章末檢測一函數(shù)應(yīng)用

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符

合題目要求的.

1.設(shè)“X）在區(qū)間［。,可上是連續(xù)變化的單調(diào)函數(shù)，且〃金/伍）＜。，則方程/（x）=0在卜,國內(nèi)（）

A.至少有一實(shí)根B.至多有一實(shí)根

C.沒有實(shí)根D.必有唯一實(shí)根

【答案】D

【分析】根據(jù)零點(diǎn)存在性定理及函數(shù)的單調(diào)性判斷即可.

【詳解】解：因?yàn)椤▁）在區(qū)間,力］上連續(xù)的單調(diào)函數(shù)，且

所以函數(shù)“X）的圖象在［a,句內(nèi)與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，即方程〃x）=0在［a,句內(nèi)只有一個(gè)實(shí)根.

故選：D

2.下列函數(shù)圖象中，不能用二分法求零點(diǎn)的是（）

【答案】B

【分析】利用二分法求函數(shù)零點(diǎn)所滿足的條件可得出合適的選項(xiàng).

【詳解】觀察圖象與x軸的交點(diǎn)，若交點(diǎn)附近的函數(shù)圖象連續(xù)，且在交點(diǎn)兩側(cè)的函數(shù)值符號(hào)相異，則可用二

分法求零點(diǎn)，故B不能用二分法求零點(diǎn).

故選：B.

3.某純凈水制造廠在凈化水的過程中，每增加一次過濾可使水中雜質(zhì)減少50%.若雜質(zhì)減少到原來的10%

以下，則至少需要過濾（）

A.2次B.3次C.4次D.5次

【答案】c

【分析】列不等式后求解

【詳解】由題意得(!),<△，〃為正整數(shù)，貝最小取4.

210

故選：C

4.函數(shù)/(x)=2，+x-5的零點(diǎn)所在的區(qū)間是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【答案】B

【分析】結(jié)合單調(diào)性和零點(diǎn)存在定理直接判斷即可.

【詳解】易知〃x)=2'+x-5為增函數(shù)，%/(0)=^<0,/(1)=-2<0,/(2)=1>0,

/(3)=6>0"(4)=15>0,故零點(diǎn)所在的區(qū)間是(1,2).

故選：B.

5.聲強(qiáng)級(jí)L(單位：dB)與聲強(qiáng)/的函數(shù)關(guān)系式為：乙=101g(溪)，若女高音的聲強(qiáng)級(jí)是75dB,普通女

性的聲強(qiáng)級(jí)為45dB,則女高音聲強(qiáng)是普通女性聲強(qiáng)的()

A.10倍B.100倍C.1000倍D.10000倍

【答案】c

【分析】設(shè)出女高音聲強(qiáng)為"，普通女性聲強(qiáng)為八，代入函數(shù)關(guān)系式，求出乙，12,再相除即可.

【詳解】設(shè)女高音聲強(qiáng)為乙，普通女性聲強(qiáng)為八，貝HOlg(缶)=75,所以在=107.5①，101g(在)=45,

所以卷=10〃②，則①+②得：:=1000,故女高音聲強(qiáng)是普通女性聲強(qiáng)的1000倍.

故選：C

rin(-x),x<0,、

6.已知函數(shù)/(x)=J；尤;0，若關(guān)于x的方程m-/(力=0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍

為()

A.(0,+oo)B.(-oo,0]u(l,+co)C.(-<?,0]D.(0,1]

【答案】D

【分析】把方程根的問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)問題，畫出函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行運(yùn)算求解

即可.

【詳解】函數(shù)圖象如下圖所示:

關(guān)于X的方程根-/(x)=o有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，說明函數(shù)>=機(jī)和y=/(x)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，由數(shù)形結(jié)

合思想可知：me(0,1],

故選:D

7.若函數(shù)〃尤)=x+，aeR)在區(qū)間(1,2)中恰好有一個(gè)零點(diǎn)，則。的值可能是()

x

A.2B.0C.1D.3

【答案】A

【分析】利用零點(diǎn)存在性定理逐個(gè)選項(xiàng)代入驗(yàn)證，即可得到答案.

【詳解】解：當(dāng)。=一2時(shí)，函數(shù)=在(1,2)上單調(diào)遞增，又〃1)=1-2<0,42)=2—1=1>0,故

〃元)在區(qū)間(1,2)上恰有一個(gè)零點(diǎn)，滿足題意，故A正確；

當(dāng)4=0時(shí)，函數(shù)〃力=》在(1，2)上單調(diào)遞增，又〃1)=1>0,故〃尤)在區(qū)間(1,2)上沒有零點(diǎn)，故B不正

確；

當(dāng)。=1時(shí)，函數(shù)〃x)=x+/在(1,2)上單調(diào)遞增，又〃1)=1+1=2>0,故〃x)在區(qū)間(1,2)上沒有零點(diǎn)，故

C不正確；

當(dāng)a=3時(shí)，函數(shù)〃x)=x+j,所以在(1，6)上單調(diào)遞減，在(括，2)上單調(diào)遞增，又于網(wǎng)=2尋3,

故在區(qū)間(1，2)上沒有零點(diǎn)，不滿足題意，故D正確；

故選：A.

8.已知函數(shù)〃尤）是定義在R上的奇函數(shù)，滿足〃尤+2）=，（-尤），且當(dāng)xe［O,l］時(shí)，f（x）=log2（x+l）,則

函數(shù)y="x）-x3的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】根據(jù)題意把函數(shù)y="X）-丁的零點(diǎn)問題即y=/-三=0的解，轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=/⑶和y=犬的

圖像交點(diǎn)問題，由題可得了（X）關(guān)于X=1對(duì)稱，由〃尤+2）=/（-尤）=-/⑴=--2）］=/（尤-2）,可得了（X）

的周期為4,根據(jù)函數(shù)圖像，即可得解.

【詳解】由〃龍+2）=〃r）可得Ax）關(guān)于x=l對(duì)稱，

由函數(shù)〃尤）是定義在R上的奇函數(shù)，

所以/（x+2）=〃—x）=—/（X）=-［-/（x-2）］=f（x-2）,

所以Ax）的周期為4,

把函數(shù)y=/（x）—x3的零點(diǎn)問題即y=〃x）-三=0的解，

即函數(shù)V=/（尤）和＞=d的圖像交點(diǎn)問題，

根據(jù)"X）的性質(zhì)可得如圖所得圖形，結(jié)合y=/的圖像，

由圖像可得共有3個(gè)交點(diǎn)，故共有3個(gè)零點(diǎn),

故選：B.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求,

全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.若函數(shù)/(x)的圖像在R上連續(xù)不斷，且滿足〃0)<0,/(1)>0,/(2)>0,則下列說法錯(cuò)誤的是()

A.FOO在區(qū)間(0,1)上一定有零點(diǎn)，在區(qū)間(1,2)上一定沒有零點(diǎn)

B./(尤)在區(qū)間(0,1)上一定沒有零點(diǎn)，在區(qū)間(1,2)上一定有零點(diǎn)

C./(力在區(qū)間(0,1)上一定有零點(diǎn)，在區(qū)間(1,2)上可能有零點(diǎn)

D.“X)在區(qū)間(0,1)上可能有零點(diǎn)，在區(qū)間(1,2)上一定有零點(diǎn)

【答案】ABD

【解析】根據(jù)的圖像在R上連續(xù)不斷，/(0)<0,/(1)>0,/(2)>0,結(jié)合零點(diǎn)存在定理，判斷出在

區(qū)間(0,1)和(1,2)上零點(diǎn)存在的情況，得到答案.

【詳解】由題知/(0)?/⑴<0,所以根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在定理可得/(X)在區(qū)間(0,1)上一定有零點(diǎn)，

又/無法判斷了(X)在區(qū)間(1,2)上是否有零點(diǎn)，在區(qū)間(1,2)上可能有零點(diǎn).

故選：ABD.

10.如圖某池塘中的浮萍蔓延后的面積Mm?)與時(shí)間t(月)的關(guān)系：y="(。>0且。金1),以下敘述中

正確的是()

A.這個(gè)指數(shù)函數(shù)的底數(shù)是2B.第5個(gè)月時(shí)，浮萍的面積就會(huì)超過35m2

C.浮萍從4m2蔓延到161n2需要經(jīng)過2個(gè)月D.浮萍每個(gè)月增加的面積都相等

【答案】AC

【解析】由圖像中的數(shù)據(jù)可求出函數(shù)關(guān)系式，然后逐個(gè)分析判斷即可

【詳解】解：將點(diǎn)(L2)代入y=a'中，得a=2,所以y=2'，所以A正確，

當(dāng)f=5時(shí)，y=25=32<35,所以B錯(cuò)誤；

當(dāng)y=4時(shí)，r=2,當(dāng)y=16時(shí)，r=4,所以浮萍從4m2蔓延到16m2需要經(jīng)過2個(gè)月，所以C正確；

由指數(shù)函數(shù)y=2,的性質(zhì)可得浮萍每個(gè)月增加的面積不相等，所以D錯(cuò)誤，

故選：AC

11.已知函數(shù)尤)=2*+x,g(x)=x+log2x,力(%)=爐+x的零點(diǎn)依次為a,b,c,貝！J()

A.a>0B.b>0C.c=0D.b>c>a

【答案】BCD

【分析】分別將三個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化成圖象的交點(diǎn)問題，在同一坐標(biāo)系中作出圖象，數(shù)形結(jié)合可得答

案.

【詳解】函數(shù)〃x)=2，+x的零點(diǎn)為函數(shù)y=2*與y=T的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。，

函數(shù)g(x)=x+log2%的零點(diǎn)為函數(shù)y=log2尤與丁二一》的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)b，

函數(shù)/7(X)=d+x的零點(diǎn)為函數(shù)>=尤3與》=一》的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)c,

在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y=2￡,J=10g2x,y=d與丁=-％的圖象如圖所示：

由圖可知：a<0,b>0,c=0,所以6>c>a,故選BCD

故選：BCD

12.設(shè)函數(shù)小)=/二二;,則()

A.當(dāng)a=l時(shí)，〃力的值域?yàn)?-。,4]

B.當(dāng)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(f,2]時(shí)，a<l

C.當(dāng)時(shí)，函數(shù)g(x)=〃x)-3有2個(gè)零點(diǎn)

7

D.當(dāng)。=3時(shí)，關(guān)于x的方程無)=5有2個(gè)實(shí)數(shù)解

【答案】AB

【分析】A選項(xiàng)，分情況討論出了(力的值域，B選項(xiàng)，分段函數(shù)單調(diào)性要滿足的條件列出不等式，求出。的

取值范圍；C選項(xiàng)，將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為方程的解問題，求出lWa<3；D選項(xiàng)，分段求出解的個(gè)數(shù)，得到答

案.

【詳解】當(dāng)。=1時(shí)，當(dāng)x>l時(shí)，/(X)=-X2+4X=-(%-2)2+4<4,當(dāng)時(shí)，/(無)=2工+1單調(diào)遞增，故

/(x)</(l)=3,綜上：“X)的值域?yàn)?一8,4],A正確;

/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-8,1]和(1,2],因?yàn)榈膯握{(diào)遞增區(qū)間是(F,2],

所以2+aV—1+4,即aWl,B正確;

當(dāng)x>l時(shí)，由〃x)=3,得x=3,當(dāng)尤41時(shí)，令"x)=2*+a=3,得2*=3-。，此方程要有唯一解，得

0<3-a<2,§Pl<a<3,C錯(cuò)誤；

當(dāng)a=3時(shí)，令一/+以=：,即2/一8x+7=0,解得：見=2+變>1或無2=2-走>1,符合要求,令2'+3=1,

21222

7

解得：x=-l<l,符合要求，所以“X)的圖象與直線y有3個(gè)交點(diǎn)，D錯(cuò)誤.

故選：AB

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

\2x-b,x<0,

13.若函數(shù)/(%)=廠有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的一個(gè)取值為_______.

[\/%,冗20

【答案】I(答案不唯一)

【分析】由零點(diǎn)的概念求解

【詳解】令f(x)=O,當(dāng)X2O時(shí)，由6=0得x=O,即x=0為函數(shù)/(x)的一個(gè)零點(diǎn)，

故當(dāng)x<0時(shí)，2=6=0有一解，得6c(0,1)

故答案為：!(答案不唯一)

14.2021年3月20日，國家文物局公布，四川三星堆考古發(fā)掘取得重大進(jìn)展，考古人員在三星堆遺址內(nèi)新

發(fā)現(xiàn)6座祭祀坑，經(jīng)碳14測年法測定，這6座祭祀坑為商代晚期遺址，碳14測年法是根據(jù)碳14的衰變程

度測度樣本年代的一種測量方法，已知樣本中碳14的原子數(shù)N隨時(shí)間，(單位：年)的變化規(guī)律是

N=$2募,則該樣本中碳14的原子數(shù)由乂個(gè)減少到個(gè)個(gè)時(shí)所經(jīng)歷的時(shí)間(單位：年)為.

【答案】11460

【分析】代入函數(shù)值，求出自變量.

【詳解】當(dāng)7=0時(shí)，N=N。,若N=4,則力康_『，所以一士=-2,r=11460.

4乙一乙5730

故答案為：11460

fx+l,x<0,「/「

15.已知函數(shù)/(x)=則函數(shù)>=打/(切的所有零點(diǎn)之和為.

I\J

【答案】I

【分析】利用分段函數(shù)，分類討論，即可求出函數(shù)y=的所有零點(diǎn)，從而得解.

【詳解】解：％,。時(shí)，x+l=0,x=-l,由/(x)=-l,可得x+l=—l或logzX=T,二X=—2或x=g；

x〉0時(shí)，log2x=0,x=l,由=可得尤+1=1或log2X=l,「.尤=0或無=2；

...函數(shù)”/"(X)］的所有零點(diǎn)為_2,0,2,所以所有零點(diǎn)的和為-2+；+0+2=：

故答案為：.

16.已知函數(shù)〃x)=d-2|x|-1,若關(guān)于x的方程〃x)=x+7"有四個(gè)根，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為.

【答案】卜泊

【分析】分離變量，畫出特定函數(shù)的圖像即可.

【詳角軍］由/(%)二%+m，^m=f(x)-x=x2-2\x\-x-l

令g(x)=%2_2國—x—1=」23%畫出圖像

x+x—1,x<0

由圖可知，當(dāng)-;＜根＜-1時(shí)，方程相=〃x）-x有四解,

即方程〃X）=X+7"有四個(gè)根.

故答案為:

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

x+2,x<0

17.已知函數(shù)/（尤）=＜

|log2尤>0

（1）作出函數(shù)“X）的圖象（直接作圖，不需寫出作圖過程）；

（2）討論函數(shù)8。）=/0）-。（。€7?）的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【答案】（1）圖象答案見解析；（2）答案見解析.

【解析】（1）根據(jù)解析式，直接作出函數(shù)的圖象；

（2）將函數(shù)g（x）=/（x）-4（aeR）零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=〃尤）與丫=。交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題，結(jié)合（1）

中圖象，可直接得出結(jié)果.

【詳解】(1)函數(shù)的圖象如下:

(2)因?yàn)楹瘮?shù)y=g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即函數(shù)y=/(尤)的圖象與直線y=a交點(diǎn)個(gè)數(shù)，

由函數(shù)〃刈的圖象可知：當(dāng)“＜0時(shí)，函數(shù)g(x)有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)。=0或。＞2時(shí)，函數(shù)g(x)有兩個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)0＜。42時(shí)，函數(shù)g(x)有三個(gè)零點(diǎn).

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：

判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)(方程根的個(gè)數(shù))的常用的方法：

(1)直接法：直接求解方程得到方程的根；

(2)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象,

利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.

18.某醫(yī)藥研究所開發(fā)一種抗甲流新藥，如果成年人按規(guī)定的劑量服用，據(jù)監(jiān)測：服藥后每毫升血液中的

含藥量y(微克)與時(shí)間八小時(shí))之間近似滿足如圖所示的曲線.

(2)寫出服藥后y與/之間的函數(shù)關(guān)系式、=/?)；

(3)據(jù)進(jìn)一步測定：每毫升血液中含藥量不少于0.5微克時(shí)治療疾病有效，求服藥一次治療有效的時(shí)間范

圍？

4r,0<z<l

【答案】(1)k=4,a=3；(2)/⑺=/、，3：(3):黜4.

(-)J>18

【解析】(1)由函數(shù)圖象得到分段函數(shù)，由函數(shù)解析式且都過“(1,4),故可將M點(diǎn)代入解析式，求出參數(shù)

值;

(2)利用(1)的結(jié)論，即可得到函數(shù)的解析式.

(3)由題意有不等式/⑺上0.5,求出每毫升血液中含藥量不少于0.5微克的起始時(shí)刻和結(jié)束時(shí)刻，即服藥

一次治療有效的時(shí)間范圍.

【詳解】(1)由題意，當(dāng)0WY1時(shí)，過點(diǎn)(1,4),代入解析式得％=4；

當(dāng)，＞1時(shí)，函數(shù)的解析式為y=(fj,此時(shí)"(1,4)在曲線上，將此點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式得4=(}

解得“=3；

4?,0<?<1

(2)由(1)知,/(0=<

>1

4Z>O.5,O<Z<1

解得:V/V4.

(3)由(2)知,令/⑺20.5,即

>0.5,/>1O

19.已知函數(shù)〃彳)=|4」一,一j,

(1)若/'(x)有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的值；

(2)若〃x)有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】⑴a=4

(2)a＞0

【分析】(1)由題意知，方程|4x-f|=a有三個(gè)不同的解，即函數(shù)y=|4x-V忻口＞有三個(gè)不同的交點(diǎn),

數(shù)形結(jié)合得。=4；

(2)由題意知，函數(shù)＞=|4尤-司和丁。有交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合得azO.

(1)

解：由題意知，方程|4.?彳2卜。有三個(gè)不同的解，

即函數(shù)y=|4x-q和y=a有三個(gè)不同的交點(diǎn)，

x2-4x,x<0

X^=|4x-x2|={4X-X2,0<X<4,

x2-4x,x>4

作出是函數(shù)圖象如圖所示：

又產(chǎn)網(wǎng)-叫和y=q有三個(gè)不同的交點(diǎn)，

a=4；

⑵

由“X)有零點(diǎn)，即函數(shù)y=|4x-q和y=a有交點(diǎn)，

由圖象可得

20.20世紀(jì)70年代，里克特制訂了一種表明地震能量大小的尺度，就是使用測震儀衡量地震能量的等級(jí)，

地震能量越大，測震儀記錄的地震曲線的振幅就越大，這就是我們常說的里氏震級(jí)其計(jì)算公式為：M

^IgA-lgAo.其中A是被測地震的最大振幅，4是“標(biāo)準(zhǔn)地震”的振幅.

(1)假設(shè)在一次地震中，一個(gè)距離震中1000千米的測震儀記錄的地震最大振幅是20,此時(shí)標(biāo)準(zhǔn)地震的振

幅是0.002,計(jì)算這次地震的震級(jí)；

(2)5級(jí)地震給人的震感已比較明顯，我國發(fā)生在汶川的8級(jí)地震的最大振幅是5級(jí)地震的最大振幅的多

少倍？

【答案】(1)4級(jí)；⑵1000倍.

【分析】(1)將最大振幅A和最小振幅％代入lgA-1g4即可求得.

(2)將里氏震級(jí)M=8和M=5分別代入M=lgATg4后，兩式相減變形即可求得.

Aof)

【詳解】(1)/gAo=lg—=lg——=4.即這次地震的震級(jí)為4級(jí).

A)0.002

5=坨4一炮4十，A

=1000,

8=ig4-igA)A

即我國發(fā)生在汶川的8級(jí)地震的最大振幅是5級(jí)地震的最大振幅的1000倍.

【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.

21.已知函數(shù)＞=/(x)(xeR)是偶函數(shù).當(dāng)轉(zhuǎn)0時(shí)，/(%)=X2-4X.

(1)求函數(shù)/(x)在xeR上的解析式；

⑵若函數(shù)在區(qū)間［a,。+3］上單調(diào)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(3)已知/z(x)=|/(x)|一加，試討論〃(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并求對(duì)應(yīng)的根的取值范圍.

尤2+4x,x<0

【答案】(1)/(尤)=

尤2-4x,x>0

(2)aW-5或a22

(3)答案見解析

【分析】(1)根據(jù)偶函數(shù)的定義求解即可.

(2)根據(jù)(1)做出了(X)圖像，數(shù)形結(jié)合.

(3)根據(jù)(1)做出|/(切圖像,數(shù)形結(jié)合.

(1)

設(shè)x＜0,貝！|一尤＞0

f(—x)=x2+4x

f(x)為偶函數(shù)

f(x)=f(-x)=x2+4x

x2+4x,x<0

綜上,有/w=

x?-4x,尤20

⑵

由(1)作出了(X)的圖像如圖:

因?yàn)楹瘮?shù)/（x）在區(qū)間［a,