考向43二項(xiàng)分布、正態(tài)分布

及其應(yīng)用

1.(2021?新高考2卷T6)某物理量的測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布N(10,cr2),下列結(jié)論中不正確的是

A.b越小，該物理量在一次測(cè)量中在(9.9,10.1)的概率越大

B.b越小，該物理量在一次測(cè)量中大于10的概率為0.5

C.b越小，該物理量在一次測(cè)量中小于9.99與大于10.01的概率相等

D.b越小，該物理量在一次測(cè)量中落在(9.9,10.2)與落在(10,10.3)的概率相等

【答案】D

【解析】對(duì)于A,人為數(shù)據(jù)的方差，所以b越小，數(shù)據(jù)在〃=10附近越集中，所以測(cè)量結(jié)果落在

(9.9,10.1)內(nèi)的概率越大，故A正確；

對(duì)于B,由正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性可知該物理量一次測(cè)量大于10的概率為0.5,故B正確；

對(duì)于C,由正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性可知該物理量一次測(cè)量結(jié)果大于10.01的概率與小于9.99的概率

相等，故C正確；

對(duì)于D,因?yàn)樵撐锢砹恳淮螠y(cè)量結(jié)果落在(9.9,10.0)的概率與落在(10.2,10.3)的概率不同，所以一次

測(cè)量結(jié)果落在(9.9,10.2)的概率與落在(10,10.3)的概率不同，故D錯(cuò)誤.

故選：D.

2.(2022?新高考2卷T13)已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布陽(yáng)2,4)，且P(2<X,,2.5)=0.36,則

P(X>2.5)=.

【答案】0.14

【解析】由題意可知，P(X>2)=0.5,故P(X>2.5)=P(X>2)-P(2<X,,2.5)=Q14.

3.(2019?天津?高考真題(理))設(shè)甲、乙兩位同學(xué)上學(xué)期間，每天7：30之前到校的概率均為(.假定甲、

乙兩位同學(xué)到校情況互不影響，且任一同學(xué)每天到校情況相互獨(dú)立.

（I）用X表示甲同學(xué)上學(xué)期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（II）設(shè)M為事件“上學(xué)期間的三天中，甲同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)比乙同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)

恰好多2”，求事件加發(fā)生的概率.

【答案】（I）見解析；（II）戛

【分析】（I）由題意可知分布列為二項(xiàng)分布，結(jié)合二項(xiàng)分布的公式求得概率可得分布列，然后利用二項(xiàng)分布

的期望公式求解數(shù)學(xué)期望即可；

（II）由題意結(jié)合獨(dú)立事件概率公式計(jì)算可得滿足題意的概率值.

【詳解】（I）因?yàn)榧淄瑢W(xué)上學(xué)期間的三天中到校情況相互獨(dú)立，且每天7:30之前到校的概率均為g,

故X~小為從面p（x=左）=《「優(yōu)=。/，2,3）.

所以，隨機(jī)變量X的分布列為:

X0123

1248

p

279927

2

隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=3x-=2.

(II)設(shè)乙同學(xué)上學(xué)期間的三天中7:30之前到校的天數(shù)為y,則￥~2(31

且"=｛乂=3,￥=1｝[X=2,Y=0｝.

由題意知事件｛X=3,y=l｝與｛X=2]=0｝互斥，

且事件｛X=3｝與｛y=i｝,事件｛X=2｝與｛y=0｝均相互獨(dú)立，

從而由(I)知:

p(M)=p(｛x=3,y=i｝,｛x=2,y=o｝)

=p(x=3,y=i)+p(x=2,y=o)

=p(x=3)p(y=1)+P(X=2)P(Y=o)

824120

=——X—+—X——=.

279927243

i.二項(xiàng)分布的均值與方差

(1)如果p),則用公式E(X)=牝；D(X)="p(l—p)求解，可大大減少計(jì)算量.

(2)有些隨機(jī)變量雖不服從二項(xiàng)分布，但與之具有線性關(guān)系的另一隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，這時(shí)，可以綜合

應(yīng)用E(aX+b)=aE(X)+b以及E(X)=np求出E(aX+b),同樣還可求出D(aX+b).

2.關(guān)于正態(tài)總體在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率求法

(1)熟記尸。/—<7<乂斗+<7),P(/i—2u<X<n+2cr),尸(//—3cr<X3z+3o)的值.

(2)充分利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性和曲線與無(wú)軸之間面積為1.①正態(tài)曲線關(guān)于直線對(duì)稱，從而在關(guān)于x=〃

對(duì)稱的區(qū)間上概率相等；②尸(X<a)=l—P(aa),P(X<"—a)=P(X*+a).

［常用結(jié)論)

1.均值與方差的關(guān)系：￡>(X)=E(X2)-￡2(X).

2.超幾何分布的均值：若X服從參數(shù)為N,M,力的超幾何分布，則￡(&=等.

3.若X服從正態(tài)分布，即X?N@,/)，要充分利用正態(tài)曲線的關(guān)于直線X=〃對(duì)稱和曲線與x軸之間的面

積為L(zhǎng)

一、單選題

1.已知隨機(jī)變量J服從正態(tài)分布N(O,b)若尸值>2)=0.023,則P(-2qW2)=()

A.0.977B.0.954C.0.5D.0.023

2.已知隨機(jī)變量X~N(5,〃)，若P(X28)=0.36,則P(X>2)=()

A.0.36B.0.18C.0.64D.0.82

3.從一個(gè)裝有4個(gè)白球和3個(gè)紅球的袋子中有放回地取球5次，每次取球1個(gè)，記X為取得紅球的次數(shù),

則￡>(X)=()

1520-2560

A.—B.—C.—D.—

772149

4.若隨機(jī)變量X~B(3,p),y~N(2,b),若P(X21)=0.657,P(0<y<2)=p,則P(y>4)=()

A.0.2B.0.3C.0.7D.0.8

5.高考是全國(guó)性統(tǒng)一考試，因考生體量很大，故高考成績(jī)近似服從正態(tài)分布一般正態(tài)分布可以轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)

正態(tài)分布，即若Z~N(〃02),令丫=勺幻則y~N(0,l),且尸=已知選考物理考

生總分Z的全省平均分為460分，該次考試的標(biāo)準(zhǔn)差為40,現(xiàn)從選考物理的考生中隨機(jī)抽取30名考生成

績(jī)作進(jìn)一步調(diào)研，記/為這30名考生分?jǐn)?shù)超過(guò)520分的人數(shù)，則P?N1)=()

參考數(shù)據(jù)：若y~N(0,l),則尸崖01.5)=0.9332,0.933230?0.1257.

A.0.8743B.0.1257C.0.9332D.0.0668

6.2012年國(guó)家開始實(shí)施法定節(jié)假日高速公路免費(fèi)通行政策，某收費(fèi)站統(tǒng)計(jì)了2021年中秋節(jié)前后車輛通行

數(shù)量，發(fā)現(xiàn)該站近幾天車輛通行數(shù)量J?N(1000,4),>1200)=a,P(800<^<1200)=b,則當(dāng)

+時(shí)下列說(shuō)法正確的是()

1131

A.a=-B.b=-C.a+b=—D.a—b=一

2442

7.某批零件的尺寸X服從正態(tài)分布且滿足尸(尤<9)=：,零件的尺寸與10的誤差不超過(guò)1即

合格,從這批產(chǎn)品中抽取"件,若要保證抽取的合格零件不少于2件的概率不低于0.9，則n的最小值為()

A.7B.6C.5D.4

8.設(shè)隨機(jī)變量X,y滿足：Y=3X-1,XB(2,p),若P(XN1)=\,則。任)=()

9

14

A.3B.-C.4D.-

33

二、多選題

9.下列說(shuō)法其中正確的是()

A.對(duì)于回歸分析，相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值越小，說(shuō)明擬合效果越好；

B.以模型y=c?去擬合一組數(shù)據(jù)時(shí),為了求出回歸方程，設(shè)z=Iny,將其變換后得到線性方程-=0.3x+4，

則c,%的值分別是e“和。3；

C.已知隨機(jī)變量X~N(002),若尸(|x|<2)=a,則p(X>2)的值為F；

D.通過(guò)回歸直線§=%+》及回歸系數(shù)％,可以精確反映變量的取值和變化趨勢(shì).

10.下列命題中，正確的命題有()

A.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,M)且尸(x<4)=0.9,貝IJ尸(0<X<2)=0.3

B.設(shè)隨機(jī)變量X~8（20,g）,則D（X）=5

C.在拋骰子試驗(yàn)中，事件A={1,2,3,5,6},事件8={2,4,5,6},則尸（A|B）=：

D.在線性回歸模型中，爐表示解釋變量對(duì)于預(yù)報(bào)變量變化的貢獻(xiàn)率，解越接近于1,表示回歸的效果越

好

11.給出下列命題，其中錯(cuò)誤命題是（）

A.若樣本數(shù)據(jù)4%，…，%（數(shù)據(jù)各不相同）的平均數(shù)為3,則樣本數(shù)據(jù)2占-3,2%-3,…，2x“-3的平

均數(shù)為2

B.隨機(jī)變量X的方差為。（X）=l,則。（2X+1）=3

C.隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（2,4）,P（X>l）=0.72,貝|P（2VXW3）=0.22

D.隨機(jī)變量舁3（〃,0）,若E?=30,0（^）=20,則〃=45

12.已知隨機(jī)變量xA^（o,l2）,隨機(jī)變量yN（l,2）則下列結(jié)論正確的是（）

A.P（X<-I）=P（X>I）B.p（y<-i）=p（y>3）

C.P（l<X<3）<P（l<y<3）D.P（|x|>2）>P（|y|>3）

三、填空題

13.已知某種袋裝食品每袋質(zhì)量X~N（500,16）,則隨機(jī)抽取10000袋這種食品，袋裝質(zhì)量在區(qū)間（492,504]

的約袋（質(zhì)量單位：g）.（附：X~N出吟,則P（〃一b<X4〃+b）=0.6827,

P（jU-2cy<X<jn+2a）=0.9545,尸（〃—3bvX”〃+3b）=0.9973）.

14.已知隨機(jī)變量J~N3b2）,P（^<4）=1,P（^>3）=|,P（3<^<5）=.

15.中國(guó)光谷（武漢）某科技公司生產(chǎn)一批同型號(hào)的光纖通訊儀器，每臺(tái)儀器的某一部件由三個(gè)電子元件

按如圖方式連接而成，若元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，則該部件正常工作.由大數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)

顯示：三個(gè)電子元件的使用壽命（單位：小時(shí)）均服從正態(tài)分布N（1000,102）.且各個(gè)元件能否正常工作

相互獨(dú)立.現(xiàn)從這批儀器中隨機(jī)抽取1000臺(tái)檢測(cè)該部件的工作情況（各部件能否正常工作相互獨(dú)立），那么

這1000臺(tái)儀器中該部件的使用壽命超過(guò)1000小時(shí)的平均值為臺(tái).

16.已知隨機(jī)變量X~3(6,0.8),若尸(X=左)最大，貝(底+1)=

四、解答題

17.某學(xué)校在寒假期間安排了“垃圾分類知識(shí)普及實(shí)踐活動(dòng)”.為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)成果，該校從全校學(xué)生中隨

機(jī)抽取了100名學(xué)生作為樣本進(jìn)行測(cè)試，記錄他們的成績(jī)，測(cè)試卷滿分100分，并將得分分成以下6組：

［40,50)、［50,60)、［60,70).........［90,100］,統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖所示：

頻率

0.030...........................

O405060708090100得分

(1)試估計(jì)這100名學(xué)生得分的平均數(shù)；

(2)從樣本中得分不低于70分的學(xué)生中，用分層抽樣的方法選取11人進(jìn)行座談，若從座談名單中隨機(jī)抽取3

人，記其得分在［90,100］的人數(shù)為自，試求&的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(3)以樣本估計(jì)總體，根據(jù)頻率分布直方圖，可以認(rèn)為參加知識(shí)競(jìng)賽的學(xué)生的得分X近似地服從正態(tài)分布

N("八其中〃近似為樣本平均數(shù)，b?近似為樣本方差52,經(jīng)計(jì)算S2=42.25.所有參加知識(shí)競(jìng)賽的2000

名學(xué)生中，試問得分高于77分的人數(shù)最有可能是多少？

參考數(shù)據(jù)：P(〃—cr<XW〃+cr)=0.6827,P(〃-2cr<X4〃+2cr)=0.9545,

尸(〃一3b<XW〃+3cr)=0.9974.

18.某省會(huì)城市為了積極倡導(dǎo)市民優(yōu)先乘坐公共交通工具綠色出行，切實(shí)改善城市空氣質(zhì)量，緩解城市交

通壓力，公共交通系統(tǒng)推出“2元換乘暢享公交”“定制公交”“限行日免費(fèi)乘公交”“綠色出行日免費(fèi)乘公交”等

便民服務(wù)措施.為了更好地了解人們對(duì)出行工具的選擇，交管部門隨機(jī)抽取了1000人，做出如下統(tǒng)計(jì)表：

出行方式步行騎行自駕公共交通

比例5%25%30%40%

同時(shí)交管部門對(duì)某線路公交車統(tǒng)計(jì)整理了某一天1200名乘客的年齡數(shù)據(jù)，得到的頻率分布直方圖如下圖所

(2)用樣本估計(jì)總體，將頻率視為概率，從該市所有市民中抽取4人，記X為抽到選擇公共交通出行方式的

人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X).

19.教育部門最近出臺(tái)了“雙減”政策.即有效減輕義務(wù)教育階段學(xué)生過(guò)重作業(yè)負(fù)擔(dān)和校外培訓(xùn)負(fù)擔(dān)，持續(xù)規(guī)

范校外培訓(xùn)(包括線上培訓(xùn)和線下培訓(xùn)).“雙減”政策的出合對(duì)校外的培訓(xùn)機(jī)構(gòu)經(jīng)濟(jì)效益產(chǎn)生了嚴(yán)重影響.某

大型校外培訓(xùn)機(jī)構(gòu)為了規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)，尋求發(fā)展制定科學(xué)方案，工作人員對(duì)2021年前200名報(bào)名學(xué)員的消費(fèi)金

額進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)整理，其中數(shù)據(jù)如表.

消費(fèi)金額(千元)[3,5)[5,7)[7,9)[911)[11,13)[13,15]

人數(shù)305060203010

(1)該大型校外培訓(xùn)機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)型方案之一是將文化科主陣地輔導(dǎo)培訓(xùn)向音體美等興趣愛好培訓(xùn)轉(zhuǎn)移，為了深入

了解當(dāng)前學(xué)生的興趣愛好，工作人員利用分層抽樣的方法在消費(fèi)金額為［9,11)和［11,13)的學(xué)員中抽取了5

人，再?gòu)倪@5人中選取3人進(jìn)行有獎(jiǎng)問卷調(diào)查，求抽取的3人中消費(fèi)金額為［11,13)的人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)

期望；

(2)以頻率估計(jì)概率，假設(shè)該大型校外培訓(xùn)機(jī)構(gòu)2021年所有學(xué)員的消費(fèi)金額可視為服從正態(tài)分布,

",分別為報(bào)名前200名學(xué)員消費(fèi)的平均數(shù)x以及方差同一區(qū)間的花費(fèi)用區(qū)間的中點(diǎn)值替代).

①試估計(jì)該機(jī)構(gòu)學(xué)員2021年消費(fèi)金額為［5.2,13.6）的概率（保留一位小數(shù)）；

②若從該機(jī)構(gòu)2021年所有學(xué)員中隨機(jī)抽取4人，記消費(fèi)金額為［5.2,13.6）的人數(shù)為〃，求〃的方差.

參考數(shù)據(jù)：V2?1.4;若隨機(jī)變量4~N（〃,b2）,貝（〃一b<J<〃+b）=0.6827,

P（〃—2cr<J<〃+2cr）=0.9545,P（〃—3b<&<〃+3cr）=0.9973.

20.隨著奧密克戎的全球肆虐，防疫形勢(shì)越來(lái)越嚴(yán)峻，防疫物資需求量急增.下表是某口罩廠今年的月份x

與訂單y（單位：萬(wàn)元）的幾組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：

月份X12345

訂單y%%%)4%

（1）求y關(guān)于X的線性回歸方程，并估計(jì)該廠6月份的訂單金額.

3

⑵已知甲從該口罩廠隨機(jī)購(gòu)買了4箱口罩，該口罩廠質(zhì)檢過(guò)程中發(fā)現(xiàn)該批口罩的合格率為?，不合格的產(chǎn)

4

品需要更換，用X表示甲需要更換口罩的箱數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

55

參考數(shù)據(jù)：?=175,?>，=608.

i=li=l

nn

_______i=l_______

b=x--n-

參考公式：回歸直線的方程是9=%+其中<%一可2￡.片一近2

Z(

1=11=1

a=y-bx.

J提升常

一、單選題

1.（2022?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)（理））讀取速度是衡量固態(tài)硬盤性能的一項(xiàng)重要指標(biāo)，基于M.2PC/e4.0NVMe

協(xié)議的固態(tài)硬盤平均讀取速度可達(dá)7000MB/S以上.某企業(yè)生產(chǎn)的該種固態(tài)硬盤讀取速度（MB/S）服從

正態(tài)分布X~N（7400,CT2）.若尸（74004X〈7600）=0.3,則可估計(jì)該企業(yè)生產(chǎn)的1000個(gè)該種固態(tài)硬盤中讀

取速度低于7200MB/S的個(gè)數(shù)為（）

A.100B.200C.300D.400

2.（2022.江蘇.南京市第一中學(xué)三模）柯西分布（CaaMydistribution）是一個(gè)數(shù)學(xué)期望不存在的連續(xù)型概率分

布.記隨機(jī)變量X服從柯西分布為X?C（7，x°）,其中當(dāng)/=1，毛=0時(shí)的特例稱為標(biāo)準(zhǔn)柯西分布，其概

率密度函數(shù)為/。）=%（］：無(wú)2）.已知X?C（l,0）,P（|X|<V3）=|,P（l<X<y/3）=^,則P（［X|V1）=

（）

3.（2022?四川?樂山市教育科學(xué)研究所三模（理））2021年冬某地民兵預(yù)備役訓(xùn)練，民兵射擊成績(jī)（單位:

環(huán)）J~N（7.6,b2）（b>0）,P（7.2<JW8）=Q68.如果8940名民兵的射擊成績(jī)中有〃個(gè)在區(qū)間（7.6,8］上,

貝U（）

A.3（8940,0.68）B.〃~3（8940,0.34）

C.〃~N（7.6,CT2）D.77~^（7.6,0.34）

4.（2022?內(nèi)蒙古赤峰?模擬預(yù)測(cè)（理））某校在高三第一次聯(lián)考成績(jī)公布之后，選取兩個(gè)班的數(shù)學(xué)成績(jī)作

對(duì)比.已知這兩個(gè)班的人數(shù)相等，數(shù)學(xué)成績(jī)均近似服從正態(tài)分布，如圖所示.其中正態(tài)密度函數(shù)

（%一//）2

cp=中的〃是正態(tài)分布的期望值，5是正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差,且尸（以_〃歸5卜0.6827,

P（|X-”W2b）“0.9545,P（|X-”W36）。0.9973,則以下結(jié)論正確的是（）

A.1班的數(shù)學(xué)平均成績(jī)比2班的數(shù)學(xué)平均成績(jī)要高

B.相對(duì)于2班，本次考試中1班不同層次學(xué)生的成績(jī)差距較大

C.1班110分以上的人數(shù)約占該班總?cè)藬?shù)的4.55%

D.2班114分以上的人數(shù)與1班110分以上的人數(shù)相等

5.（2022?廣東佛山.三模）高考是全國(guó)性統(tǒng)一考試，因考生體量很大，故高考成績(jī)近似服從正態(tài)分布一般

正態(tài)分布可以轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即若Z~N（〃,b）,令丫=勺幺，則y~N（0,l）,且

P（Z<a）=P\Y<^-\.己知選考物理考生總分Z的全省平均分為460分，該次考試的標(biāo)準(zhǔn)差。為40,現(xiàn)

從選考物理的考生中隨機(jī)抽取30名考生成績(jī)作進(jìn)一步調(diào)研，記f為這30名考生分?jǐn)?shù)超過(guò)520分的人數(shù)，則

pa>i）=（）

參考數(shù)據(jù)：若y~N（0,l）,則尸（y<1.5）=0.9332,0.933數(shù)°20.1257.

A.0.8743B.0.1257C.0.9332D.0.0668

6.（2021?山東荷澤.二模）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.用相關(guān)指數(shù)尺2來(lái)刻畫回歸效果，川越小說(shuō)明擬合效果越好

B.已知隨機(jī)變量X~N（5,〃），若尸（尤<1）=0」，則尸（x49）=0.9

3

C.某人每次投籃的命中率為現(xiàn)投籃5次，設(shè)投中次數(shù)為隨機(jī)變量L則E（2Y+1）=7

D.對(duì)于獨(dú)立性檢驗(yàn)，隨機(jī)變量K?的觀測(cè)值太值越小，判定“兩分類變量有關(guān)系”犯錯(cuò)誤的概率越大

7.（2022?安徽宣城?二模（理））下列說(shuō)法：①若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（2,4）,若尸（X<5）=0.8,

則P（-L,X<2）=0.2；②設(shè)某校男生體重y（單位：kg）與身高無(wú)（單位：cm）具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一

組樣本數(shù)據(jù)（%，%）?=12、〃），用最小二乘法建立的回歸方程為9=Q85x-82,若該校某男生的身高為

170cm,則其體重大約為62.5kg；③有甲、乙兩個(gè)袋子，甲袋子中有3個(gè)白球，2個(gè)黑球；乙袋子中有4個(gè)

白球，4個(gè)黑球.現(xiàn)從甲袋子中任取2個(gè)球放入乙袋子，然后再?gòu)囊掖又腥稳∫粋€(gè)球，則此球?yàn)榘浊虻母?/p>

率為i13t，其中正確的個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

8.（2022?福建廈門?模擬預(yù)測(cè)）我們將服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量稱為二項(xiàng)隨機(jī)變量，服從正態(tài)分布的隨機(jī)

變量稱為正態(tài)隨機(jī)變量.概率論中有一個(gè)重要的結(jié)論是棣莫弗一拉普拉斯極限定理，它表明，若隨機(jī)變量

Y~B（n,p）,當(dāng)“充分大時(shí)，二項(xiàng)隨機(jī)變量丫可以由正態(tài)隨機(jī)變量X來(lái)近似，且正態(tài)隨機(jī)變量X的期望和

方差與二項(xiàng)隨機(jī)變量y的期望和方差相同.棣莫弗在1733年證明了0=］的特殊情形，1812年，拉普拉斯

對(duì)一般的P進(jìn)行了證明.現(xiàn)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣100次，則利用正態(tài)分布近似估算硬幣正面向上次數(shù)

超過(guò)60次的概率為（）（附：若XN.d）,則尸（〃一bVXV〃+b）=0.6827,

尸（〃一2bVXV〃+2（T）=0.9545,尸（〃一3bVXV4+3。）q0.9973）

A.0.1587B.0.0228C.0.0027D.0.0014

二、多選題

9.(2022.江蘇泰州?模擬預(yù)測(cè))為了解學(xué)生在網(wǎng)課期間的學(xué)習(xí)情況，某地教育部門對(duì)高三網(wǎng)課期間的教學(xué)

效果進(jìn)行了質(zhì)量監(jiān)測(cè).已知該地甲、乙兩校高三年級(jí)的學(xué)生人數(shù)分別為900、850,質(zhì)量監(jiān)測(cè)中甲、乙兩校

數(shù)學(xué)學(xué)科的考試成績(jī)(考試成績(jī)均為整數(shù))分別服從正態(tài)分布M(108,25)、N2(97,64),人數(shù)保留

整數(shù)，貝I()

參考數(shù)：若Z~N(〃,cr2),貝!|P(|Z-〃|<b)=0.6827,P(|Z-〃|<2b)。0.9545,P{\Z-^\<3cr)?0.9973.

A.從甲校高三年級(jí)任選一名學(xué)生，他的數(shù)學(xué)成績(jī)大于113的概率約為0.15865

B.甲校數(shù)學(xué)成績(jī)不超過(guò)103的人數(shù)少于140人

C.乙校數(shù)學(xué)成績(jī)的分布比甲校數(shù)學(xué)成績(jī)的分布更分散

D.乙校數(shù)學(xué)成績(jī)低于113的比例比甲校數(shù)學(xué)成績(jī)低于113的比例小

10.(2022?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))某工廠進(jìn)行產(chǎn)品質(zhì)量抽測(cè)，兩位員工隨機(jī)從生產(chǎn)線上各抽取數(shù)量相同的一批產(chǎn)

品，已知在兩人抽取的一批產(chǎn)品中均有5件次品，員工A從這一批產(chǎn)品中有放回地隨機(jī)抽取3件產(chǎn)品，員

工B從這一批產(chǎn)品中無(wú)放回地隨機(jī)抽取3件產(chǎn)品.設(shè)員工A抽取到的3件產(chǎn)品中次品數(shù)量為X,員工B抽

取到的3件產(chǎn)品中次品數(shù)量為Y,k=0,1,2,3.則下列判斷正確的是()

A.隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B.隨機(jī)變量Y服從超幾何分布

C.P（X=k）＜P（Y=k）D.E(X)=E(Y)

11.(2022?江蘇?模擬預(yù)測(cè))18世紀(jì)30年代，數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)，如果隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布8(“,0,

1（AM]

那么當(dāng)”比較大時(shí)，可視為X服從正態(tài)分布N(〃Q2)其密度函數(shù)％。(x)XG（^O,+CO）.任

A/ZKCT

意正態(tài)分布x可通過(guò)變換Z=與之轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布(〃=0且。=1).當(dāng)Z~N(0,l)時(shí),

對(duì)任意實(shí)數(shù)x,記心)=P(Z<x),則()

A.t(-x)=l-t(x)B.當(dāng)％>0時(shí)，P(|Z|<x)=l-2t(x)

C.隨機(jī)變量xN出吟,當(dāng)〃減小，b增大時(shí)，概率P(|X-〃|<cr)保持不變D.隨機(jī)變量

X當(dāng)〃,。都增大時(shí)，概率尸(|X-〃|<(T)單調(diào)增大

12.(2021.重慶一中模擬預(yù)測(cè))下列說(shuō)法中正確的是()

A.對(duì)于獨(dú)立性檢驗(yàn)，市的值越大，說(shuō)明這兩個(gè)變量的相關(guān)程度越大

B.已知隨機(jī)變量乂~2(“,初，若E(X)=30,￡>(%)=20,則p=；

C.某人在10次射擊中，擊中目標(biāo)的次數(shù)*~3(10,0.8),則當(dāng)無(wú)=8時(shí)概率最大

D.E(2X+3)=2E(X)+3,D(2X+3)=4￡)(X)+3

三、填空題

13.（2022?江西九江?三模（理））日常生活中，許多現(xiàn)象都服從正態(tài)分布.若記

6=P（〃—b<Xv〃+b）,6=尸（〃—2b<X<〃+2b）,A=P（〃—3b〈Xv〃+3b）.小明同學(xué)一般情況下

都是騎自行車上學(xué)，路上花費(fèi)的時(shí)間（單位：分鐘）服從正態(tài)分布N（18,4）.已知小明騎車上學(xué)遲到的概率

為片=—.某天小明的自行車壞了，他打算步行上學(xué)，若步行上學(xué)路上花費(fèi)的時(shí)間（單位：分鐘）服從正

態(tài)分布N（35,9）,要使步行上學(xué)遲到的概率不大于片，則小明應(yīng)該至少比平時(shí)出門的時(shí)間早

分鐘.

14.（2022?福建省德化第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）北京時(shí)間2022年4月16日9時(shí)56分，神舟十三號(hào)載人飛船返

回艙在東風(fēng)著陸場(chǎng)成功著陸.東風(fēng)著陸場(chǎng)著陸面積達(dá)到了2萬(wàn)平方公里，相當(dāng)于內(nèi)蒙古四子王旗航天著陸場(chǎng)

著陸面積的10倍，主著陸場(chǎng)正常的著陸范圍是60kmx60km的區(qū)域.在神舟十三號(hào)著陸前，航天科學(xué)家們經(jīng)

過(guò)了無(wú)數(shù)次的電子模擬，發(fā)現(xiàn)飛船著陸點(diǎn)離標(biāo)志觀察點(diǎn)A的距離Xkm滿足下圖是X經(jīng)過(guò)100

次模擬實(shí)驗(yàn)中的頻率分布直方圖.〃可以用圖中X的平均值代替，。=-35,其中，是圖中的中位數(shù)的估計(jì)

值（每組數(shù)據(jù)用這一組的中點(diǎn)值代替），則尸（31<xW36）P（34<x<39）（用“>,<,="之一填

入）

頻率

八藤

0.030----------------------------

0.025-----------------------

0.020------------------

0.015-------------

0.010---1—

0^5~1525354555X（km）

15.（2022?云南昆明?模擬預(yù)測(cè)（理））某人騎自行車上班，第一條路線較短但擁擠，路途用時(shí)X1（單位：

min）服從正態(tài)分布N（5,l）；第二條路線較長(zhǎng)但不擁擠，路途用時(shí)X?（單位：min）服從正態(tài)分布

N（6,0.16）.若有一天他出發(fā)時(shí)離上班時(shí)間還有7min,貝|P（X?47）-尸（X1W7）=.（精確到

0,0001）（參考數(shù)據(jù)：P（〃一b<XW〃+b）=0.6826,尸（〃—1.5cr<X<〃+1.5cr）=0.8664,

P（//-2cr<X<〃+2b）=0.9544,P（〃-2.5b<X<〃+2.5b）=0.9876,P"-3o<X<〃+3b）=0.9974）

16.（2022?山西呂梁?二模（文））在一次新兵射擊能力檢測(cè)中，每人都可打5槍，只要擊中靶標(biāo)就停止射

擊，合格通過(guò)；5次全不中，則不合格.新兵A參加射擊能力檢測(cè)，假設(shè)他每次射擊相互獨(dú)立，且擊中靶標(biāo)

的概率均為0（。<0<1）,若當(dāng)。時(shí)，他至少射擊4次合格通過(guò)的概率最大，則P°=.

【答案】1-巫

5

四、解答題

17.（2022?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）為了解高三學(xué)生體能情況，某中學(xué)對(duì)所有高三男生進(jìn)行了擲實(shí)心球測(cè)試，測(cè)試

結(jié)果表明所有男生的成績(jī)X（單位：米）近似服從正態(tài)分布N（8,/）,且P（X<7）=0.05,P（X<7.5）=0.2.

⑴若從高三男生中隨機(jī)挑選1人，求他的成績(jī)?cè)冢?.5,9］內(nèi)的概率.

（2）為爭(zhēng)奪全省中學(xué)生運(yùn)動(dòng)會(huì)的比賽資格，甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行比賽.比賽采取“五局三勝制”，即兩人輪流擲實(shí)

心球一次為一局，成績(jī)更好者獲勝（假設(shè)沒有平局）.一共進(jìn)行五局比賽，先勝三局者將代表學(xué)校出戰(zhàn)省運(yùn)

會(huì).根據(jù)平時(shí)訓(xùn)練成績(jī)預(yù)測(cè)，甲在一局比賽中戰(zhàn)勝乙的概率為;.

①求甲代表學(xué)校出戰(zhàn)省運(yùn)會(huì)的概率.

②丙、丁兩位同學(xué)觀賽前打賭，丙對(duì)丁說(shuō)：“如果甲3:0獲勝，你給我100塊，如果甲3:1獲勝，你給我50

塊，如果甲3:2獲勝，你給我10塊，如果乙獲勝，我給你200塊”，如果你是丁，你愿意和他打賭嗎？說(shuō)明

你的理由.

18.（2022?海南?？?二模）為落實(shí)體育總局和教育部發(fā)布的《關(guān)于深化體教融合，促進(jìn)青少年健康發(fā)展的

意見》，某校組織學(xué)生加強(qiáng)100米短跑訓(xùn)練.在某次短跑測(cè)試中，抽取100名男生作為樣本，統(tǒng)計(jì)他們的

成績(jī)（單位：秒），整理得到如圖所示的頻率分布直方圖（每組區(qū)間包含左端點(diǎn)，不包含右端點(diǎn)）.

頻率

24

0.22

0.

9

0..08

0..0

O11.512.513.514.515.516.517.518.5成績(jī)/秒

（1）若規(guī)定男生短跑成績(jī)小于13.5秒為優(yōu)秀，求樣本中男生短跑成績(jī)優(yōu)秀的概率.

（2）估計(jì)樣本中男生短跑成績(jī)的平均數(shù).（同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）

（3）根據(jù)統(tǒng)計(jì)分析，該校男生的短跑成績(jī)X服從正態(tài)分布N（〃,1.22?）,以（2）中所求的樣本平均數(shù)作為〃的

估計(jì)值.若從該校男生中隨機(jī)抽取10人，記其中短跑成績(jī)?cè)冢?2.56,17.44］以處的人數(shù)為匕求「任21）.

附：若Z~N（〃,cy2）,則尸（〃-2b4ZV〃+2cr）=0.9545.O.954510?0.6277.

19.（2022.江西萍鄉(xiāng).三模（理））北京冬奧會(huì)于2022年2月4日至20日在北京市和張家口市聯(lián)合舉辦，

這是中國(guó)歷史上第一次舉辦冬奧會(huì)，也是中國(guó)繼北京奧運(yùn)會(huì)、南京青奧會(huì)之后第三次舉辦奧運(yùn)賽事.北京冬

奧會(huì)的成功舉辦推動(dòng)了我國(guó)冰雪運(yùn)動(dòng)的普及，讓越來(lái)越多的青少年愛上了冰雪運(yùn)動(dòng).某高校組織了20000

名學(xué)生參加線上冰雪運(yùn)動(dòng)知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，并抽取了100名參賽學(xué)生的成績(jī)制作了如下表格：

競(jìng)賽得分[50,60](60,70](70,80](80,90](90,100]

頻率0.050.250.450.200.05

⑴如果規(guī)定競(jìng)賽得分在（80,90］為“良好”，在（90,100］為“優(yōu)秀”，以這100名參賽學(xué)生中競(jìng)賽得分的頻率作

為全校知識(shí)競(jìng)賽中得分在相應(yīng)區(qū)間的學(xué)生被抽中的概率.現(xiàn)從該校參加知識(shí)競(jìng)賽的學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，

記競(jìng)賽得分結(jié)果為“良好”及以上的人數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望；

（2）已知此次知識(shí)競(jìng)賽全校學(xué)生成績(jī)J近似服從正態(tài)分布N（73,64）,若學(xué)校要對(duì)成績(jī)不低于97分的學(xué)生進(jìn)行

表彰，請(qǐng)估計(jì)獲得表彰的學(xué)生人數(shù).

附：若隨機(jī)變量斐陽(yáng)〃,戶）,則

尸（〃一5vJv〃+5）=0.6827,25vJ<4+25）=0.9545,尸（"一35<Jv〃+35）=0.9973.

20.（2023?江蘇?南京市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）若X?N.,吟,從X的取值中隨機(jī)抽取左（左wN*次之2）個(gè)數(shù)

2

據(jù)，記這左個(gè)數(shù)據(jù)的平均值為匕則隨機(jī)變量以下問題的求解中可以利用這一結(jié)論.

k

根據(jù)以往的考試數(shù)據(jù)，某學(xué)校高三年級(jí)數(shù)學(xué)?？汲煽?jī)X~N（100,52）,設(shè)從X的取值中隨機(jī)抽取25個(gè)數(shù)據(jù)

的平均值為隨機(jī)變量Y.現(xiàn)在從X的取值中隨機(jī)抽取25個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列為占二2，9,…,％5，

%+9+…+/=901.5,占6+而7+…+均=1048,其余5個(gè)數(shù)分別為97,97,98,98,98.

⑴求占,馬，W…,心的中位數(shù)及平均值；

(2)求尸(98414103).

附：隨機(jī)變量〃服從正態(tài)分布N(〃,cy2),貝IJ尸(〃一cr4〃4〃+b)=0.6827,P(//-2cr<77<//+2cr)=0.9545,

P(〃—3b"W〃+3。)=0.9973.

1.（2015?山東?高考真題（理））已知某批零件的長(zhǎng)度誤差（單位：毫米）服從正態(tài)分布N（0,32）,從中隨

機(jī)取一件，其長(zhǎng)度誤差落在區(qū)間（3,6）內(nèi)的概率為

（附：若隨機(jī)變量,服從正態(tài)分布，則<號(hào)<〃+b）=68.26%,

-2o<&<〃+2cr）=95.44%.）

A.4.56%B.13.59%C.27.18%D.31.74%

2.（2015?湖南?高考真題（理））在如圖所示的正方形中隨機(jī)投擲10000個(gè)點(diǎn)，則落入陰影部分（曲線C

為正態(tài)分布NQ1）的密度曲線）的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值為

附：若x?N（〃Q2）,則心-O<XM〃+（7）=0.6$26,P（/I-2a<X<u^2a）^0.9544

A.2386B.2718C.3413D.4772

3.（2015?湖北?高考真題（理））設(shè)'~、'（〃.百），'（必，犬），這兩個(gè)正態(tài)分布密度曲線如圖所示.下

列結(jié)論中正確的是（）

A.1iFO-?

：：

B.-

c.對(duì)任意正數(shù)Lp（x<z）>p（y<z）

D.對(duì)任意正數(shù)r,>P；>:

4.（2011?湖北?高考真題（理））已知隨機(jī)變量4服從正態(tài)分布N（2,"），且尸偌<4）=0.8,則P（0</<2）

（）

A.0.6B.0.4C.0.3D.0.2

5.（2010?廣東?高考真題（理））已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（3.1）,且尸（2WX<4）=0.6826,則p（X>4）

=（）

A.0.1588B.0.1587C.0.1586D.0.1585

6.（2015?山東?高考真題（理））已知某批零件的長(zhǎng)度誤差（單位：毫米）服從正態(tài)分布N（0,32）,從中隨

機(jī)取一件，其長(zhǎng)度誤差落在區(qū)間（3,6）內(nèi)的概率為

（附：若隨機(jī)變量自服從正態(tài)分布Nj,"）,則P（〃一b<g<〃+b）=68.26%,

P（〃-2cr<J<〃+2cr）=95.44%.）

A.4.56%B.13.59%C.27.18%D.31.74%

7.（2008?四川?高考真題（理））設(shè)進(jìn)入某商場(chǎng)的每一位顧客購(gòu)買甲種商品的概率為0.5,購(gòu)買乙種商品的

概率為0.6,且購(gòu)買甲種商品與購(gòu)買乙種商品相互獨(dú)立，各顧客之間購(gòu)買商品也是相互獨(dú)立的.

（1）求進(jìn)入商場(chǎng)的1位顧客購(gòu)買甲、乙兩種商品中的一種的概率；

（2）求進(jìn)入商場(chǎng)的1位顧客至少購(gòu)買甲、乙兩種商品中的一種的概率；

（3）記J表示進(jìn)入商場(chǎng)的3位顧客中至少購(gòu)買甲、乙兩種商品中的一種的人數(shù)，求J的分布列及期望.

8.（2010?湖南?高考真題）如圖為某城市通過(guò)抽樣得到的居民某年的月均用水量（單位：噸）的頻率分布直方

圖.

⑴求直方圖中尤的值；

（2）若將頻率視為概率，從這個(gè)城市隨機(jī)抽取3位居民（看作有放回的抽樣），求月均用水量在3至4噸的居民

9.（2011?天津?高考真題（理））學(xué)校游園活動(dòng)有這樣一個(gè)游戲項(xiàng)目：甲箱子里裝有3個(gè)白球、2個(gè)黑球；

乙箱子里裝有1個(gè)白球、2個(gè)黑球.這些球除顏色外完全相同，每次游戲從這兩個(gè)箱子里各隨機(jī)摸出2個(gè)球，

若摸出的白球不少于2個(gè)，則獲獎(jiǎng).（每次游戲結(jié)束后將球放回原箱）

（I）求在一次游戲中，

（i）摸出3個(gè)白球的概率；（ii）獲獎(jiǎng)的概率；

（II）求在兩次游戲中獲獎(jiǎng)次數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望E（X）

10.（2017?全國(guó)?高考真題（理））為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過(guò)程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上

隨機(jī)抽取16個(gè)零件，并測(cè)量其尺寸（單位：cm）.根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生

產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N（〃Q2）.

（1）假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在3-3b,“+3b）之外的零件數(shù)，求

P（X21）及X的數(shù)學(xué)期望；

（2）一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在Q-3b,“+3b）之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)

過(guò)程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查.

（i）試說(shuō)明上述監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程方法的合理性；

（ii）下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件的尺寸：

9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04

10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95

11616

22

經(jīng)計(jì)算得釬而［X,=997,^X,-16X?0.212,其中&為抽取的第i個(gè)零件

4=1

的尺寸，i=1,2,,16.

用樣本平均數(shù)元作為〃的估計(jì)值A(chǔ),用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為。的估計(jì)值3,利用估計(jì)值判斷是否需對(duì)當(dāng)天的生

產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查？剔除3-3抗。+33）之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)〃和。（精確到0.01）.

16

附：若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N（〃,02）,則P（〃-3b<Z<〃+3b）=0.9974,0.9974?0.9592,

V0.008x0.09.

11.（2014?全國(guó)?高考真題（理））從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件，測(cè)量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)

（I）求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均值元和樣本方差52（同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）;

（ID由直方圖可以認(rèn)為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)Z服從正態(tài)分布NJ。），其中〃近似為樣本平均數(shù)"『

近似為樣本方差

（i）利用該正態(tài)分布，求尸（187.8<Z<212.2）；

（ii）某用戶從該企業(yè)購(gòu)買了100件這種產(chǎn)品，記X表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間（187.8,212.2）

的產(chǎn)品件數(shù).利用（i）的結(jié)果，求EX.

附：A/150?12.2

若2~N,,")則P^fj-cy<Z<〃+<T)=0.6826,P(〃-2cr<Z<//+2<r)=0.9544.

12.（2013?湖北?高考真題（理））假設(shè)每天從甲地去乙地的旅客人數(shù)X是服從正態(tài)分布N（800,502）的

隨機(jī)變量.記一天中從甲地去乙地的旅客人數(shù)不超過(guò)900的概率為po.

(1)求po的值；

(參考數(shù)據(jù)：若X?N(^,?2),有p(M-o<x<|i+o)=0.6826,P(H-2o<X<n+2o)=0.9544,P(p-3o

<X?+3。)=0.9974.)

(2)某客運(yùn)公司用A,B兩種型號(hào)的車輛承擔(dān)甲、乙兩地間的長(zhǎng)途客運(yùn)業(yè)務(wù)，每車每天往返一次，A,B

兩種車輛的載客量分別為36人和60人,從甲地去乙地的營(yíng)運(yùn)成本分別為1600元/輛和2400元/輛.公司擬

組建一個(gè)不超過(guò)21輛車的客運(yùn)車隊(duì)，并要求B型車不多于A型車7輛.若每天要以不小于po的概率運(yùn)完

從甲地去乙地的旅客，且使公司從甲地去乙地的營(yíng)運(yùn)成本最小，那么應(yīng)配備A型車、B型車各多少輛？

1.【答案】B

【解析】隨機(jī)變量4服從正態(tài)分布N(0,/)，

若尸小>2)=0。23,則依據(jù)正態(tài)曲線的性質(zhì)有

P(-2<^<2)=1-2P信>2)=1-2x0.023=0.954

故選：B

2.【答案】C

【解析】因?yàn)閄~N(5,"),所以尸(X42)=P(X28)=0.36,所以尸(X>2)=0.64.

故選:C.

3.【答案】D

【解析】由題意得：從一個(gè)裝有4個(gè)白球和3個(gè)紅球的袋子中取出一個(gè)球，是紅球的概率為133

因?yàn)槭怯蟹呕氐娜∏?，所?/p>

所以D(X)=5x沖一力啜

故選：D

4.【答案】A

【解析】由題意，P(X>l)=l-P(X=O)=l-(l-p)3=0.657,解得p=0.3,則P(0<y<2)=0.3,所以

p(y>4)=P(y<0)=0.5-P(0<y<2)=0.2.

故選：A.

5.【答案】A

【解析】根據(jù)題意尸(Z<520)=<I=60]=尸(ywJ；)=0.9332

則考生分?jǐn)?shù)超過(guò)520分的概率P(Z>520)=l-P(Z<520)=0.0668

根據(jù)題意可得rB(30,0.0668),則21)=1-PQ=0)=1-0.9332加*0.8743

故選：A.

6.【答案】C

h1

【解析】因J?陽(yáng)1000面)，且尸?>1200)=a,P(800<&v1200)=人則有即2a=1—6,

不等式8a〃2人+2。為：4Z?(1-Z?)>1o(2b-1)2<0,則6=,，a=—,

24

31

所以a+b=—,a—b=—,A,B,D均不正確，C正確.

44

故選：C

7.【答案】C

【解析】X服從正態(tài)分布N(10,b2),且p(x<9)