第3節(jié)不等式及其性質(zhì)

課標(biāo)要求1.理解用作差法比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的理論依據(jù).2.理解不等式的性質(zhì)，掌握不等式性質(zhì)

的簡單應(yīng)用.

【知識(shí)梳理】

1.兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的方法

a—b>0a>b,

a-b=0a=b,

{a—b<0a<b.

'.>l(aER,b>O')a>b(aER,

b>0),

(2)作商法<￡=1=a=W0),

三<l(a6R,b>0)?a<b(aER,

<b>0).

2.不等式的性質(zhì)

(1)不等式的性質(zhì)

①可加性:a>b=a+c?+c;

②可乘性:c>0^ac>bc;

a>b,c<0=>ac<bc;

③傳遞性：。>b,b>c=a>c;

④對(duì)稱性:。

(2)不等式的推論

①移項(xiàng)法則:Q+6>C=Q>C6；

②同向不等式相加:c>d^a±c>b±d;

③同向不等式相乘：〃>匕>0,c>d>0=>ac>bd;

⑷可乘方性￡N,n>l);

⑤可開方性:。>0>00g>死.

［常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒］

1.證明不等式的常用方法有:作差法、作商法、綜合法、分析法、反證法、放縮法.

2.有關(guān)分式的性質(zhì)

⑴若a>b>0,m>0,貝哈<翳

bb-m,,二、

->——(bm>0).

aa-m

若ab>0,貝

(2)ljab

【診斷自測】.概念思考辨析+教材經(jīng)典改編

1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“7”或“x”)

(1)〃>6=〃/>灰3()

(2)a=b=ac=be.()

⑶若%1,則〃泌.()

ill

(4)a<x<b<0=>-<-<-.()

答案(1)X(2)X(3)X(4)7

解析(1)由不等式的性質(zhì)，敬3>歷3分公"

反之，cWO時(shí)，a>b^ac3>bc3.

(2)由等式的性質(zhì)，a=bnac=bc;

反之,c=0時(shí),ac-bci>a^b.

(3)〃=3,6=1,貝吟>1,但〃<尻

2.(人教A必修一P43T8改編)(多選)下列命題為真命題的是()

A.若ac2>bc2,貝lja>b

B.若a>b>0,則a2>Z?2

C.若a<b<0,則a2<ab<b2

D.若a<b<Q,則工力

ab

答案ABD

解析C中，若a=2"=l,

貝lja2>ab>b2,故C錯(cuò)誤.其余均為真命題.

3.（蘇教必修一P53例3改編）設(shè)M=^+y2+l,N=2（x+yl）,則M與N的大小關(guān)系為

答案M>N

解析MN=^+y2+12x2y+2

(xl)2+(yl)2+l>0.故M>N.

4.（人教B必修一P81習(xí)題22BT3改編）已知a￡（l,3）,咐2,3）,則a2b的取值范圍是,

答案（5,1）

解析由56(2,3)得6<20<4,

又l<tz<3,故5<a2b<l.

考點(diǎn)一比較數(shù)（式）的大小

例1⑴若正實(shí)數(shù)a,b,c滿足c<c，<c"vl,則（）

A.aa<a”<6"B.aaB<ba<ah

C.ab<aa<baD.abD<ba<aa

答案c

解析?.7是正實(shí)數(shù)，且c<l,.*.0<c<l,

由c<廿<c”<l,得0<a<b<l,

-=aab>l,：.ab<aa,

.蕨

..0a一。a

ba，0（尸，a>0.

a

<1,即aa<ba,

綜上可知,ab<aa<ba.

「2024+1「2025:1

⑵已知?jiǎng)tM,N的大小關(guān)系為

答案M>N

g2024+ig2025+i

解析法一

MN=-Q2025+1Q2026+1

(e2024+l)(e2026+l)-(e2025+l)2

(e2025+l)(e2026+l)

e2024+e2026_2e2025

(e2025+l)(e2026+l)

e2024(e-i)2

>0.

(e2025+l)(e2026+l)

：.M>N.

x

法二令危尸e+l

ex+1+l

>+1+i)+i-Li11-1

ex+1+leex+1+l'

顯然八x)是R上的減函數(shù),

：.f(2024)?2025),即M>N.

思維建模比較大小的常用方法

⑴作差法:①作差;②變形;③定號(hào);④得出結(jié)論.

⑵作商法:①作商;②變形;③判斷商與1的大小關(guān)系;④得出結(jié)論.

(3)構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小.

訓(xùn)練1⑴若a萼,加苧,c與則()

A.a<Z?<cB.cB<b<a

C.c<a<bD,bD<a<c

答案B

解析法一易知a",c都是正數(shù)，

-=^=log8i64<l,所以a>b\

a41n3

衿翳log>l，所以行

即c<b<a.

法二構(gòu)造函數(shù)於尸竽

則/(X)電，

由f(x)>0)得0<x<e;由/(x)<0,得x>e.

.?.小)在(0,e)上單調(diào)遞增,在(e,+8)上單調(diào)遞減，.?/3)次4)次5),即a>b>c.

(2)(2025?上海調(diào)研)如果x<0,0<y<l,那么、，:的大小關(guān)系是

答案加>4工

XXX

解析法一因?yàn)槿齻€(gè)式子的值很明顯都是負(fù)數(shù),

2

y2

且手=y￡(0,1),所以?>?；

X

y

同理會(huì)ye(0,1),所以，

X"'

綜上竺.

XXX

法二因?yàn)樗囏癵〉o,

XXX

所以"

XX

因?yàn)?匚〉0,

XXX

所以所以藝>2>±

XXXXX

考點(diǎn)二不等式的基本性質(zhì)

例2(1)若實(shí)數(shù)a,b滿足a<b<0,則()

A.a+Z?>0B.abB<0

C.\a\<\b\a汩m

答案B

解析由a<b<0,可得a+b<0,故A錯(cuò)誤;

由a<b<0,可得ab<0,故B正確;

由a<b<0,可得a>b>0,所以|a|>|加故C錯(cuò)誤;

由a<b<0,可得|a|>|b|>0,

⑵侈選)已知a,b,c為實(shí)數(shù),則下列說法正確的是()

A.若a>b,則ac2>bc2

B.若a>b,貝！Ja+c>b+c

C.若a>b>c>0,貝產(chǎn)

bb+c

若貝

D.U--a---b>a-c

答案BCD

解析當(dāng)c=0時(shí),tzc2=Z?c2,故A錯(cuò)誤；

由不等式的可加性可知,B正確；

若a>b>c>Q,則ab>Q,b+c>0,

?aa+c_a(b+c')-b(<a+c')

??bb+cb(b+c)

-b(b+c)"

—>手，故C正確；

bb+c

若a>b>c>0,貝ijab>0,ac>0,bc>0,且ac>ab,

??

-a-b->—a-c>0,

又b>c>0,由可乘性知，

±>工，故D正確.

a-ba-c

思維建模解決此類題目常用的三種方法：

(1)直接利用不等式的性質(zhì)逐個(gè)驗(yàn)證,要特別注意前提條件；

(2)利用特殊值排除法；

(3)利用函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)直接利用不等式的性質(zhì)不能比較大小時(shí)，可以利用指數(shù)、對(duì)數(shù)、幕函數(shù)等

函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷.

訓(xùn)練2(1)設(shè)a,仇c,d為實(shí)數(shù)，且c<"，則是aac<bdn的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案B

解析由不能推出ac<6d,如。=2,。=3,c=0,d=l,

滿足但是ac=bd,故充分性不成立；

當(dāng)ac<bd又c<d,可得ac+c<bd+d,即a<b,故必要性成立,

所以“a<b”是“ac〈bd”的必要不充分條件.

⑵侈選）若卜卜0,則下列不等式正確的是（）

B.|a|+Z?>0

2b2

C.a-a>Z?b-D.lnD^>ln

答案AC

解析由-0,可知b<a<0.

ab

A中，因?yàn)閍+b<0,ab>0,

所以」7<0,-->0,

a+bab

則熹故A正確

B中，因?yàn)閎<a<0,

所以b>a>0,

故b>\a\,即|。|+6<0,故B錯(cuò)誤；

C中，因?yàn)閎<a<0,又WO,

ab

則工>5>o,

ab

所以a->b^,故C正確；

ab

D中，因?yàn)閎<a<0,根據(jù)尸2在（8,0）上單調(diào)遞減，可得b2>a2>0,而y=ln尤在定義域（0,+8）上單調(diào)遞

增，

所以In/>lna2,故D錯(cuò)誤.

考點(diǎn)三不等式性質(zhì)的應(yīng)用

例3(1)(2025?西安質(zhì)測)已知l<a<5,3<b<l,則以下結(jié)論錯(cuò)誤的是()

A.15<ab<5

B.4<o+Z?<6

C.2<ab<S

D.當(dāng)月0時(shí),|專<5

答案D

解析由題知l<t?<5,因?yàn)?<b<l,所以l<b<3,

對(duì)于A,若「J*則15<已<3,若尸；0<5則而=0,若『上匕:'，則l<ab<5>

綜上可得15<ab<5,故A正確；

對(duì)于B,4=3l<a+Z?<1+5=6,故B正確；

對(duì)于C,2=11<^<3+5=8,故C正確；

對(duì)于D,當(dāng)tz=4,咐時(shí),苗8,故D錯(cuò)誤.

⑵(2025?重慶質(zhì)檢)已知ab^[5,27],a+b&[6,30],則7a5b的取值范圍是()

A.[24,192]B.[24,252]

C.[36,252]D.[36,192]

答案D

解析設(shè)1a5b=m(ab)+n(a+b)=(m+n)a(mn)b,

所以pn+n=：,解得gn=6,

Im—n=5,Ln=1,

所以7。5b=6(QZ?)+(Q+Z?).

又ag5,27],a+g6,30],

所以7〃5斤6(H)+(a+6)￡[36,192].

思維建模利用不等式性質(zhì)可以求某些代數(shù)式的取值范圍，應(yīng)注意兩點(diǎn):一是必須嚴(yán)格運(yùn)用不等式

的性質(zhì);二是在多次運(yùn)用不等式的性質(zhì)時(shí)有可能擴(kuò)大了變量的取值范圍，解決的途徑是先建立所求

范圍的整體與已知范圍的整體的等量關(guān)系，最后通過“一次性”不等關(guān)系的運(yùn)算求解范圍.

訓(xùn)練3⑴已知3<a<8,4<。<9,則藍(lán)的取值范圍是.

答案64

解析：4<0<9,.6qq,又3<tz<8,

.?.lx3<-<-X8,即\巴<2.

9b43b

(2)已知l<x<4,2勺<3,則孫的取值范圍是,3x+2y的取值范圍是.

答案(4,2)(1,18)

解析因?yàn)?勺<3,

所以3勺<2,

所以4<xy<2.

由3<3x<12,4<2y<6,

得l<3x+2y<18.

一、單選題

1.已知a>0,1>0,M=7a+b,N=*+如,貝IM與N的大小關(guān)系為()

A.M>N

B.M<N

C.MWN

D.M,N大小關(guān)系不確定

答案B

解析M2N2=(a+b)(a+b+2-/ab)

=2y/ab<0,：.M<N.

2.已知若同時(shí)成立，則()

A.ab>0B.abB<0

C.a+Z?>OD.aD+Z?<0

答案A

解析因?yàn)槠?/p>

所以三二號(hào)<0,

abab

又a>b,所以ba<0,所以ab>0.

3.已矢口a》=l,M=2+",心三+七,貝UM與N的大小關(guān)系是（）

1+a1+b1+a1+b

A.M>2VB.MB<N

C.M=ND.無法確定

答案C

解析法一

Vab-1,b--a,

1.11,a

M=-:——+—1=——+——=1,

1+ai+-1+aa+1

a

1

1

N=￡+aj—十Q+0+】■=1,：.M=N.

a

法二由題意知，止士+者懸+魯臉+捻皿

4.（2025?北海統(tǒng)考）已知a>b>0>c,則（）

A.ac>bc

B.a(bc)<b(ac)

a+c2b+c2

D.3?+b2+c2>2ab2ac+2bc

答案C

解析對(duì)于A,a>b,c<0,則ac<bc,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,a>b>0>cf則c<0,ba<0,

則a(bc)b(ac)=c(bd)>Of故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,a>b>0>c,則a+c2>b+c2>0,則二故C正確；

a+czb+c2

對(duì)于D,6z2+Z72+c2(26zZ?2ac+2Z?c)=(4z+c)2+Z222Z?(<7+c)=(d!+cZ?)2,故存在a=2,b=1,c=l,使得

222

a+b+c(2ab2ac+2bc)=0f故D錯(cuò)誤.

n2

5.已知3<a<2,3<b<4,則此的取值范圍為（)

A.（l,3）BG*

c（譚嗚1

答案A

解析因?yàn)?<a<2,所以4<a2<9,

而3<b<4,即W；

4b3

2

故手的取值范圍為(1,3).

6.已知a<b<c,a+Z?+c=O,則()

A.ab<Z?2B.acB>bc

iiCC-CLY

C.-<iD.——<1

acc-b

答案c

解析因?yàn)閍<b<c,a^-b+c=O,所以a<O<c,b的符號(hào)不能確定，當(dāng)b=0時(shí),ab=b2,故A錯(cuò)誤;

因?yàn)閍<b,c>0,所以ac<bc,故B錯(cuò)誤;

因?yàn)閍<O<c,所以工d,故C正確；

ac

因?yàn)閍<b,所以a>b,所以ca>cb>0,

所以三>1,故D錯(cuò)誤.

c-b

7.已知m5=4,n8=9,0.9〃=0.8,則正數(shù)m,n,p的大小關(guān)系為（）

A.p>用>〃B.mB>〃邛

C.m>p>nD.pD>n>m

答案A

112

解析由加5=4,得加=4g=25<V2,

由n8=9,得n=98=34,

2

因此,M=

Ti34—

>1,EPV2>m>n,

由0.9P=0.8,得/7=logo,90.8>logo.90.81=2,

于是得p>m>n,

所以正數(shù)m,n,p的大小關(guān)系為p>m>n.

8.(2025?沈陽模擬)實(shí)數(shù)羽y滿足2x+y=l.若12yli2|x|<3,則實(shí)數(shù)x的取值范圍是()

A.(l,2)B.(l,0)

C［。用D.&2)

答案A

解析根據(jù)題意可知y=12x,不等式|2刈2|x|<3可化為|14x|2|x|<3.

對(duì)絕對(duì)值里面的式子進(jìn)行分類討論可得當(dāng)x<0時(shí),原不等式可化為14x2X(x)<3,即12x<3,解得

1<%<0;

當(dāng)OWxW工時(shí),原不等式可化為14x2x0,解得OWxW±

44

當(dāng)介工時(shí),原不等式可化為4x12x0,

4

即2xl<3,解得lx<2.

4

綜上可知

即實(shí)數(shù)x的取值范圍是(1,2).

二、多選題

9.若a>b>0,則下列不等式中正確的是()

.11

A.-<-

ab

B.a?<ab

C.ln|?l|>ln|61|

D.2ab>l

答案ABD

解析因?yàn)閍>b>Q,-->0,所以三

ababab

即y,故A正確;

ab

因?yàn)閍>b>0,Q<0,所以a2<ab,故B正確;

若。=I，Z?=|,ln|al|<n|Z?l|=ln|,故C不正確；

因?yàn)閍b>Q,

所以2叱故D正確.

10.已知實(shí)數(shù)x,y滿足3<x+2y<2,1<2冷<4,則()

A.l<x<2B.B2<y<1

C.3<x+y<3D.Dl<xy<3

答案ABD

解析了三[。+2>)+2(2盯)]?(1,2),故A正確；

廣|(x+2y*2孫)e(2,1),故B正確；

x+y=3(x+2y)；(2x-y)?Q故?錯(cuò)誤；

孫=一(弋33屋(1,3),故口正確.

11.已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足a>b>c,且abc=l,則下列說法正確的是()

A.(o+c)2>—B.—<—

ba-cb-c

C.a2>Z?2D.(a2bl)(ab2l)>0

答案ABD

解析對(duì)A,根據(jù)a,4c滿足a>b>c,

且abc=l可知a>0,且a,b,c均不等于0,

當(dāng)b<0時(shí)，不等式(a+c)2>：顯然成立，

當(dāng)b>Q時(shí),a,c均為正數(shù),

由均值不等式可得(a+c)2》4代嚶=封,故A正確；

對(duì)B,因?yàn)閍>b>c,故ac>bc>0,

故工-成立，故B正確；

a-cb-c

對(duì)C,當(dāng)Z?=l,c-2時(shí),滿足a>b>c且〃兒?=1,但a2>b2不成立，故C錯(cuò)誤；

22

對(duì)D,因?yàn)閍bc=l,(6zZ?l)(^l)=f--1)(--1)二("因?yàn)閍>b>cy故("):")>(),故D正確.

z

\c/\c/c乙c

三、填空題

12.已知M=x13x,N=3f+x3,則M,N的大小關(guān)系是.

答案M>N

解析?.?MN=(X23X)(3X2+X3)

=4X24X+3=(2X1)2+2>0,

：.M>N.

13.若l<a+b<3,2<ab<4,t=2a+b,則a的取值范圍為;t的取值范圍為

答案(另)(-消)

解析6Z=|[(6Z+Z?)+(6ZZ?)],

由l<〃+b<3,2<〃6<4,得

1<(Q+Z?)+(Q6)<7,

即％<4

22

又/=2a+Z?=|(tz+Z?)+|(6zZ?),

3319

.,q+l<；(a+))+刎厲+2,

即瀉)

14.已知a>b>c,2a+b+c=0,則9的取值范圍是

a------------

答案(3,1)

解析因?yàn)閍>b>c,2a