第03講二項(xiàng)式定理

目錄

01考情透視目標(biāo)導(dǎo)航.............................................................2

02知識導(dǎo)圖思維引航.............................................................3

03考點(diǎn)突破?題型探究.............................................................4

知識點(diǎn)1：二項(xiàng)式展開式的特定項(xiàng)、特定項(xiàng)的系數(shù)問題................................4

知識點(diǎn)2：二項(xiàng)式展開式中的最值問題..............................................5

知識點(diǎn)3：二項(xiàng)式展開式中系數(shù)和有關(guān)問題..........................................6

題型一：求二項(xiàng)展開式中的參數(shù)....................................................7

題型二：求二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)..................................................7

題型三：求二項(xiàng)展開式中的有理項(xiàng)..................................................8

題型四：求二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)系數(shù)..............................................8

題型五：求三項(xiàng)展開式中的指定項(xiàng)..................................................9

題型六：求幾個二（多）項(xiàng)式的和（積）的展開式中條件項(xiàng)系數(shù).......................10

題型七：求二項(xiàng)式系數(shù)最值.......................................................10

題型八：求項(xiàng)的系數(shù)最值.........................................................11

題型九：求二項(xiàng)展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)和、各項(xiàng)系數(shù)和...............................11

題型十：求奇數(shù)項(xiàng)或偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和.................................................13

題型十一：整數(shù)和余數(shù)問題.......................................................13

題型十二：近似計(jì)算問題.........................................................14

題型十三：證明組合恒等式.......................................................15

題型十四：二項(xiàng)式定理與數(shù)列求和.................................................17

題型十五：楊輝三角.............................................................18

04真題練習(xí)?命題洞見............................................................20

05課本典例高考素材............................................................20

06易錯分析答題模板............................................................22

易錯點(diǎn)：混淆項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)...............................................22

答題模板：求二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)或項(xiàng)的系數(shù).....................................22

考情透視.目標(biāo)導(dǎo)航

考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析

2024年北京卷第4題，4分

(1)今后在本節(jié)的考查形式依然以選擇或者填

2024年甲卷(理)第13題，5分

空為主，以考查基本運(yùn)算和基本方法為主，難度中等

(1)二項(xiàng)式定理2023年北京卷第5題，4分

偏下,與教材相當(dāng).

(2)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)2023年天津卷第11題，5分

(2)本節(jié)內(nèi)容在高考中的比重可能會持續(xù)降低，

2023年上海卷第10題，5分

但仍然是備考的重要內(nèi)容.

2022年I卷第13題，5分

復(fù)習(xí)目標(biāo)：

(1)能用多項(xiàng)式運(yùn)算法則和計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理.

(2)會用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡單問題.

㈤2

〃0知識導(dǎo)圖?思維引航\\

二項(xiàng)式定理

老占突硒?力理慳宙

------

知識JJ

知識點(diǎn)1:二項(xiàng)式展開式的特定項(xiàng)、特定項(xiàng)的系數(shù)問題

(1)二項(xiàng)式定理

一般地，對于任意正整數(shù)〃，都有：(a+A)"=Cy+C""+…+C，F(xiàn)/+…+C宵(〃eN*),

這個公式所表示的定理叫做二項(xiàng)式定理，等號右邊的多項(xiàng)式叫做m+6廠的二項(xiàng)展開式.

nrr

式中的〃做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，用4+1表示，即通項(xiàng)為展開式的第r+l項(xiàng)：Tr+l=C'na-b,

其中的系數(shù)C；(40,1,2,…，〃)叫做二項(xiàng)式系數(shù)，

(2)二項(xiàng)式3+3"的展開式的特點(diǎn)：

①項(xiàng)數(shù)：共有H+1項(xiàng)，比二項(xiàng)式的次數(shù)大1；

②二項(xiàng)式系數(shù)：第r+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為C；,最大二項(xiàng)式系數(shù)項(xiàng)居中；

③次數(shù)：各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的哥指數(shù)字母。降累排列，次數(shù)由"到0;字母8升累排列，次

數(shù)從0到八，每一項(xiàng)中，a,8次數(shù)和均為"；

④項(xiàng)的系數(shù)：二項(xiàng)式系數(shù)依次是C：,C；,C；,…，C；,…，C：,項(xiàng)的系數(shù)是。與b的系數(shù)(包括二項(xiàng)式系

數(shù)).

(3)兩個常用的二項(xiàng)展開式：

①(a一b)n=C；a"-cy-'b+.?.+(-1)'.￡'口吁7/+.■.+(-1)”.C,?”(〃eN*)

②(l+x),=1+C：x+Qx2…+x"

(4)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式

二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)：Tr+i=C；af(r=0,1,2,3,

公式特點(diǎn)：①它表示二項(xiàng)展開式的第『+1項(xiàng)，該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是C；；

②字母b的次數(shù)和組合數(shù)的上標(biāo)相同；

③。與。的次數(shù)之和為

注意：①二項(xiàng)式(a+與"的二項(xiàng)展開式的第r+1項(xiàng)和。+4)”的二項(xiàng)展開式的第；-+1項(xiàng)C,7"-%

是有區(qū)別的，應(yīng)用二項(xiàng)式定理時，其中的。和b是不能隨便交換位置的.

②通項(xiàng)是針對在（。+與”這個標(biāo)準(zhǔn)形式下而言的，如（“-3"的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)是（+1=

（只需把-b看成b代入二項(xiàng)式定理）.

【診斷自測】已知在（無+"）5的二項(xiàng)展開式中，各項(xiàng)系數(shù)和為-32,則展開式中，含丁項(xiàng)的系數(shù)為.

知識點(diǎn)2：二項(xiàng)式展開式中的最值問題

（1）二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

①每一行兩端都是1,即c：=C；；其余每個數(shù)都等于它“肩上”兩個數(shù)的和，即cue：.

②對稱性每一行中，與首末兩端“等距離”的兩個二項(xiàng)式系數(shù)相等，即c：=c;

③二項(xiàng)式系數(shù)和令a=b=\,則二項(xiàng)式系數(shù)的和為c：+C\+c；+…+C；+…+C；=2",變形式

c+d+…+q+…+q=2"-i.

④奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和在二項(xiàng)式定理中，令。=1,匕=-1,

貝Ij。-Q+C；-c；+…+（-i）y=（1-1）"=0,

從而得到：+C"+C,f---+C；r+??-=€,；+C>---+C；r+,+---=1-2"=2"T.

⑤最大值：

如果二項(xiàng)式的事指數(shù)〃是偶數(shù)，則中間一項(xiàng)（的二項(xiàng)式系數(shù)c（最大；

-+1〃

2

n—1n+1

如果二項(xiàng)式的事指數(shù)〃是奇數(shù)，則中間兩項(xiàng)%,的二項(xiàng)式系數(shù)c=,c7相等且最大.

~T

（2）系數(shù)的最大項(xiàng)

求（4+法）”展開式中最大的項(xiàng)，一般采用待定系數(shù)法.設(shè)展開式中各項(xiàng)系數(shù)分別為4,4,…，4M，設(shè)

>A

第r+l項(xiàng)系數(shù)最大，應(yīng)有；「，，從而解出廠來.

14+1>A.

【診斷自測】設(shè)加為整數(shù)，（x+y）為展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為。，（x+y廣”展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的

最大值為b,若11。=66,則仇=—.

知識點(diǎn)3：二項(xiàng)式展開式中系數(shù)和有關(guān)問題

常用賦值舉例：

nn22nrr

(1)設(shè)(a+by=C"+C'na'b+C^a-b+.??+C；,ab+…+C?”,

二項(xiàng)式定理是一個恒等式，即對。，萬的一切值都成立，我們可以根據(jù)具體問題的需要靈活選取。，b

的值.

①令。=6=1,可得：2"=C,；+C：+??.+《：

②令。=1,6=1,可得：0=G-C：+C；-C；…即：

d+第+…+禺=佇+仁+…+禺-七假設(shè)”為偶數(shù))，再結(jié)合①可得：

C：+C：+…+C；=C：+C：+…+C『=2-

,!1

(2)若/(x)=+an_[X+an_2x"'H---1-axx+a0,貝！|

①常數(shù)項(xiàng)：令x=0,得小=/(0).

②各項(xiàng)系數(shù)和：令x=l,得/(1)=%+4+%H---1-an_x+an.

③奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和

(/)當(dāng)"為偶數(shù)時，奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為必+%+%+…=:⑴]"T)；

偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為al+a3+as+.--=/⑴丁一).

(可簡記為：〃為偶數(shù)，奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和用“中點(diǎn)公式”，奇偶交錯搭配)

(拓)當(dāng)"為奇數(shù)時，奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為%+%+4+-=/⑴(T)；

偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為q+%+%+…=/⑴/T).

(可簡記為：”為奇數(shù)，偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和用“中點(diǎn)公式”，奇偶交錯搭配)

2n

若/(x)=a0+ad+a2x+???++anx,同理可得.

注意：常見的賦值為令x=o,%=i或x=-1,然后通過加減運(yùn)算即可得到相應(yīng)的結(jié)果.

66

【診斷自測】設(shè)(-2%+1)=%+為x\\-a6x,則同+同+同H---卜同=_

題型洞察

題型一：求二項(xiàng)展開式中的參數(shù)

【典例1-1］在［依-上J展開式中x2的系數(shù)為-270,貝心的值為.

【典例1-2】已知二項(xiàng)式［以的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為-20,則2一

【方法技巧】

在形如（以'"+阮"產(chǎn)的展開式中求/的系數(shù)，關(guān)鍵是利用通項(xiàng)求r,則:一竺士.

m—n

【變式1-1］（2024?四川成都?模擬預(yù)測）在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為90,貝1」機(jī)=.

【變式1-2】在的展開式中，/的系數(shù)為12,貝心的值為—.

【變式1-3］（2024?高三?上海?開學(xué)考試）已知二項(xiàng)式上+』］的展開式中存在常數(shù)項(xiàng)，正整數(shù)〃的最小值

為一

【變式1-4］（2024?高三?山西呂梁?開學(xué)考試）已知［/-A］展開式中x的系數(shù)為80,則左=.

題型二：求二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)

【典例2-1】（2024?高三?浙江?開學(xué)考試）1?+11的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為

【典例2-2】（2024?高三?江蘇?開學(xué)考試）［&一（］展開式中的常數(shù)項(xiàng)為

【方法技巧】

寫出通項(xiàng)，令指數(shù)為零，確定r,代入.

【變式2-1］（2%2+1）1-口6的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（請用數(shù)字作答）

【變式2-2】二項(xiàng)式，+；］的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為

【變式2-3］最］的二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.（結(jié)果用數(shù)值表示）

【變式2-4］（2024?全國.模擬預(yù)測）［:-必］的展開式中第2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為6,則其展開式中的常數(shù)

項(xiàng)為?

題型三：求二項(xiàng)展開式中的有理項(xiàng)

【典例3-1】（2024?全國.模擬預(yù)測）的展開式中，有理項(xiàng)是第一項(xiàng).

【典例3-2】（2024?山東煙臺.三模）己知的展開式中共有7項(xiàng),則有理項(xiàng)共一項(xiàng).（用數(shù)字表示）

【方法技巧】

先寫出通項(xiàng)，再根據(jù)數(shù)的整除性確定有理項(xiàng).

【變式3-1】已知、寧-的展開式中，僅有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中有理項(xiàng)的個數(shù)

為.

【變式3-2］（2024?高三?上海?單元測試）二項(xiàng)式（將+x產(chǎn)的展開式中，系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個數(shù)為一

【變式3-3］（2024?高三.吉林通化.期中）在（無一的展開式中，有理項(xiàng)的個數(shù)為—.

【變式3-4】在（x+括y『的展開式中，系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)共有_項(xiàng).

【變式3-5】已知的展開式中第4項(xiàng)與第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，寫出展開式中的一個有理

項(xiàng)_____

題型四：求二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)系數(shù)

【典例4-1】二項(xiàng)式（2X-3＞展開后的第三項(xiàng)是

【典例4-2】（2024?浙江紹興?二模）的展開式的第四項(xiàng)為.

【方法技巧】

寫出通項(xiàng)，確定r,代入.

【變式4-1］（2024?陜西渭南?二模）己-2元產(chǎn)展開式中的尤2項(xiàng)是

X

【變式4-2］（2024?湖北?模擬預(yù)測）展開式中/項(xiàng)的系數(shù)為

【變式4-3】二項(xiàng)式（：一］的展開式的中間項(xiàng)為

【變式4-4］（2024.高三.上海浦東新?期中）（2x+l）i°的展開式的第8項(xiàng)的系數(shù)為（結(jié)果用數(shù)值表示）.

題型五：求三項(xiàng)展開式中的指定項(xiàng)

【典例5-1】（2024?高三?江蘇南京?開學(xué)考試）任-x+y『的的展開式中“3,3的系數(shù)為（）

A.30B.-30C.20D.-20

【典例5-2】（2024?江蘇南京?模擬預(yù)測）“+1-的展開式中，孑的系數(shù)為（）

A.60B.-60C.120D.-120

【方法技巧】

三項(xiàng)式（a+b+c）"（〃eN）的展開式:

nr

(a+b+c)"=[(?+b)+c]=…+C：(a+b)"~'c+'■-=...+C；t(---+…

若令"_r_q=p,便得到三項(xiàng)式(a+b+C)〃(“eN)展開式通項(xiàng)公式：

0Pb"c'(p,q,reN,p+q+r=n),

n\(n—r)!」一叫三項(xiàng)式系數(shù).

r!(n-r)!q\(n-r—q)\p\q\r\

【變式5-1］（2024?高三.貴州貴陽?開學(xué)考試）（/+x+y）5的展開式中的系數(shù)是（）

A.5B.10C.20D.60

【變式5-2］（2024?新疆喀什?三模）（V+x+l）5展開式中，V的系數(shù)為（）

A.20B.30C.25D.40

【變式5-3］（2024?云南昆明?模擬預(yù)測）卜2+2彳一同5的展開式中，丁產(chǎn)項(xiàng)的系數(shù)為（）

A.10B.-30C.60D.-60

【變式5-4］（2024?河北滄州?二模）在。-2y+3z）6的展開式中,移,z3項(xiàng)的系數(shù)為（）

A.6480B.2160C.60D.-2160

題型六：求幾個二（多）項(xiàng)式的和（積）的展開式中條件項(xiàng)系數(shù)

【典例6-1】（2024?高三?全國?課后作業(yè)）“+的展開式中*3/的系數(shù)為（）

A.3584B.-3584C.7168D.-7168

【典例6-2】（2024?北京大興三模）在（3x+l）［x-［J的展開式中，x的系數(shù)為（）

A.9B.15C.-18D.-45

【方法技巧】

分配系數(shù)法

【變式6-1］（2024?西藏?模擬預(yù)測）在?-號）（x+y）6的展開式中，xR的系數(shù)為（）

A.-4B.4C.-8D.8

【變式6-2】已知［j-1（x+y）7展開式中三產(chǎn)的系數(shù)為28,則該展開式的各項(xiàng)系數(shù)和為（）

A.2-8B.2-7C.0D.28

【變式6-3］（2024?全國?模擬預(yù)測）（2呼+1）［-（］的展開式中:的系數(shù)為（）

A.-27B.-3C.3D.27

【變式6-4］（2024?福建福州?模擬預(yù)測）（1—X）5（I+2X）4的展開式中爐的系數(shù)為（）

A.-14B.-6C.34D.74

題型七：求二項(xiàng)式系數(shù)最值

【典例7-1】（2024?貴州?模擬預(yù)測）卜-：］的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù)是—.（用數(shù)字作答）

【典例7-2】已知（l+2x『的二項(xiàng)展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為a,系數(shù)最大的項(xiàng)為6,則：=

【方法技巧】

利用二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)中的最大值求解即可.

【變式7-1］（1-x）8的展開式中所有二項(xiàng)式系數(shù)的最大值是—（用數(shù)字作答）.

【變式7-2】已知（l+2x）"的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)只有第8項(xiàng)，貝—.

【變式7-3］已知（￡+京）”的展開式中，第四項(xiàng)的系數(shù)與倒數(shù)第四項(xiàng)的系數(shù)之比為;，則展開式中二項(xiàng)式

系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù)為一.

【變式7-4］（2024?高三?江蘇蘇州?開學(xué)考試）設(shè)，，為正整數(shù)，（a+b）2〃展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為"

（0+婿向展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為，，若9x=5y,貝＞=_.

題型八：求項(xiàng)的系數(shù)最值

【典例8-1】已知（1-x）”的展開式中，僅有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中系數(shù)的最小值為（）

A.-126B.-84C.-56D.-35

【典例8-2］已知卜+:］的展開式中僅第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第（

項(xiàng)

A.2B.3C.4D.5

【方法技巧】

有兩種類型問題，一是找是否與二項(xiàng)式系數(shù)有關(guān)，如有關(guān)系，則轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式系數(shù)最值問題；如無關(guān)

系，則轉(zhuǎn)化為解不等式組：注意：系數(shù)比較大小.

【變式8-1］（2024.安徽?二模）已知的展開式二項(xiàng)式系數(shù)和為256,則展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為

A.第5項(xiàng)B.第6項(xiàng)C.第7項(xiàng)D.第8項(xiàng)

【變式8-2】已知〃，為滿足S="+C盆+C：0c+C3+…+C；黑〃23）能被9整除的正整數(shù)，，的最小值，則

的展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)為（）

A.第6項(xiàng)B.第7項(xiàng)C.第11項(xiàng)D.第6項(xiàng)和第7項(xiàng)

【變式8-3］（X+1）24的展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)是（）

A.第11項(xiàng)B.第12項(xiàng)C.第13項(xiàng)D.第14項(xiàng)

【變式8-4］（2024?四川雅安?一模）（1-融。的展開式中，系數(shù)最小的項(xiàng)是（）

A.第4項(xiàng)B.第5項(xiàng)C.第6項(xiàng)D.第7項(xiàng)

題型九：求二項(xiàng)展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)和、各項(xiàng)系數(shù)和

【典例9-1］（202列四川樂山?三模）設(shè)（尤+2024）（2%-1）2必=4+%》+出爐+…+4024/儂，則

區(qū)+空+烏+…+*=()

2222322024

A.1B.-1C.2024D.-2024

34561s

【典例9-2】已知(2x+3)s=%+axx++a3x+a4x+a5x+a6x+a1x+asx,貝|

〃工〃工3%4%5a56a67%8%_

'-2?2324252627

A.215B.216C.217D.218

【方法技巧】

二項(xiàng)展開式二項(xiàng)式系數(shù)和：2"；奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和相等：2"T.

系數(shù)和：賦值法，二項(xiàng)展開式的系數(shù)表示式：（ox+b）"=4++...+a“x"（小,6,...,%是系

數(shù)），令x=l得系數(shù)和：4+q+…+a“=（a+b）".

0-4

【變式9-1]若(l-2x)M4=%+axx+a2x~H-----h-a2024x-,則+----102024|=()

A.4048B.22024C.1D.32024

【變式9-2](2024?陜西?模擬預(yù)測)若(2%+1)"=%+"+/必+…+4x”的展開式中的各項(xiàng)系數(shù)和為243,

貝伊+$+?..+&=()

2222"

A.32B.31C.16D.15

【變式9-3】已知/(x)=(2-x)8=%+a產(chǎn)+&/+…+a8/，則下列描述正確的是()

A.+,,?+=1

B./CD除以5所得的余數(shù)是1

C.聞+]%卜---H⑷=38

38-1

D.出+%+。6+〃8=---

【變式9-4】已知(3—2%)=%+%(1―1)+4(1―1)+…1),貝lja1+2a2+34.7%=()

A.-14B.14C.-7D.7

H-1n2

【變式9-5](2024?全國?模擬預(yù)測)已知(1一；]=an^x-\^+an_{(%-1)+an_2(x-l)+???+^(x-1)+?0,

15

若%=TT，且=mCl3，則m的值為()

32i=i

A121「121-243c243

164080160

【變式9-6](2024?福建福州?模擬預(yù)測)設(shè)“,(，=0,1,2,…,2020)是常數(shù)，對于VxwR,都有

x2020_4。+q―1)+42(%—1)(x—2)+??,+以2020(x-1)(“-2)，，，(％—2020),則

—CLQ+ciy—6?2+2!—3!。4+4!。5—F2018!々2019—2019!。2()20=()

A.2019B.2020C.2019!D.2020!

1112

【變式9-7］若(2%—3廣=/+%(%—2)+4—2)2H-----\-^(x—2)+ai2(x—2),則()

A.%=_1B.%—-。3+Go_41+62=-］

C.%+%+…+42=3"+iD.y+|r+---+|n-+|ir=212-1

題型十：求奇數(shù)項(xiàng)或偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和

136

【典例10-1］設(shè)(-2x+l)6=“0+/x+a^x+a3xH-----1-a6x,貝%+%+4+%=___.

55432

【典例10-2】(2024?高三?河北保定?開學(xué)考試)(x-2)=a5x+a4x+a3x+a2x+,則

a5+a3+ax=.

【方法技巧】

(tZX+/?)"=旬+〃［%+…,令％=1得系數(shù)和：/+%+…+?！?(。+〃)”①;

令尤=—1得奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和減去偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和：〃0-卬+%-。3…%=(a-b)n=(%+%+.?.)—(6+。3+.?.)

②，聯(lián)立①②可求得奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和.

【變式10-1】(2024.廣東.一模)若(x+2r=Q5x5+Q4/+/x3+%x2+qx+“0,則.：［：：：=.

【變式10-2】已知多項(xiàng)式(x+2)(x—a)，=q(x+l)+g(x+l)2+???+%(1+1)5,則q+生+%=.

【變式10-3】(2024.浙江.模擬預(yù)測)當(dāng)(12_1_2)6=%2產(chǎn)+%］婢+%0/+.??+〃/+〃0,貝IJ

6ZJ2+〃io+。8+。6+。4+。2=.

【變式10-4】(2024?湖南邵陽?一模)已知(l+x)*=%+。/+出/+…+4必，則2ao+。2+/+。6+4=.

題型十一：整數(shù)和余數(shù)問題

【典例11-1](2024.湖北.模擬預(yù)測)a?。24被9除的余數(shù)為()

A.1B.4C.5D.8

【典例11-2](2024.甘肅張掖?三模)已知今天是星期四，則67-1天后是()

A.星期一B.星期二C.星期三D.星期五

【變式11-11中國南北朝時期的著作《孫子算經(jīng)》中，對同余除法有較深的研究，設(shè)a(加＞0)均為整

數(shù)，若。和。被”除得的余數(shù)相同，則稱a和b對模帆同余，記為。三6(mod"2),如9和21被6除得的余數(shù)

都是3,則記9三21(mod6).若。三Z?(modlO),且。=0。+C；0-Z+C；。.2。+…+C條2的，則b的值可以是(

A.2010B.2021C.2019D.1997

【變式1L2］若4x6"+5〃—能被25整除，則正整數(shù)，的最小值為（）

A.2B.3C.4D.5

【變式11-3］（2024?山西晉中?模擬預(yù)測）中國南北朝時期的著作《孫子算經(jīng)》中，對同余除法有較深的研

究.設(shè)。，瓦加（根>0）均為整數(shù)，若。和。被，"除得的余數(shù)相同，則稱。和b對模"，同余，記為。三b（modm），

如8和23被5除得的余數(shù)都是3,則記8三23（mod5）.若。三b（modlO）,且。=0。+C；。?2+C>2?+…+/.2”,

則b的值可以是（）

A.4021B.4022C.4023D.4024

【變式11-4］（2024?黑龍江哈爾濱.模擬預(yù)測）中國南北朝時期的著作《孫子算經(jīng)》中，對同余除法有較深

的研究，對于兩個整數(shù)“力，若它們除以正整數(shù)“所得的余數(shù)相同，則稱"和b對模"同余，記為

2

a=/?（modzw）.^a=C［7x6+Cpx6H----FC；；x6”,am6（mod8）,貝!Jb的值可以是（）

A.2021B.2022C.2023D.2024

題型十二：近似計(jì)算問題

【典例12-11（2024.安徽合肥?三模）某銀行大額存款的年利率為3%,小張于2024年初存入大額存款10萬

元，按照復(fù)利計(jì)算8年后他能得到的本利和約為（）（單位：萬元，結(jié)果保留一位小數(shù)）

A.12.6B.12.7C.12.8D.12.9

【典例12-2］（2024?湖南?二模）某銀行在2024年初給出的大額存款的年利率為3%,某人存入大額存款1

元，按照復(fù)利計(jì)算10年后得到的本利和為4。，下列各數(shù)中與包最接近的是（）

%

A.1.31B.1.32C.1.33D.1.34

【變式12?1］（2024.北京西城.二模）某放射性物質(zhì)的質(zhì)量每年比前一年衰減5%,其初始質(zhì)量為帆。,10年

后的質(zhì)量為加，則下列各數(shù)中與.最接近的是（）

A.70%B.65%

C.60%D.55%

【變式12?2】（2024?江西南昌?一模）二項(xiàng)式定理，又稱牛頓二項(xiàng)式定理，由艾薩克?牛頓提出.二項(xiàng)式定理

可以推廣到任意實(shí)數(shù)次幕，即廣義二項(xiàng)式定理：

對于任意實(shí)數(shù)“，（1+尤）“=1+幺;1+4"1）工+…+成"1）…

v71!2!k\

當(dāng)W比較小的時候，取廣義二項(xiàng)式定理展開式的前兩項(xiàng)可得：（1+力"。1+。?龍，并且忖的值越小，所得結(jié)

果就越接近真實(shí)數(shù)據(jù).用這個方法計(jì)算石的近似值，可以這樣操作:

用這樣的方法，估計(jì)期的近似值約為（）

A.2.922B.2.926C.2.928D.2.930

【變式12-3】二項(xiàng)式定理，又稱牛頓二項(xiàng)式定理，由艾薩克?牛頓提出.二項(xiàng)式定理可以推廣到任意實(shí)數(shù)次

累，即廣義二項(xiàng)式定理：對于任意實(shí)數(shù)%（1+狀=1+1比+。,!-1）4++。一—1）!；一"+1）1+…,當(dāng)

W比較小的時候，取廣義二項(xiàng)式定理展開式的前兩項(xiàng)可得：（1+為。。1+心心并且W的值越小，所得結(jié)果

就越接近真實(shí)數(shù)據(jù).用這個方法計(jì)算際的近似值，可以這樣操作：

===+；）=2.25用這樣的方法，估計(jì)疹的近似值約為—.（精確

到小數(shù)點(diǎn)后兩位數(shù)）

【變式12-4】用二項(xiàng)式定理估算1.0r°=—.（精確到0.001）

【變式12-5］C：0.998+C；0.9982+C^0.9983+C；0.9984+C10.9985~___（精確到0.01）

題型十三：證明組合恒等式

【典例13-1］求證:

〃1（1+力向1

【典例小2】求證:由/

〃+1）尤

2

【變式13-1］求證：?,J-（CL+1）+...+（T戶M.（C婢）2=0?

【變式13-2]（2024?山東濟(jì)南?三模）高斯二項(xiàng)式定理廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)物理交叉領(lǐng)域.設(shè)y,geR,"eN*,記

同=1+4+…+qi,同!=,岡〃-1卜…x[l],并規(guī)定[0]!=1.記E（x,"）=（尤+y）；

=（》+①（》+切...卜+尸?,并規(guī)定f（x,0）=（x+y）：=1.定義片F(xiàn)（x,〃）=

F（x,n）,k=0

同[〃-1]…+1]（x+y）；",女=1,2,?--,n

⑴若y=q=l,求尸（兀2）和。；廠（％2）；

⑵求吊工邛尸（0川；

（3）證明：尸陽）=浮?〃.

k=0]勺?

【變式13-3】萊布尼茨（德國數(shù)學(xué)家）三角（如圖1所示）是與楊輝（南宋數(shù)學(xué)家）三角數(shù)陣（如圖2所

示）相似的一種幾何排列，但與楊輝三角不同的是，萊布尼茨三角每個三角形數(shù)組頂端的數(shù)等于底邊兩數(shù)

之和.現(xiàn)記萊布尼茨三角第1行的第2個數(shù)字為G第2行的第2個數(shù)字為。2，...,第〃行的第2個數(shù)字為%.

1……第0行……1

ii……第1行……11

iT……第2行……121

I於+4i……第3行……1vyv1

±***I……第4行……144

圖1圖2

(1)求/+4+。3H卜。6的值；

1

⑵將楊輝三角中的每一個數(shù)C：都換成西產(chǎn)就得到了萊布尼茨三角.我們知道楊輝三角的最基本的性質(zhì)

C；+1=C；+C；T（reN,l?rV〃），也是二項(xiàng)式系數(shù)和組合數(shù)性質(zhì)，請你類比這個性質(zhì)寫出萊布尼茨三角的性

質(zhì)，并證明你的結(jié)論.

【變式13-4](1)求證：k-C^=n-C^(k,neN,n>k>i)；

(2)利用等式上C可以化簡：

1n111

l-C!I+2-C^2+---+n-C；；-2-=n-Ct1+H-C!,-1-2+.--+H-C：2；-2--

=n.(CL-2°+C'?毅+…+C；：；.2,T)=”?(1+2廣=n.3修；類比上述方法，化簡下式：

C°-3+--Cj,-32+i-C;-33+---+^—-C>3,!+1.

"2"3n+1

(3)己知等差數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)為1,公差為4(4/0),求證：對于任意正整數(shù)〃，函數(shù)

y=o1c+%C；x(l-x)"T+…+46一乜1(l-x)"Y+i+…+a“+C尤"(1<左<〃，左eN)總是關(guān)于1的一次函

數(shù).

題型十四：二項(xiàng)式定理與數(shù)列求和

【典例14-1】lC：+4C：+9C：+...+/c：=()

A."("+1)2'TB.〃2'iC.2"TD.+1)(〃+2)2*3

【典例14-2]已知(2-(心2,〃eN),展開式中、的系數(shù)為了⑺，貝U

2222322019必十，、

-------------1---------------1---------------F............H----------------------等于()

/(2)/(3)/(4)/(2020)

2019「2019—1009-1009

A.------B.------C.------D?------

1105051010505

【變式14-1]已知(1+%嚴(yán)21=%+qx+-----卜々2021尤2°21,則

“2020+2a2019+3^2018+^^2017+。，,+2020。]+202la。=()

A.2021x22021B.2021x22020

C.2020x22021D.2020x22020

【變式14-2】(2024?河南洛陽?三模)若(1—2018x)2°"=%+4%+々2%2+…+。2017/017(元￡1i),則

_gl_+_g^+…+々2017的值為()

2018201822O182017

A.2O182017B.1C.0D._]

【變式14-3]若(1—1+^)2023=%+q(1_])+%(工_])2+...+%023(%_1)2023,且

223

(4+々2+L+々2022)—(/+/+L+/023)~3°,則實(shí)數(shù)加的值為.

1

【變式14-4】對于〃wN*，將〃表示為九=%x2A+%x2i+%x2i+L+^_1x2+^x2°,當(dāng)"O時,

q=1.當(dāng)左時，4為0或1.記/（〃）為上述表示中火為。的個數(shù)，（例如1=1x2。，

Z127

4=1X22+0X2'+0X2°.故/⑴=。，/（4）=2）.若=4+出+L+弓，貝！|工2/（"）=_.

n=ln=\

【變式14-5】已知等差數(shù)列5｝,對任意都有4C"C；+/U+…+%C：=〃-2用成立,則數(shù)列

5\的前n項(xiàng)和T”=______.

U+O+2J

【變式14-6】設(shè)?是正整數(shù)，化簡C,+2Q+4C；+…+2-'C：=.

題型十五：楊輝三角

【典例15-1］如圖所示的“楊輝三角”中，除每行兩邊的數(shù)都是1外，其余每個數(shù)都是其“肩上”的兩個數(shù)之

〃+1

和，例如第4行的6為第3行中兩個3的和.記“楊輝三角”第〃行的第z?個數(shù)為/,則Z2Tq.=.

i=l

第

0行

第

1行

第

2行121

第

3行1331

第

4行46

第

5行55

1010

【典例15?2］如圖是我國古代著名數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算術(shù)》給出的一個用數(shù)排列起來的三角形陣，

請通過觀察圖象發(fā)現(xiàn)遞推規(guī)律，并計(jì)算從第三行到第十五行中，每行的第三位數(shù)字的總和為—.

楊輝三角

第

0行

1

第

1行

11

第

2行

121

第

3行

1331

第

4行

14641

第

5行

15101051

第

6行

1615201561

第

7行

172135352171

第

8行

18285670562881

【變式15?1】我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝在所著的《詳解九章算法》一書中用如圖所示的三角形解釋二項(xiàng)展開式

的系數(shù)規(guī)律，現(xiàn)把楊輝三角中的數(shù)從上到下，從左到右依次排列，得數(shù)列：1,1,1,1,2,1,1,3,3,

1,1,4,6,4,1,L,記作數(shù)列｛%｝,貝肉4=;若數(shù)列｛%｝的前幾項(xiàng)和為％,則$67=.

1

11

121

1331

14641

【變式15?2】在“楊輝三角”中，每一個數(shù)都是它“肩上”兩個數(shù)的和，它開頭幾行如圖所示.那么，在“楊輝

三角”中，第行會出現(xiàn)三個相鄰的數(shù)，其比為2:3:4.

第0行1

第1行11

第2行121

第3行1331

第4行14641

第5行15101051

【變式15?3］如圖所示的梯形數(shù)陣中，第九行第七個數(shù)的值為

1

—x11

222

j_￡j_1?1?

—X1-1

36332

1111111

—X1--1

412124433

1

IL—x1

520302055464

【變式15-4】我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里出現(xiàn)了如圖所示的表，即楊輝

三角，這是數(shù)學(xué)史上的一個偉大成就.在“楊輝三角”中，若去除所有為