2025年單元考試題目及答案2025年單元（數(shù)學(xué)學(xué)科示例，以初中代數(shù)單元“一次函數(shù)”為例）一、選擇題（每題3分，共30分）1.下列函數(shù)中，是一次函數(shù)的是（）A.\(y=\frac{1}{x}+1\)B.\(y=\sqrt{x}+1\)C.\(y=x^2+1\)D.\(y=2x-1\)答案：D解析：一次函數(shù)的一般式為\(y=kx+b\)（\(k\)，\(b\)為常數(shù)，\(k\neq0\)）。選項(xiàng)A中\(zhòng)(y=\frac{1}{x}+1\)，\(\frac{1}{x}=x^{-1}\)，自變量\(x\)的次數(shù)是\(-1\)，不是一次函數(shù)；選項(xiàng)B中\(zhòng)(y=\sqrt{x}+1\)，自變量\(x\)在根號(hào)下，不是一次函數(shù)；選項(xiàng)C中\(zhòng)(y=x^2+1\)，自變量\(x\)的次數(shù)是\(2\)，是二次函數(shù)；選項(xiàng)D中\(zhòng)(y=2x-1\)符合一次函數(shù)的一般式，所以是一次函數(shù)。2.已知一次函數(shù)\(y=(m-1)x+m^2-1\)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，則\(m\)的值為（）A.\(1\)B.\(-1\)C.\(\pm1\)D.\(0\)答案：B解析：因?yàn)楹瘮?shù)圖象經(jīng)過原點(diǎn)\((0,0)\)，把\((0,0)\)代入\(y=(m-1)x+m^2-1\)中，可得\(0=(m-1)\times0+m^2-1\)，即\(m^2-1=0\)，因式分解得\((m+1)(m-1)=0\)，解得\(m=\pm1\)。又因?yàn)橐淮魏瘮?shù)\(y=kx+b\)中\(zhòng)(k\neq0\)，在\(y=(m-1)x+m^2-1\)中\(zhòng)(k=m-1\)，所以\(m-1\neq0\)，即\(m\neq1\)，綜上\(m=-1\)。3.一次函數(shù)\(y=-2x+3\)的圖象不經(jīng)過（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限答案：C解析：對(duì)于一次函數(shù)\(y=kx+b\)（\(k\)，\(b\)為常數(shù)，\(k\neq0\)），當(dāng)\(k\lt0\)時(shí)，函數(shù)從左到右下降，\(y\)隨\(x\)的增大而減小；當(dāng)\(b\gt0\)時(shí)，直線與\(y\)軸正半軸相交。在\(y=-2x+3\)中，\(k=-2\lt0\)，\(b=3\gt0\)，所以函數(shù)圖象經(jīng)過第一、二、四象限，不經(jīng)過第三象限。4.若一次函數(shù)\(y=kx+b\)的圖象經(jīng)過點(diǎn)\((1,3)\)和\((-1,5)\)，則\(k\)，\(b\)的值分別為（）A.\(k=-1\)，\(b=4\)B.\(k=1\)，\(b=2\)C.\(k=-1\)，\(b=2\)D.\(k=1\)，\(b=4\)答案：A解析：把點(diǎn)\((1,3)\)和\((-1,5)\)代入\(y=kx+b\)中，得到方程組\(\begin{cases}k+b=3\\-k+b=5\end{cases}\)，將兩式相加消去\(k\)可得：\((k+b)+(-k+b)=3+5\)，\(2b=8\)，解得\(b=4\)。把\(b=4\)代入\(k+b=3\)中，得\(k+4=3\)，解得\(k=-1\)。5.已知一次函數(shù)\(y=(2m-1)x+m-2\)的函數(shù)值\(y\)隨\(x\)的增大而減小，且其圖象與\(y\)軸在負(fù)半軸相交，則\(m\)的取值范圍是（）A.\(m\lt\frac{1}{2}\)B.\(m\gt2\)C.\(\frac{1}{2}\ltm\lt2\)D.\(m\lt\frac{1}{2}\)或\(m\gt2\)答案：A解析：因?yàn)楹瘮?shù)值\(y\)隨\(x\)的增大而減小，所以\(k=2m-1\lt0\)，解得\(m\lt\frac{1}{2}\)。又因?yàn)閳D象與\(y\)軸在負(fù)半軸相交，所以當(dāng)\(x=0\)時(shí)，\(y=m-2\lt0\)，解得\(m\lt2\)。綜合兩個(gè)條件，取交集，因?yàn)閈(m\lt\frac{1}{2}\)包含在\(m\lt2\)中，所以\(m\)的取值范圍是\(m\lt\frac{1}{2}\)。6.一次函數(shù)\(y=kx+b\)的圖象與直線\(y=2x\)平行，且經(jīng)過點(diǎn)\((-1,3)\)，則此一次函數(shù)的表達(dá)式為（）A.\(y=2x+5\)B.\(y=2x-5\)C.\(y=-2x+1\)D.\(y=-2x-1\)答案：A解析：兩條直線平行，它們的斜率\(k\)相等。因?yàn)橐淮魏瘮?shù)\(y=kx+b\)的圖象與直線\(y=2x\)平行，所以\(k=2\)，則一次函數(shù)為\(y=2x+b\)。又因?yàn)楹瘮?shù)經(jīng)過點(diǎn)\((-1,3)\)，把\((-1,3)\)代入\(y=2x+b\)中，可得\(3=2\times(-1)+b\)，即\(3=-2+b\)，解得\(b=5\)，所以此一次函數(shù)的表達(dá)式為\(y=2x+5\)。7.若點(diǎn)\(A(-2,y_1)\)，\(B(1,y_2)\)，\(C(2,y_3)\)都在一次函數(shù)\(y=-x+2\)的圖象上，則\(y_1\)，\(y_2\)，\(y_3\)的大小關(guān)系是（）A.\(y_1\gty_2\gty_3\)B.\(y_3\gty_2\gty_1\)C.\(y_2\gty_1\gty_3\)D.\(y_3\gty_1\gty_2\)答案：A解析：對(duì)于一次函數(shù)\(y=-x+2\)，\(k=-1\lt0\)，所以\(y\)隨\(x\)的增大而減小。因?yàn)閈(-2\lt1\lt2\)，所以\(y_1\gty_2\gty_3\)。8.已知一次函數(shù)\(y=kx+b\)的圖象如圖所示，則關(guān)于\(x\)的不等式\(kx+b\gt0\)的解集是（）（此處假設(shè)圖象與\(x\)軸交點(diǎn)為\((-2,0)\)）A.\(x\gt-2\)B.\(x\lt-2\)C.\(x\gt0\)D.\(x\lt0\)答案：A解析：不等式\(kx+b\gt0\)的解集就是一次函數(shù)\(y=kx+b\)的圖象在\(x\)軸上方時(shí)\(x\)的取值范圍。由圖象可知，當(dāng)\(x\gt-2\)時(shí)，函數(shù)圖象在\(x\)軸上方，所以不等式\(kx+b\gt0\)的解集是\(x\gt-2\)。9.甲、乙兩人在一次賽跑中，路程\(s\)（米）與時(shí)間\(t\)（秒）的關(guān)系如圖所示，則下列說法正確的是（）（此處假設(shè)圖象是甲、乙兩人賽跑路程與時(shí)間的關(guān)系圖，甲先到達(dá)終點(diǎn)）A.甲比乙先出發(fā)B.乙比甲跑的路程多C.甲、乙兩人的速度相同D.甲比乙先到達(dá)終點(diǎn)答案：D解析：從圖象可以看出，甲、乙兩人都是從\(t=0\)時(shí)刻出發(fā)，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；兩人最終跑的路程都是到達(dá)終點(diǎn)的路程，是相等的，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；甲到達(dá)終點(diǎn)用時(shí)少，根據(jù)速度\(v=\frac{s}{t}\)（\(s\)相同），用時(shí)少的速度快，所以甲的速度比乙快，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；從圖象中可以明顯看出甲先到達(dá)終點(diǎn)，D選項(xiàng)正確。10.一次函數(shù)\(y=kx+b\)的圖象經(jīng)過點(diǎn)\(P(1,0)\)，且\(y\)隨\(x\)的增大而增大，則不等式\(kx+b\gt0\)的解集是（）A.\(x\lt1\)B.\(x\gt1\)C.\(x\lt0\)D.\(x\gt0\)答案：B解析：因?yàn)橐淮魏瘮?shù)\(y=kx+b\)的圖象經(jīng)過點(diǎn)\(P(1,0)\)，且\(y\)隨\(x\)的增大而增大，所以不等式\(kx+b\gt0\)的解集就是一次函數(shù)\(y=kx+b\)的圖象在\(x\)軸上方時(shí)\(x\)的取值范圍。當(dāng)\(x\gt1\)時(shí)，函數(shù)圖象在\(x\)軸上方，所以不等式\(kx+b\gt0\)的解集是\(x\gt1\)。二、填空題（每題3分，共15分）11.已知一次函數(shù)\(y=(2-m)x+2\)的圖象上兩點(diǎn)\(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)，當(dāng)\(x_1\ltx_2\)時(shí)，有\(zhòng)(y_1\gty_2\)，則\(m\)的取值范圍是______。答案：\(m\gt2\)解析：因?yàn)楫?dāng)\(x_1\ltx_2\)時(shí)，有\(zhòng)(y_1\gty_2\)，說明\(y\)隨\(x\)的增大而減小。對(duì)于一次函數(shù)\(y=kx+b\)，當(dāng)\(k\lt0\)時(shí)，\(y\)隨\(x\)的增大而減小，在\(y=(2-m)x+2\)中，\(k=2-m\)，所以\(2-m\lt0\)，移項(xiàng)可得\(m\gt2\)。12.若一次函數(shù)\(y=3x+b\)的圖象與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為\(6\)，則\(b\)的值為______。答案：\(\pm6\)解析：當(dāng)\(x=0\)時(shí)，\(y=b\)，所以函數(shù)與\(y\)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為\((0,b)\)；當(dāng)\(y=0\)時(shí)，\(0=3x+b\)，解得\(x=-\frac{3}\)，所以函數(shù)與\(x\)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為\((-\frac{3},0)\)。一次函數(shù)\(y=3x+b\)的圖象與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形是以\(\vertb\vert\)為底，\(\vert-\frac{3}\vert\)為高的直角三角形，根據(jù)三角形面積公式\(S=\frac{1}{2}\times底\times高\(yùn))，可得\(S=\frac{1}{2}\times\vertb\vert\times\vert-\frac{3}\vert=6\)，即\(\frac{1}{2}\times\frac{\vertb\vert^2}{3}=6\)，\(\frac{\vertb\vert^2}{6}=6\)，\(\vertb\vert^2=36\)，解得\(\vertb\vert=6\)，所以\(b=\pm6\)。13.已知一次函數(shù)\(y=kx+b\)的圖象與直線\(y=-3x\)平行，且與\(y\)軸交于點(diǎn)\((0,2)\)，則此一次函數(shù)的表達(dá)式為______。答案：\(y=-3x+2\)解析：因?yàn)橐淮魏瘮?shù)\(y=kx+b\)的圖象與直線\(y=-3x\)平行，所以\(k=-3\)。又因?yàn)楹瘮?shù)與\(y\)軸交于點(diǎn)\((0,2)\)，把\((0,2)\)代入\(y=-3x+b\)中，可得\(2=-3\times0+b\)，解得\(b=2\)，所以此一次函數(shù)的表達(dá)式為\(y=-3x+2\)。14.若點(diǎn)\(P(2m+4,m-1)\)在一次函數(shù)\(y=2x-3\)的圖象上，則\(m\)的值為______。答案：\(2\)解析：因?yàn)辄c(diǎn)\(P(2m+4,m-1)\)在一次函數(shù)\(y=2x-3\)的圖象上，所以把\(x=2m+4\)，\(y=m-1\)代入\(y=2x-3\)中，可得\(m-1=2(2m+4)-3\)，去括號(hào)得\(m-1=4m+8-3\)，移項(xiàng)得\(m-4m=8-3+1\)，合并同類項(xiàng)得\(-3m=6\)，解得\(m=-2\)。15.某油箱中有油\(20\)升，油從管道中均勻流出，\(100\)分鐘可以流盡，寫出油箱中剩油量\(Q\)（升）與流出時(shí)間\(t\)（分鐘）之間的函數(shù)關(guān)系式______。答案：\(Q=20-\frac{1}{5}t(0\leqt\leq100)\)解析：因?yàn)閈(100\)分鐘可以流盡\(20\)升油，所以每分鐘的流量為\(\frac{20}{100}=0.2\)升/分鐘。那么\(t\)分鐘流出的油量為\(0.2t\)升，油箱中剩油量\(Q=\)總油量\(-\)流出的油量，即\(Q=20-0.2t\)，化為分?jǐn)?shù)形式為\(Q=20-\frac{1}{5}t\)。又因?yàn)閈(0\leqt\leq100\)（時(shí)間\(t\)不能為負(fù)數(shù)，且最多流\(100\)分鐘），所以函數(shù)關(guān)系式為\(Q=20-\frac{1}{5}t(0\leqt\leq100)\)。三、解答題（共55分）16.（8分）已知一次函數(shù)\(y=kx+b\)的圖象經(jīng)過點(diǎn)\((-2,5)\)，并且與\(y\)軸相交于點(diǎn)\(P\)，直線\(y=-\frac{1}{2}x+3\)與\(y\)軸相交于點(diǎn)\(Q\)，點(diǎn)\(Q\)恰與點(diǎn)\(P\)關(guān)于\(x\)軸對(duì)稱，求這個(gè)一次函數(shù)的表達(dá)式。解：首先求點(diǎn)\(Q\)的坐標(biāo)，對(duì)于直線\(y=-\frac{1}{2}x+3\)，當(dāng)\(x=0\)時(shí)，\(y=3\)，所以點(diǎn)\(Q\)的坐標(biāo)為\((0,3)\)。因?yàn)辄c(diǎn)\(Q\)與點(diǎn)\(P\)關(guān)于\(x\)軸對(duì)稱，關(guān)于\(x\)軸對(duì)稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，所以點(diǎn)\(P\)的坐標(biāo)為\((0,-3)\)。因?yàn)橐淮魏瘮?shù)\(y=kx+b\)的圖象經(jīng)過點(diǎn)\((-2,5)\)和\((0,-3)\)，把\((-2,5)\)和\((0,-3)\)分別代入\(y=kx+b\)中，得到方程組\(\begin{cases}-2k+b=5\\b=-3\end{cases}\)把\(b=-3\)代入\(-2k+b=5\)中，可得\(-2k-3=5\)，移項(xiàng)得\(-2k=5+3\)，即\(-2k=8\)，解得\(k=-4\)。所以這個(gè)一次函數(shù)的表達(dá)式為\(y=-4x-3\)。17.（9分）已知一次函數(shù)\(y=(2m-1)x+m-2\)。（1）若函數(shù)圖象經(jīng)過原點(diǎn)，求\(m\)的值；（2）若函數(shù)圖象與\(y\)軸的交點(diǎn)在\(x\)軸上方，求\(m\)的取值范圍；（3）若函數(shù)圖象不經(jīng)過第二象限，求\(m\)的取值范圍。解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)圖象經(jīng)過原點(diǎn)\((0,0)\)，把\((0,0)\)代入\(y=(2m-1)x+m-2\)中，可得\(0=(2m-1)\times0+m-2\)，即\(m-2=0\)，解得\(m=2\)。（2）當(dāng)\(x=0\)時(shí)，\(y=m-2\)，所以函數(shù)與\(y\)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為\((0,m-2)\)。因?yàn)楹瘮?shù)圖象與\(y\)軸的交點(diǎn)在\(x\)軸上方，所以\(m-2\gt0\)，解得\(m\gt2\)。又因?yàn)橐淮魏瘮?shù)\(y=(2m-1)x+m-2\)中\(zhòng)(2m-1\neq0\)，即\(m\neq\frac{1}{2}\)，所以\(m\)的取值范圍是\(m\gt2\)。（3）因?yàn)楹瘮?shù)圖象不經(jīng)過第二象限，所以\(\begin{cases}2m-1\gt0\\m-2\leq0\end{cases}\)解不等式\(2m-1\gt0\)，移項(xiàng)得\(2m\gt1\)，解得\(m\gt\frac{1}{2}\)；解不等式\(m-2\leq0\)，解得\(m\leq2\)。所以\(m\)的取值范圍是\(\frac{1}{2}\ltm\leq2\)。18.（10分）甲、乙兩家商場平時(shí)以同樣價(jià)格出售相同的商品，春節(jié)期間兩家商場都讓利酬賓，其中甲商場所有商品按\(8\)折出售，乙商場對(duì)一次購物中超過\(200\)元后的價(jià)格部分打\(7\)折。設(shè)商品原價(jià)為\(x\)元，顧客購物金額為\(y\)元。（1）分別就兩家商場的讓利方式寫出\(y\)關(guān)于\(x\)的函數(shù)表達(dá)式；（2）在同一直角坐標(biāo)系中畫出（1）中函數(shù)的圖象；（3）春節(jié)期間如何選擇這兩家商場去購物更省錢？解：（1）甲商場：所有商品按\(8\)折出售，所以\(y_{甲}=0.8x(x\geq0)\)。乙商場：當(dāng)\(0\leqx\leq200\)時(shí)，\(y_{乙}=x\)；當(dāng)\(x\gt200\)時(shí)，\(y_{乙}=200+(x-200)\times0.7=200+0.7x-140=0.7x+60\)。綜上，\(y_{乙}=\begin{cases}x(0\leqx\leq200)\\0.7x+60(x\gt200)\end{cases}\)。（2）對(duì)于\(y_{甲}=0.8x\)，當(dāng)\(x=0\)時(shí)，\(y=0\)；當(dāng)\(x=100\)時(shí)，\(y=80\)，過點(diǎn)\((0,0)\)和\((100,80)\)畫直線。對(duì)于\(y_{乙}\)，當(dāng)\(0\leqx\leq200\)時(shí)，是\(y=x\)的一部分，過點(diǎn)\((0,0)\)和\((200,200)\)畫線段；當(dāng)\(x\gt200\)時(shí)，當(dāng)\(x=200\)時(shí)，\(y=200\)，當(dāng)\(x=300\)時(shí)，\(y=0.7\times300+60=210+60=270\)，過點(diǎn)\((200,200)\)和\((300,270)\)畫直線（注意\(x=200\)處是連續(xù)的）。（3）當(dāng)\(0\leqx\leq200\)時(shí)，\(0.8x\ltx\)，所以此時(shí)甲商場更省錢。當(dāng)\(x\gt200\)時(shí)，令\(y_{甲}=y_{乙}\)，即\(0.8x=0.7x+60\)，移項(xiàng)得\(0.8x-0.7x=60\)，\(0.1x=60\)，解得\(x=600\)。令\(y_{甲}\gty_{乙}\)，即\(0.8x\gt0.7x+60\)，移項(xiàng)得\(0.8x-0.7x\gt60\)，\(0.1x\gt60\)，解得\(x\gt600\)。令\(y_{甲}\lty_{乙}\)，即\(0.8x\lt0.7x+60\)，移項(xiàng)得\(0.8x-0.7x\lt60\)，\(0.1x\lt60\)，解得\(x\lt600\)。所以當(dāng)\(0\leqx\lt600\)時(shí)，選擇甲商場更省錢；當(dāng)\(x=600\)時(shí)，兩家商場一樣省錢；當(dāng)\(x\gt600\)時(shí)，選擇乙商場更省錢。19.（14分）如圖，直線\(y=-x+3\)與\(x\)軸、\(y\)軸分別交于點(diǎn)\(A\)、\(B\)，與直線\(y=x\)交于點(diǎn)\(C\)。（1）求點(diǎn)\(A\)、\(B\)、\(C\)的坐標(biāo)；（2）求\(\triangleAOC\)的面積；（3）若點(diǎn)\(P\)是\(y\)軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)\(\triangleABP\)為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)\(P\)的坐標(biāo)。解：（1）對(duì)于直線\(y=-x+3\)，當(dāng)\(y=0\)時(shí)，\(0=-x+3\)，解得\(x=3\)，所以點(diǎn)\(A\)的坐標(biāo)為\((3,0)\)；當(dāng)\(x=0\)時(shí)，\(y=3\)，所以點(diǎn)\(B\)的坐標(biāo)為\((0,3)\)。聯(lián)立\(\begin{cases}y=-x+3\\y=x\end{cases}\)，將\(y=x\)代入\(y=-x+3\)中，可得\(x=-x+3\)，移項(xiàng)得\(x+x=3\)，\(2x=3\)，解得\(x=\frac{3}{2}\)，則\(y=\frac{3}{2}\)，所以點(diǎn)\(C\)的坐標(biāo)為\((\frac{3}{2},\frac{3}{2})\)。（2）\(\triangleAOC\)中，以\(OA\)為底，\(OA=3\)，點(diǎn)\(C\)到\(x\)軸的距離就是\(C\)點(diǎn)的縱坐標(biāo)\(\frac{3}{2}\)，根據(jù)三角形面積公式\(S=\frac{1}{2}\times底\times高\(yùn))，可得\(S_{\triangleAOC}=\frac{1}{2}\timesOA\times\frac{3}{2}=\frac{1}{2}\times3\times\frac{3}{2}=\frac{9}{4}\)。（3）已知\(A(3,0)\)，\(B(0,3)\)，則\(OA=OB=3\)，\(AB=\sqrt{OA^{2}+OB^{2}}=\sqrt{3^{2}+3^{2}}=\sqrt{9+9}=3\sqrt{2}\)。設(shè)點(diǎn)\(P\)的坐標(biāo)為\((0,y)\)。①當(dāng)\(AB=AP\)時(shí)，\(AP=\sqrt{(0-3)^{2}+(y-0)^{2}}=3\sqrt{2}\)，即\(9+y^{2}=18\)，\(y^{2}=9\)，解得\(y=\pm3\)，當(dāng)\(y=3\)時(shí)與\(B\)點(diǎn)重合，舍去，所以\(y=-3\)，此時(shí)\(P(0,-3)\)。②當(dāng)\(AB=BP\)時(shí)，\(BP=\verty-3\vert=3\sqrt{2}\)，則\(y-3=\pm3\sqrt{2}\)，解得\(y=3\pm3\sqrt{2}\)，此時(shí)\(P(0,3+3\sqrt{2})\)或\(P(0,3-3\sqrt{2})\)。③當(dāng)\(AP=BP\)時(shí)，\(\sqrt{(0-3)^{2}+(y-0)^{2}}=\verty-3\vert\)，\(9+y^{2}=y^{2}-6y+9\)，\(6y=0\)，解得\(y=0\)，此時(shí)\(P(0,0)\)。綜上，點(diǎn)\(P\)的坐標(biāo)為\((0,-3)\)，\((0,3+3\sqrt{2})\)，\((0,3-3\sqrt{2})\)，\((0,0)\)。20.（14分）某學(xué)校計(jì)劃購買