第02講導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性

目錄

01考情解碼?命題預(yù)警................................................................1

02體系構(gòu)建?思維可視..................................................................2

03核心突破?靶向攻堅(jiān)..................................................................2

知能解碼..........................................................................4

知識(shí)點(diǎn)1函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系（導(dǎo)函數(shù)看正負(fù),原函數(shù)看增減）...........4

知識(shí)點(diǎn)2求已知函數(shù)（不含參）的單調(diào)區(qū)間...................................4

知識(shí)點(diǎn)3由函數(shù)〃尤）的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的方法........................5

知識(shí)點(diǎn)4含參問題討論單調(diào)性.................................................5

題型破譯..........................................................................6

題型1利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不含參）...................................6

【方法技巧】求單調(diào)區(qū)間步驟

題型2已知函數(shù)y=/（x）在區(qū)間。上單調(diào)重

【方法技巧】已知函數(shù)y=/（x）在區(qū)間。上單調(diào)等價(jià)條件

題型3已知函數(shù)“X）在區(qū)間。上存在單調(diào)區(qū)間|重

【方法技巧】已知函數(shù)/（另在區(qū)間。上存在單調(diào)區(qū)間等價(jià)條件

題型4已知函數(shù)〃龍）在區(qū)間。上不單調(diào)|重

【方法技巧】已知函數(shù)/（另在區(qū)間。上不單調(diào)等價(jià)條件

題型5導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)圖象的單調(diào)性|重

【方法技巧】導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)關(guān)系

題型6含參問題討論單調(diào)性（導(dǎo)函數(shù)有效部分是一次型（或可視為一次型））.……11

題型7含參問題討論單調(diào)性（導(dǎo)函數(shù)有效部分是二次型（或可化為二次型）且可因式

分解型）

題型8含參問題討論單調(diào)性（導(dǎo)函數(shù)有效部分是二次型（或可化為二次型）且不可因

式分解型）

04真題溯源?考向感知..........................................................25

05課本典例?高考素材..........................................................16

01

考情解碼-命題預(yù)警

考點(diǎn)要求考察形式2025年2024年2023年

全國乙卷（文）T20（2）

（1）函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（7分）

（2）單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的全國甲卷（理）T20（1）全國甲卷（文）T20（1）

團(tuán)單選題全國二卷T18（2）

（分）（分）

口多選題55

關(guān)系（i）（5分）

□填空題北京卷T20（l）（4分）全國I卷T19（1）（5分）

（3）含參數(shù)單調(diào)性討□解答題

全國II卷T6（5分）

論北京卷T20（2）（5分）

考情分析：高考對(duì)函數(shù)單調(diào)性的考查相對(duì)穩(wěn)定，考查內(nèi)容、頻率、題型、難度均變化不大.高考在本節(jié)內(nèi)容上無論

試題怎樣變化，我們只要把握好導(dǎo)數(shù)作為研究函數(shù)的有力工具這一點(diǎn)，將函數(shù)的單調(diào)性本質(zhì)問題利用圖像直觀明了

地展示出來，其余的就是具體問題的轉(zhuǎn)化了.

復(fù)習(xí)目標(biāo)：

(1)結(jié)合實(shí)例，借助幾何直觀了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.

(2)能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次).

(3)分類討論求函數(shù)單調(diào)區(qū)間，討論時(shí)不重復(fù)，不遺漏

02

體系構(gòu)建-思維可視u

■03

核心突破-靶向攻堅(jiān)

PU

知識(shí)點(diǎn)1函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系(導(dǎo)函數(shù)看正負(fù)，原函數(shù)看增減)

條件恒有結(jié)論

ra)>oy=/(x)在加內(nèi)單調(diào)遞增

函數(shù)y=/(x)在區(qū)

rw<oy=/(x)在加內(nèi)單調(diào)遞減

間(。力)上可導(dǎo)

r(x)=oy=/(x)在(。/)內(nèi)是常數(shù)函數(shù)

包圭檢刎已知函數(shù)y=/(x)的圖象是下列四個(gè)圖象之一，且其導(dǎo)函數(shù)y=/(久)的圖象如圖所示，則該函數(shù)

知識(shí)點(diǎn)2求已知函數(shù)(不含參)的單調(diào)區(qū)間

①求y=f(x)的定義域

②求f(x)

③令尸(x)>0,解不等式，求單調(diào)增區(qū)間

④令/'(%)<0,解不等式，求單調(diào)減區(qū)間

注：求單調(diào)區(qū)間時(shí)，令/'(%)>。(或/'(%)<。)不跟等號(hào).

自主檢測(cè)|(2025?甘肅平?jīng)?模擬預(yù)測(cè))函數(shù)/(X)=%+2cosx(-互<x<豆)的單調(diào)遞減區(qū)間是—.

知識(shí)點(diǎn)3由函數(shù)/(%)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的方法

(1)已知函數(shù)/(力在區(qū)間。上單調(diào)

①已知/(九)在區(qū)間D上單調(diào)遞增0Vxe。，f\x)20恒成立.

②已知/(九)在區(qū)間。上單調(diào)遞減。Vxe￡),/'(無)W0恒成立.

注：已知單調(diào)性，等價(jià)條件中的不等式含等號(hào).

(2)已知函數(shù)/(x)在區(qū)間。上存在單調(diào)區(qū)間

①已知/(九)在區(qū)間。上存在單調(diào)增區(qū)間o令/'(%)>0,

解不等式，求單調(diào)增區(qū)間/,則/7。

②已知/(%)在區(qū)間。上存在單調(diào)減區(qū)間o令f'(x)<0,

解不等式，求單調(diào)減區(qū)間則

(3)已知函數(shù)/(x)在區(qū)間。上不單調(diào)om/e。，使得/(毛)=。(/是變號(hào)零點(diǎn))

自主檢測(cè)|已知函數(shù)/(久)=］n*-ax在區(qū)間［1,3］上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()

A.a>1B.a>1C.a>-D.a>-

33

知識(shí)點(diǎn)4含參問題討論單調(diào)性

第一步：求y=/(x)的定義域

第二步：求((%)(導(dǎo)函數(shù)中有分母通分)

第三步：確定導(dǎo)函數(shù)有效部分，記為g(x)

對(duì)于y=進(jìn)行求導(dǎo)得到/'(尤)，對(duì)/'(龍)初步處理(如通分)，提出r(x)的恒正部分，將該部分

省略，留下的部分則為/'(九)的有效部分(如：r(x)=",一廣+2),則記g(x)=/—以+2為r(x)

的有效部分).接下來就只需考慮導(dǎo)函數(shù)有效部分，只有該部分決定/''(%)的正負(fù).

第四步：確定導(dǎo)函數(shù)有效部分g(x)的類型：

①g(x)為一次型(或可化為一次型)②g(x)為二次型(或可化為二次型)

第五步：通過分析導(dǎo)函數(shù)有效部分，討論y=/(x)的單調(diào)性

x

自主檢測(cè)|(2025?黑龍江齊齊哈爾?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(X)=e+ax+a(aGR).

(1)當(dāng)a=1時(shí)，求f(x)在(0,f(0))處的切線方程；

(2)討論/(x)的單調(diào)性，并求最值.

題型1利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(不含參)

例1-11函數(shù)/(%)=x-31nx+1的單調(diào)遞增區(qū)間為.

例1-2|函數(shù))/=%一片(1+久)的遞增區(qū)間是；遞減區(qū)間

方法技巧求單調(diào)區(qū)間步驟

①求y=/(x)的定義域

②求尸⑴

③令/'(x)>0,解不等式，求單調(diào)增區(qū)間

④令/'(x)<0,解不等式，求單調(diào)減區(qū)間

注：求單調(diào)區(qū)間時(shí)，令/'(x)>0(或/'(%)<。)不跟等號(hào).

2

【變式訓(xùn)練1-1］函數(shù)/(%)=￡+2久—31nx的單調(diào)遞增區(qū)間為.

【變式訓(xùn)練1-2】函數(shù)/(%)=%+271=的單調(diào)遞增區(qū)間是；單調(diào)遞減區(qū)間是.

【變式訓(xùn)練1-3］函數(shù)/(%)=/—3/+2的單調(diào)遞增區(qū)間為.

題型2已知函數(shù)y=/(X)在區(qū)間D上單調(diào)

例2-1已知關(guān)于無的函數(shù)y=X3-t2x-tx2+13在區(qū)間(—1,3)上單調(diào)遞減，則r的取值范圍是

例2-2|（2025?江蘇?一模）若/（久）=4二+也在-1，+8）上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

方法技巧己知函數(shù)V=/（x）在區(qū)間D上單調(diào)等價(jià)條件

①已知"X）在區(qū)間D上單調(diào)遞增CGD,7'（x）20恒成立.

②已知/（九）在區(qū)間D上單調(diào)遞減OMxsD,7'（x）W0恒成立.

注：已知單調(diào)性，等價(jià)條件中的不等式含等號(hào).

【變式訓(xùn)練2-1】（2025?山西?模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)/（久）=/+以%2—%+1）在區(qū)間住,3）單調(diào)遞增，則a的取

值范圍是.

【變式訓(xùn)練2-2】已知函數(shù)/（久）=%+若在R上單調(diào)遞增，則血的取值范圍為_______.

e+1

【變式訓(xùn)練2-3］已知函數(shù)/（%）=x2+ax+In%在（2,+8）上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

▼新角度題型3已知函數(shù)〃龍）在區(qū)間。上存在單調(diào)區(qū)間

例3-1|已知函數(shù)f（x）=In%+（%-b）2（beR）在［y,&］上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是（）

A.（一8,乎）B.（-8,乎］

C（-8,乎）D.（—8,雪

x

例3-2（2025?山東威海?三模）已知函數(shù)/（x）=a-loga（x+l）（a＞1）在（0,+8）上存在單調(diào)遞減區(qū)間，貝！|a

的取值范圍是（）

A.（l,e］B.（l,e）C.［e,+oo）D.（e,+oo）

方法技巧己知函數(shù)/（九）在區(qū)間。上存在單調(diào)區(qū)間等價(jià)條件

①已知/（X）在區(qū)間。上存在單調(diào)增區(qū)間o令/'（幻＞。，解不等式，求單調(diào)增區(qū)間/,則/7O

②已知〃龍）在區(qū)間。上存在單調(diào)減區(qū)間。令/'（幻＜。，解不等式，求單調(diào)減區(qū)間加，則/口。

【變式訓(xùn)練3-1】若函數(shù)外久）=M久+ax2-2在區(qū)間（1,1）內(nèi)存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A.B.（一\+8）C.（一巳，+8）D.（-8,+oo）

2

【變式訓(xùn)練3-2］（多選）若函數(shù)/Q）=lnx+ax-2在區(qū)間（I，2）內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)a的取值可

以為（）

A.a=—3B.a=—2C.a=—1D.a=0

【變式訓(xùn)練3-3］若函數(shù)h(x)=In%-|a%2-2久在自21上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

▼新角度題型4已知函數(shù)外力在區(qū)間。上不單調(diào)

幽生L已知函數(shù)/'(%)=+ain%-(a+1)%在區(qū)間(1,3)上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍為()

A.(-00,1］B.(1,3)C.［1,3］D.(3,+00)

例4-21已知函數(shù)/(%)=//在［t,t+1］上不單調(diào)，則f的取值范圍是.

方法技巧已知函數(shù)/(%)在區(qū)間。上不單調(diào)等價(jià)條件

已知函數(shù)/(X)在區(qū)間。上不單調(diào)O上使得尸(%)=0(%是變號(hào)零點(diǎn))

【變式訓(xùn)練4-1】若函數(shù)/(X)=/一］n%在區(qū)間(加,6+1)上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為()

A.(0,5B.(手-1,弓)C.(f-1,0)D.(0,V2］

2

【變式訓(xùn)練4-2】若函數(shù)/(久)=三-］靜在(0,口上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是—

【變式訓(xùn)練4-3］已知函數(shù)/(久)=Inx-ax+2在區(qū)間(1,2)上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

題型5導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)圖象的單調(diào)性

|例5-11已知下列四個(gè)圖象之一是函數(shù)/⑶在某區(qū)間的圖象,且的導(dǎo)函數(shù)/。)在該區(qū)間的圖象如圖所示,

例5-2|（多選）如圖是函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)y=r（x）的圖象，則下列判斷正確的是（）

A.在區(qū)間（-2,1）上/（%）單調(diào)遞增B.在區(qū)間（2,3）上/（%）單調(diào)遞減

C.在區(qū)間（4,5）上“X）單調(diào)遞增D.在區(qū)間（3,5）上/（?單調(diào)遞增

方法技巧導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)關(guān)系

原函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值的符號(hào)的關(guān)系，原函數(shù)單調(diào)遞增。導(dǎo)函數(shù)尸（助20（導(dǎo)函數(shù)

等于0,只在離散點(diǎn)成立，其余點(diǎn)滿足/'。）＞。）；原函數(shù)單調(diào)遞減o導(dǎo)函數(shù)/'（x）W。（導(dǎo)函數(shù)等于0,

只在離散點(diǎn)成立，其余點(diǎn)滿足八毛）＜0）.

【變式訓(xùn)練5-1】設(shè)函數(shù)人久）在定義域內(nèi)可導(dǎo)，y=/（久）的圖象如圖所示，則其導(dǎo)函數(shù)y=/（久）的圖象可能

是（）

【變式訓(xùn)練5-2】設(shè)/'（x）是函數(shù)/（x）的導(dǎo)函數(shù),y=/'（X）的圖象如圖所示，則y=/（乃的圖象最有可能是（）

【變式訓(xùn)練5-3］（多選）已知函數(shù)y=/（%）的導(dǎo)函數(shù)丫=尸0）的圖象如圖所示，則函數(shù)y=/（x）的圖象不

可能是（）

題型6含參問題討論單調(diào)性(導(dǎo)函數(shù)有效部分是一次型(或可視為一次型))

x

例6-"(x)=ae-2x_1,a€R

(l)a=3,求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程

(2)討論的單調(diào)性

例6-2|已知函數(shù)f(x)=jnx-^+1.

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

【變式訓(xùn)練6-1】已知f(x)=Inx+ax.

(1)若a=2,求f(x)在("/3))處的切線的斜率;

(2)討論》(x)的單調(diào)性；

x

【變式訓(xùn)練6-2?變載體】設(shè)函數(shù)/(%)=e-ax-l.

(1)求/'(x)的單調(diào)區(qū)間；

題型7含參問題討論單調(diào)性(導(dǎo)函數(shù)有效部分是二次型(或可化為二次型)且可因式分解型)

2

例7-1(已知函數(shù)/(%)=x-(2a+l)x+ajnx(aeR)

(1)若a=-1,求/?(￡)的最小值

(2)討論f(x)的單調(diào)性；

例7-2|(2025?新疆?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)〃>)=￡1/+丁c—(a—l)x+1.

(1)若函數(shù)/Q)的圖象在(1/(1))處的切線與直線x-1=0垂直，求實(shí)數(shù)。的值;

(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

【變式訓(xùn)練7-1］已知函數(shù)/'(%)=x3+ax2—a2x-1.

(1)設(shè)a=1,求曲線/(%)在點(diǎn)4(0,—1)處的切線方程；

(2)討論/(x)的單調(diào)性；

【變式訓(xùn)練7-2】(2025?河南?二模)已知函數(shù)/'(x)=2x2+alnx-(a+l)x(a6R).

⑴討論f(x)的單調(diào)性.

【變式訓(xùn)練7-3?變載體】(2025?江西?二模)已知函數(shù)f(x)="2芯一(2。+1)/+20%+|.

(1)當(dāng)a=-|時(shí)，求函數(shù)y=f(x)的圖象在x=。處的切線方程；

⑵討論/(久)的單調(diào)性；

題型8含參問題討論單調(diào)性(導(dǎo)函數(shù)有效部分是二次繳或可化為二次型但不可因式分解型)

例8-1已知函數(shù)f(%)=—x2+%—minx.

(1)當(dāng)m=l時(shí),求/(%)N0的解集；

(2)當(dāng)znER時(shí)，求/(%)的單調(diào)區(qū)間.

2x

例8-2|已知函數(shù)/(%)=-e+6/-ax.討論/(久)的單調(diào)性.

【變式訓(xùn)練8-1】(2025?貴州黔東南?三模)設(shè)函數(shù)f(x)=Inx+x-a/,。eR.

(1)若a=1,試求函數(shù)f(x)的極值；

(2)設(shè)g(x)=fG),討論g(x)的單調(diào)性.

【變式訓(xùn)練8-2?變載體】(2025?黑龍江大慶?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)f(x)=—e2x+6eX-a「

(1)討論fO)的單調(diào)性；

(2)設(shè)/(X)的兩個(gè)極值點(diǎn)為%1，乂2.當(dāng)a>1且*2>ln2時(shí)，求/'(/)+/(%2)的取值范圍.

【變式訓(xùn)練8-3】已知函數(shù)/⑶=%-alnx-《，定義域?yàn)?0,+8).

(1)討論人支)的單調(diào)性.

04

真題溯源-考向感知

1.(2023?全國乙卷?高考真題)設(shè)a6(0,1),若函數(shù)/0)=/+(1+。尸在(0,+8)上單調(diào)遞增,則。的取

值范圍是.

2