第12練函數(shù)與方程

一、課本變式練

1.(人A必修一P155習題4.5T1變式)下列函數(shù)圖象與x軸都有公共點，其中不能用二分法求圖中函數(shù)零點

近似值的是()

V

【解析】根據(jù)題意,利用二分法求函數(shù)零點的條件是：函數(shù)在零點的左右兩側(cè)的函數(shù)值符號相反，即穿過X軸,

據(jù)此分析選項：A選項中函數(shù)不能用二分法求零點，故選A.

2.(AA必修一P155習題4.5T2變式)已知函數(shù)y=/(尤)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,且有如下對應值表：

X123456

y108-32-7-9

則下列結(jié)論正確的是()

A.7(無)在(L6)內(nèi)恰有3個零點B.”無)在(1,6)內(nèi)至少有3個零點

C./(x)在(1,6)內(nèi)最多有3個零點D.以上結(jié)論都不正確

【答案】B

【解析】依題意,???/(2)>0,/(3)<O,f(4)>0,f(5)<0「?.根據(jù)零點的存在性定理可知,在區(qū)間(2,3)

和(3,4)及(4,5)內(nèi)至少含有一個零點，故函數(shù)/(x)在區(qū)間(1,6)上的零點至少有3個，故選8.

3.（人A必修一P144練習T2變式）設(shè)函數(shù)〃無）=2、'+：的零點為％，則%€（）

A.（T,—2）B.（-2,-1）C.（1,2）D.（2,4）

【答案】B

【解析】易知〃無）在R上單調(diào)遞增且連續(xù).由于/（-4）=：<0:=（>0,當

1634323

x>0時,〃x）>0,所以天?-2,-1）.故選B

2

4.（人A必修一P155習題4.5T7變式）若關(guān)于x的方程x-kx+2=0的一根大于1,另一根小于1,則實數(shù)k

的取值范圍為.

【答案】（3,+8）

【解析】由題意，關(guān)于x的方程V-履+2=0的一根大于1,另一根小于1,設(shè)=d+2,根據(jù)二次函數(shù)的

性質(zhì)，可得/⑴=-左+3<0,解得左>3,所以實數(shù)%的取值范圍為（3,田）.

二、考點分類練

（一）函數(shù)零點所在區(qū)間的判斷

5.（2022屆天津市紅橋區(qū)高三下學期一模）函數(shù)〃x）=e'+2x-6的零點所在的區(qū)間是（）

A.（3,4）B.（2,3）C.（1,2）D.（0,1）

【答案】C

【解析】函數(shù)/（無）=e*+2x-6是R上的連續(xù)增函數(shù),?.?/⑴=e-4<0,/（2）=e2-2>0.

可得/（1）/（2）<0,所以函數(shù)/（%）的零點所在的區(qū)間是（1,2）.故選C

6.（2022屆河南省焦作市高三第一次模擬）設(shè)函數(shù)〃元）=2工+：的零點為%,則/e（）

A.（T,-2）B.（-2,-1）C.（1,2）D.（2,4）

【答案】B

【解析】易知/（x）在R上單調(diào)遞增且連續(xù).由于?。?4）==；>0,當

-Lx-lDi,D乙D

x>0時,/（力>0,所以飛2,-1）.故選B

（二）函數(shù)零點個數(shù)的判斷

7.函數(shù)/⑴=-2+1”總的零點個數(shù)為（）個

A.2B.1C.0D.3

【答案】A

%2+2x—1=0r~x>0/、x2+2犬一l,xWO

【解析】由=>x=—1—V2，由-2+12。=—0'所以函數(shù)”加—>。的零點個

%<0

數(shù)為2,故選A.

8.(2022屆天津市靜海區(qū)高三下學期3月調(diào)研)已知函數(shù)y=〃x)是周期為2的周期函數(shù),且當時

時,〃力=泗-1,則函數(shù)"x)=/(x)-|lgx|的零點個數(shù)是()

A.9B.10C.11D.18

【答案】B

[解析】F(x)=/(尤)一弛乂零點個數(shù)就是y=/(X),y=加尤|圖象交點個數(shù)，作出y=/(%),y=|lgx|圖象，如圖：

由圖可得有10個交點，故"x)=/(x)-怛乂有10個零點.故選B.

一5二壬產(chǎn)之

o110x

/、x—,%<0

9.(2022屆安徽省十校聯(lián)盟高三下學期4月聯(lián)考)已知函數(shù)/(x)=x，則函數(shù)

Inx,x>0

g(x)=/[〃x)+2]+2的零點個數(shù)為()

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【解析】令ff(x)+2,當x<-1時,/(x)=尤+,e(-叫一2)且遞增，此時re(f0),當一1<x<0時，

X

/(x)=x+-G(-00,-2)且遞減，此時t￡(7,0)，當0<x<1時,/(x)=Inx￡(-00,-2)且遞增，此時tG(-00,0),

xe

當x>」時,/(x)=lnxe(-2,y)且遞增，此時te(0,+8),所以,g(x)的零點等價于/⑺與y=-2交點橫坐標t

e

對應的X值，如下圖示:

y

y=\nt

g=-2

由圖知：/Q）與y=-2有兩個交點,橫坐標：=-1、0<芍<1：當彳=-L即“X）=-3時，在xe（3,-1）、（-1,0）、

（0,。上各有一個解；當0<%<1,即-2</（x）<-1時，在xe[g,+"）有一個解.綜上,g（x）的零點共有4個.

故選B

（三）函數(shù)零點的應用

,x<0

10.（2022屆四川省攀枝花市高三上學期考試）已知直線廣神與函數(shù)〃X）=，的圖象恰有3個

—x+1,x>0

12

公共點，則實數(shù)。的取值范圍是（）

【答案】A

2-（9,%,0

【解析】根據(jù)題意，函數(shù)/（%）=?，作出f（x）的圖象:

—x+1,%>0

[2

當辦,0時，直線y=e和函數(shù)/（X）的圖象只有一個交點；當口>0時，直線y=M和函數(shù)y=2-（；廠的圖象只有

一個交點，直線y=e和函數(shù)y=gx2+l（x>0）的圖象有2個交點，即方程皿=；/+1在（0,+8）上有2個實數(shù)根,

"優(yōu)=打+1=>*-如+1=0,則有［：—"：2>°,解可得7">及，即加的取值范圍為(0,+8)

22\2m>0

11.(2022屆黑龍江省大慶市高三第三次質(zhì)量檢測)己知定義域為R的偶函數(shù)滿足〃2r)=/(x),當OWxWl

時,/(力=廣=1,則方程〃力=隔在區(qū)間［_3,5］上所有解的和為()

A.8B.7C.6D.5

【答案】A

【解析】因為函數(shù)〃x)滿足〃2r)=〃x),所以函數(shù)“X)的圖象關(guān)于直線x=l對稱,

又函數(shù)為偶函數(shù)，所以〃2-X)=〃X)=〃T),

所以函數(shù)/(x)是周期為2的函數(shù),

1

又g(x)=E的圖象也關(guān)于直線X=1對稱,

作出函數(shù)/(X)與g(x)在區(qū)間［-3,5］上的圖象，如圖所示:

由圖可知，函數(shù)與g(元)的圖象在區(qū)間［-3,5］上有8個交點，且關(guān)于直線x=l對稱,

所以方程八可=向在區(qū)間［-3,5］上所有解的和為4x2x1=8,故選A.

12.已知函數(shù)=<，若有三個不同的實數(shù)反c,使得9)=〃c),則a+b+c的

X/

log20i7-，xe（勿，+°0）

71

取值范圍為()

A.（2肛2017萬）B.（24,2018萬）

（3714035w

C.D.（1,2017萬）

2）

【答案】B

sine[0,句

【解析】由題意得:三,%￡(肛+8)’

log2017

7t

當xe0,|時,〃x)單調(diào)遞增；當xe予時,單調(diào)遞減；且x目0,句時,小)關(guān)于對稱；當

X時,/(X)單調(diào)遞增;

又f（O）=/（萬）=。"

l,/（2017^）=log20172017=1,

TT

設(shè)a<6<c,由〃。）=/僅）=/（。知：a+b=2x—=<c<201171,

;.a+6+ce（2],2018萬）.故選B.

三、最新模擬練

13.(2022屆安徽省部分學校高三上學期期末聯(lián)考)函數(shù)/(尤)=尤+log?x的零點所在的區(qū)間為()

【答案】C

【解析】由已知得，(x)=^+log2尤為(0,+8)上的遞增函數(shù),/，]=g+log[=；7og23<。，

>

/W=1+log21=-1<0,/f||=|+log2|=|-log23=1(5-log227)>0,/(l)=l>0,

由零點存在定理可知，/⑶在區(qū)間存在零點，故選c.

14.(2022屆江西省重點中學盟校高三第二次聯(lián)考)已知函數(shù)/(x)=2'+x-4,g(x)=e'+x-4,

/z(x)=lnx+x-4的零點分別是a,b,c,則。力,c的大小順序是()

A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.c<a<b

【答案】c

【解析】由已知條件得了(x)的零點可以看成y=2”與y=4-x的交點的橫坐標,g(?的零點可以看成〉=片與

V=4-x的交點的橫坐標,h(x)的零點可以看成y=lnxJ^y=4-x的交點的橫坐標，

在同一坐標系分別畫出丫=2",〉=0￡,丫=111》,'=4-》的函數(shù)圖象,如下圖所示，

可知c>a>b,故選C.

15.(2022屆北京市豐臺區(qū)高三上學期期末)已知函數(shù)〃x)=f?，若函數(shù)g(x)=〃x)-左有兩個

-(x-iy,x>\

不同的零點，則實數(shù)上的取值范圍是()

A.(-?,0]B.(0,1]

C.(-1,0]D.[0,1)

【答案】D

【解析】函數(shù)g(x)=〃x)-左有兩個不同的零點，即為函數(shù)y=/(x)與直線>=上有兩個交點,

所以林[0,1),故選D.

16.(2022屆江西省萍鄉(xiāng)市高三二模)已知函數(shù)〃x)=(：T?'X；。,則>=〃尤)一(的所有零點之和為()

|x+l|,x<02

A.B.C.2D.0

22

【答案】D

【解析]x20時，由(x_l)2_；=0得x=]土,，x<0時，由卜+1卜;=0得x=或x=_g,

所以四個零點和為1+變+1-交-1-3=0.故選D.

2222

3X-I,x<l

17.(2022屆福建省莆田市高三三模)已知函數(shù)/(尤)=?J，函數(shù)g(x)=/(x)，則下列結(jié)論

-4尤2+16x-13,x>l

正確的是()

A.若g(?有3個不同的零點，則a的取值范圍是口,2)

B.若g(x)有4個不同的零點，則a的取值范圍是(0,1)

C.若g(x)有4個不同的零點七,蒼龍3，%(菁<%)，則無3+無4=4

「137、

D.若g(無)有4個不同的零點和程天"/不<退<七)，則工3尤4的取值范圍是［了，力

【答案】BCD

【解析】令g(x)=/(x)-a=0得/(x)=a,即

所以g(x)零點個數(shù)為函數(shù)y=〃x)與y=。圖像交點個數(shù)，

故，作出函數(shù)y=/(x)圖像如圖，

由圖可知,g(x)有3個不同的零點，則a的取值范圍是［l,2)U{0},故A選項錯誤;

g。)有4個不同的零點，則a的取值范圍是(0,1)，故B選項正確；

g(x)有4個不同的零點和七,七,*4(玉<*2<%<*4)，此時無3，%關(guān)于直線X=2對稱，所以尤3+匕=4,故C選項

正確；

由C選項可知％=4-匕,所以工兒=(4-兒)％=T+44,由于g(x)有4個不同的零點,a的取值范圍是(0,1),

137

故0v-4兀:+16X4-13<1,所以zvr：+4zv5,故D選項正確.故選BCD

18.（2022屆河北省高三下學期4月全過程縱向評價）已知函數(shù)〃尤）=/產(chǎn)4+4+如有四個不同零點，分別

為%,%2，%3,%4（為<%2<七<%），則下列說法正確的是（）?

A.-1<x3<0

X|+X4+4

Be=—

.玉/

X3

C.%e"2=x3e

D.In（玉/毛％）+芯+/+毛+%4=-8

【答案】ACD

【解析】由題意知//4+士+的=0有四個不同的根，顯然xwo，即e".無e'+—，+根=0,

exe

令/=朧％,即e0+；+加=0,即〃產(chǎn)+/m+l=0.另外,y=xe",y'=（x+l）e",

令V=0得1=—1,故丁=疣"在區(qū)間（-8,-l）上單調(diào)遞減,在區(qū)間（-1,+s）上單調(diào)遞增，

當了78時，.=-0,如圖所示.

根據(jù)題意知e4〃+3+l=0存在兩根％芯,不妨設(shè)4，則滿足」氣<%<。，牡=4?

ee

%4%2

即有「入四=x4e,r2=x2e=書溝則由圖象可知—故A正確；

由于<，2<.<0,,秘2=F，故<,2<TV'1V0，

eeee

由圖象可知,七次4>。，0>%=%e*=%4匕”>一!，故西爐-ze"<、，

ee

A++4

即e'^<—,B錯誤；

結(jié)合以上分析可知L=%戶=三非，故C正確;

2]

%4%2X23X4

由4=石e為=x4e,t2=x2e=x3e^，得西匕西?x2e?x^-x4e=(txt2)=—,

兩邊取自然對數(shù)得出(西曰/4)+%+々+*3+工4=-111a=一8,D正確，故選ACD.

16x2—24x+9,x<l

19.(2022屆重慶市第八中學校高三下學期月考)己知函數(shù)〃x)=1則下列結(jié)論正確的有

()

A.f[n)-9'~",〃eN*

B.Vxe(0,+co),/(x)<L恒成立

x

C.關(guān)于X的方程y(x)=〃2?！╡R)有三個不同的實根，則<772<1

D.關(guān)于X的方程/("=9-"(〃eN*)的所有根之和為M2+1

【答案】AC

【解析】由題知/(")=g/(〃T)=f-2)=…=J7r/(〃-(〃-1))=J/(1)=9?,故A正確；

由上可知，要使Vxe(0,”),/(x)<L恒成立,只需滿足0<%<1時,/(x)<工成立，即16f-24x+9<工,即

尤X%

ccc13

16/一24f+9工一1<0成立,令8(工)=16%3—24%2+9X一1,貝1]8，(冗)=48%2—48%+9=0得不=],々=],易知當

x=g時有極大值g(1)=0,故B不正確；

44

作函數(shù)圖象，由圖可知，要使方程/(幻=rn(meR)有三個不同的實根，則7(2)<m</⑴，即\<〃?<1,故C正確；

由/(x)="/(xT)可知,函數(shù)在5，"+1]上的函數(shù)圖象可以由STM上的圖象向右平移一個單位長度，在將

13

所有點的橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼膅倍得到，由于y=16/_24尤+9的對稱軸為工=:,故/(無)=9°的兩

94

333

根之和為|?洞理,/(x)=k的兩根之和為1+2,…J(x)=9~的兩根之和為]+2(九-1),故所有根之和為

33333

一+(—+2)+(—+4)+…+2(”—1)]="+一/故口錯誤.故選AC

20.（2022屆四川省成都市高三下學期“三診）若函數(shù)〃元）=（1-巧（無2+6+9的圖象關(guān)于直線釬2對稱,

且直線>=左與函數(shù)/（力的圖象有三個不同的公共點，則實數(shù)k的值為.

【答案】-9

【解析】由已知可得,±1是的兩個零點，因為函數(shù)圖象關(guān)于直線x=2,因此3和5也是〃x）的零點，

所以〃無）=（1一0（工_3）（尤-5）=-（尤-1）（彳-3）（尤+1）（尤-5）

=-（尤2-4x+3）（尤2-4x-5）=-（尤2-4x）~+2（尤2-4尤）+15.

由題意可知，關(guān)于x的方程/（力=上有三個不同的實數(shù)解.

令Y-4x=f則關(guān)于/的方程/-2/-15+k=0有兩個不同的實數(shù)解乙4,

且關(guān)于x的方程尤②-4尤-4=0與V-4x-2=。中一個方程有兩個相同的實數(shù)解,另一個方程有兩個不同的實

數(shù)解,

16+4%=0、16+4A>0

則16+%>0或珍」C，因此。與G中有一個等于T,另一個大于T.

16+%2=U

不妨設(shè)4=-4,貝1|9+4=0,解得上=—9,此時〃-2/-24=0,解得/1=-4、馬=6滿足條件,

因此左=一9.

21.（2022屆高三下學期4月考試）已知a,beR,若毛,巧e是函數(shù)〃力=%3+加+6的零點，且&<%<三,

國+網(wǎng)=岡，則6。+6的最小值是.

【答案】-16

【解析】/。）=。即丁=-（辦2+6）,可轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點

①若%1，/＜°，％3＞。,此時〃＞。，。＜。,由對稱性可知＜-％」須以兀3?不合題意

②若石＜0,々，％3＞0,此時。由題意得一%+々=%3

對于方程(％_%1)(x-X2)(X-X3)=0

3(再+X)X2+(中2+XXXX)X-XXX=。

X-+x2313+23\23

一(玉+々+%3)=〃

a=-2X

XX2

故＜石工2+\3+X2X3=0解得

Z?=

-xxx2x3=b

故6。+Z?=考一12%,(%〉0)

令g(x)=d—I2x,g\x)=3(x+2)(x-2)

故g。)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,+8)上單調(diào)遞增

故6a+Z?的最小值為-16

22.(2022屆重慶市西北狼教育聯(lián)盟高三上學期質(zhì)量檢測)函數(shù)滿足〃l+x)=〃l-x),當x＞l時,

〃x)="，若/(x)-2討(x)+4加=0有8個不同的實數(shù)解，則實數(shù)機的取值范圍是

]nx

/e?、

【答案】|4,

2(e-2),

lnx-1

【解析】由/(l+x)=/(l—X)得：對稱軸為X=l,當X＞1時,r(x)=，當了＞6時,〃力＞0,當l＜x＜e吐

/'(力＜0,故〃尤)在％=e處取得極小值，且為最小值,“何.=〃e)=e，令"X)=/，則/一2皿+4m=0,要想

f~(X)-2時⑺+4帆=0有8不同的實數(shù)解，故如)=產(chǎn)-2〃忒+4機要有兩個根，則△=4"，-16機＞0,解得:

〃(e)>0e2

m＞4或機＜0,且兩根均要大于e,所以h(t)=t2-2mt+4機要滿足＜-2m，解得：e<m<——，綜上:

->e2(e-2)

e2)

me4,

2e-2)『

四、高考真題練

e\(x<0),

23.(2018全國卷I)已知函數(shù)/(%)=＜\,g(%)=/(x)+%+。?若g(x)存在2個零點，則〃的

Inx,(x>0)

取值范圍是)

A.[-1,0)B.[0,+co)C.[—1,+co)D.[l,+8)

【答案】C

【解析】由g(x)=0得f(x)--x-a,作出函數(shù)/(x)和y=-x-a的圖象如圖

當直線y=-x-a的截距-aW1,即a2-1時,兩個函數(shù)的圖象都有2個交點，即函數(shù)g(x)存在2個零點，故實

數(shù)a的取值范圍是[—1,”),故選C.

24.(2017全國卷III)已知函數(shù)/0)=/-2犬+。("-1+6-*+1)有唯一零點,則。=()

111,

A.--B.—C.—D.1

232

【答案】C

2(%-1)[

x]

【解析】法一：/(尤)=0nV—2]=—a.T+e)，設(shè)g⑴=e-+,g'(x)=-e「"='廣]

當g\x)=0時,x=l,當％<1時,g\x)<0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減；當1>1時,g'(x)>0,函數(shù)g(尤)單調(diào)遞增,

當％=1時，函數(shù)取得最小值g⑴=2,設(shè)/z(x)=f—2%,當x=l時，函數(shù)取得最小值—1,若一a>0,函數(shù)

人(%)和ag(x)沒有交點，當一a<0時,—ag⑴=/z(l)時涵數(shù)力(龍)和ag(x)有一個交點，即一ax2=—l,

所以a=g,故選C.

法二：由條件,/(x)=Y—2x+a(ei+e-x+1)，得：

/(2-x)=(2-x)2-2(2-x)+a(e?”1+e~(2~x)+1)

=f-4%+4—4+2]+a+ex~})

=￥-2尤+a(e*T+eJ)

所以/(27)=/(x),即x=l為/(x)的對稱軸

由題意,/(X)有唯一零點,/(%)的零點只能為X=1即/(1)=12-2-1+a(e-+e?)=0

解得a==.

2

25.(2020全國卷III)設(shè)函數(shù)/(尤)=d+bx+c,曲線y=f(x)在點(；次￡))處的切線與y軸垂直.

(1)求b.

⑵若了(九)有一個絕對值不大于1的零點，證明：/食)所有零點的絕對值都不大于1.

【解析】(1)因為/(%)=3必+6,

由題意,/'(,)=0,即+/?=0，則5=—。；

2⑵4

Q3

(2)由(1)可得f(x)=xx+c,

4

,311

f(x)=3x2=3(x+—)(x--),

iiii

令/(%)>0,得%>一或x<——；令/(x)<。,得一一<%<一,

2222

所以/⑴在(-；,；)上單調(diào)遞減，在(-8,-5,(L+8)上單調(diào)遞增,

2222

且/(-1)=CU)=C+；/(!)=C-J，A1)=C+!，

424244

若/(%)所有零點中存在一個絕對值大于1零點/，則/(-1)>0或/(I)<0,

即c>—或c<—.

44

當c〉；時,/(_l)=c—；>0,/(—g)=c+；>0,/(g)=c_；>0,/(l)=c+5>0.

又/(-4c)=-64C3+3C+C=4C(1-16C2)<0.

由零點存在性定理知/(x)在(-4c,-1)上存在唯一一個零點七,

即f(X)在(-0),-1)上存在唯一一個零點，在(-1,+8)上不存在零點，

此時/(無)不存在絕對值不大于1的零點，與題設(shè)矛盾；

當c<_；時,/(—l)=c_；<0,/(—g)=c+；<0,/(g)=c_；<0,/(l)=c+5<。，

又/(—4c)=64c3+3c+c=4C(1-16C2)>0,

由零點存在性定理知/(x)在(1,-4c)上存在唯一一個零點x0',

即/(X)在(1,y)上存在唯一一個零點，在(—8,1)上不存在零點,

此時/(X)不存在絕對值不大于1的零點，與題設(shè)矛盾；

綜上"(無)所有零點的絕對值都不大于1.

X+]

26.(2019全國卷II)已知函數(shù)f(x)=Inx------.

x-1

(1)討論/(X)的單調(diào)性,并證明/(X)有且僅有兩個零點；

(2)設(shè)%是/(%)的一個零點，證明曲線y=In光在點A5,In/)處的切線也是曲線y=e，的切線.

【解析】(1)/(%)的定義域為(o,i)U(i,y).

“、12八

因為/(x)=-+-~>0,所以f{x}在(0,1)和(1,+oo)上是單調(diào)遞增.

x(X-1)

因為/"(e)=l——-<0,/(e2)=2-^±A=^4>0.

e-1e--le-1

所以/(x)在(l,+8)有唯一零點花,即f(X,)=0.

又。<一<1,7-=—ln%+、=—/(xJ=0,故/(x)在(0,1)有唯一零點一.

X1\X17石一1X1

綜上,/(%)有且僅有兩個零點.

1(1>

(2)因為一=/嘰,故點3-lnx0在曲線y=e工上.

xoVxoJ

,+1

由題設(shè)知/(%)=o,即Inx0=，

/T

x+1

J__inx()J__o

故直線AB的斜率k=--------=/[T=—.

-In/-/_V+l_x0

1人()

Xo-1

/1)11

曲線y=e*在點8-lnx0,一處切線的斜率是一，曲線y=lnx在點A5/!!/)處切線的斜率也是一,

kxoJxoxo

所以曲線y=lnx在點A(x°,lnxo)處的切線也是曲線>=/.的切線.

五、綜合提升練

尤2—4ax+4xV0

27.（2022屆天津市寶地區(qū)高三上學期考試）已知函數(shù)/（%）=,、'二恰有兩個零點，則實數(shù)。的

lnx+2ax,x>0

取值范圍是（）

B.(-°0,-l)U^--,0j

A-

c.（-8,T）u］=,q

D.(!,+,?)

【答案】c

【解析】當aNO時,〃％）=爐―4辦+4在（_甩0］上單調(diào)遞減,又/⑼=生

所以函數(shù)/（X）在（-8,0］上沒有零點,

/(x)=lnx+2ax在(0,+℃)上單調(diào)遞增,

所以函數(shù)〃x）在（0,+8）上至多有一個零點,

故當“20時，函數(shù)/（x）在R上至多有一個零點，不合題意；

當a<0時,/（x）=lnx+2<zx,xe（0,+oo）

產(chǎn)（x）='+2a=^^,令廣（司=0,得彳=-；,

xx2a

.?.xe（0,-時,尸（力>0,函數(shù)〃x）單調(diào)遞增；xe（-;，⑹時,/''（xH。,函數(shù)〃尤）單調(diào)遞減，

Na4a

X=-［時，函數(shù)〃x）有最大值,=In-1,

A當<0,即…上時，函數(shù)?。┰冢?,+s）上沒有零點’

當/［1］=1"一：［T=。，即"=一】時，函數(shù)〃x）在（°，+8）上有一個零點’

當，|一士/1?一］］一1>°，即一!<“<。時，函數(shù)A"在（°，+⑼上有兩個零點；

對于/（*）=*2-4ax+4,xe（-8,0］，對稱軸為x=2a涵數(shù)〃=-4依+4在（-8,0］上最小值為

/（2a）=（2a）2-4o.2a+4=4-4a2,X/（。）=4,

.?.當〃2a）>0,即-1<a<0,函數(shù)/（x）在（-90］上沒有零點，

當〃2a）=0,即a=-1,函數(shù)，⑺在（-8,0］上有一個零點，

當〃2a）<0,即"-1,函數(shù)〃x）在（-co,0］上有兩個零點;

1

V，或---<a<0

所以要使函數(shù)/（無）恰有兩個零點則<2e，或2e

CL<—1a=-1—1<。<0

角窣得?！?或---<a<0；

2e

綜上，實數(shù)a的取值范圍是。<-1或-!<a<0.故選C.

2e

28.（2022屆江西省八校高三第一次聯(lián)考）己知函數(shù)〃元）=（尤2-1）比無+〃》-1）2"*0）的三個零點分別為

不，工2，%3淇中%>工2>無3,則矛（%1+%2）（%2+%）（%3+石）的取值范圍為（）

A.(-64,-32)B.(-32,0)C.(T?,-64)D.(-8,-32)

【答案】C

【解析】f(x)=(x-l)[(x+l)lnx+〃x-D],顯然/⑴=0,令(x+l)lnx+〃x—1)=0,(尤>0)，即

lnx+^^——=0,(x>0)令g(%)=lnx+&^—,(x>0)，貝！Jg⑴=。

x+1x+1

g'(x)=1+24f+(2X+2)x+1

,(x>0),

（尤+1『x(x+l)2

令Zz(x)=%2+(2X+2)X+1,(x>0),

要想g（元）除1外再有兩個零點，則g（無）在（0,+8）上不單調(diào)，則△=（2%+2）2-4=4萬+84>0,解得：2<-2或

A>0,

當2>0時,g'（x）>0在（0,+功恒成立，則g（x）在（0,+8）單調(diào)遞增，不可能有兩個零點，舍去

ab=l

當4<—2時，設(shè)g'（x）=0即g）=0的兩根為。力,且。<6，則有a+Z7=-2(A+l)>0'^0<a<1<Z>,

令g'(x)>0,解得：或無>仇令g'(%)<。,解得：a<x<b,

所以g⑴在(0,。),(反+。)上單調(diào)遞增，在(。⑼上單調(diào)遞減，

因為M%>X3，所以0<%<〃<1=%2<b<再，

/一1]

又因為gp~]=ln[+—^-J=_lnx+『°x)=_g(x)，若g(x)=0,則g(L]=0,因為g(玉)=g(x,)=0,所

X

VXJxJ_+11+x\J

X

1

以退=—,

%

、1、

所以（%+%2）（工2+%3）（%3+玉）=（玉+1）1+—石H---=--j2+%H—Xy-\—

XX

I1八.%.711.?V

因為幾〈一2,所以;1?v—8,故；1?(X1+X2)(X2+X3)(X3+X1)<-64.

檢驗：當力=一2時,g(x)=lnx+塵二D(》>0),g，")=J_一^^=與220,此時g(x)在(O,+s)上

X+1%(x+1)x(x+l)

單調(diào)遞增，又g(l)=o,即芯=/=電=1,