fù)試驗的條件下可以近似地作為這個事件的概率；

(2)頻率和概率在試驗中可以非常接近，但不一定相等；

(3)概率是事件在大量重復(fù)試驗中頻率逐漸穩(wěn)定到的值，即可以用大量重復(fù)試驗中事件發(fā)

生的頻率去估計得到事件發(fā)生的概率，但二者不能簡單地等同，兩者存在一定的偏差是正常

的，也是經(jīng)常的.

3.利用頻率估計概率

當試驗的可能結(jié)果不是有限個，或各種結(jié)果發(fā)生的可能性不相等時，一般用統(tǒng)計頻率的方法

來估計概率.

要點：用試驗去估計隨機事件發(fā)生的概率應(yīng)盡可能多地增加試驗次數(shù)，當試驗次數(shù)很大時,

結(jié)果將較為精確.

練題型強知識

【題型1列舉法求概率】

例題：(24-25九年級上?湖北襄陽?期末)

1.如圖，電路圖上有一個小燈泡以及4個斷開狀態(tài)的開關(guān)B,C,D,現(xiàn)隨機閉合兩個

開關(guān)，小燈泡發(fā)光的概率為.

試卷第2頁，共18頁

【變式訓(xùn)練】

（24-25九年級上?山西長治?階段練習(xí)）

2.將三個數(shù)1,5,8隨機排成一個三位數(shù)，則排成的三位數(shù)是偶數(shù)的概率為.

（2025?河南商丘?模擬預(yù)測）

3.河南是中原文化的發(fā)源地之一，擁有豐富的自然和人文旅游資源，現(xiàn)有三張正面分別印

有龍門石窟、殷墟遺址、登封“天地之中”歷史建筑群的卡片，它們除正面內(nèi)容不同外完全相

同.把這三張卡片背面朝上洗勻，從中隨機抽取兩張，抽取的卡片是“龍門石窟”和“殷墟遺

址”的概率為.

（2025年安徽省馬鞍山市中考三模數(shù)學(xué)試題）

4.某科技節(jié)新增了機器人編程、無人機操控、3。打印、虛擬現(xiàn)實設(shè)計四個競賽項目.學(xué)

校為普及相關(guān)知識，在四個實驗室分別開展對應(yīng)項目的體驗活動，要求每名學(xué)生選擇其中一

項參與.九（1）班準備了四枚外觀相同的電子芯片，分別編號為1,2,3,4（對應(yīng)上述四

個項目），放在不透明的芯片盒中.若一次性從芯片盒中隨機抽取兩枚芯片，則兩枚芯片編

號的差值超過2的概率是—.

【題型2列表法或樹狀圖法求概率】

例題：（2025?江蘇鹽城?二模）

5.九年級同學(xué)報名參加學(xué)校舉行的運動會，有以下三類運動項目可供選擇：A：球類運動;

B：50米短跑；C：立定跳遠.

（1）若甲同學(xué)從三類運動項目中隨機任選一類，則恰好選中球類運動項目的概率是;

（2）甲、乙兩名同學(xué)都從三類項目中隨機任選一類，清用列表或畫樹狀圖的方法求甲、乙兩

個同學(xué)所選運動項目恰好相同的概率.

【變式訓(xùn)練】

（2025?河北滄州?模擬預(yù)測）

6.k公司研發(fā)了五個血模型?、與、風(fēng)、&、R,已知它們單獨處理某批數(shù)據(jù)所

需要的時間分別為3、2、2、4、3（單位：min）.

試卷第3頁，共18頁

(1)五個"模型單獨處理這批數(shù)據(jù)所需要的時間的中位數(shù)為min；眾數(shù)為

(2)隨機抽取一個模型，則這個模型處理這批數(shù)據(jù)的時間不超過3min的概率為；

(3)從這五個模型中隨機抽取兩個共同處理這批數(shù)據(jù)，利用樹狀圖法，求抽到模型&和4的

概率.

(2025?云南紅河?三模)

7.為滿足學(xué)生個性化需求，促進學(xué)生德智體美勞全面發(fā)展，我市某中學(xué)開展“特色選修課育

人計劃”，其中包含：4文學(xué)欣賞，B.數(shù)學(xué)思維，C.體育與健康，D.科學(xué)實驗四門課程,

每位學(xué)生需從這些課程中選擇兩門進行學(xué)習(xí).

(1)從選修課程里面選到“英語口語”屬于事件(選填“隨機”“必然”或“不可能”)；

(2)用列表法或畫樹狀圖法求出選到的兩門課程中恰好包含“數(shù)學(xué)思維”課程的概率.

(2025?廣西防城港?模擬預(yù)測)

8.《孟子?梁惠王上》中有言“老吾老，以及人之老”，“敬老愛老”是中華民族優(yōu)良的傳統(tǒng)美

德，我們要弘揚這優(yōu)良的傳統(tǒng)，為新中國的精神文明建設(shè)貢獻自己的一份力量.小穎計劃利

用周末從43,C三個養(yǎng)老中心中，選擇一個參加志愿服務(wù)活動，但一時間不知道該選擇哪

個養(yǎng)老中心，于是決定通過轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤的方法決定.如圖，有兩個質(zhì)地均勻的轉(zhuǎn)盤，圖①中的

轉(zhuǎn)盤被平均分成4份，分別標上數(shù)字1、2、3、4,圖②中的轉(zhuǎn)盤被平均分成3份，分別標

上數(shù)字0,-1,1,小穎分別將兩個轉(zhuǎn)盤各轉(zhuǎn)一次，記錄下轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動后指針指向的數(shù)字(指

針指向兩個扇形的交線時視為無效，需重新轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤)，若兩個轉(zhuǎn)盤都停止轉(zhuǎn)動后指針指向

的兩個數(shù)字之積為正數(shù)，則去A養(yǎng)老中心；若兩個轉(zhuǎn)盤都停止轉(zhuǎn)動后指針指向的兩個數(shù)字之

積為負數(shù)，則去B養(yǎng)老中心；若兩個轉(zhuǎn)盤都停止轉(zhuǎn)動后指針指向的兩個數(shù)字之積為零，則去

C養(yǎng)老中心.

(1)圖①中轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動后，指針指向的數(shù)字大于2的概率為一

(2)請用列表法或畫樹狀圖的方法求小穎最終去A養(yǎng)老中心的概率.

【題型3利用概率判斷游戲的公平性】

試卷第4頁，共18頁

例題：(2025?吉林白山?模擬預(yù)測)

9.如圖是一副撲克牌中的3張牌，將它們正面朝下洗勻后放在桌上.爸爸先從中抽出一張,

榕榕從剩余的2張牌中也抽出一張，比較兩人抽出的牌面上的數(shù)字，數(shù)字大者獲勝.如果兩

個人的獲勝概率相同，我們說游戲是公平的.請借助樹狀圖或列表法來判斷這個游戲是否公

平.

【變式訓(xùn)練】

(2025?甘肅酒泉?三模)

10.甲、乙兩同學(xué)玩一個游戲：在一個不透明的口袋中裝有標號分別為L2,3,4的4個小球

(除標號外無其他差異)，從口袋中隨機摸出1個小球，記下標號后放回口袋中，充分搖勻

后，再從口袋中隨機摸出1個小球，記下該小球的標號，兩次記下的標號分別用X/表

示.若x+y為奇數(shù)，則甲獲勝，若x+y為偶數(shù)，則乙獲勝.

⑴用畫樹狀圖法列出(xj)所有可能的結(jié)果.

(2)你認為這個游戲公平嗎？請說明理由.

(2025七年級下?全國?專題練習(xí))

11.現(xiàn)有12張卡片，分別標有1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12.小花和小佳合

作完成一個游戲，規(guī)定：小花先隨意抽取一張，然后讓小佳猜這個數(shù)，如果猜對了，那么小

佳獲勝；如果猜錯了，那么小花獲勝.

(1)這個游戲?qū)﹄p方公平嗎？為什么？

(2)現(xiàn)還有下面兩種游戲規(guī)則，你認為公平嗎？為什么？

①猜是奇數(shù)還是偶數(shù)；

②猜是不是3的倍數(shù).

(3)如果你是小佳，為了獲勝，你選擇上面哪一種猜法？

(2025?陜西西安?三模)

12.課間十分鐘是學(xué)生釋放學(xué)習(xí)壓力，自我調(diào)節(jié)的放松時間.課間同學(xué)們玩抽卡片游戲，他

們在一個不透明的箱子中放了4張卡片，卡片上分別寫有數(shù)字-2,3,5,6這些卡片除上面

試卷第5頁，共18頁

的數(shù)字外，其余均相同.

（1）小晴從箱子中隨機摸10次卡片，其中摸到寫有數(shù)字“6”的卡片2次，則這10次摸卡片中,

摸出寫有數(shù)字“6”的卡片的頻率是

（2）佳佳和樂樂同時從箱子中各取出1張卡片，如果兩張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)，則佳佳

勝；如果兩張卡片上的數(shù)字之和為偶數(shù)，則樂樂勝.這個游戲規(guī)則對雙方公平嗎？請用列表

或畫樹狀圖的方法說明.

【題型4幾何概率】

例題：（2025七年級下?河南鄭州?專題練習(xí)）

13.張老師把邊長為4的正方形厚紙板分成七部分，如圖1所示，然后將它割開，制成七巧

板.用自制的七巧板在一個大長方形中拼出如圖2所示的圖案，如果小球在如圖2所示的大

那么它最終停留在陰影區(qū)域的概率是

【變式訓(xùn)練】

（2025?山東濟南?三模）

14.如圖是由三個同心圓組成的游戲板，同心圓的半徑從大到小分別為15cm,10cm和

5cm.若將飛鏢隨機投擲到游戲板上，則飛鏢落在黑色區(qū)域的概率是

（2025?江蘇蘇州?二模）

15.如圖，平行四邊形/BCD中，對角線/C,8。交于點O,直線/過點O,且與邊BC

分別交于點￡、F,AE=2ED.若在平行四邊形/BCD內(nèi)隨機取點，則點落在△/OE內(nèi)的

概率是.

試卷第6頁，共18頁

AED

//

B/FC

（2025?江蘇?一模）

16.如圖，在3x3的正方形網(wǎng)格飛鏢游戲板中，每塊小正方形除顏色外都相同.假設(shè)飛鏢擊

中每一塊小正方形是等可能的，任意投擲飛鏢一次（擊中邊界或沒有擊中游戲板，則重投一

次），飛鏢擊中陰影部分的概率是.

【題型5概率的應(yīng)用】

例題：（2025?福建廈門?模擬預(yù)測）

17.商場在國慶期間舉行部分商品優(yōu)惠促銷活動，顧客只能從以下兩種方案中選擇一種：

方案一：購物每滿200元減66元；

方案二：顧客購物達200元可抽獎一次，具體規(guī)則是：在一個箱子內(nèi)裝有四張一樣的卡片,

四張卡片中有2張寫著數(shù)字1,2張寫著數(shù)字5,顧客隨機從箱子內(nèi)抽出兩張卡片，兩張卡片

上的數(shù)字和記為川，川的值和享受優(yōu)惠如表所示.

0的值2610

實際付

8折7折6折

款

（1）若按方案二的抽獎方式，利用樹形圖（或列表法）求一次抽獎獲得7折優(yōu)惠的概率；

（2）若某顧客的購物金額為200元，請你應(yīng)用統(tǒng)計概率的知識幫助分析該顧客應(yīng)選擇哪種方案

較為實惠.

【變式訓(xùn)練】

（24-25七年級下?陜西咸陽?期中）

18.某超市為吸引顧客設(shè)置如下的翻獎牌，獎品有紙巾、牙刷、太陽傘，進店消費可翻一次

牌.翻獎牌的正面、背面如圖所示.已知翻獎牌正面除數(shù)字外其他完全相同.請解決下面的

試卷第7頁，共18頁

問題:

謝謝

牙刷紙巾參用

紙巾謝謝

參與紙巾

謝謝

牙刷太陽

傘參考

(翻獎牌正面)(翻獎牌背面)

(1)翻一次牌翻到“紙巾”的概率是;

(2)翻一次牌獲得獎品的概率是；

(3)請你設(shè)計翻獎牌背面的內(nèi)容，使得最后翻到“紙巾”的概率是］,翻到“謝謝參與”的概率是

2

I，要求獎牌內(nèi)容包含“紙巾、牙刷、太陽傘、謝謝參與”.

(24-25九年級下?廣東汕頭?階段練習(xí))

19.某餐廳為了提高服務(wù)質(zhì)量，開展了顧客滿意度問卷調(diào)查，滿意度共分為5檔，從低到高

為1分，2分，3分，4分，5分.工作人員隨機抽取了20名顧客進行調(diào)查，并制作了如下

統(tǒng)計表.

分數(shù)/

12345

分

份數(shù)/

23582

份

根據(jù)以上信息，解答下列問題:

(1)若抽取的顧客中超過一半的評分均不高于3分，則需要對餐廳進行整改，請通過計算說明

該餐廳是否需要整改；

(2)若抽取的顧客所評分數(shù)的平均數(shù)或中位數(shù)低于3分，則需要對餐廳進行整改，請通過計算

說明該餐廳是否需要整改.

(23-24九年級上?遼寧營口?階段練習(xí))

20.某體育館有8兩個入口，每個入口有3個通道可同時通行，C,D,￡三個出口，其

中C、。出口有2個通道，￡出口只有一個通道，每個通道在規(guī)定時間內(nèi)可通行100人，規(guī)

定：觀眾進館時須持票任意從兩個入口進入，出館時只可任意從三個出口離開.甲、乙、丙

三名觀眾分別從兩個入口中隨機選擇一個入口進入.

試卷第8頁，共18頁

⑴求甲從/口進入，C口離開的概率；

（2）求甲、乙、丙三名觀眾選擇同一入口進館的概率.

（3）學(xué)校有七、八、九三個年級的學(xué)生進場觀看比賽，七年級80人，八年級150人，九年級

160人，比賽結(jié)束后，為了能夠在規(guī)定時間內(nèi)使所有同學(xué)都能有序離開，請你合理安排七、

八、九三個年級的學(xué)生從C、。、￡三個出口（每個年級的學(xué)生走同一個出口）離開（安排

一種即可），并說明理由.

【題型6由頻率估計概率】

例題：（2025?寧夏銀川?二模）

21.某射擊運動員在相同條件下的射擊成績記錄如下：

射擊次數(shù)20401002004001000

射中9環(huán)以上次數(shù)153378158321805

根據(jù)頻率的穩(wěn)定性，估計這名運動員射擊一次“射中9環(huán)以上”的概率是—.（精確到0.1）

【變式訓(xùn)練】

（2025?湖南長沙?二模）

22.2025年3月12日是我國第47個植樹節(jié)，某林業(yè)部門為了研究某種幼樹在一定條件下的

移植成活率，在同等條件下，對這種幼樹進行大量移植，并統(tǒng)計成活情況，下表是這種幼樹

移植過程中的一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)：

移植的棵數(shù)〃200500800200012000

成活的棵數(shù)優(yōu)187446730179010836

成活的頻率二0.9350.8920.9130.8950.903

n

估計該種幼樹在此條件下移植成活的概率是—.（結(jié)果精確到0」）

（2025?新疆阿克蘇?模擬預(yù)測）

23.某市為了解初中生近銳情況，在全市進行初中生視力的隨機抽查，結(jié)果如下表.根據(jù)抽

測結(jié)果，可估計該市初中生近視的概率為,（結(jié)果精確到0.1）

累計抽測的學(xué)生數(shù)〃1000200030004000500060008000

近視學(xué)生數(shù)與〃的比值0.4230.4100.4100.4110.4130.4090.410

試卷第9頁，共18頁

（2025?河南南陽?二模）

24.“良種壯苗”是造林的基本措施之一.某林業(yè)局為測試一種樹苗的成活率，將這種樹苗移

植成活的情況繪制成如圖折線統(tǒng)計圖，由該圖可估計移植這種樹苗2000棵，成活的大約有

例題：（24-25八年級下?江蘇鎮(zhèn)江?期中）

25.不透明的袋中有若干個紅球和黑球，每個球除顏色外無其他差別.現(xiàn)從袋中隨機摸出1

個球，記下顏色后放回并攪勻，實驗結(jié)果如下：

摸球次數(shù)1002004006008001000

摸黑球頻數(shù)3972156228312—

摸黑球頻率

0.390.360.390.38—0.39

⑴填寫表格中的數(shù)據(jù)；

（2）估計從這個袋中隨機摸出1個球，這個球是黑球的概率為；（結(jié)果精確到0.1）

（3）在（2）的條件下，如果袋中紅球和黑球共有10個，那么袋中有幾個黑球？

【變式訓(xùn)練】

（24-25七年級下?廣東深圳?期中）

26.植樹節(jié)為每年3月12日，某中學(xué)買了一批樹苗組織學(xué)生去植樹，資料顯示該種樹苗在

相同條件下成活試驗的部分結(jié)果如下表：

每批棵數(shù)n501001504008001000

成活的棵數(shù)m3777a316640800

成活的頻率」0.740.770.780.790.80b

n

（1）完成上述表格：a=,b=:

試卷第10頁，共18頁

(2)這種樹苗成活的概率估計值為(精確到0.1)

(3)如果想要有600棵樹能夠成活，那么在相同條件下至少需要買多少棵樹苗？

(24-25九年級下?福建廈門?期中)

27.大型服裝廠對一批襯衣進行抽檢，統(tǒng)計合格襯衣的件數(shù)，得到合格襯衣的頻數(shù)表如下:

抽取件數(shù)(件)5001000150020005000800010000

合格數(shù)42088014101760445072409010

合格率0.840.880.940.880.890.910.90

(1)請估計抽檢2萬件襯衣中合格襯衣大約有多少萬件？

(2)為了維護消費者的利益，質(zhì)檢部門規(guī)定不合格襯衣不能銷售，服裝廠本月生產(chǎn)10萬件襯

衣，每件襯衣成本50元，為確保銷售利潤至少有220萬，則每件襯衣至少需要定價多少件

元？

(24-25七年級下?廣東佛山?期中)

28.盒子里裝有紅球和白球共20個，它們除顏色外其他都相同，每次從盒子里摸出1個球,

記下顏色后放回盒中搖勻再摸球，在活動中得到如表中部分數(shù)據(jù).

摸球次出現(xiàn)紅球的頻出現(xiàn)紅球的頻摸球次出現(xiàn)紅球的頻出現(xiàn)紅球的頻

數(shù)數(shù)率數(shù)數(shù)率

1003232%400130a

2006231%500150b

3009030%60018330.5%

(1)請將表中數(shù)據(jù)補充完整，a=；b=:

(2)畫出“出現(xiàn)紅球”的頻率折線統(tǒng)計圖；

(3)估計摸到紅球的概率為(精確到0.1).

試卷第11頁，共18頁

（4）估計盒子里有紅球個和白球個.

1.樹狀圖：當一次試驗要涉及3個或更多個因素

時，為了不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常

采用樹形圖，也稱樹形圖、樹圖.

2.列表法：當一次試驗要涉及兩個因素，并且可

概

知識點01用樹狀圖能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時，為不重不漏地列出所

有可能的結(jié)果，通常采用列表法.

率或表格求概率

的3.用列舉法求概率

進

一

步

1.頻率與概率的定義

認

識2.頻率與概率的關(guān)系

3.利用頻率估計概率

一、單選題

（2025?安徽合肥?三模）

29.我們把十位上數(shù)字比百位和個位上數(shù)字都大的三位數(shù)稱為“A”型數(shù)，如586,

352等.那么從2,3,4這三個數(shù)字組成的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中任意抽取一個

數(shù)，該數(shù)是％”型數(shù)的概率為（）

A-IB-IC-ID-T

（2025年四川省南充市名校聯(lián)測中考二模數(shù)學(xué)試卷）

30.如圖，一個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤等分為4個扇形.轉(zhuǎn)動兩次，轉(zhuǎn)盤停止時指

針均指向區(qū)域A的概率是（）.

（2025?湖北武漢?模擬預(yù)測）

試卷第12頁，共18頁

31.2025年春節(jié)聯(lián)歡晚會生動展現(xiàn)了武漢的楚風(fēng)漢韻、重慶的巴渝風(fēng)情、拉薩

的雪域文化、無錫的江南水鄉(xiāng)，為文旅帶來了新熱潮.小雅決定從這四個城市中

隨機選兩個作為暑假旅游目的地，假設(shè)小雅選擇四個城市的可能性相同，則選擇

的兩個城市中有武漢的概率是（）

A—3—Q1T）—

A-12246

（2025?安徽合肥?模擬預(yù)測）

32.有一個正五邊形（如圖所示的正五邊形43CDE）的小花園，每個頂點處各有

一個花壇，已知花壇A中已經(jīng)種植了凌霄，花壇8中已經(jīng)種植了三角梅，在剩余

三個花壇中隨機種上鳳仙花、木槿、月季（每個花壇中只能種植一種花卉），則

鳳仙花與木槿兩種花卉相鄰的概率是（）

￡

D.2

（2025?廣東深圳?模擬預(yù)測）

33.從甲地到乙地有4及C三條不同的公交線路.為了解早高峰期間這三條線路

上的公交車從甲地到乙地的用時情況，在每條線路上隨機選取了500個班次的公

交車，收集了這些班次的公交車用時（單位：分鐘）的數(shù)據(jù)，統(tǒng)計如下：

公交車用時的頻數(shù)

公交車用時30<Z<3535<Z<4040</<45455M50合計

線路

A4526516723500

B59151166124500

C5050122278500

早高峰期間，乘坐哪條線路上的公交車，從甲地到乙地“用時不超過45分鐘”的

可能性最大（）

試卷第13頁，共18頁

A.線路AB.線路8C.線路CD.不能確定

二、填空題

（2025?福建廈門?二模）

34.在創(chuàng)建國家生態(tài)園林城市活動中，某市園林部門為了擴大城市的綠化面積進

行了大量的樹木移栽.下表記錄的是在相同的條件下移栽某種幼樹的棵數(shù)與成活

棵數(shù)：

移栽棵數(shù)100100010000100000

成活棵數(shù)89910900890005

若該園林部門準備移植220000棵樹木，則依此估計有棵樹木可以成活.

（2025?福建廈門?模擬預(yù)測）

35.一個盒子中裝有除顏色外其他都相同的20個藍色小球和若干個紅色小球.小

明通過多次摸取小球的試驗發(fā)現(xiàn)，摸取到紅色小球的頻率穩(wěn)定在0.5左右，則盒

子中約有個紅色小球.

（2025?安徽合肥?三模）

36.如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中有48兩個格點，在網(wǎng)格的其他

格點上任取一點c，恰能使AABC為等腰直角三角形的概率是.

1---------1

B

（2025?河南安陽?二模）

37.造紙術(shù)、指南針、火藥、印刷術(shù)是我國古代四大發(fā)明.如圖是秦奮同學(xué)收集

的四大發(fā)明的不透明卡片，四張卡片除正面圖案外其余完全相同，將這四張卡片

背面朝上洗勻放好，從中隨機抽取兩張，則這兩張卡片正面圖案恰好是“指南針”

和“印刷術(shù)”的概率是

試卷第14頁，共18頁

造紙術(shù)指南針火藥印刷術(shù)

（2025?河南周口?二模）

38.如圖是一個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤分成6個大小相同的扇形，分為紅、

藍、綠、黃四種顏色，指針的位置固定，轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤停止后，其中的某個扇形會

恰好停在指針所指的位置.自由轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤兩次，兩次停止后指針（不指向交線）

指向的顏色可以配成紫色（紅、藍可配成紫色）的概率是

三、解答題

（2025-江蘇蘇州?二模）

39.端午節(jié)期間，小峰一家人準備選取蘇州拙政園（記為Z）、獅子林（記為S）、

寒山寺（記為“）、西園寺（記為X）中的部分景點去游玩.

（1）若選取一個景點，則選中拙政園的概率是;

（2）若選取兩個景點，求恰好選中拙政園、獅子林的概率.

（2025?山東青島?二模）

40.小亮和小穎利用三張卡片做游戲，卡片上分別寫有Z,B,C.這些卡片除

字母外完全相同，背面朝上，從中隨機摸出一張，記下字母后放回，充分洗勻后，

再從中摸出一張.

⑴第一次就摸到A的概率是；

（2）如果兩次摸到卡片字母相同小明勝，否則小亮勝.這個游戲?qū)﹄p方公平嗎？

請說明理由.

（24-25九年級下?吉林松原?期中）

41.三張卡片正面分別寫有-3、2、4,除正面的數(shù)字不同外，其余均相同.

試卷第15頁，共18頁

(1)將三張卡片背面向上并洗勻，從中隨機抽取一張，取出的卡片上的數(shù)字為負

數(shù)的概率是;

(2)將三張卡片背面向上并洗勻，從中隨機抽取一張，放回后重新洗勻，再隨機

抽取一張，利用畫樹狀圖或列表的方法求兩次取出的卡片上的數(shù)字之積為正數(shù)的

概率.

(2025?甘肅隴南?模擬預(yù)測)

42.如圖，在甲、乙兩個不透明的口袋內(nèi)，分則有大小、材質(zhì)完全相同的若干個

小球，其中甲袋內(nèi)的小球上分別標有數(shù)字-3,-2,4,6乙袋內(nèi)的小球上分別標

有數(shù)字-2,-4,6.把小華從甲袋內(nèi)任意摸出的一個小球上的數(shù)字記作。，把小

強從乙袋內(nèi)任意摸出的一個小球上的數(shù)字記作6.若。，6都是方程/-4x-12=0

的解，則小華獲勝；若6都不是方程一一以-12=0的解，則小強獲勝.

甲袋乙袋

(1)請用畫樹狀圖或列表的方法，求小華獲勝的概率;

(2)這個游戲?qū)π∪A和小強公平嗎？請說明理由.

(24-25七年級下?江西撫州?期中)

43.工廠質(zhì)檢員對甲員工近期生產(chǎn)的產(chǎn)品進行抽檢，統(tǒng)計合格的件數(shù)，得到如下

表格：

抽取件數(shù)501002003005001000

合格件數(shù)4994192285m950

合格頻率0.980.940.960.950.95n

(1)表格中m的值為n的值為_；

(2)估計任抽一件該產(chǎn)品是不合格品的概率.

(3)該工廠規(guī)定，若每被抽檢出一件不合格產(chǎn)品，需在相應(yīng)員工獎金中扣除2元

試卷第16頁，共18頁

的材料損失費，今天甲員工被抽檢了420件產(chǎn)品，估計要在他獎金中扣除多少材

料損失費？

（2025?江蘇無錫?二模）

44.某商場為了促銷，舉辦了摸球得禮金券活動，在一個不透明的盒子里裝有1

個藍球、1個紅球和2個白球，這4個球除顏色不同外其余均相同，將球攪勻.

（1）從盒子里隨機摸出一個球是白球的概率是「

（2）活動規(guī)定：凡在商場購物的顧客均可參加活動，每位參加活動的顧客可從盒

子里隨機摸出1個球，記錄顏色后放回攪勻.顧客所摸球的顏色對應(yīng)的禮金券金

額如表所示：

球的顏色藍球紅球白球

禮金券/元503010

李阿姨和王阿姨都在該商場購物，并且兩人都參加了活動，請你用畫樹狀圖或列

表法求李阿姨和王阿姨獲得的禮金券總和是60元的概率.

（24-25九年級上?陜西西安?期中）

45.在一個不透明的盒子里裝有只有顏色不同的黃、白兩種顏色的乒乓球共40

個,某數(shù)學(xué)興趣小組做摸球試驗,將乒乓球攪勻后從中隨機摸出一個球記下顏色,

再把它放回袋中，不斷重復(fù)，下表是活動進行中的一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)：

摸球的次數(shù)n1001502003005008001000

摸到黃色乒乓球的次數(shù)加69102143213353560701

摸到黃色乒乓球的頻率二0.690.680.715a0.7060.70b

n

⑴①上表中的。=,b=；

②根據(jù)上表估計，當〃很大時，摸到黃色乒乓球的概率約是;（精確到

0.1）

（2）試估計盒子中黃色乒乓球的個數(shù).

（2025?福建廈門?二模）

46.今年學(xué)校燈謎節(jié)期間，除了全員活動外，初一年級照例要開展“一錘定音”傳

統(tǒng)挑戰(zhàn)賽：各班推選6名同學(xué)組成代表隊，分為字謎組和物謎組各3名，為增強

試卷第17頁，共18頁

趣味性，由評委分別在兩組中隨機抽一名同學(xué)進行3分鐘猜謎，猜對的字謎和物

謎數(shù)都超過往屆挑戰(zhàn)賽的最高成績(字謎和物謎組的最高成績分別為13,17,

單位：個)，才算挑戰(zhàn)成功.1班組織了賽前練習(xí)并推選了6名成績相對穩(wěn)定的

同學(xué)組成代表隊，其中小梧在字謎組，他在賽前的20次練習(xí)情況如表二所示.

表二

3分鐘猜對的字謎數(shù)x

1<%<55<x<99<x<1313<x<1717<x<21

(個)

次數(shù)11297

(1)若小梧被抽中，請根據(jù)表中數(shù)據(jù)，預(yù)估他此次比賽猜對的字謎數(shù)，并說明理

由；

(2)1班的同學(xué)同樣根據(jù)賽前練習(xí)的情況預(yù)估了本班代表隊此次比賽的成績：字謎

組另兩位同學(xué)分別為12,13；物謎組三位同學(xué)分別為15,18,19.小桐說1班

此次挑戰(zhàn)成功的機會很大，你同意嗎？請根據(jù)以上預(yù)估說明理由.

試卷第18頁，共18頁

【分析】本題主要考查概率，熟練掌握利用列舉法求解概率是解題的關(guān)鍵.根據(jù)題意列舉隨

機閉合兩個開關(guān)的所有情況，以及能使小燈泡發(fā)光的情況，從而完成求解.

【詳解】解：由題意得，隨機閉合兩個開關(guān)有48、AC、AD、BC、BD、CD六

種情況，其中能使小燈泡發(fā)光的有48、CD,即2種，

???小燈泡發(fā)光的概率為2:=；1；

o3

故答案為：—.

2.-

3

【分析】本題考查了簡單概率事件的求解，屬于基本題型，熟練掌握求解的方法是關(guān)鍵.

先列舉出所有可能的情況數(shù)，再找出其中是偶數(shù)的情況數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解即可.

【詳解】解：用1,5,8三個數(shù)字排成一個三位數(shù)，有：158,185,518,581,815,851

共6種情況，

其中是偶數(shù)的有：158與518兩種情況，

.■.P（排出的數(shù)是偶數(shù)）=5=4.

63

故答案為：--

【分析】本題考查了列舉法求概率，根據(jù)題意列出所有的可能情況，再根據(jù)概率公式求解即

可.

【詳解】解：設(shè)龍門石窟、殷墟遺址、登封“天地之中”歷史建筑群三張卡片分別為A、B、

C,

隨機抽取兩張的情況有、AC、2c共3種，其中抽到AB的情況有1種，

所以概率為:，

故答案為：~.

1

4.-

6

【分析】本題主要考查了列舉法求解概率，根據(jù)題意列舉出所有的等可能性的結(jié)果數(shù)，再找

到兩枚芯片編號的差值超過2的結(jié)果數(shù)，最后根據(jù)概率計算公式求解即可.

答案第1頁，共25頁

【詳解】解：由題意得，一共有1、2,1、3,1、4,2、3,2、4,3、4這6種情況，其中

兩枚芯片編號的差值超過2的只有1、4這種情況，

兩枚芯片編號的差值超過2的概率是,，

6

故答案為：—.

6

5.(1)|

(2)1

【分析】本題主要考查了簡單的概率計算，樹狀圖法或列表法求解概率，熟知概率計算公式

是解題的關(guān)鍵.

(1)直接根據(jù)概率公式求解；

(2)先列表展示所有9種等可能的結(jié)果數(shù)，再找出甲、乙兩個同學(xué)所選運動項目恰好相同

的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式計算即可.

【詳解】(1)解：?.?一共有三類運動，其中球類運動有一種，且每類運動被選擇的概率相同，

...甲同學(xué)從三類運動項目中隨機任選一類，則恰好選中球類運動項目的概率是:；

(2)解：列表如下：

甲乙ABc

A(4/)但幺)(")

B(4為(B,B)S)

C(4C)(及c)(c,c)

由表格可知，共有9種等可能的結(jié)果，其中甲、乙兩名學(xué)生選擇相同項目的結(jié)果有3種，

31

.??甲、乙兩個同學(xué)所選運動項目恰好相同的概率為"

6.(1)3；2和3；

1

(3)—

【分析】本題考查了中位數(shù)和眾數(shù)，概率公式，列表法或畫樹狀圖法求概率，根據(jù)題意正確

答案第2頁，共25頁

畫樹狀圖是解題關(guān)鍵.

(1)根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義求解即可；

(2)根據(jù)概率公式求解即可；

(3)根據(jù)題意列樹狀圖求解即可.

【詳解】(1)解：將五個組模型單獨處理這批數(shù)據(jù)所需要的時間按從小到大排列為：2、2、

3、3、4(單位：min),

中位數(shù)是3min,

???五個小模型單獨處理這批數(shù)據(jù)所需要的時間為2min和3min,

眾數(shù)為2和3；

(2)解:隨機抽取一個模型共有5種情況，其中時間不超過3min的模型有4個，

4

即概率為

(3)解：畫樹狀圖如下：

開蛤

R,R,R.RR

/7K/7K/7K/Ax

R：氏K.RR&也R&(凡R%&氏R%網(wǎng)&K

由樹狀圖可知，共有20種等可能得情況，其中抽到模型凡和4的情況為2種，

21

???抽到模型4和K的概率為云=而.

7.(1)不可能

*

【分析】本題主要考查了不可能事件、運用列表法求概率等知識點，審清題意、正確列表成

為解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)不可能事件的定義即可解答；

(2)先根據(jù)題意列表確定所有等可能結(jié)果數(shù)以及滿足題意的結(jié)果數(shù)，最后根據(jù)概率公式求

解即可.

【詳解】(1)解：因為課程中不包含“英語口語”，則選到“英語口語”屬于不可能事件.

故答案為：不可能.

(2)解：根據(jù)題意可列表格如下，

答案第3頁，共25頁

ABcD

A(/,B)(A,C)(A,D)

B(B,A)(B,C)(B,D)

C(C,A)(C,B)(C,D)

D(D,A)(.D,B)(￡>,C)

根據(jù)表格可知共有12種等可能的結(jié)果，其中選到的兩門課程中恰好包含“數(shù)學(xué)思維”課程的

結(jié)果有6種，即：（4S）,（D,B）,

???選到的兩門課程中恰好包含“數(shù)學(xué)思維”課程的概率為「=二=].

122

8.⑴；

（2）1

【分析】本題考查了列表法或樹狀圖法求概率，概率的簡單應(yīng)用，熟練運用相關(guān)知識是解題

的關(guān)鍵.

（1）大于2的有3和4,直接利用概率公式計算即可；

（2）用畫樹狀圖的方法畫出所有的結(jié)果，再判斷正負后利用概率公式計算即可.

【詳解】（1）解：大于2的有3和4,故指針指向的數(shù)字大于2的概率為。，

故答案為：y;

（2）解：根據(jù)題意，畫樹狀圖如下：

開始

摩木木木木

圖②-101-101-101-101

積—101-202-303-404

由樹狀圖可知，共有12種等可能的結(jié)果，其中兩個轉(zhuǎn)盤都停止轉(zhuǎn)動后指針指向的數(shù)字之積

為正數(shù)的有4種情況，

4|

??.P（小穎最終去A養(yǎng)老中心）=石=§.

9.公平

答案第4頁，共25頁

【分析】本題考查樹狀圖法求概率，利用概率解決游戲公平性，根據(jù)題意，畫出樹狀圖，求

出兩人獲勝的概率，進行判斷即可.

【詳解】解：由題意，畫出樹狀圖如下：

開始

榕榕683836

獲勝者榕榕榕榕爸爸榕榕爸爸爸爸

共6種等可能的結(jié)果，其中榕榕獲勝的情況有3種，爸爸獲勝的情況有3種；

31

.■.P（榕榕獲勝）=P（爸爸獲）=7=-.

62

二這個游戲是公平的.

10.（1）見解析

（2）這個游戲公平，理由見解析

【分析】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果",

再從中選出符合事件/的結(jié)果數(shù)目m,然后利用概率公式計算事件/的概率.

（1）畫樹狀圖即可展示所有16種等可能的結(jié)果數(shù)；

（2）根據(jù)樹狀圖得到x+y結(jié)果為奇數(shù)或偶數(shù)的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解即可.

【詳解】（1）解：畫樹狀圖：

?i

???16種等可能的結(jié)果有:（1,1）,（1,2）,（1,3）,（1,4）,（2,1）,（2,2）,（2,3）,（2,4）,（3,1）,

（3,2）,（3,3）,（3,4）,（4,1）,（4,2）,（4,3）,（4,4）；

（2）解：這個游戲公平，理由：

由圖知共有16種等可能結(jié)果，其中x+V為奇數(shù)的可能有8種，為偶數(shù)也有8種可能，

故x+y結(jié)果為奇數(shù)或偶數(shù)的概率都是:，

甲乙獲勝的概率相同，故這個游戲公平.

11.（1）不公平，理由見解析

答案第5頁，共25頁

⑵①公平，理由見解析；②不公平，理由見解析

(3)為了獲勝，選擇猜不是3的倍數(shù)

【分析】本題主要考查了游戲的公平性，正確根據(jù)概率計算公式求出對應(yīng)游戲規(guī)則下獲勝的

概率是解題的關(guān)鍵.

(1)分別計算出兩人獲勝的概率，比較即可得到答案；

(2)①分別計算出猜奇數(shù)和猜偶數(shù)獲勝的概率，比較即可得到答案；②分別計算出猜3的

倍數(shù)和猜不是3的倍數(shù)獲勝的概率，比較即可得到答案；

(3)根據(jù)(2)所求可得答案.

【詳解】(1)解：這個游戲?qū)﹄p方不公平，理由如下：

???一共有12個數(shù)字，小佳猜對的數(shù)字只有一個，猜錯的數(shù)字有11個，

???小佳獲勝的概率為小花獲勝的概率為《，

111

,:--<--,

1212

???這個游戲?qū)﹄p方不公平；

(2)解:①公平，理由如下：

???一共有12個數(shù)，其中奇數(shù)和偶數(shù)分別有6個，

???猜奇數(shù)或者猜偶數(shù)獲勝的概率都為￡=(,

二公平；

②不公平，理由如下：

???一共有12個數(shù)，其中3的倍數(shù)有4個，不是3的倍數(shù)有8個，

???猜3的倍數(shù)獲勝的概率為之=?，猜不是3的倍數(shù)獲勝的概率為乎:，

12

,—一〈一,

33

???不公平；

(3)解：由(2)可得，猜不是3的倍數(shù)的獲勝概率比較大，故為了獲勝，選擇猜不是3的

倍數(shù).

12.(1)0.2

(2)游戲不公平

【分析】本題考查頻率和列表法或樹狀圖求概率；

(1)利用頻率公式計算解題；

答案第6頁，共25頁

（2）畫樹狀圖得到所有等可能的結(jié)果數(shù)，然后得到和為偶數(shù)、奇數(shù)的結(jié)果數(shù)，求出佳佳和

樂樂獲勝的概率解答即可.

【詳解】（1）解：摸出寫有數(shù)字“6”的卡片的頻率是2+10=0.2,

故答案為:0.2；

（2）解:游戲不公平，理由為：

畫樹狀圖如下：

開始

由樹狀圖可知共有12種等可能結(jié)果，其中抽取的兩張卡片上數(shù)字之和為奇數(shù)的結(jié)果有8種,

數(shù)字之和為偶數(shù)的結(jié)果有4種，

所以佳佳勝的概率為聯(lián)Q=（O,樂樂勝的概率為41

21

?:一豐一,

33

???游戲不公平.

13-I

【分析】本題考查幾何的概率，關(guān)鍵在利用七巧板的性質(zhì)進行正方形面積的求解.

分別求出圖1和圖2的面積，即可得出N的面積=8的面積=；xl6=4,進而可求出圖2

的面積和陰影部分的面積，再根據(jù)概率公式求解即可.

【詳解】解：根據(jù)題意可得：七巧板的面積之和=邊長為4的正方形面積=16,

???圖1為正方形，

二①的面積=②的面積=；'16=4,

■-A的面積=2的面積=；'16=4,

則陰影區(qū)域的面積為：/的面積+2的面積=8,圖2的面積=16+8=24,

O1

???最終停留在陰影區(qū)域的概率=9=9

243

故答案為：—.

答案第7頁，共25頁

【分析】本題考查了求幾何概率；求出黑色區(qū)域面積占整個面積的比即可.

【詳解】解：鏢落在黑色區(qū)域的概率是15271To2兀+5、=2；

15-713

2

故答案為：—.

15.-

6

【分析】本題考查幾何概率和平行四邊形的性質(zhì)，先設(shè)平行四邊形/BCD的面積是x,得出

陰影部分的面積，再根據(jù)幾何概率的求法即可得出答案.

【詳解】解：設(shè)平行四邊形的面積是無，

則的面積為1x,

4

???AE=2ED,

AE2

?,*=一，

AD3

211

.e?/\AOE的面積為7x：%=：x

346

??.在平行四邊形N8C。內(nèi)隨機取點，則點落在內(nèi)的概率是亡=工.

x6

故答案為：~~.

6

【分析】本題主要考查了幾何概率的求法，飛鏢擊中陰影部分的概率等于陰影部分面積與正

方形總面積之比，掌握幾何概率的求法是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：S陰影=2xlxl+4xgxlxl=4,S正方形=3x3=9,

??