專(zhuān)題02高中全部補(bǔ)充函數(shù)培優(yōu)歸類(lèi)

》稱(chēng)壓軸?茲高度六.

題型1對(duì)勾函數(shù)型

%

1.有“漸近線"：y=ax

2.“拐點(diǎn)”：解方程ax=2

x（即第一象限均值不等式取等處）

-+—,2<x<12

2x

1.（23-24高三?黑龍江哈爾濱模擬）已知函數(shù)〃x）=，若對(duì)于任意的實(shí)數(shù)4、

ax—12。H,12<%W18

2

%、天目2,18],均存在以〃石）、/（%）、/（七）為三邊邊長(zhǎng)的三角形，則〃的取值范圍是（

_33

A-B,-A<.<2C.0V〃<一D.——<^<0

41212444

2.（22-23高三上廣東清遠(yuǎn)?階段練習(xí)）已知函數(shù)“X)=2023*,則不等式/(X+1)>f(2x)

NUND-K-i~D

的解集為（）

.（1

A.----,+coB.(2023,同

2023

C.卜00,-；卜(1,+℃)

001

3.(24-25高三上?浙江期中)已知函數(shù)/⑺=e，+er,若。=1鳴0.6,z，=3,c=log53,則有()

A.f(a)>/(&)>/(c)B./(&)>/(c)>f(a)

C./(^)>/(?)>/(c)D./(c)>/(cz)>f(&)

4.（2020.湖南婁底.模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（力=優(yōu)+（左—I）/（a>0且"I）是偶函數(shù),則關(guān)于x的不等

式〃logM）>d±l的解集是（）

a

A.（2,+oo）B.[。，]]U（2,+°o）

C.D.以上答案都不對(duì)

題型2雙曲函數(shù)

100^0

雙曲函數(shù)（雙刀函數(shù)）

y=ax—2（兩支各自增），或者y=2—ax（兩支各自減），（a,b>0）

xx

1.有“漸近線"：丫=2*與丫=高*

；2.“零點(diǎn)”：解方程ax=2

x（即方程等0處）

1.（2025?江西,模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)〃x）=e'-eT+sin2x,若大43,+。），使/（f）+〃4一分）＜。成

立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為（）

A.（T,2）B-（一8,]

C.（2,+oo）D.

2.（23-24高一下?河南濮陽(yáng)?期末）已知函數(shù)/同）=2，-2-,若一＞0,1＞0,S.f（2m）+f（n-l）=0,則

上1+三2的最小值為（）

mn

A.2B.4C.6D.8

3.（24-25高三,黑龍江哈爾濱,階段練習(xí)）已知函數(shù)/⑺=/-2，則不等式/（2x-l）＜/（x+l）的解集為

（）

A.（0,2]B.[0,2]C,D.0,2

4.（22-23高三上?四川成都?階段練習(xí)）已知函數(shù)/（尤）=ex-ef-2sinx+l,則關(guān)于r的不等式

/⑺+/（2?1）＜2的解集為（）

A.|—oo,—B.C.—,+0°|D.-?+°°I

題型3復(fù)合分式型“反比例"函數(shù)

----------------------------------------------------------------------------------------------------丁

反比例與分式型函數(shù)

解分式不等式，一般是移項(xiàng)（一側(cè)為零），通分，化商為積，化為一元二次求解，或者高次不等式，再用

穿線法求解

形如：y=——-o對(duì)稱(chēng)中為P（Xo，y0）,其中

cx-d

（1）、cxo-d=O；

j_ax

⑵、Yo=一

ex

（3）、一、三或者二、四象限，通過(guò)x=0,1計(jì)算判斷

°

i

1_2

1.（23-24高二下廣東茂名?期末）已知函數(shù)〃x）=Ev，則不等式的解集為（）

A.(-oo,0)

D.(f0)D(|?

,+a?

2.(23-24高三江蘇南通?階段練習(xí))已知函數(shù)/(冗)=丁^XER,貝IJ不等式/(f—2%)</(3X—4)的解

|x|+1

集為()

A.(1,2)B.(1,4)C.(0,2)D.1.1

2,—x?

----x<(J

3.（23-24高二下?甘肅蘭州?階段練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=x+1',貝1J不等式/(%2一2%)</(2%)的解集

2,x<0

為（）

A.（^?,0）U（4,-H?）B.(ro,0)U(2,+°°)C,D.(2,4)

4.（24-25高一下?云南昭通?開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)/（%）=—三，若對(duì)任意的

X-J

~71713

xe,/（x）＞-—^+4M+7機(jī)恒成立，則加的取值范圍為（）

24zx—9

題型4絕對(duì)值型函數(shù)

i

i

絕對(duì)值函數(shù)：

（1）分類(lèi)討論去掉絕對(duì)值；（2）大部分絕對(duì)值函數(shù)，可以遵循翻折變換

；翻折變換：x軸翻折，y軸翻折，y=x翻折

1、f（x）n|f（x）|x軸翻折：x軸下方（負(fù)的）翻上去

2、f（x）nf（|x|）y軸翻折：y軸左側(cè)擦除。右側(cè)翻到左側(cè)，成為偶函數(shù)

i

i

I_________________________________________________________________________________________..._____________________

fo,0〈茗,1,

1.（2019,天津和平?一模）已知函數(shù)/。）=1法1,=<2_4|_2若關(guān)于x的方程/（?+，"=g（X>恰

有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則加的取值范圍是（）

A.[0,ln2]B.(-2-ln2,0]

C.(-2-ln2,0)D.[0,2+ln2]

2.（24-25高二下?河北?期末）已知xeR,貝4,一2|+卜+1|的最小值為（）

A.1B.2C.3D.4

3.（24-25高二下?江蘇南京期末）已知函數(shù)/"）=的值域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)。的取值范圍

\x-2a\-l,x>a.

是（）

A.（—co,—2）B.[―2,0）C.（2,+oo）D.[—2,2]

4.（24-25高二下?浙江麗水?期末）已知函數(shù)"x）=2-|x|,若關(guān)于％的不等式/（%）>/-2%-m的解集中有

且僅有2個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)根的取值范圍為（）

A.[-2,-1）B.（-2,-1）C.[-2,0）D.（-2,0）

題型5取整函數(shù)（高斯函數(shù)）

取整函數(shù)（高斯函數(shù)）

y=h]，[x]表示不超過(guò)了的最大整數(shù)，又叫做“高斯函數(shù)”，

1.（22-23高三江蘇徐州?階段練習(xí)）符號(hào)國(guó)表示不超過(guò)尤的最大整數(shù),如團(tuán)=3,[-1.08]=-2,定義函

數(shù)〃（x）=[x]-x,那么下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是（）

①函數(shù)/z（x）的定義域?yàn)镽，值域?yàn)椋?1,0]

②方程〃（尤）=-g有無(wú)數(shù)多個(gè)解

③對(duì)任意的xeR,都有％"+1）=//（力成立

④函數(shù)可元）是單調(diào)減函數(shù)

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

2.（22-23高三上?江西階段練習(xí)）已知國(guó)表示不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)（xeR）,如：[-1.3]=-2,

[0.8]=0,[3.4]=3.定義{x}=x-國(guó),給出如下命題:

①使[x+l]=3成立的x的取值范圍是2Vx<3；

②函數(shù)y={x}的定義域?yàn)镽,值域?yàn)閇0』；

「2019202。］

>=1009

③酷卜黑卜踹H2020J

其中正確的命題有

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

3.（23-24高一上?云南楚雄?階段練習(xí)）數(shù)學(xué)上有兩個(gè)重要的函數(shù)：狄利克雷函數(shù)與高斯函數(shù)，分別定義如

[1X為有理數(shù)

下：對(duì)任意的xeR,函數(shù)。（x）=0,x為無(wú)理數(shù)稱(chēng)為狄利克雷函數(shù),記[X]為不超過(guò)X的最大整數(shù)’則稱(chēng)

〃力=因?yàn)楦咚购瘮?shù)，下列關(guān)于狄利克雷函數(shù)與高斯函數(shù)的結(jié)論，錯(cuò)誤的是（）

A.。（公））=1

B.D（x+1）=￡>（%）

C./（x）+/（-x）=0

D./（。（力）的值域?yàn)閧0,1}

4.（2024高三.北京.專(zhuān)題練習(xí)）高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，用其名字命名的“高斯

函數(shù)”為：設(shè)xeR,用印表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，則，=國(guó)稱(chēng)為高斯函數(shù)，例如：Ht]=T,[L5]=l,

已知函數(shù)/(x)="，設(shè)g(x)="。)],則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()

1+2,

A./(x)是奇函數(shù)B.g(x)是奇函數(shù)

C./(x)在R上是增函數(shù)D.g(x)的值域是{-1,0}

題型6一元三次型函數(shù)

1------------------------------------------------------------i

I

一元三次函數(shù)：

所有的三次函數(shù)〃力=加+涼+B+d("0)都有“拐點(diǎn)”，且該“拐點(diǎn)”也是函數(shù)y="X)的圖像的對(duì)稱(chēng)

中心，

設(shè)廣(X)是函數(shù)“X)的導(dǎo)數(shù)，/'"(X)是/'(X)的導(dǎo)數(shù)，若方程廣(x)=°有實(shí)數(shù)解％,則稱(chēng)點(diǎn)(、，/(、))

為函數(shù)/(X)=加+加+G+d(aH0)的“拐點(diǎn),,.

1.(22-23高三上?湖北?階段練習(xí))已知函數(shù)g(尤)=:丁+無(wú)一相+'(租>o)是口,一)上的增函數(shù).當(dāng)實(shí)數(shù)優(yōu)

3x

取最大值時(shí)，若

存在點(diǎn)Q，使得過(guò)點(diǎn)Q的直線與曲線y=g(x)圍成兩個(gè)封閉圖形，且這兩個(gè)封閉圖形的面積總相等，則點(diǎn)Q

的坐標(biāo)為

A.(0,-3)B.(0,3)C.(0,-2)D.(0,2)

2.(21-22高三上?河南信陽(yáng)?階段練習(xí))已知函數(shù)g(x)=-<+x->n+-(w>0)是(。，-2)上的增函

3x

數(shù).當(dāng)實(shí)數(shù)，:取最大值時(shí)，若存在點(diǎn)。，使得過(guò)點(diǎn)。的直線與曲線型=崽您手圍成兩個(gè)封閉圖形，且這兩

個(gè)封閉圖形的面積總相等，則點(diǎn)。的坐標(biāo)為

A.(0,-3)B.(0,3)C.(0,-2)D.(0,2)

3.(23-24高二下?寧夏銀川?期末)對(duì)于三次函數(shù)〃力=加+加+cr+d(aH0),現(xiàn)給出定義：設(shè)尸(x)是

函數(shù)“X)的導(dǎo)數(shù)，/〃⑺是/'(X)的導(dǎo)數(shù)，若方程/(x)=0有實(shí)數(shù)解則稱(chēng)點(diǎn)(%,/(尤0))為函數(shù)

/(力=渥+加+cx+d(aH0)的“拐點(diǎn)”，經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”，任何一個(gè)三次

函數(shù)都有對(duì)稱(chēng)中心，且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱(chēng)中心，設(shè)函數(shù)g(x)=d—3/+2x+3,則函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心為

()

A.(1,2)B.(1,3)C.(2,2)D.(2,3)

4.(20-21高二下?北京西城?期中)對(duì)于三次函數(shù)〃力=加+加+5+必叱0),給出定義：設(shè)y="x)

是函數(shù)y=/(x)的導(dǎo)數(shù)，尸(X)是(。)的導(dǎo)數(shù)，若方程廣(無(wú))=。有實(shí)數(shù)解％,則稱(chēng)點(diǎn)(%,/(%))為函數(shù)

>=/(尤)的“拐點(diǎn)”.探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱(chēng)中心，且

拐點(diǎn)”就是對(duì)稱(chēng)中心，設(shè)函數(shù)/(x)=gx3-gx2+￡,則以下說(shuō)法正確的是()

①函數(shù)f(x)對(duì)稱(chēng)中心(g,0

H力*

②力:舒…+/|的值是99

U00；

③)函數(shù)/(X)對(duì)稱(chēng)中心、“

@f\高+力|的值是1

uooJ

AB.c.（2X3）D.

題型7指數(shù)絕對(duì)值函數(shù)

指數(shù)函數(shù)核心特征是“一點(diǎn)一線”。

1.一點(diǎn)，即一定點(diǎn)。

2.一線，即一條漸近線(x軸)

3.指數(shù)函數(shù)的定點(diǎn)，類(lèi)似中心對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于“定點(diǎn)”滿足“積定值。這個(gè)性質(zhì)。

4.無(wú)論指數(shù)函數(shù)怎么變換，要注意“一點(diǎn)一線”是否存在且“跟隨”變換。

1.(24-25高三?江西?階段練習(xí))若函數(shù)/(尤)=卜'-1|+加有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是

()

A.(-1,2)B.(-1,0)C.(0,1)D.(—1,1)

,xW0,

2.(2025高三?全國(guó)專(zhuān)題練習(xí))已知函數(shù)〃%)=4方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，從

xH---3,x>0,

小到大依次為石，%,無(wú)3，匕，則%%的取值范圍是()

A.[4,5)B,(4,5]C.[4,+w)D.(-<x>,4]

3.(2025,湖南婁底模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=,T，g(x)="(x)]2-/(x)(reR),若關(guān)于x的方程

g(x)=3有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)，的取值范圍是()

A.(-2,2)B.(G⑵C.(-2,-^)D.(2,+oo)

4.(24-25高三?江西階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=51，則函數(shù)g(x)=〃/(x)-l)-2的零點(diǎn)個(gè)

x+2%+2,x<0

數(shù)為()

A.5B.6C.7D.8

題型8對(duì)數(shù)型絕對(duì)值函數(shù)

◎o的⑥

對(duì)數(shù)絕對(duì)值型函數(shù)

對(duì)于f（x）=|logaXI，|logaXI?若有兩個(gè)零點(diǎn)，則滿足

.0<X,<1<x,

1.1乙

2,X1X2=1

3：要注意上述結(jié)論在對(duì)稱(chēng)軸作用下的“變與不變”

|log3x|,0<x<3

1.（24-25高二下?山東日照?階段練習(xí)）已知函數(shù)〃x）=1210，若方程/（x）=，〃有四個(gè)不同的

—X---x+S,x>3

133

（X-3）（x-3）

實(shí)根冷.三用，且占5<當(dāng)<"則3=的取值范圍為（）

A.(0,1)B.(1,3)C.(0,3)D.(2,3)

2.（24-25高二下?天津?yàn)I海新?階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)占，3是函數(shù)/。）=出-|1鳴（1橫兩個(gè)零點(diǎn)，則

下列結(jié)論正確的是（）

A.（^-l）（x2-l）e（0,1）B.（^-l）（x2-l）e（1,l）

C.（%-1）（馬-1）€（1,|）D.（x「l）（9-l）e（|,2）

3.（24-25高三上海?階段練習(xí)）已知〃無(wú)）=心?”，'存在實(shí)數(shù)"匕<c滿足%）*伍）=〃c）,則這的

[x+l,x<0.

取值范圍為（）.

A.（-1,0）B.（-1,0]C.[0,1）D.（0,1）

21

4.（24-25高一上?云南曲靖?期末）已知函數(shù)〃尤）="辦,若關(guān)于x的方程/（力=左（％eR）

|lnx-l|,x>0

有四個(gè)不同的根，它們從小到大依次記為d，X2）X3,X4）則%尤2元3%4的取值范圍為（）

A.（0,2e]B.0,—jC.0,—D.（0,e]

題型9對(duì)數(shù)無(wú)理型

對(duì)數(shù)與無(wú)理式復(fù)合是奇函數(shù)：k>0

2

y=loga（V（kx）+l±kx）,如：y=loga（J（x>+1+x）

V（kx）2+1+kx,k>0,是增函數(shù)；VCkx）2+l-kx,k>0,是減函數(shù);

2

（1）、a>l時(shí)，loga（7（kx）+l+kx）是增函數(shù)（復(fù)合函數(shù)）

（2）、O〈a<l時(shí)，loga（J（kx>+l+kx）是減函數(shù)（復(fù)合函數(shù)）

變形：

對(duì)稱(chēng)中心橫坐標(biāo)如果相同，可以疊加縱坐標(biāo)為合成中心

1.（2025河北模擬預(yù)測(cè)）若W-所）log?（44-+1+2（其中。>0）是偶函數(shù)，貝（）

A.2B.1C-1D-i

2.（2025?河北?模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)y=|x|與函數(shù)vTnG/ZTT-x）-'的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

X

A.0B.1C.2D.3

3.（2025?陜西咸陽(yáng)?二模）已知f（x）是定義在R上的函數(shù)，且/。-2）為奇函數(shù)，若函數(shù)g（尤）=ln

（衣不^7?-工-2卜工片-2）的圖象與函數(shù)f（x）的圖象有〃個(gè)交點(diǎn)（花,%）,（%,%）,…，（當(dāng)，％）,且

Jx;=-2024,則〃的值為（）

1=1

A.1010B.1012C.1014D.1016

4.（2025高三,全國(guó)專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)〃x）=ln（Jl+4x2+2x）則不等式

/(x)+/(2x—l)+3x<0的解集為()

1

A.B.—,+00

3

-00,1L

C.+00)D.—00,—

3J3

題型10對(duì)數(shù)反比例型

形如對(duì)數(shù)與反比例復(fù)合型，是奇函數(shù)：

1m-wc1m+nx,11-x.1-kx.x-1曰.十“小/中,,

y=log--------,y=log--------■,如：log--,log——,log------刖提7E上下對(duì)偶

am+nxam-nx1+xa1+kxax+1

(1)、上下平移：

mm

y=loga(t?)=y=loga+logat(是個(gè)不含x的常數(shù))

m+nxm+mc

(2)、左右平移：

y=loga里土，或yMlogahEo左右平移，中心，可以通過(guò)定義域的中心值找

m+xx+m

擴(kuò)展拔高：log"巴坦I，依舊是奇函數(shù)，

m-nx

如果上下不“對(duì)偶”，則發(fā)生了左右與上下平移，依舊中心對(duì)稱(chēng)

實(shí)戰(zhàn)解題巧法：對(duì)稱(chēng)中心必然是定義域的“對(duì)稱(chēng)中點(diǎn)”處，可以借助這個(gè)特性

來(lái)直接解出參數(shù)值

L（23-24高三?云南昭通階段練習(xí)）函數(shù)/（x）=lnf為奇函數(shù)，。的值為（）

2a-x

A.-2B.0C.2D.4

2一系

2.（24-25高三?湖南長(zhǎng)沙?開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)f(x)=lnMQ,a=log23,b=log34,c=l,則()

A./(a)</(/?)</(c)B./(a)</(c)</(Z?)

C./(c)</(?)</(/?)D./(c)</(&)</(?)

3.（24-25高三下?江蘇泰州?開(kāi)學(xué)考試）已知aeR,?^-1,函數(shù)〃x）=in7,貝I］（）

A.當(dāng)。＞0時(shí)，函數(shù)/'（X）在其定義域上單調(diào)遞減

B.當(dāng)。＜0時(shí)，函數(shù)/（x）在其定義域上單調(diào)遞增

C.存在實(shí)數(shù)°,使函數(shù)f（x）的圖像是軸對(duì)稱(chēng)圖形

D.當(dāng)awO時(shí)，函數(shù)的圖像恒為中心對(duì)稱(chēng)圖形

4.（2025高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）若函數(shù)〃x）=cosxJg［-占］的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，貝心=（）

A.1B.2C.3D.4

題型11指數(shù)反比例型

I指I點(diǎn)I迷I津

指數(shù)型”反比例函數(shù)”:

原理：y=ax+a~x'iy=ax-a~x

,a'+lax-\\-axl+ax

y=------

a—1a+1l+＜7l-ax

2以上幾個(gè)類(lèi)型都是奇函數(shù)

；指數(shù)型”反比例函數(shù)”：

t+ax

y=：~~；

2以上幾個(gè)類(lèi)型都是對(duì)稱(chēng)中心函數(shù)，對(duì)稱(chēng)中心在y軸上

怎么找中心？

1.如果x=0有意義，直接（0,f（0））就是中心

2.如果x=0無(wú)意義，則（oj（T）+f⑴）是中心，即特殊值法

2

1.（24-25高二下河南周口?期末）已知/（刈二^-。是奇函數(shù)，則”=（）

5-1

A.1B.—1C.~D.—

22

7

2.(2025?山東濟(jì)寧?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)〃x)=f,則下列是奇函數(shù)的是()

3-3

A.7(x+2)+；B./(x+1)-^

C./(x+2)+3D./(x+1)-3

3.(2025,四川成都模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(切=：-￡,數(shù)列｛%｝滿足％=1,=2,

2025

。"+4=4(〃6*),/(%+%)+/(4+%)=°，則，%=()

Z=1

A.1B.2C.3D.4

4.(2025?遼寧?模擬預(yù)測(cè))已知/(%)是R上的奇函數(shù)，當(dāng)xNO時(shí)，—-匕若

2x+2m3

2/(|x|-2)+/(2)</(0),則犬的取值范圍為()

A.(一8,—1]"1,+8)B.[-1,1]

題型12對(duì)數(shù)反比例：絕對(duì)值型

0。?0

aH-x

對(duì)數(shù)反比例絕對(duì)值型函數(shù)f(X)=loga|-^|,有以下幾點(diǎn)性質(zhì)(可以參考下圖特殊函數(shù))

b干x

1.定義域是斷點(diǎn)型：xw士a,xw±b(結(jié)合具體函數(shù)數(shù)值)

2.圖像一上一下，一左一右，具體有兩個(gè)判斷：

(1)、兩個(gè)斷點(diǎn)處；(2)、斷點(diǎn)處左右兩邊極限處帶特殊值，判斷函數(shù)值正負(fù)。

1.（24-25高三上?山東日照?期末）若/（x）=log2占+。+6是奇函數(shù)，則。+6=（）

A.—B.—1C.1D.—

22

1丫

2.（24-25高三上,內(nèi)蒙古赤峰,期末）已知函數(shù)〃x）=lna+^—+R）為奇函數(shù)，且在區(qū)