完成時間：_月_日天氣:

作業(yè)認識三角形

作業(yè)導航

題型一：三角形內(nèi)角和的證明

題型二：百角三角形的內(nèi)角、

題型三：與平行線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題:

題型四：三角形中角的折疊問題）

能力培優(yōu)練

題型五：三角形的角平分線的性質(zhì)應(yīng)用;作業(yè)08認識三角形

創(chuàng)新題型練

題型六：三角形的高的性質(zhì)的應(yīng)用力

題型七：三角形中線的性質(zhì)與應(yīng)用J

題型八：三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用）

培優(yōu)訓練-------------------------------------------------------

三層必刷：鞏固提升+能力培優(yōu)+創(chuàng)新題型

1鞏固提升練

【題型一：三角形內(nèi)角和的證明】

1.“三角形的內(nèi)角和為180。”是《幾何原本》中的第五公設(shè)的推論，在探究證明這個定理時,

綜合實踐小組的同學作了如下四種輔助線，其中不能證明"三角形內(nèi)角和是180。”的是（）

過點。作CDLAB

EF1/AB于點。

F/

/

過＜46上一點。作

DEIIBC,DFllAC延長/C至點E過

點、C作CEIIAB

2.已知VA3C中，AB^AC,求證：ZB<90°,下面寫出運用反證法證明這個命題的四個

步驟：

①NA+N3+NC>180。，這與三角形內(nèi)角和為180。矛盾

②因此假設(shè)不成立，，/3<90°

③假設(shè)在VABC中，ZB>90°

④由AB=AC,得N3=NCN90。，即ZB+NC2180。

這四個步驟正確的順序應(yīng)是()

A.④③①②B,③④②①C.①②③④D,③④①②

3.閱讀下列材料，回答問題

我們在小學就已經(jīng)知道，任意一個三角形的內(nèi)角和等于180。，我們是通過度量或剪拼得出

這一結(jié)論的.但是，這種“驗證”不是“數(shù)學證明”；所以，需要通過推理的方法去證明：任意

一個三角形的內(nèi)角和一定等于180。.

探究：在紙上任意畫一個三角形，將它的內(nèi)角剪下拼合在一起，就得到一個平角.如圖兩種

小明同學受到圖1的啟發(fā)，證明了三角形的內(nèi)角和等于180。

證明過程如下：已知：如圖3,NABC.求證：ZA+ZB+ZC=180°

證明：如圖3,過點A作DE〃BC

?.-DE//BC

:.ZB=()

同理=

?/ABAC+Z.BAD+Z.CAE=180°

ZBAC+ZB+ZC=180°()

(1)證明中的每一步推理都要有根據(jù)，不能“想當然”.這些根據(jù)，可以是已知條件，也可以是

學過的定義、基本事實、定理等，請你補全小明同學證明過程中所缺的內(nèi)容；

(2)由圖2啟發(fā)，可以得到證明三角形的內(nèi)角和等于180。的另一種證法，請你完成.

4.李老師在講授“認識三角形”一課時，為驗證“三角形內(nèi)角和等于180?！边@一定理，剪了一

試卷第2頁，共16頁

個三角形紙片，如圖1,將/I撕下，按圖2方式進行擺放，然后學生經(jīng)過分析得到了該定

理.

圖2圖3

學習過尺規(guī)作圖之后，小華同學想要借助無刻度的直尺和圓規(guī)作圖代替撕紙，來證明"三角

形內(nèi)角和等于180?！边@一定理，過程如下：

已知：如圖，VA3C.

求證：ZA+ZB+ZC=180°.

證明：如圖3,以AC為邊，在其右側(cè)用尺規(guī)作NACD=NA.

延長2C至點E.

VZACD=ZA（已作）

；?_〃_（_）

：.NB=_（_）

XVZACD++NACB=180。（平角的定義）

.-.ZA+ZB+ZACB=180°（等量代換）

請你幫他完成作圖（只保留作圖痕跡，不寫作法），并完善證明過程.

5.追本溯源

我們知道，三角形三個內(nèi)角的和等于180。，利用該定理我們可以得到推論：三角形的外角

等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.

推論證明

（1）已知：如圖1,NAC。是AABC的一個外角.

求證：ZACD=ZA+ZB.

圖1

知識應(yīng)用

（2）如圖2,在AABC中，ZB=50。，點。在邊BC上，QE〃互交AC于點廠.若/1=95。,

求NC的度數(shù).

【題型二：直角三角形的內(nèi)角】

6.如題圖，AB//CD,于點E,若/C=37。，則NA的度數(shù)是（）

7.如圖，直線線段AV和線段垂直于點。，若ZABM=65。，則WM

的度數(shù)是（）

8.直角三角形A3C中，ZABC=90°,應(yīng)＞是斜邊AC上的高，Z4=35°,請求出圖

中所有銳角的值，并找出其中所有相等的銳角。

9.如圖，其中圖1是瑞瑞在跑步機上健身，其示意圖如圖2所示.折線-E

是固定支架，HDEJ.AB,顯示屏E尸〃fiD,ZABC=65°,則ZDEF=度.

試卷第4頁，共16頁

ffll

10.在一個直角三角形中，已知一個銳角比另一個銳角的4倍多15。，則較小銳角

的度數(shù)為.

【題型三：與平行線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題】

11.如圖，VABC中，QE分別是上的點，滿足ZACB+/3+/瓦汨=180。.

(1)AC,DE是否平行？說明理由.

(2)若CD平分/ACB,4=35。，求/2度數(shù).

12.已知：如圖，BF平分NABD,DE平分NBDC交BF于點、E,防交C￡)于點

F,Z1=Z3.

⑴請說明A5〃CD的理由；

(2)若N2=25°,求N3的度數(shù);

(3)若ZABD=140。，求證：DE±BF.

13.如圖，。是三角形A3c外一點，E,歹是2C上的點，G,H分別是A3,AC上

的點，連接AD,AE,FH,DH,GE,已知N1=N2,Z3+Z4=180°,ZAEF=ZCFH.

⑴判斷GE與AC的位置關(guān)系，并說明理由；

⑵若NC=36。，ZDHC=105°,求-3的度數(shù).

14.在直角三角形ABC中，ZC=90°,平分/助C交BC于點。，BE平分/ABC

交AC于點E,AD.8E相交于點尸，過點。作OG平行A3,過點5作8GLDG交。G

于點G.下列結(jié)論：①BC平分NA8G；②NBDG=2NCBE；③ZAFB=135。；④

ZBEC=NFBG.正確結(jié)論的序號有.

【題型四：三角形中角的折疊問題】

15.如圖，將VABC三個角分別沿HG、所翻折，三個頂點均落在點。處,

則4+N2的度數(shù)為（）

C.128°D.108°

16.如圖，在RtZXABC中，?B90?,ZA=58°,D,E分另|在BC,AC上，將ACDE

沿DE折疊得到VPDE,且防〃CB,則"EF的度數(shù)為.

試卷第6頁，共16頁

17.如圖，在VABC中，ZBAC=70°,3C>AC,點。在邊BC上，將△ADC沿著AD

翻折，點C落在點E處，若DE恰好與VABC的一條邊平行，若/C=m。，則/D4C

的度數(shù)為一(結(jié)果用含垃的代數(shù)式表示)

18.如圖，將VABC沿著DE翻折，若Zl+N2=80。，求—3的度數(shù).

19.把三角形紙片ABC沿DE折疊.

(1)如圖①，當點A落在四邊形3CDE內(nèi)部時，NA,Zl,N2有怎樣的等量關(guān)系？

寫出這個關(guān)系式，并證明你的結(jié)論.

(2)如圖②，當點A落在四邊形3CDE外部時，NA,Zl,N2有怎樣的等量關(guān)系？

寫出這個關(guān)系式，并證明你的結(jié)論.

【題型五：三角形的角平分線的性質(zhì)應(yīng)用】

20.如圖，Z1=Z2=Z3=Z4,則AD是VABC的()

A

21.在VABC中，ZA=|ZB=|ZACB,CO是VABC的高，CE是—ACB的角平分

線，則"CE=.

22.如圖，在VA3C中，ZC=20°,ZDAB,ZER4為VABC的外角，NDAB與ZEBA

的平分線交于點尸，則4F的度數(shù)為（）

23.如圖，在VABC中，AD1BC,垂足為。，點E在C4的延長線上，EF1BC,

垂足為R所與A3相交于點G,ZE=ZAGE.求證：AD平分/ft4c.

試卷第8頁，共16頁

⑴若ZA=30。，求ZACD的度數(shù)；

(2)取線段A3的中點R連結(jié)跖.若ZAFE+ZBCD=180。，ZA=ZAEF.求證：CA

平分/BCD.

【題型六：三角形的高的性質(zhì)的應(yīng)用】

25.用三角板畫點A到所在直線的垂線段，下列三角板的擺放位置正確的是

26.若一個三角形三條高所在直線的交點在這個三角形的外部，則這個三角形是

三角形.(填“銳角”“直角”或“鈍角”)

27.已知VABC中，AD為邊上的高，若AD=4,BD=9,CD=5,則VABC的

面積為.

28.如圖，已知AD,BE分別是VABC中2C,AC邊上的高，BC=5,AC=4,AD=3,

則BE的長是.

29.如圖，已知VABC,根據(jù)下列要求畫出圖形并回答問題:

A

⑴作邊A3上的高CD；

⑵過點5畫AC的垂線助，垂足為E；

（3）過點E畫CD的平行線EF,交于點廠；

（4）點E到直線AB的距離是線段的長度.

【題型七：三角形中線的性質(zhì)與應(yīng)用】

30.如圖，CD,CE,CT分別是VABC的高、角平分線、中線，則下列各式中錯

誤的是（）

A.AB=2BF

C.AE=BED.CDLAB

31.如圖，VABC的周長是16,AO是8C邊上的中線，AB=6,CD=3,則△ABD

與AACD的周長之差為（）

A.2C.4D.6

32.如圖，在VA3C中，點。是BC的中點，連接AD,點E在上，且=

即，如于點H若3c=15,EF=6,則VABC的面積為（）

試卷第10頁，共16頁

A

33.如圖，在VABC中，點。、E、P分別是BC、AD.CE的中點，若VABC的

面積為16,則&BEF=

A

【題型八：三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用】

34.已知三角形的三邊長分別為4,6,x,則x不可能是（）

A.2B.5C.7D.8

35.已知三角形的兩邊長滿足3-6）2+|°-3|=0,那么第三邊的長不可能為（）

A.3B.4C.5D.6

36.一個等腰三角形的周長為16,有一條邊是4,則它的底邊為（）

A.4B.8C.4或8D.8或6

37.已知VA3C的三邊長分別為a,b,c.

（1）化簡：la-b-c[+弧_°_4+,+6一＜?|；

⑵若。=2,b=5,第三邊。的長為奇數(shù)，判斷VABC的形狀.

38.若代數(shù)式（2m7-3）（”+3x）+加的值與無無關(guān)，且等腰三角形的兩邊長為機、

n.

⑴求加、〃的值；

⑵求該等腰三角形的周長.

2能力培優(yōu)練

39.如圖，將長為14c〃7的鐵絲折成三段，已知第一段長為4c〃z,第二段長為acm.若

這三條線段恰好能圍成一個三角形，則。的值可以是（）

4a

A.3B.6C.7D.8

40.在氐△ABC中，NC=9O。，點D,E分別是A3,AC邊兩個動點.將VADE沿

OE折疊得到VH）E,點A的對應(yīng)點為點尸，ZBZ*的平分線交直線BC于點G.若

邊。/與VABC的一條邊平行，ZA=36。，則ZBGD的度數(shù)為.

4

41.如圖，點，瓦廠分別在三角形ABC的邊AC上，且龐〃DF//AB.將

三角形A3C沿DE翻折，使得點5落在點？處，沿。歹翻折，使得點C落在點C

處.若/B'DC'=30。，則ZA=

42.如圖，在VABC中，/C=9（F（ZA<ZABC）,點。，P分別在邊AB,AC上,

且2尸=AP,DE±BP,DF±AP,垂足分別為點E.F.若以8c=24,AC=8,則

DE+D廠的值.

試卷第12頁，共16頁

43.如圖，在VABC中，點。在A3上，過點。作DE〃3C,交AC于點E,。2平

，分NADE,交NAC3的平分線于點尸，CP與。E相交于點G,ZACF的平分線C。

(2)若ZA=50。，當?shù)亩葦?shù)發(fā)生變化時，NDPC、N。的度數(shù)是否發(fā)生變化？并

說明理由；

(3)若△PC。中存在一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的三倍，請直接寫出所有符合條件的

/A的度數(shù).

44.如圖1,在ABC中，三個內(nèi)角的平分線交于點。，過點。作N8C=ZAOC,

交邊于點D

(l)①若ZABC=40。，則ZAOC=°；

②NABC與/AOC之間的等量關(guān)系是.

⑵如圖2,作VABC外角45E的平分線交CO的延長線于點F.

①求證：BF//OD；

②若NF=ZABC=40。，將ABOD繞點。順時針旋轉(zhuǎn)一定角度。后得

△?。。(0。＜夕＜360。)，ED所在直線與尸C平行，請直接寫出所有符合條件的旋轉(zhuǎn)

角度a的值.

45.已知直線MN〃P。，現(xiàn)將一個含30。的三角板ABC按照如圖1放置，使點A,

8分別在直線MV,PQ上，ZABC=90°,ZC=60°,AD平分NOW交直線PQ于點￡),

且AD〃BC.

⑴求/3AM的度數(shù)；

(2)將一個含有45。的三角板EFG按照如圖2所示放置，直角頂點G與點A重合，

直角邊GF與重合.若將三角板GE產(chǎn)繞點A以每秒6。的速度順時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋

轉(zhuǎn)時間為f秒(。。＜15).

①若三角板ABC保持不動，作/ZMF的角平分線AK,當/。國=12。時，求/的值；

②若三角板ABC同時繞點8以每秒18。的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，當邊

與三角板A3C的一條直角邊平行時，直接寫出所有滿足條件的/的值.

46.在平面內(nèi)，對于二尸和N。，給出如下定義：若存在一個常數(shù)9＞。)，使得

々+20=180。，則稱NQ是一尸的"/系數(shù)補角”.例如：/尸=60。，ZQ=30°,有

【概念理解】

⑴若/尸=40。，/尸的“2系數(shù)補角”是；/尸的“5系數(shù)補角”是；

在平面內(nèi)，點E為直線上一點，點/為直線C￡＞上一點，請解答下

面(2)(3)題;

【初步認識】

(2)如圖1,點G是直線A3、CD內(nèi)一點，連接GE,GF,ZDFG=24°,若NDFG

是N3EG的“5系數(shù)補角”，求/EGF的大??；

【問題解決】

試卷第14頁，共16頁

（3）如圖2,連接EF,若點、H為直線EF右邊平面內(nèi)一動點（點H不在直線AB,CD

上），NEFH與兩個角的平分線交于點若NBEH=〃"NDFH=n,ZN是

ZEMF的“3系數(shù)補角”，請直接寫出/N的度數(shù)（用含加和”的代數(shù)式表示）.

3創(chuàng)新題型練

47.如圖，有甲、乙兩根小棒，現(xiàn)用剪刀把其中一根小棒剪開，若得到的兩根小

棒與另一根小棒能組成三角形，則剪開的小棒是（）

2%

IJ

A.甲B.乙C.甲或乙D.甲或乙均不可以

48.在VA3C中，ZB=ZC=720,M,N分別是AC,3c邊上的動點，將AMNC沿

MN折疊得到△MNC,若與VABC的邊平行，則NC'肱V的度數(shù)為（）

A.54°B.54?；?8。C.54?；?2。D.54°,18°或72。

49.如圖所示，一只杯子靜止在斜面上，其受力分析如圖所示，重力G的方向豎

直向下，支持力月的方向與斜面垂直，摩擦力尸2的方向與斜面平行.若斜面的坡

角c=35。，則摩擦力尸?與重力G方向的夾角夕的度數(shù)為（）

A.115°B.120°C.125°D.145°

50.如圖，AD//BC,NDAE=3NEBF,ZEBF=27°,G是AB上一點.若ZAG尸=95。,

ZBAF=34。，甲、乙兩位同學分別給出了下面的結(jié)論，下列判斷正確的是（）

甲：ZAFB=81°；

乙：BE//GF.

A.只有甲的正確B.只有乙的正確

C.兩人的都正確D.兩人的都不正確

51.如圖，D,E,尸分別是VABC的邊AB,BC,AC的中點，連接AE,BF,

交于點G,VA3C的面積為6,設(shè)ABDG的面積為岳，ACG尸的面積為S2,則

52.【定義】如果兩個角的差為15。，就稱這兩個角互為“幸福角”，其中一個角叫

做另一個角的“幸福角”.

例如：0=65。，尸=50。，。一尸=15°,則a和5互為“幸福角”,即。是夕的“幸福角”，

￡也是a的“幸福角”.

CBCB

圖1圖2

⑴已知N1和N2互為“幸福角”，且/1>/2,若N1和N2互補，則Zl=；

(2)如圖1所示，在VABC中，ZACB=90。，過點C作A3的平行線CM,一ABC的

平分線3。分別交AC、CM于。、E兩點.

①若ZA>/3EC,且ZA和NBEC互為“幸福角”，則ZA=；

②如圖2所示，過點C作AB的垂線，垂足為RBD、b相交于點N.若4DCN

與NCDN互為“幸福角”，求NA的度數(shù).

試卷第16頁，共16頁

參考答案

1.B

【分析】本題考查三角形內(nèi)角和定理的證明，熟練掌握轉(zhuǎn)化的思想以及平角的定義是解決本

題的關(guān)鍵.本題運用轉(zhuǎn)化的思想作出相應(yīng)的平行線，把三角形的內(nèi)角進行轉(zhuǎn)化，再根據(jù)平角

的定義解決即可.

【詳解】解：A.由砂〃AB,貝=NFCB=NB.由NEC4+NACB+NFCB=180。，

得NA+NAC3+/B=180。，故能證明“三角形內(nèi)角和是180?！?，不符合題意

B.由于。，則NADC=NCC?=90。，無法證得“三角形內(nèi)角和是180。”，符合題

C.由。p〃AC,得ZED尸=^4￡D,ZA=ZFDB.由ED〃BC,得NEDA=NB,ZAED=Z.C,

所以/C=/ED尸.由NEZM+NKD尸+NED3=180。，得：ZA+ZC+ZB=180°,故能證明

“三角形內(nèi)角和是180。”，不符合題意

D.由CE〃AB,得ZA=NFCE,ZB=ZBCE.由/尸6￡+/￡6?+ZACB=180。，得

ZA+ZB+ZACB=180°,故能證明“三角形內(nèi)角和是180?！?，不符合題意.

故選B.

2.D

【分析】本題考查反證法,解題的關(guān)鍵是掌握反證法的一般步驟:①假設(shè)命題的結(jié)論不成立；

②從這個假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾；③由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定原命題

的結(jié)論正確.據(jù)此進行判斷即可.也考查了等邊對等角.

【詳解】解：運用反證法證明這個命題的四個步驟：

③假設(shè)在VABC中，ZB>90°,

④由AB=AC,得N3=NCN90。，即NB+NC2180。，

①ZA+ZB+ZC>180°,這與三角形內(nèi)角和為180。矛盾，

②因此假設(shè)不成立，，々<90。，

這四個步驟正確的順序應(yīng)是③④①②.

故選：D.

3.(1)NB4D；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；等量代換

(2)見解析

【分析】此題考查了三角形內(nèi)角和定理的證明，熟練掌握平行線的性質(zhì)，正確地作出輔助線，

把三角形的三個內(nèi)角轉(zhuǎn)化一個平角是解決問題的關(guān)鍵.

答案第1頁，共40頁

（1）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等得NB=NS4D,ZC=ZC4E,再根據(jù)平角定義得

ZBAC+ZBAD+ZCAE=180°,然后根據(jù)等量代換可得出三角形內(nèi)角和等于180。；

（2）過點C作CE〃癡，延長BC到D,根據(jù)平行線的性質(zhì)得ZA=ZACE,ZB=ZECD,

再根據(jù)平角的定義得ZACE+ZECD+ZACB=180。，進而可得出三角形內(nèi)角和等于180。.

【詳解】（1）證明：己知：如圖3,NABC.

求證：ZA+ZB+ZC=180°.

圖3

證明：如圖3,過點A作DE〃BC,

DE\\BC,

:.ZB=ZBAD（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），

同理NC=NG4E,

ABAC+ZBAD+Z.CAE=180°,

.-.ZBAC+ZB+ZC=180o（等量代換）.

故答案為：NBAD；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；等量代換.

（2）證明：如圖，過點C作CE〃54,延長BC到。，

AZA=ZACE,NB=NECD,

:ZACE+ZECD+ZACB=180°,

,ZA+ZB+ZACB=180°.

4.作圖見解析，AB//CD-,內(nèi)錯角相等，兩直線平行；NDCE；兩直線平行，同位角相

等；NDCE

【分析】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角的證明，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的

判定定理和性質(zhì).

根據(jù)尺規(guī)作圖一做一個角等于已知角的方法和步驟進行作圖即可；根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線

答案第2頁，共40頁

平行得出AB〃CD,進而得出ZB=ZDCE,最后根據(jù)平角的定義得出

ZACD+ZDCE+ZACB=180°,即可得出結(jié)論NA+N3+NACB=180。.

【詳解】證明：如圖3,以AC為邊，在其右側(cè)用尺規(guī)作NACD=NA.

延長2C至點E.

VZACD=ZA（已作），

AAB//CD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），

AZB=ZDCE（兩直線平行，同位角相等），

又：NACD+NDCE+NACB=180。（平角的定義），

--.ZA+ZB+ZACB=180°（等量代換），

故答案為：A3〃CD；內(nèi)錯角相等,兩直線平行；/DCE；兩直線平行，同位角相等；ZDCE.

5.（1）見解析（2）45°

【分析】本題考查三角形內(nèi)角和定理、外角的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)；

（1）利用三角形內(nèi)角和為180度，平角為180度，等量代換即可證明；

（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得NB=NFDC,再利用三角形外角的性質(zhì)先求出NEDC,.

【詳解】（1）證明：如圖1中，VZA+ZS+ZACfi=180°,ZACB+ZACD=180°,

：.ZACD=ZA+ZB.

（2）如圖2中，,/DE//AB,

：./B=/FDC=50。；

:Z1=ZFDC+ZC,

：.ZFDC=95°-50°=45°,

6.B

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，直角三角形的兩個銳角互余，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角

相等，則/8=37。，運用直角三角形的兩個銳角互余進行列式計算，即可作答.

【詳解】解：

々="=37°,

AE_LBC于點E,

答案第3頁，共40頁

???ZAEB=90°,ZA=900-ZB=53°,

故選：B

7.A

【分析】本題考查的是平行線的性質(zhì)，先根據(jù)線段AN和線段3垂直于點。得出

NAQ3=90。，再由=65?？傻贸鯪BA。的度數(shù)，由〃朋N即可得出結(jié)論.

【詳解】解：,?,線段AN和線段垂直于點Q,

.?.ZAQB=90°,

ZABM=65°,

：.ZBAQ=90°-65°=25°,

'：AB//MN,

：.ZANM=ZBAQ=25°.

故選：A.

8.ZA=ZCBD=35°ZC=ZABD=55°；相等的銳角有：ZA=ZCBD,ZC=ZABD

【分析】本題主要考查直角三角形兩銳角互余，直接根據(jù)直角三角形兩銳角互余進行解答即

可.

【詳解】解：在RtZkABC中，ZABC=90°,

???ZA+ZC=90°,

VZA=35°,

A?C90??A90?35?55?；

在RtAAB。中，VBDLAC,即NA2M=90。，

AZA+Zz4BD=90°,

VZA=35°,

???ZAB￡>=90o-ZA=90°-35o=55°；

在RtZ\D5C中，VBD1AC,即NAZ)C=90。，

???ZC+ZCBD=90°,

,/4=55。，

???ZCBD=90°-ZC=90°-55°=35°；

???相等的銳角有：ZA=NCBD,/C=ZABD.

9.155

【分析】本題主要查了直角三角形兩銳角互余，平行線的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形兩銳角

答案第4頁，共40頁

互余，平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

延長即交A3于點N,根據(jù)直角三角形兩銳角互余可得/瓦W=90。-=25。，從而得

到/班見=180。-/放火=155。，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】解：如圖，延長ED交A3于點N,

ZBND=90°,

"：ZABC=65°,

：.ZBDN=90°-ZABC=25°,

Z.BDE=180°-NBDN=155°,

EF//BD,

：.Z.DEF=Z.BDE=155°.

故答案為：155

10.15°##15度

【分析】本題考查了直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，關(guān)鍵步驟是正確設(shè)定變量并準確列方程,

最終求出較小的銳角度數(shù).本題設(shè)定未知數(shù)，根據(jù)直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，建立方程

求解較小的銳角度數(shù).

【詳解】解：設(shè)較小的銳角為廿，則較大的銳角為4x+15。，

根據(jù)直角三角形兩銳角之和為90。，得：

x+(4x+15)=90,

解得：x=15,

所以較小銳角的度數(shù)為15。.

故答案為：15。.

11.⑴平行

(2)70°

答案第5頁，共40頁

【分析】本題考查了三角形的內(nèi)角和，平行線的判定等知識點.

(1)由三角形內(nèi)角和為180。，結(jié)合已知可得=由同位角相等兩直線平行即可得

出結(jié)論；

(2)根據(jù)角平分線定義可得NACB=2N1=7O。，結(jié)合AC〃。石可得N2=NACB=70。.

【詳解】(1)結(jié)論：平行，

?/ZACB+ZB+NBDE=180°,

ZACB+ZB+ZA^180°,

ZA=ZBDE,

：.AC//DE.

(2)平分/ACB,

ZACB=2Z1=7O°,

,?AC//DE,

Z2=ZACB=70°.

12.(1)見解析；

(2)65°

(3)見解析

【分析】本題主要考查角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的運用，掌握以

上知識，數(shù)形結(jié)合分析是解題的關(guān)鍵.

(I)根據(jù)角平分線的定義得到/踞=/1,等量代換得到NABE=N3,由內(nèi)錯角相等，兩

直線平行即可求解；

(2)根據(jù)角平分線的定義得到/雙加=2/2=50。，由三角形內(nèi)角和定理即可求解；

(3)根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補得到/位犯+皿。=180。，結(jié)合角平分線的定義得到

-ZABD+-ZBDC=90°,Zl+Z2=90°,由此即可求解.

22

【詳解】(1)解：?.?3/平分

:.ZABF^Z[.

???Z1=Z3,

:.ZABF=Z3,

:.AB//CD：

(2)解：?.,DE平分/BDC,Z2=25°,

答案第6頁，共40頁

/.ZB￡>F=2Z2=50°,

???NBDF+N1+N3=180°,N1=N3,

Z3=1(180o-ZBDF)=65°

(3)證明：由(1)得AB〃CD,

:.ZABD+ZBDC=1SQ°

ZABD+-ZBDC=90°,

22

BF平分ZABD,DE平分ZBDC,

.-.Zl+Z2=90°,

:"BED=90。,

.-.DEA.BF.

13.(1)平行，理由見解析

(2)69°

【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握平行線的判定與

性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

(1)先根據(jù)平行線的判定可得AE〃陽，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得=從而可得

Z2=ZCAE,再根據(jù)平行線的判定即可得；

(2)先求出N3=/ZJHC=105。，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得/區(qū)4。=180。-/3=75。，然后

根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求解即可得.

【詳解】(1)解：GE//AC,理由如下：

?/ZAEF=ZCFH,

：.AE//FH,

：.Z.l=ZCAE,

,/Z1=Z2,

Z2=ZG4E,

GE//AC.

(2)解：VZ3+Z4=180°,ZDHC+Z4=180°,ZDHC=105°,

Z3=ZDHC=105°,

由(1)已證：GE//AC,

：.ZBAC=180°-Z3=75°,

答案第7頁，共40頁

,?NC=36°,

ZB=180°-ZBAC-ZC=69°.

14.②③④

【分析】本題考查三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義及等角的余角相等.根

據(jù)角平分線的定義及三角形內(nèi)角和定理即可判斷③正確；由平行線的性質(zhì)及角平分線的定義

即可判斷②正確；根據(jù)等角的余角相等即可判斷④正確；根據(jù)已知條件無法判斷①，所以錯

誤，綜上所述即可得出答案.

【詳解】解：在直角三角形ABC中，NC=90。，

ABAC+ZABC^90°,

平分/BAC,8E平分/ABC,

AZFAB=-ZBAC,ZABE=ZEBC=-ZABC,

22

/.ZFAB+ZABE=1(ABAC+/ABC)=45°,

：.ZAFB=180-(ZFAB+ZABF)=180°-45°=135°,

???③正確；

DG//AB,

ZBDG=ZABC

?：ZEBC=-ZABC,

2

：.ZEBC=-ZBDG,

2

ZBDG=2Z.CBE,

...②正確;

：,ABC的度數(shù)不確定，

.,.根據(jù)已知條件無法證明BC平分ZABG,

①不正確；

VBGLDG,ZC=90°,

AZBGD=90°,ZC4B+ZABC=90°,

?BDG?DBG90?,

又??,DG//AB,

：.ZBDG=ZABC,

答案第8頁，共40頁

?DBG?CAB,

又；？BEC?EABABE,

：.?BEC?DBG?ABE,

又：BE平分/ABC,

?ABEEBC

：.?DBG1ABE7DBG?EBC1EBG,

即ZBEC=NFBG,

???④正確；

綜上，正確的結(jié)論為②③④，

故答案為：②③④.

15.A

［分析】本題考查利用翻折變換的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理.

通過分析翻折后形成的角與原三角形內(nèi)角的關(guān)系，計算出Z1+Z2的度數(shù).

【詳解】由題知：

:"B=ZHOG,ZA=ZDOE,ZC=ZEOF,

Z1+Z2+Z.HOG+Z.EOF+Z.DOE=360°,

ZHOG+NEOF+ZDOE=ZA+N3+NC=180。，

Z1+Z2=360°-180°=180°,

故選：A.

16.74°##74度

【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)，根據(jù)三角形內(nèi)角和可

以求出NC的度數(shù)，由折疊性質(zhì)得出NEDE=NCC?E,ZF=ZC=32°,再根據(jù)平行線性質(zhì)

得到/F=NFDB=32。，然后通過平角定義可得/FDE=NCZ)E=74。，最后由平行線的性

質(zhì)得出ZDEF=NCDE=7竿,掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：：？390?,ZA=58°,

ZC=32°,

由折疊性質(zhì)可知，NFDE=NCDE,ZF=ZC=32°,

EF//CB,

：.ZF=ZFDB=32°,

ZFDE+ZCDE+ZFDB=180°,

答案第9頁，共40頁

???4FDE=4CDE=Q華，

EF//CB,

：.ZDEF=ZCDE=r74°,

故答案為：74°.

17.或190-gm)

【分析】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)，是解題的關(guān)

鍵.分兩種情況：當DE〃鉆時，當。石〃4c時，分別畫出圖形，根據(jù)平行線的性質(zhì)和折

疊的性質(zhì)，求出結(jié)果即可.

【詳解】解：當時，如圖所示：

根據(jù)折疊可知：ZE=ZC=trf,ZDAC=ZDAE,

'：DE//AB,

：.ZBAE=ZE=m°,

,：ZBAC=JO0,

：.ZEAC=ABAC-/BAE=70°-m°,

ZDAC=ZDAE=-ZEAC=35°--m°；

22

當DE〃AC時，如圖所示：

根據(jù)折疊可知：ZE=ZC=nf,NDAC=NDAE,

,/DE//AB,

：.ZEAC=180°-ZE=180°-m°,

答案第10頁，共40頁

ZDAC=ZDAE=-ZEAC=90°--m°；

22

綜上分析可知：ZDAC=35。-工種或ZDAC=90°--m°.

22

故答案為：35根［或190-：根］.

18.ZB=40°

【分析】本題考查與折疊有關(guān)的三角形的內(nèi)角和定理，根據(jù)折疊的性質(zhì)，平角的定義和三角

形的內(nèi)角和定理，進行求解即可.

【詳解】解：；折疊，

/.ABED=1(180°-Z1)=90°-1Zl,ZBDE=1(180°-Z2)=90°-1Z2,

/.NB=180°-ZBDE-ZBED=1zi+1z2=1(Zl+Z2)=40°；

19.(1)ZA=1(Z1+Z2),證明見解析

(2)ZA=1(Z1-Z2),證明見解析

【分析】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理翻折的性質(zhì)，整體思想的利用是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)翻折的性質(zhì)以及平角的定義表示出N3、N4,再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式整

理即可得解；

(2)先根據(jù)翻折的性質(zhì)以及平角的定義表示出N3、Z4,再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式

整理即可得解.

【詳解】(1)解：ZA=1(Zl+Z2),理由如下：

如圖，

根據(jù)翻折以及平角的意義可得，Z3=ZAEr)=1(180°-Zl),Z4=ZADE=1(180°-Z2),

■.■ZA+ZAED+ZADE=180°,

ZA+1(180°-Z1)+1(180°-Z2)=180°,

答案第11頁，共40頁

整理得，ZA=1(Zl+Z2)；

(2)解：ZA=1(Zl-Z2),理由如下:

如圖：

根據(jù)翻折以及平角的意義可得，Z3=1(18O°-Z1),Z4=ZAr>E=1(1800+Z2),

?.?ZA+Z3+ZAZ)E=180o,

.?.ZA+1(18O°-Z1)+1(18O°+Z2)=18O°,

整理得，ZA=1(Zl-Z2).

20.B

【分析】該題考查了三角形的角平分線，根據(jù)題意得出/BAD=NC4D,即可解答.

【詳解】解：：N1=N2=N3=N4,

Z1+Z2=Z3+Z4,

ABAD=ACAD,

是AABC的角平分線.

故選：B.

21.15°##15度

【分析】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，直角三角形兩銳角互余，角平分線的定義.根據(jù)

己知條件用NA表示出—3和/ACB,利用三角形的內(nèi)角和求出ZA,再求出/ACB,然

后根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出ZACD,最后根據(jù)角平分線的定義求出/ACE即可.

[W1VZA=1ZB=|ZACB,

設(shè)NA=%,

：.ZB=2x,ZACB=3x,

'：ZA+ZB+ZACB=180°,

答案第12頁，共40頁

x+2x+3x=180°,

解得：x=30°,

：.ZA=30°,ZACB=90°,

???CO是VABC的高，

???ZADC=9Q°,

???ZACD=90°-30°=60°,

CE是/ACB的角平分線，

ZACE=ix90°=45°,

2

ZDCE=ZACD-ZACE=60°-45°=15°.

故答案為：15。.

22.A

【分析】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，由NC=20?？傻?/p>

ZCAB+ZCBA=1O)°,即得miB+N￡BA=200。，再根據(jù)角平分線的定義得

N3AF+NABF=g(ND4B+NEBA)=100。，進而根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求解，掌握

以上知識點是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：：NC=20。，

Z.CAB+Z.CBA=180。一NC=180°—20。=160°,

Z.DAB+NEBA=360°-(ZC4B+ZCR4)=360°-160°=200°,

'/ZDAB與AEBA的平分線交于點F,

：.ZBAF+ZABF=-NDAB+-ZEBA=-(ZDAB+ZEBA)=-x200°=100°,

222、'2

NF=180°-(ZfiAF+ZABF)=180°-100°=80°,

故選：A.

23.見解析

【分析】本題主要考查了角平分線的判定，平行線的判定和性質(zhì)，由垂直的定義得出

ADC=ZEFC=90°,即可得出由平行線的性質(zhì)得出NE=NC4T>,

ZBAD=ZAGE,再結(jié)合已知條件可得出NC4D=ZH4O,即可的證.

【詳解】證明?.?ADLBC,EF1BC(已知)，

:.ZADC=ZEFC=90°(垂直定義).

答案第13頁，共40頁

:.AD//EF（同位角相等，兩直線平行）.

.-.ZE=ZCAD（兩直線平行，同位角相等），ZBAD=ZAGE（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）.

又NE=ZAGE（已知），

:.ZCAD^ZBAD（等量代換），

即4。平分/BAC

24.（1）30°

（2）見解析

【分析】（1）由Nl=65。，〃=65。得A2||。，根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等，即可求解;

（2）由AB〃CD得NABC=N3CD=180。，由NAFE+N8CD=180。，得/AFE=/ASC,

進而得功〃3C,根據(jù)Z4=ZA￡F,ZA=ZACD,可得C4平分/BCD.

本題考查平行線的性質(zhì)和判定，角平分線的定義，掌握平行線的性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵.

【詳解】（1）解:VZ1=65°,ZD=65°,

N1=ZD,

：.AB//CD,

：.ZACD=ZA=30°；

（2）證明：如圖,

?/AB//CD,

：.ZABC+ZSCD=180°,

?/ZAFE+ZBCD=180°,

ZAFE=ZABC,

：.EF//BC,

：.ZAEF=ZACB,

VZA=ZAEF,ZA=ZACD,

：.ZACD=ZACB,

即C4平分/BCD.

答案第14頁，共40頁

25.A

【分析】本題考查了畫過一點畫已知直線的垂線；畫圖時，三角板的直角一邊與邊2C重合，

點A在直角的另一邊上；按此畫圖步驟判斷即可.

【詳解】解：根據(jù)畫垂線段的步驟知，選項A符合題意；

故選：A.

26.鈍角

【分析】本題主要考查了三角形垂心，熟知銳角三角形，直角三角形，鈍角三角形垂心所在

的位置是解答本題的關(guān)鍵.

根據(jù)銳角三角形三條高交于三角形內(nèi)部，直角三角形三條高交于直角頂點，鈍角三角形三條

高所在直線交于三角形外部進行求解即可.

【詳解】解：若一個三角形三條高所在直線的交點在這個三角形的外部，則這個三角形是鈍

角三角形，

故答案為：鈍角.

27.28或8

【分析】本題考查了與三角形高有關(guān)的計算，屬于基礎(chǔ)題；分兩種情況考慮：分高AD在三

角形內(nèi)與三角形外，根據(jù)題意求得BC,則由三角形面積公式計算即可.

【詳解】解：當高AD在三角形內(nèi)時，如圖，

"0=9,CD=5,

：.BC=BD+CD=9+5=14,

AS.?=-BZ)-Ar>--xl4x4=28；

△ADCr22'

當高AD在三角形外時，如圖，

答案第15頁，共40頁

貝|[8。=班＞一8=9-5=4,

S=-BDAD=-x4x4=8；

△A/Ricr22、

綜上，VABC的面積為28或8.

故答案為：28或8.

15

2C8。.—

4

【分析】本題主要考查了與三角形高的有關(guān)計算，根據(jù)等面積法可得出

SABC=-BEAC=-ADBC,進而可求出BE.

[WlW：■.■SAABC=^BEAC=^ADBC

.-.BEAC^ADBC

ADBC3x515

BE=

AC

故答案為：?

29.⑴見解析

(2)見解析

(3)見解析

(4)EF

【分析】本題主要考查了畫平行線，畫垂線，畫三角形的高，點到直線的距離等等，熟知相

關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.

(1)過點C作。，交A3延長線于。，則C。即為所求；

(2)根據(jù)垂線的畫法畫圖即可；

(3)根據(jù)平行線的畫法畫圖即可；

(4)可證明EFLAB,再根據(jù)點到直線的距離的定義求解即可.

【詳解】(1)解：如圖所示，過點C作CDJ_AB交A3延長線于。，則CD即為所求;

答案第16頁，共40頁

（2）解：如圖所示，即為所求;

（3）解：如圖所示，即為所求;

（4）解：?/EF//CD,CDLAB,

：.EFl.AB,

???點E到直線AB的距離是線段跖的長度.

30.C

【分析】本題考查了三角形的高線、中線、角平分線，熟練掌握三角形的高線、中線、角平

分線的定義是解題的關(guān)鍵.根據(jù)三角形的高線、中線、角平分線的定義，逐項分析即可即可

判斷.

【詳解】解：CE,CF分別是VABC的高、角平分線、中線，

:.AB=2BF,ZACE=-ZACB,CDLAB.

2

結(jié)合選項可知，A、B、D選項不符合題意，C選項符合題意；

故選：C.

31.A

【分析】本題考查了三角形中線的有關(guān)計算，掌握三角形中線的定義是關(guān)鍵.

根據(jù)三角形的中線，周長的計算得到30=28=6,AC=4,根據(jù)AABO的周長為

AB+BD+AD,△48的周長為47+。。+4）,得到與AACD的周長之差為

AB-AC,由此即可求解.

答案第17頁，共40頁

【詳解】解：AABC的周長為16,

,AB+AC+BC=16,

：AO是BC邊上的中線，

/.BD=CD=3,貝13c=6,

AC=16-AB-BC=16-6-6=4,

?.?△