2024年新高考數(shù)學(xué)公式大全-高考復(fù)習(xí)沖刺必備(2024.4.23)

01集合與常用的邏輯用語

1-并集

運算性質(zhì)：A\JB=BA,AL)A=A,4U0=0U4=a,aa(4uB),BC(xuB),A￡

B=AUB=B

2.交集

運算性質(zhì)：AC\B=BCtA,ACtA=A,XCl0=0ClX=0,04nB)U4,(AClB)UB,Ac

BAnB=A

3.補集

運算性質(zhì)：CuAUU,CuU=0,Cu0=u,Cu(CuA)=A,AU(CuA)=U,AA(CuA)=0

4.德?摩根定律

(1)C?(AnB)=(U)u(CuB)；

(2)CU(AUB)=(C?A)A(CUB).

5.常用的正面敘述詞語和它的否定詞語.

原詞語等于(=)小于(<)都是至少有一個至多有一個至多有n個

否定詞語不等于(二)不小于(》)不都是一個也沒有至少有兩個至少有(n+1)個

02等式與不等式

1.不等式的性質(zhì)

性質(zhì)1：如果〃〉"那么Q<6;

性質(zhì)2：如果〃>c,那么a>c;

性質(zhì)3：如果〃那么a+c〉b+d;

性質(zhì)4：如果〃〉4c〉0,那么ac>be;如果〃>"c<0,那么ac<be;

性質(zhì)5：如果。>b,c>d,那么Q+C〉b+d;

性質(zhì)6：如果a〉6〉0,c〉d>0,那么〃(?>瓦/;

性質(zhì)7：如果〃〉0,那么0<!<!；

ab

性質(zhì)&如果〃>6〉0,那么a"〉6〃(〃eN*);

性質(zhì)9：如果〃>b>0,那么標(biāo)>y[b(neN*,n>1);

性質(zhì)10：a>b>0^—<—,a<b<0^—>—.

abab

2.基本不等式：兩個重要不等式

不等式變形形式等號成立的條件

22.a2+b2

a+b>2ab(a,b回R)ab<----當(dāng)且僅當(dāng)a=b

2

基本不等式：Vab<^(a,b>0)a+b>2Vab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b

均值不等式串a(chǎn)>>"b>V^>>b,a,beR+

V22Ina-lnZ?4十，

ab

調(diào)和平均數(shù)w幾何平均數(shù)w算術(shù)平均數(shù)w平方平均數(shù).

推論：a2+b7+c22<25+60+四,。力67?,當(dāng)且僅當(dāng)4=/?=°時等號成立

推論1：^a,b,ceR+,a3+b3+c323abe，當(dāng)且僅當(dāng)a=Z?=c時等號成立；

推論2：若a,b,ceR*,貝U"+"」’>Va/?c,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時等號成立；

3

推論3：若見+“2+…+%,也他..4eN*eR+,1WiWn.

n

*絕對值不等式

料―網(wǎng)球土4<時+同，當(dāng)且僅當(dāng)abWO時左邊等號成立，ab2O時右邊等號成立

3.柯西不等式

二維柯西不等式

若a,0,c,d都是實數(shù)，貝U：d+〃2）（。2+/）之（ac+0d）2,當(dāng)且僅當(dāng)3d=〃c時成立

二維柯西不等式的向量形式

設(shè)名，兩個向量，則當(dāng)且僅當(dāng)必，共線時，等號成立.

二維柯西不等式的概率形式

jE（x2）jE（y2）半（xy）|

三維柯西不等式

（。占+④仇+a3b3）2<（a；+a；+）

4.伯努利不等式

對于實數(shù)x〉T，

時，有d+x）"21+nx成立,0<〃V1時，有d+x）"Vl+nx成立，

當(dāng)且僅當(dāng)九=0,1,或x=0時，等號成立。

5.權(quán)方和不等式

2z2

對柯西不等式變成得：（幺+2）（x+y）2（a+6）2,

在a,dx,y〉O時，有:如，當(dāng)@時,等號成立

xy%+yxy

5.不等式倒數(shù)和分?jǐn)?shù)性質(zhì)

(1)倒數(shù)，性質(zhì)：a>b.ab>Q^>—<—.a<Q<b^>—<—\

abab

(2)分?jǐn)?shù)性質(zhì)：若7>b>0,m>0,貝lj有：

bb+mbb-m、aa+maa-m、

一<----->---------(b>m),—>-----，—<------z[7b>m)

aa+maa—mbb+mbb—m

03函數(shù)性質(zhì)與指對嘉函數(shù)

2.函數(shù)的單調(diào)性

VXi,X2@D,當(dāng)XI<X2時,都有f(xj<f(X2),函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增

Vxi,X2^D,當(dāng)XI<X2時,都有f(xi)>f3),函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減

2.奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義

偶函數(shù)：f(-x)=f(x),奇函數(shù)：f(-X)=-f(x)

【周期性和對稱性】

1)為(x+〃)=/(X+/?)(〃W/?),貝！]/(%)的周期是T=\a-b\,

2)若/(%+〃)=-/(%),貝如⑴的周期是T=2%

3)茍'(x+a)='或/'(X+a)=———,則/(x)的周期是T=2M

以x)/(%)’

4)若函數(shù)y=/(x)的圖像關(guān)于直線r=a對稱，貝"(a+x)=f(a-x),

5)若函數(shù)>=/(x)的圖像關(guān)于點(a力)對稱，貝獷(a+x)+f(a-x)=2b.

6.實數(shù)指數(shù)塞的運算性質(zhì)

1.aras=ar+s(a>0,r,s￡R)；

2.(ar)s=ars(a>0,r,sGR)；

3.(ab)r=arbr(a>0,b>0,rGR).

4.拓展:^=ars(a>0,r,sGR).

as

8.對數(shù)與指數(shù)的關(guān)系

當(dāng)a>0,a#l時，a*=Nox=logaN,這是指數(shù)式與對數(shù)式互化的依據(jù)相關(guān)結(jié)論如下:

(1)負(fù)數(shù)和0沒有對數(shù)；

(2)logal=0,logaa=l(a>0,且aWl)；

logN

N

(3)@a=N,logaa=N(a>0,且aWl,N>0).

9、對數(shù)的運算性質(zhì)

1.如果a〉0,且a#l,M>0,N>0,那么

M

n

(1)loga(MN)=logaM+logaN；(2)loga—=logaM-logaN；(3)logaM=nlogaM(nDR).

10、對數(shù)換底公式

1.對數(shù)換底公式：10gab=警史(a>0,且a#l；b>0；c>0,且cWl).

logca

m

2.相關(guān)結(jié)論：logab=7^—,loganb=-logab(a>0,且aWl；b>0,且bWl；nWO).

logba"日n

13.函數(shù)零點存在定理

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a,b］上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有f(a)f(b)〈O,那么，

函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一個零點，即存在cG(a,b),使得f(c)=O,這個c也

就是方程f(x)=0的解.

零點定理：對于連續(xù)函數(shù)。V》

如果f(a)、f(b)異號

BPf(a)x/(b)<0

必有f⑹=O,se(a,b)

04復(fù)數(shù)

1.復(fù)數(shù)的模

|z|=|a+bi|=Va2+b2

2.復(fù)數(shù)的加法與減法

設(shè)zi=a+bi,Z2=c+di(a,b,c,d￡R)是任意兩個復(fù)數(shù)，那么(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i,

(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.

復(fù)數(shù)加法的運算律：對任意Zi,Z2,Z3@C,有Z1+Z2=Z2+Z1,(Zi+Z2)+Z3=Z1+(Z2+Z3).

3.復(fù)數(shù)的乘法法則

(1)設(shè)zi=a+bi,Z2=c+di(a,b,c,d￡R)是任意兩個復(fù)數(shù)，那么它們的積

(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.

2.復(fù)數(shù)乘法的運算律

①交換律：Z1Z2=Z2Z1；②結(jié)合律：(Z1Z2)Z3=Z1(Z2Z3)；③分配律：Z1(Z2+Z3)=Z1Z2+Z1Z3.

9.復(fù)數(shù)的除法運算

復(fù)數(shù)的除法法則：(a+bi)+(c+di)=咚丹+亭等i(a,b,c,deR,且c+diWO).

c2+d2c2+d2

10.共軻復(fù)數(shù)的性質(zhì)

(l)z?z=|z|2=|z|2；(2)如果z=G,則z,N為實數(shù)；

(3)共軌復(fù)數(shù)的和為實數(shù)，即z+N=2a；

(4)+z2=z1+z2；(5)z1z2=z1z2.

H.ilnGN)的周期性及其應(yīng)用

虛數(shù)單位i的乘方具有周期性，最小正周期為4,有以下結(jié)論

4n4n+14n+3

(l)i=l,i=i,遣”=-1,i=-i(neN),其中i°=l,廣=工(neN).

in

(2)i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0(neN).

05平面向量

1.向量的線性運算

運算注意法則(或幾何意義)運算律

①交換律

三角形法則：首a+b=b+a

加法匚二

尾相連aa②結(jié)合律

三角形法則平行四邊形法則(a+b)+c=a+3+c)

三角形法則：共

減法起點，連終點，a-b=a+(―Z?)

a

指向被減向量

三角形法則

(1)|4(H刈團

4("Q)=

實數(shù)2的正負(fù)決(2)當(dāng)彳>0時，/la與a的方向相同；當(dāng)

數(shù)乘(2+〃)Q=Aa+jLia

定方向的同，反。4<0時，而與a的方向相反；

+b)=Aa+Ab

當(dāng)4=0時，=0

2.向量共線定理、平面向量基本定理

(1)共線向量定理(一維)

如果a=2b(2eR),貝!|a//Z?；反之，如果a//Z?且則一定存在唯一的實數(shù)2,

使a=26.

(2)平面向量基本定理(二維)

有且只有一對實數(shù)x,y使a=xq+#2,若q,/不共線，稱卜七｝為基底。

3.向量的三角不等式

0+4

0abTB(^a+b―BbA

圖2圖3

\a\~\b\\<\a+b\<\al+IM.

4.平面向量的數(shù)量積

1.a?b,即a?/?=|a||b|cos0

2.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0.

5.投影向量

T->Tf—?

1.如圖，設(shè)a,b是兩個非零向量，AB=a,CD=i>,過AB的起點A和終點B,分別作CD

所在直線的垂線，垂足分別為A1,BI,得到AIB「則稱上述變換為向量a向向量b投影，AS】

叫做向量a在向量b上的投影向量.

2.設(shè)與b方向相同的單位向量為e,a與人的夾角為9,則向量。在向量人上的投影向量

—>—>

是Ia|cos0e

B.D

6.向量數(shù)量積的性質(zhì)

—>f

1.設(shè)a,沙是非零向量，它們的夾角是。，e是與人方向相同的單位向量，則

(1)a-e=e?a=\a\cos。

(2)aJ_b=a,b=0.

⑶當(dāng)〃與Z?同向時，a?b=\a\\b\；當(dāng)a與b反向時，a?b=~\a\b\.

特別地，a?〃二|〃「或|〃|=Va-a.

(4)|a?b|W|a||Z?|.

7.向量數(shù)量積的運算律

Wa?b=b?a；(2)(入。)?人二入("?/?)=々?(入〃)；(3)(4z+/?)?c=a?c+

—>—>

b?c.

8.向量數(shù)量積的運算及性質(zhì)

⑴(〃±士人「二土2〃?h+\h\2=a2+2a?b+/?2；

(2)a21J(a+b)?(^-/?)=|a|2-|b|2；

⑶(a+b)?+(a-b)J2(|a|2+|b|2)；

(4)a2-^b'Oua-b=0.

9.平面向量共線的坐標(biāo)表示

設(shè)a=(xi,yi),6=(x2,y2),其中bWO,則向量x,1共線的充要條件是xiy2-X2yi=0.

10.向量模、夾角的坐標(biāo)表示

(1)向量模的公式：設(shè)〃二(x,y),則J|a\=y/x2+y2.

若表示向量a的有向線段的起點和終點分別為A(xi,yi),B(X2,y2),貝!!Ia

—>,

l=|AB|=J(X2—X1)2+(y2—y1)2

(2)向量的夾角公式：設(shè)兩個非零向量1=3,yi),.(xz,yj,；與彘勺夾角為。，則

cos0_a.b_,xiX2+%y2.

|a||b|Jx：+y"x-

15.平面向量數(shù)量積的幾何意義

(3)數(shù)量積的運算律

已知向量a、b、c和實數(shù)X,則:

①crb=b-a；?(2a)-b=A(ab)=a-(2Z>)；③(<z+Z>)-c=a-c+6-c.

(4)數(shù)量積的性質(zhì)

設(shè)a、b都是非零向量，e是與。方向相同的單位向量，。是。與e的夾角，則

@e-a=a-e=^a\cos0.②?b=0.

③當(dāng)Q與力同向時，a-b=\a\\b\；當(dāng)。與〃反向時,a-b=-\a\\b\.

特別地，。?4二|〃|2或|。|=/〃?〃.

④cos0=。匕(]a\\b0).⑤|a?6|W|a|.

1als|

(5)相關(guān)運算和坐標(biāo)運算對比

已知非零向量〃=(玉，％),b=(x2,y2),6為向量。、8的夾角.

結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示

模\a\=yja'a1a|=Qx2+y2

數(shù)量積a'b=\a\\b\cos3a-b=xtx2+y}y2

八ab

夾角cose=-------

\a\\b\Jx；+y；.Jx；+￡

a的充要條件ab=。Xi尤2+X%=°

a//b的充要條件a=4bQbw0)玉%fX=。

|a?"與|“|傳||a?。區(qū)|a|傳|(當(dāng)且僅

1元3+y%國Jx：+3-&+￡

的關(guān)系當(dāng)a〃＞時等號成立)

06三角函數(shù)與解三角形

一、三角函數(shù)

1.弧度制

1Q/A。

180°=7frad,l°=—rad,lrad=(衛(wèi))工57.30°=57°18'

180°n

2.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

1.公式：

sin2^+cos26^=1,tan8二,

cos。

2.深化公式：

⑴l+2?sinaccos。=sin2or+2?sin6Z?cosa=(sina+cos。)?

(2)Jl-2sina?cosa=J(sina-cosa)2=^ma-cosa\

3.【常見三角不等式】

TT

(1)若九￡(0,5)，則sinx<x<tanx.(對比三角函數(shù)線)

(2)若無￡(0,1)，則l<sinx+cosx?J^.(輔助角公式)

(3)|sinx|+|cos%|>l.(三角形兩邊和大于第三邊)

4.誘導(dǎo)公式(奇變偶不變，符號看象限)

(1):sin(2左"+a)=sincr,cos(2^+。)=costan(2左乃+。)=tana;

(2):sin(-cr)=-sina,cos(-6Z)=coscr,tan(-cr)=-tana\

(3):sin(s+a)=-sina,cos(?+a)=-cos/tan(%+=)=tana;

(4):sin(?一①=sina,cos(?—a)=一cosa,tan(〃一a)=-tana;

(5):sing-。)=cosa,cosg-a)=sina;

7171

(6):sin(—+6r)=cosa,cos,+a)=-sma.

二、三角恒等變換

L兩角和與差的正弦、余弦和正切公式

sin(a±J3)=sinacos(3±cosasin(3;

cos(6r±J3)=cosacos尸7sinasin0;

/,c、tana±tan￡

tan(a±二-----------—.

1.tanatan/3

3.輔助角公式：

a?sinx+Hcos%="瓦瓦sin(%+。)=da2+/cos(九一0),

八ba

tan，=—,tan/=一；

ab

4.二倍角的正弦、余弦、正切公式

sin2c=sin?coscc.

cosla=cos2sin2a=2cos2a-\=l-2sin2a.

「2tana

tan2a=----------.

1-tana

5.升幕公式、降然公式

升嘉cos2a=2cos2a-1=1-2sin2a,

(7友01+cos2a.1-cos2al-cosa

降累：cos2a--------------,sin2a---------------,tan2a-------------;

221+cosa

萬能公式

ca1,2>a

2tan—1—tan—。2tan—

.777

sina=--------^-,cosof=----------tanor=------------

2a212a

I1+tan—1I+tan—。l—tan—

222

6.函數(shù)y=Asin（5+0）

1

振幅：A,周期：7=同頻率：f=-相位：皈+0,初相：x=0時的相位夕

60對函數(shù)y=Asin（5+0）函數(shù)圖像的影響

（1）?！?時，橫坐標(biāo)縮短為原來的2?倍，0＜。＜1時，橫坐標(biāo)伸長為原來的工倍；

com

（2）0的影響橫坐標(biāo)的橫向平移，左加右減；

（3）A影響縱坐標(biāo)的最大值和最小值.

三、解三角形

1.正弦定理

—=—==2R,R為AA305勺外接圓半徑；

sinAsinBsinC

變形形式：

abc

①a=2HsinA。=2Hsin5,c=2HsinC,②sinA=——,sinB=——,sinC=——,

2R2R2R

③a:/?:c=sinA:sinB:sinC,@------"+"。-------=-Q—=2R.

sinA+sinB+sinCsinA

2.余弦定理

Q?=/72+c2—2bccosA/?2—c2+a2—2CQCOSB,C2—a?+Z?2—2abeosC,

變形形式：

b2+C1-a1c2+a2-b2a-^b1-c1

cosA=--------------,cosB=--------------,cosC=--------------

2bclealab

3.三角形中常用結(jié)論

(1)A+B+C=

(2)大角對大邊，大邊對大角A>5osinA>sin5,

(3)在斜三角形ABC中，tanA+tanB+tanC=tanA?tanB?tanC,

(4)三角形內(nèi)角常用的三角恒等式：

sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tan(A+B)=-tanC,

(5)三角形中的射影定理:

a=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA

4.三角形面積公式

S=—ah,S=—absinC=—bcsmA=—casmB,S=2R2sinAsinBsinC,

07數(shù)列

1.利用Sn與an的關(guān)系求數(shù)列的通項公式

S],n=1,

Sn-Sn-1?n>2.

2.等差數(shù)列

遞推公式：&田-11=(1(11￡”)或4一211一尸(1(1122,nGN*)

中項性質(zhì)：a,A,b成等差數(shù)列<=>2A=a+boA=等.

通項公式：a?=ai+(n-l)d.

等差數(shù)列前n項和公式

1.已知首項、末項與項數(shù)，則S產(chǎn)當(dāng)詈叱已知首項、公差與項數(shù)，則S產(chǎn)na】+的嚴(yán)d.

3.等比數(shù)列

n-1

遞推公式：皿=q(neN*)或工=q(n22,nEN*),通項公式：an=aiq.

anan-l

中項性質(zhì)：在等比數(shù)列｛a?｝中，若k+l=m+n(k,1,m,nEN*),則akai=aman.特別地，若m+n=2r

(m,n,r￡N*),則amanUa/.

等比數(shù)列的前n項和公式

已知量首項、公比與項數(shù)首項、末項與公比

求和公式［心”1),J/(qHD，

i-q

.naKq=1)

*一些常見的數(shù)列的前n項和公式:

1+3+5H---i-(2n-l)=n2,

2+4+6H-----1-2n=n2

遍「2:2工—2〃(〃+D(2〃+1)

1+2+3H----\-n=-----------------,

6

廠-.2

3+33+…+/=迺±12

_2_

7.裂項相消法

比較常見的舉例如下：

1J1_11_11_______—

n(n+k)knn+k'4n2-1(2n-l)(2n+l)22n-l2n+l

廠1廠=\訴_網(wǎng))《?=C：+l-C；,n.n!=(n+l)!-n!.

7a+ci—b

08空間向量與立體幾何

直線與平面平行

1.直線與平面平行的判定定理

a,aca,l〃a=l〃a.

2.直線與平面平行的性質(zhì)定理

a〃a,auB,anB=b=a〃b.

平面與平面平行

1.平面與平面平行的判定定理

aca,bea,aAb=P,a〃B，b〃Bna〃B.

2.平面與平面平行的性質(zhì)定理

a〃B,aA丫=a,BO丫=b=a〃b.

直線與平面垂直

1.直線與平面垂直的判定定理

文字語言如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面

垂直

符號語言l±a,l±b,aAb=P,aua,beanl_La

P

2.直線與平面垂直的性質(zhì)定理

文字語言垂直于同一個平面的兩條直線平行

圖形語言aI)

一

符號語言a±a,b_La=a〃b

作用線面垂直今線線平行；作平行線

平面與平面垂直

1.平面與平面垂直的判定定理

文字語言如果一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直

圖形語言~~/-

7a/

符號語言1±a,luBna_LB

2.平面與平面垂直的性質(zhì)定理

三、空間向量

2.空間中直線、平面的平行

位置關(guān)系向量表示

線線平行設(shè)th,U2分別是直線人,?的方向向量,貝!|八〃一QUi力U2-AGR,使得Ui=Auz

線面平行設(shè)u是直線Z的方向向量，n是平面a的法向量，20a,

貝股〃-n=0

面面平行設(shè)m,lb分別是平面a,B的法向量，則a〃B=ni〃ri2=m入￡R,使得m二入

n2

3.空間中直線、平面的垂直

位置關(guān)系向量表示

線線垂直設(shè)直線11,，2的方向向量分別為Ul,U2,則L_L12=U1_LU205?U2=0

線面垂直設(shè)直線，的方向向量為u,平面a的法向量為n,貝"_La=u〃n=m入￡R,使

得u二入n

面面垂直設(shè)平面a,B的法向量分別為ni,112,則aJ_B=ni±n2?ni?n2=0

4.空間距離的向量求法

1.直線外一點到直線的距離

PQ=洞|2_|砌2=Ja2—（展比產(chǎn)

PQ二等

5.空間角的向量求法

空間角向量求法范圍

異面直線人與心所成的設(shè)心與心的方向向量分別為11,V,則

八11\u-v\

角0cos9=cos<u,v>\———-（。州

\u\\v\

直線AB與平面a所成設(shè)直線AB的方向向量為IX,平面a的法向量為n,

的角9,如圖①貝！Jsin0=\cos<u,n>\=^[^]

平面a與平面B的夾設(shè)平面a,B的法向量分別為ni,Ik,

角e,如圖②貝（Jcos9=cos<ni,ri2>二叫對■

|nil|n2|

09計數(shù)原理與概率統(tǒng)計

1.排歹U、排列數(shù)與排列數(shù)公式

排列數(shù)公式：A?=n(n-l)(n-2)(n-m+1)(m,n￡N*,且mWn).

2.全排列、階乘的概念及相關(guān)結(jié)論

(1)規(guī)定:0!<(2)A*=n!(nGN*).

(3)A^=n(nT)(n-2)…(n-m+l)=(/；)!(n,mGN*,且mWn).

3.排列數(shù)及其運算

1.A?=n(n-1)...(n-m+1)=(J；)!(m，nGN*,且mgn)；

A4nA"=mA而+A%.

1.組合數(shù)公式：C肝黑』97(吁2).(n-m+l)=n!g,meN*；且mWn).

11A}}；m!m!(n-m)!

2.規(guī)定：C2=l.3.組合數(shù)的性質(zhì)：C戶C『m；CMI=CH+)T.

4.二項式定理

1.概念：公式(a+b)n=C°an+Cian-1b1+...+C^an-kbk+...+C*,n>N*叫做二項式定理

2.(a+b)n的二項展開式：C?an+CJ…+加皆+…+C*

3.二項式系數(shù)：展開式中各項的系數(shù)C&(k=0,1,2,n)

4.通項:展開式的第k+1項：Tk+i=C^an-kbk

5.備注：在二項式定理中，若設(shè)a=l,b=x,則得到公式：

(1+x)n=C°+C?x+C]x?+…+C1xk+…+C?xn

5.樣本均值與方差

如果從總體中抽取一個容量為n的樣本，它們的變量值分別為y”

則稱尹先手必，斃內(nèi)為樣本均值,又稱樣本平均數(shù).)樣本方差和標(biāo)準(zhǔn)差

如果一個樣本中個體的變量值分別為l，卬…，y?,樣本平均數(shù)為歹，則稱

s4XSLi(y「9”為樣本方差，5=值為樣本標(biāo)準(zhǔn)差?

6.百分位數(shù)

3.計算一組n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟

第1步，按從小到大排列原始數(shù)據(jù).

第2步，計算i=nXp%.

第3步，若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j,則第p百分位數(shù)為第j項數(shù)據(jù)；若

i是整數(shù)，則第P百分位數(shù)為第i項與第(i+D項數(shù)據(jù)的平均數(shù).

7.頻率分布表、頻率分布直方圖及其相關(guān)的計算

2.由頻率分布表或頻率分布直方圖進行有關(guān)計算時，要掌握下列結(jié)論

(1)小長方形的面積=組距X需=頻率；

(2)各小長方形的面積之和等于1；

(3)黑=頻率，此關(guān)系式的變形為槳=樣本量，樣本量X頻率=頻數(shù).

秤不堇狽率

8.樣本相關(guān)系數(shù)

1),樣本相關(guān)系數(shù)：r=|斃I(XL；)(yE,r為變量X和變量y的樣本相關(guān)系數(shù)，有

國(Xi-幻也1(yi-y)2

時也稱樣本線性相關(guān)系數(shù).

9.一元線性回歸模型

丫=hx-4~a-I-p

稱為丫關(guān)于X的一元線性回歸模型.其中，丫稱為因

｛E(e)=0,D(e)=o2

變量或響應(yīng)變量，x稱為自變量或解釋變量；a和b為模型的未知參數(shù)，a稱為截距參數(shù),

b稱為斜率參數(shù)；e是丫與bx+a之間的隨機誤差.如果e=0,那么丫與x之間的關(guān)系就可用

一元線性函數(shù)模型來描述.

10.經(jīng)驗回歸方程與最小二乘法

1.設(shè)滿足一元線性回歸模型的兩個變量的n對樣本數(shù)據(jù)為(x“%)(i=l,2,…，n),通

常用各散點到直線y=bx+a的豎直距離的平方之和Q=￡也1(yi-bXi-a)2來刻畫各樣本觀

測數(shù)據(jù)與該直線的“整體接近程度”.

；_Ejli(Xj-x)(yj-iD

｛'一.匕(Xf，時，Q達到最小.

a=y—bx

(2)將〉￡+；稱為丫關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程，也稱經(jīng)驗回歸函數(shù)或經(jīng)驗回歸公式，其圖形

稱為經(jīng)驗回歸直線.這種求經(jīng)驗回歸方程的方法叫做最小二乘法，求得的b,a叫做b,a

的最小二乘估計.

11.殘差分析

殘差=觀測值-預(yù)測值

12.獨立性檢驗

1).分類變量與列聯(lián)表

1.分類變量：為了表述方便，我們經(jīng)常會使用一種特殊的隨機變量，以區(qū)別不同的現(xiàn)象或

性質(zhì)，這類隨機變量稱為分類變量.分類變量的取值可以用實數(shù)表示.

2.2X2列聯(lián)表

假設(shè)兩個分類變量X和丫，它們的可能取值分別為｛x“X』和｛g，y?｝,其2X2列聯(lián)表為

XY合計

yiy2

Xiaba+b

x2cdc+d

合計a+cb+da+b+c+d

2X2列聯(lián)表給出了成對分類變量數(shù)據(jù)的交叉分類頻數(shù).

2).獨立性檢驗

1.假定通過簡單隨機抽樣得到了X和丫的抽樣數(shù)據(jù)列聯(lián)表，如表所示.

XY合計

Y=0Y=1

X=0aBa+b

X=1cdc+d

合計a+cb+dn=a+b+c+d

則黑河

3.x2獨立性檢驗中5個常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值如下表所示.

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

13.古典概型

P(A)=

旦nn嘿(ft)

其中，n(A)和n(Q)分別表示事件A和樣本空間Q包含的樣本點個數(shù).

14.概率的基本性質(zhì)

性質(zhì)1：對任意的事件A,都有P(A)2O.

性質(zhì)2：必然事件的概率為1,不可能事件的概率為0,即P(Q)=1,P(o)=0.

性質(zhì)3如果事件A與事件B互斥，那么P(AUB)=P(A)+P⑻,此性質(zhì)可以推廣到

多個事件的情況，即如果事件A”A2,―,A?兩兩互斥,那么PlAiUAzU…UA?)=P(Ai)+

P(A2)+-+P(Am).

性質(zhì)4：如果事件A與事件B互為對立事件，那么P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B).

性質(zhì)5如果AUB,那么P(A)WP(B).

性質(zhì)6設(shè)A,B是一個隨機試驗中的兩個事件,我們有P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AAB).

15.概率關(guān)系

概率A、B互斥A、B相互獨立

P(AUB)P(A)+P(B)1-P(A)P(B)

P(AB)0P(A)P(B)

P(AB)1-[P(A)+P(B)]P(A)P(B)

P(ABUAB)P(A)+P(B)(A、B互斥時，AB=A,AB=B)P(A)P(B)+P(A)P(B)

P(ABUABUAB)11-P(A)P(B)

16.條件概率

1.定義：一般地，設(shè)A,B為兩個隨機事件，且P(A)〉0,我們稱P(B|A)=為在

事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率，簡稱條件概率.

2.性質(zhì)：設(shè)P(A)〉0,則

(1)P(B|A)e[0,1],P(Q|A)=1；

(2)如果B和C是兩個互斥事件，則P(BUC|A)=P(B|A)+P(C|A)；

⑶設(shè)豆和B互為對立事件，則P(B|A)=l-P(B|A).

17.概率的乘法公式

1.由條件概率的定義,對任意兩個事件A與B,若P(A)〉0,則P(AB)=P(A)P(B|A).

我們稱上式為概率的乘法公式.

2.推廣：

(1)若P(AB)〉0,則P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB).

(2)若A“i=l,2,3,n)為隨機事件,且P(AiA?…An)>0,貝|P(AiA2…Aj=P(Aj?

P(A21AJP(A31AIA2)....P(A?AIA2-A?-I).

18.全概率公式

1.一般地，設(shè)Al,A2,…，An是一組兩兩互斥的事件，A1UA2U--UA?=Q,且P(Ai)>0,i=l,

2,…，n,則對任意的事件BUQ,有P(B)=￡也1P(AjP(B|Aj.稱此公式為全概率公式.

19.貝葉斯公式*

1.設(shè)Al,Az,…，An是一組兩兩互斥的事件，A1UA2U???UA?=^,且P(Ai)>0,i=l,2,-??,n,

則對任意的事件BUQ,P(B)>0,有P(AjB)=W券?儂=。(黑(:熏

i=L2,?,,,n.

20.離散型隨機變量X的分布列

1.定義：一般地，設(shè)離散型隨機變量X的可能取值為Xi,X2,…，x”我們稱X取每一個值

Xi的概率P(X=Xi)=p1,i=l,2,n為X的概率分布列,簡稱分布列.

2.分布列的表格表示

???

XXiX2Xn

???

PPiP2Pn

3.離散型隨機變量分布列具有的兩個性質(zhì)

(l)pi^O,i=l,2,…，n；(2)pi+p2+--+p?=l.

21.兩點分布(0—1分布)

1.對于只有兩個可能結(jié)果的隨機試驗，用A表示“成功”，A表示“失敗”，定義

Vfl，A發(fā)生，

I0.A發(fā)生.

2.如果P(A)=p,則P(A)=l-p,那么X的分布列如表所示.

X01

P1-pp

我們稱X服從兩點分布或0—1分布.

22.離散型隨機變量的均值

1.定義：一般地，若離散型隨機變量X的分布列如表所示.

???

XXiX2Xn

???

pPiP2Pn

則稱E(X)=XQ+X2P2+…+*4=￡也1XR為隨機變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，數(shù)學(xué)期望簡

稱期望.

2.性質(zhì)：若X是一個離散型隨機變量，則有E(aX+b)=aE(X)+b.

23.離散型隨機變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差

1.設(shè)離散型隨機變量X的分布列如表所示.

???

XXiX2Xn

???

PPiP2Pn

則稱D(X)=(x「E(X))2pi+(X2-E(X))2p2+-+(x「E(X))2pn=JXi(xLEQDb為隨機變量X的

方差，并稱盧西為隨機變量X的標(biāo)準(zhǔn)差，記為。(X).

隨機變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都可以度量隨機變量取值與其均值的偏離程度，反映了隨機變量取

值的離散程度.方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，隨機變量的取值越集中；方差或標(biāo)準(zhǔn)差越大，隨機變量

的取值越分散.

離散型隨機變量的方差的性質(zhì)

1.設(shè)a,b為常數(shù),則D(aX+b)=a"D(X).

2.均值與方差的性質(zhì)公式:D(X)=E(X2)-(E(X))2.

兩點分布的方差

1.若X服從兩點分布，則D(X)=p(bp)(其中p為成功概率).

9.離散型隨機變量的方差

1.方差概念的理解

方差刻畫的是一組數(shù)據(jù)的離散程度，可按如下步驟定義隨機變量的方差：

(1)計算隨機變量X的可能取值與均值的偏差(x「E(X)),i=l,2,n.

(2)為避免正、負(fù)偏差相互抵消，取偏差的平方區(qū)任(*))2,1=1,2,…，n.

(3)為了體現(xiàn)X取各值的概率不同，定義偏差平方關(guān)于取值概率的加權(quán)平均

2

￡乙(Xi-E(X))P(X=xJ為離散型隨機變量的方差.

由方差的定義可以看出，本質(zhì)上方差是隨機變量X的函數(shù)(X-E(X))2的均值(期望)，

即D(X)=E(X-E(X))；

11.二項分布

1.一般地，在n重伯努利試驗中，設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p(O〈p〈l),用X表示

事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為P(X=k)=Ok(l-p)rt,k=0,1,2,…,n.如果隨

機變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量X服從二項分布，記作X~B(n,p).

2.二項分布的期望與方差：一般地，如果X~B(n,p),那么E(X)=np,D(X)=np(bp).

12.超幾何分布

1.一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品.從N件產(chǎn)品中隨機抽取n件

(不放回)，用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為P(X=k)=喳料，k=m,

CN

m+1,m+2,,,,,r.其中n,N,M￡N*,MWN,nWN,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}.如

果隨機變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機變量X服從超幾何分布.

若隨機變量X服從超幾何分布，則其均值E(X)=野.

2.若X服從參數(shù)為N,n,M的超幾何分布，即X~H(N,n,M),則D(X)=也黜”出

N2(N-1)

16.正態(tài)分布

1.正態(tài)曲線：函數(shù)f(x)=房6-與薯，xeR.其中uGR,。＞0為參數(shù).我們稱f(x)為正

態(tài)密度函數(shù)，稱它的圖象為正態(tài)密度曲線，簡稱正態(tài)曲線.

2.正態(tài)分布：若隨機變量X的概率分布密度函數(shù)為f(x),則稱隨機變量X服從正態(tài)分布,

記為X?N(u,o').特別地，當(dāng)口=0,。=1時，稱隨機變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.

10平面解析幾何

一、直線

1.直線的方程形式與適用條件

名稱點斜式斜截式兩點式截距式一般式

】

方程形y-y=k(x-xy=kx+by-yi_x-x