（尖子生題庫）專題14定義新運(yùn)算

六年級數(shù)學(xué)思維拓展奧數(shù)培優(yōu)講義（通用版）

一、定義新運(yùn)算是指運(yùn)用某種特殊符號如#、&*、￥、@、△、。......，

來表示一些特定的意義，從而解答某些算式的一種運(yùn)算，此類知識旨在考察學(xué)生

的現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用的綜合能力。

二、解答此類定義新運(yùn)算，關(guān)鍵是要正確地理解新定義的算式中符號的含義,

然后嚴(yán)格按照新定義的計(jì)算程序，將數(shù)值代入算式，轉(zhuǎn)化為常規(guī)的四則運(yùn)算算式

后進(jìn)行常規(guī)計(jì)算，難點(diǎn)是將算式中的特殊符號轉(zhuǎn)化為常規(guī)符號。

三、定義新運(yùn)算的一般解題步驟：

（1）關(guān)鍵問題：審題。正確理解定義的運(yùn)算符號的意義。

（2）嚴(yán)格按照新定義的計(jì)算順序，將數(shù)值代入算式中，準(zhǔn)確找出要計(jì)算的

習(xí)題中數(shù)據(jù)與定義中字母的對應(yīng)關(guān)系，把它轉(zhuǎn)化為一般的四則運(yùn)算，然后進(jìn)行計(jì)

算。

（3）求解。

四、定義新運(yùn)算是一種人為的、臨時性的賦予一定含義的運(yùn)算形式，它使用

的是一些特殊的運(yùn)算符號，如：#、&、*、￥、@、△、?.....，等，與四則運(yùn)

算中的“十、一、X、?”符號的含義是不同的。

五、每個新定義的運(yùn)算符號只適用在本題中使用，同一個符號，在不同的題

目中一般表示不同的含義，如果新定義的算式中有括號的，要先算括號里面的，

但它在沒有轉(zhuǎn)化前，是不適用于各種運(yùn)算定律的，。

122

1.a^.b=a+ab+bf那么5X6=（）

A.30B.91C.121D.100

3.現(xiàn)規(guī)定“*”是一種新的運(yùn)算，A*B=3A-2B。那么7*6*5的值為（）。

A.17B.5C.210D.18

A.-8B.6C.8D.-6

5.當(dāng)A>B時，A@B=3A+2B,當(dāng)A<B時，A@B=2A+3B,若％@2=7,貝”是()

j_D.1

A.2B.1C.

24

6.已知aXb=ax6+bx2,那么6X5=()o

A.46B.42C.30

7.如果a*b=ax(b+l),那么5*6=()。

A.40B.30C.36D.35

8.規(guī)定aXb=(a+b)xl.5,那么2X10X10=()o

A.20B.42C.30D.33

10.我們學(xué)過+、一、X、一這四種運(yùn)算?，F(xiàn)在規(guī)定“*”是一種新的運(yùn)算。

13.一般我們都認(rèn)為手槍指向誰，誰好像是有危險(xiǎn)的，下面的規(guī)則同學(xué)們能看懂嗎？

規(guī)定：警察"小偷=警察，警察中小偷=小偷.

那么：(獵人》小兔)、(山羊.飛白菜)=.

16.從1到2018這2018個數(shù)中，任取2個數(shù),使得9|x3+/,這樣的數(shù)對(左，》)有()

對.

17.有一個新的運(yùn)算符號為“中”，2+3=32,3乎6=6543,4+7=7654,那么5T9=()

18.用f(n)表示組成n的數(shù)字中不是零的幾個數(shù)字乘積，例如：f(5)=5；f(29)=18；f(207)=14.則

f(1)+f(2)+f(3)+...+f(99)+f(100)=.

20.對于任意自然數(shù)a,b,如果有a*b=ab+a+b,已知x*(3*4)=119,則x=0

21.對于自然數(shù)A、B,規(guī)定AXB=A+B—2,如果(6X4)x=32,則x=().

22.x為正數(shù),<x>表示不超過x的質(zhì)數(shù)的個數(shù)，如<5.1>=3,即不超過5.1的質(zhì)數(shù)有2,3,5共3個.那么

<<19>+<93>+<4>x<l>x<8>>的值是.

25.規(guī)定“*”是一種新運(yùn)算："a*b=a+b+(b-a)”，貝U2*(1*2)=.

27.對于兩個數(shù)a,b,規(guī)定一種新運(yùn)算，aAb=3xa+2xb,aVb=2xa+3xb,那么2A(3V4)=。

31.定義一種新運(yùn)算“△”滿足：8A3=8+9+10=27,7A4=7+8+9+10=34,

6A5=6+7+8+9+10=40,求10.

32.定義運(yùn)算“?！比缦拢?/p>

對于兩個自然數(shù)a和b,它們的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的差記為aOb.

比如:10和14,最小公倍數(shù)為70,最大公約數(shù)為2,則10014=702=68.

⑴求12021,5015;

⑵說明，如果c整除a和b,則c也整除aOb;如果c整除a和a(9b,則c也整除b;

(3)已知6Ox=27,求x的值.

33.對于兩個數(shù)a與b,規(guī)定aOb=axb+a+b。

(1)求602；206；

(2)求(1706)02；176(602)；

(3)這個運(yùn)算0有交換律和結(jié)合律嗎？

35.定義新運(yùn)算“6”，規(guī)定mdn=(m-n)+2,那么83(12^2)與12?(802)是否相等？如果不相等，

哪個大？

36.若9$6=9x69,求4$12.3的值.

37.設(shè)p、q是兩個數(shù)，規(guī)定pAq=p?+(p—q)x2?求30A(5A3)O

38.假設(shè)有一種計(jì)算器，它由A,B,C,D四種裝置組成。將一個數(shù)輸入一種裝置后會自動輸出另一個數(shù)，

各裝置的運(yùn)算程序如下：

裝置A：將輸入的數(shù)加上6之后輸出；

裝置B：將輸入的數(shù)除以2后輸出；

裝置C：將輸入的數(shù)減去5之后輸出；

裝置D：將輸入的數(shù)乘以3后輸出；

這些裝置可以互相連接，如在裝置A后接裝置B就記做：A-B。例如輸入1后，經(jīng)過A-B輸出3.5

(1)若經(jīng)過A—B—C—D,輸出120.則輸入的數(shù)是多少？

(2)若經(jīng)過B-D-A—C,輸出13,則輸入的數(shù)是多少？

42.定義新運(yùn)算：axb=axb—(a+b).

⑴求5x4的值.

⑵求12x(6x8)的值.

43.現(xiàn)定義四種操作的規(guī)則如下：

①“一分為二”：如果一個自然數(shù)是偶數(shù)，就把它除以2；如果是奇數(shù)，就先加上1,然后除以2.例如從16

可以得到8,從27可以得到14.

②“丟三落四”：如果一個自然數(shù)中包含數(shù)字“3”或“4”，就將其劃掉，例如從5304可以得到50,從408可

以得到8.(不含數(shù)字3和4的自然數(shù)不能進(jìn)行“丟三落四”操作)

③“七上八下”：如果一個自然數(shù)中包含數(shù)字“7”，就將所有“7”移到最左邊；如果一個自然數(shù)中包含數(shù)字“8”，

就將所有“8”移到最右邊.例如從98707可以得到77908,從802可以得到28.(不含數(shù)字7和8的自然數(shù)

不能進(jìn)行“七上八下”操作)

④“十全十美”：將一個自然數(shù)的個位數(shù)字換成0.例如從111可以得到110,從905可以得到900.(個位

是0的自然數(shù)不能進(jìn)行“十全十美”操作)

(1)請寫出對4176依次進(jìn)行③①③②④操作后的結(jié)果；

(2)從655687開始，最少經(jīng)過幾次操作以后可以得到0?

(3)一個三位數(shù)除了“丟三落四”外，其他三個操作各進(jìn)行一次之后得到的結(jié)果是；求有多少個這樣

的三位數(shù)？

44.規(guī)定：符號“△”為選擇兩數(shù)中較大的數(shù)的運(yùn)算，“▽”為選擇兩數(shù)中較小的數(shù)的運(yùn)算，例如：345=5,

3V5=3,請計(jì)算：1A2A3V4A5A6V7A...V100.(運(yùn)算的順序是從左至右)

46.規(guī)定：a?b=8a+ab—2b,求*?(10?5)=144中的未知數(shù)X。

參考答案:

1.B

【詳解】略

2.C

故答案為：C

【點(diǎn)睛】觀察式子，利用現(xiàn)有的條件進(jìn)行加減消元，代入消元，一步步解出答案來，難度較

高。

3.A

【分析】根據(jù)新的運(yùn)算法則A*B=3A—2B,先求出7*6,再計(jì)算下一步即可。

【詳解】7*6

=3x7—2x6

=21—12

=9

9*5

=3x9—2x5

=27-10

=17

故答案為：Ao

【點(diǎn)睛】解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)規(guī)定的新的運(yùn)算方法計(jì)算要求的式子的值。

4.D

【詳解】對照規(guī)定運(yùn)算相應(yīng)字母的位置列出關(guān)于x的方程，原式可化為方程2x+2+x=16,解

得x=6.

故選D.

5.C

【詳解】假設(shè)%>2,3尤+4=7,得x=l,不符；所以x<2,2x+6=7,得x=g

6.A

【解析】略

7.D

【解析】由題意可得a*b等于a與(b+1)的乘積，所以5*6等于5與(6+1)的乘積。

【詳解】5*6=5x(6+1)=35,所以此題答案為D。

【點(diǎn)睛】此題考查了根據(jù)例子找準(zhǔn)運(yùn)算規(guī)律，然后按照這種運(yùn)算進(jìn)行解答。

8.B

【分析】根據(jù)新運(yùn)算法則，aXb表示a和b的和的1.5倍，進(jìn)行計(jì)算即可得解。

【詳解】2^10

=(2+10)xl.5

=12x1.5

=18

2X10X10=18X10

=(18+10)xl.5

=28x1.5

=42

故答案為：B

【點(diǎn)睛】解答此題的關(guān)鍵是，根據(jù)所給出的式子，找出新的運(yùn)算方法，再根據(jù)新的運(yùn)算方法，

解答即可。

c24

9.——

5

_24

-y

10.45

【分析】定義新運(yùn)算的一般解題步驟：

(1)關(guān)鍵問題：審題。正確理解定義的運(yùn)算符號的意義。

(2)嚴(yán)格按照新定義的計(jì)算順序，將數(shù)值代入算式中，準(zhǔn)確找出要計(jì)算的習(xí)題中數(shù)據(jù)與定

義中字母的對應(yīng)關(guān)系，把它轉(zhuǎn)化為一般的四則運(yùn)算，然后進(jìn)行計(jì)算。

(3)求解。

【點(diǎn)睛】定義新運(yùn)算是指用一個符號和已知運(yùn)算表達(dá)式表示一種新的運(yùn)算。

11.4

解得a=5,c=l,所以xXy=5xxy,令x=l,y=m得5m=1,故m=4.

12.20

【分析】根據(jù)新的定義運(yùn)算，先求出8與12的最小公倍數(shù)和最大公因數(shù)，問題即可解決。

【詳解】8=2x2x2

12=2x2x3

8與12的最小公倍數(shù)是：2x2x2x3=24

最大公因數(shù)是：2x2=4

【點(diǎn)睛】解答此題的關(guān)鍵是，根據(jù)定義新運(yùn)算，得出新的運(yùn)算意義，再利用新的運(yùn)算意義和

運(yùn)算方法，解答即可。

13.白菜

【詳解】誰握著槍就留下誰，結(jié)果應(yīng)該是白菜.

14.6170

【詳解】略

1

15.-

8

16.1356770

【詳解】略

17.98765

【解析】略

18.2116

【分析】根據(jù)題意可以得到規(guī)律：個位數(shù)結(jié)果為個位數(shù)，十位數(shù)結(jié)果為十位數(shù)x個位數(shù)，百

位數(shù)為百位數(shù)x個位數(shù).據(jù)此規(guī)律解決此題即可.

【詳解】f(1)+f(2)+f(3)+...+f(99)+f(100)

=(1+2+3...+9)+1x(1+2+3...+9)+2x(1+2+3...+9)+3x(1+2+3...+9)+...+9x(1+2+3...+9)

+(1+2+3…+9+1)

=(1+2+3...+9)x(1+1+2+3...+9)+46

=45x46+46

=2116.

故答案為2116.

19.26

【分析】根據(jù)規(guī)定的新運(yùn)算，遇到“※”可化簡為兩個數(shù)的和與1的差，遇到“*”可化為兩數(shù)

積與1的差，然后再進(jìn)一步計(jì)算。

【點(diǎn)睛】此題根據(jù)定義的新運(yùn)算間接的考查了整數(shù)的混合運(yùn)算，解此類題的關(guān)鍵是搞清新運(yùn)

算的含義，從而根據(jù)新運(yùn)算表示的含義化簡要求的式子，同時也要求學(xué)生掌握整數(shù)混合運(yùn)算

的運(yùn)算順序以及各種運(yùn)算法則。

20.5

【分析】根據(jù)a*b=ab+a+b找出其計(jì)算規(guī)律，代入規(guī)律計(jì)算即可得解。

【詳解】3*4=3x4+3+4=19

x*(3*4)=119

x*19=119

19x+x+19=119

20x+19=119

20x=100

x=5

【點(diǎn)睛】解答此題的關(guān)鍵是，根據(jù)新的運(yùn)算方法，將所給出的式子改寫成方程的形式，再解

方程即可。

21.4

【詳解】略

22.11

【詳解】<19>為不超過19的質(zhì)數(shù)，有2,3,5,7』1,13,17,19共8個.<93>為不超過的質(zhì)數(shù)，共24

個，易知<1>=0,所以，原式=<<19>+<93?=<8+24>=<32>=11.

23.98

【點(diǎn)睛】此題主要考查了整數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是正確理解新定義的運(yùn)算法則。

【詳解】1)這是一道典型的定義新運(yùn)算的問題，經(jīng)典三大步找出來

2)閱讀max,理解找最大的數(shù)，應(yīng)用吧！

max的作用是找較大的數(shù)，所以首先要比較兩個分?jǐn)?shù)的大小

25.5

【詳解】略

26.28

【詳解】略

27.42

【分析】aAb表示前一個數(shù)的3倍加上后一個數(shù)的2倍，a^b表示前一個數(shù)的2倍加上后

一個數(shù)的3倍按照規(guī)則，先算括號里面的，再算括號外面的。

【點(diǎn)睛】本題考查的是定義新運(yùn)算，解題的前提是準(zhǔn)確理解題目所定義的新運(yùn)算的要求。

【詳解】略

29.8638；210420

【分析】按照前面的定義的運(yùn)算，7*4=7+77+777+7777進(jìn)行計(jì)算；210*2=210+210210,

再進(jìn)行計(jì)算，即可解答。

【詳解】7*4

=7+77+777+777

=84+777+7777

=861+7777

=8638

210*2

=210+210210

=210420

【點(diǎn)睛】此題屬于定義新運(yùn)算，明確新的運(yùn)算符號表示的含義是解題關(guān)鍵。

30.5

31.55

【詳解】根據(jù)給出的三個式子可總結(jié)出，AAB等于從A開始的的B個連續(xù)整數(shù)的和.因此

1A10等于從I開始的連續(xù)10個數(shù)的和，即1A10=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55.

答：10等于55.

32.(1)81；10

⑵如果c整除a和b,那么c是a和b的公約數(shù)，則c整除a,b的最大公約數(shù)，顯然c也整除a,b

最小

公倍數(shù)，所以c整除最小公倍數(shù)與最大公約的差，即c整除aOb.

如果c整除a和aOb,由c整除a推知c整除a,b的最小公倍數(shù)，再由c整除a(Db推知，

整除a,b的最大公約數(shù)，而這個最大公約數(shù)整除b,所以c整除b.

【詳解】(1)為求12021,先求出12與21的最小公倍數(shù)和最大公約數(shù)分別為84,3,

因此12。21=843=81,同樣道理5015=155=10.

⑵略

(3)由于運(yùn)算“?！睕]有直接的表達(dá)式，解這個方程有一些困難，我們設(shè)法逐步縮小探索范圍.因

為6與x的最小公倍數(shù)不小于27+1=28,不大于27+6=33,而28到33之間，只有30是6的倍

數(shù)，可見

6和x的最小公倍數(shù)是30,因此它們的最大公約數(shù)是3027=3.

33.(1)20；20；

(2)377；377

(3)。有交換律和結(jié)合律。

【分析】第一、第二小題，根據(jù)給出的式子得出新的運(yùn)算方法是：將運(yùn)算符號的前后兩個先

相乘再相加，由此解答。

第三小題，根據(jù)交換律和結(jié)合律的意義，驗(yàn)證e具有交換律和結(jié)合律即可。

【詳解】⑴602

=6x2+6+2

=12+6+2

=20

266

=2x6+2+6

=12+2+6

=20

(2)(1706)02

=(17x6+17+6)62

=(102+17+6)92

-12502

=125x2+125+2

=250+125+2

=377

170(692)

=179(6x2+6+2)

=170(12+6+2)

=17620

=17x20+17+20

=340+17+20

=377

(3)aOb

=axb+a+b

=bxa+b+a

所以，a0b=b9a,即6滿足交換律。

(aOb)0c

=(axb+a+b)0c

=(axb+a+b)xc+axb+a+b+c

=axbxc+axc+bxc+axb+a+b+c

a0(b0c)

=a0(bxc+b+c)

=ax(bxc+b+c)+bxc+b+c

=axbxc+axc+bxc+axb+a+b+c

所以，(a0b)0c=a0(b0c),即。具有結(jié)合律。

答：。有交換律和結(jié)合律。

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵是根據(jù)給出的式子，得出新的運(yùn)算方法，再利用新的運(yùn)算方法解決問題。

34.47

【分析】所求算式是兩重運(yùn)算，先計(jì)算括號里面的，所得結(jié)果再計(jì)算。

【詳解】4A6

=4x6—(4+6)+2

=24—10+2

=16

=4x16—(3+16)+2

=64-19+2

=45+2

=47

【點(diǎn)睛】定義新運(yùn)算要注意的是：(1)新的運(yùn)算有自己的特點(diǎn)，適用于加法和乘法的運(yùn)算定

律不一定適用于定義運(yùn)算，要特別注意運(yùn)算順序；(2)新定義的算式中，有括號的，要先算

括號里面的。(3)每個新定義的運(yùn)算符號只能在本題中使用。

35.不相等12?(8?2)大

【詳解】1262=(12-2)+2=5

86(1262)=865=(85)+2=1.5

8?2=(8-2);2=3

126(862)=12^3=(123)+2=4.5

1.5<4.5

答：不相等.12?(862)的結(jié)果大.

36.45.2

【分析】我們首先要弄清楚運(yùn)算符號$，以及在運(yùn)算符號$前后的兩個數(shù)的意義.觀察題中

給出的算式可知，符號$表示求第一個數(shù)與第二個數(shù)的積，再減去第一個數(shù)，如：2$1=2x12=0,5

$3=5x35=10,a$b=axba.

【詳解】4$12.3=4x12.34=45.2

37.902

【分析】由題意可知，有括號先算括號里面的，根據(jù)定義運(yùn)算，把數(shù)值代入然后根據(jù)運(yùn)算法

則進(jìn)行計(jì)算即可。

【詳解】30A(5A3)

=30A[25+(5-3)x2]

=30A29

=900+(30—29)x2

=902

【點(diǎn)睛】本題考查定義運(yùn)算，明確運(yùn)算順序是解題的關(guān)鍵。

38.(1)84(2)8

【分析】應(yīng)用一逆向思維

裝置A：將輸入的數(shù)加上6；

裝置B：將輸入的數(shù)除以2；

裝置C：將輸入的數(shù)減去5；

裝置D：將輸入的數(shù)乘以3；

確定每個裝置的作用后，從后往前計(jì)算結(jié)果。

【詳解】(1)經(jīng)ATBTC—D后輸出120,按逆向思維后推，設(shè)最先輸入的數(shù)為x經(jīng)過A

后變?yōu)槊?，?jīng)過B后變?yōu)榍?，?jīng)過C后變?yōu)槎?，如上圖所示:

120

cD

(2)類似于(1)的解答，輸入的數(shù)是8。

【點(diǎn)睛】本題的關(guān)鍵是采用逆推的方式，從結(jié)果往前推。

39.17

【分析】觀察已知算式可得※的新運(yùn)算法則是：※前面的數(shù)是右邊第一個自然數(shù)，※后面

的數(shù)是加幾個連續(xù)自然數(shù)；據(jù)此解答。

x+x+l+x+2=54

3x+3=54

x=17

【點(diǎn)睛】解答此類問題，關(guān)鍵是要正確理解新定義的算式含義。

40.100和101

41.x=1

3

【分析】根據(jù)題中的新定義計(jì)算即可。

解方程可得X=；

答：X的值是:。

【點(diǎn)睛】本題是一道定義新運(yùn)算問題，解題的關(guān)鍵是正確理解定義的運(yùn)算符號的意義。

42.(1)11(2)362

【詳解】(1)5*4=5X4—(5+4)=11

(2)12*(6*8)

=12*[6x8—(6+8)]

=12*34

=12x34—(12+34)

=362

43.(1)4176-7416-3708-7308-708-700(2)即經(jīng)過7次可以得到0.(3)234經(jīng)過①

得117,再經(jīng)過③得711,再經(jīng)過④得710.

【詳解】試題分析：(1)(2)根據(jù)操作規(guī)則進(jìn)行分析操作即可得出相應(yīng)結(jié)果.

(3)第一問可選擇一個數(shù)根據(jù)操作規(guī)則進(jìn)行操作得出結(jié)果即可，第二問可按不同的操作順

序分析完成.

解：(1)4176依次進(jìn)行③①③②④操作后的結(jié)果：

4176-7416-3708-7308-708-700

(2)從655687開始，655687經(jīng)過“一分為二”的操作，得到327844；再經(jīng)過“丟三落四”的

操作，得到278；再經(jīng)過“七上八下”的操作，得到728；再經(jīng)過經(jīng)過“一分為二”的操作，得

到364；再經(jīng)過“丟三落四”的操作，得到6；最后經(jīng)過“十全十美”的操作，得到0.共6步完

成操作，得到0.

655687經(jīng)過①得327844-經(jīng)過②得278-經(jīng)過①得139-經(jīng)過②得19-經(jīng)過①得10-經(jīng)過

①得5-經(jīng)過④得0.

即經(jīng)過7次可以得到0.

(3)一個三位數(shù)除了“丟三落四”外，其他三個操作各進(jìn)行一次之后得到的結(jié)果是

如：234經(jīng)過①得117,再經(jīng)過③得711,再經(jīng)過④得710.

步驟①③④，經(jīng)過步驟①之后個位含有7,百位含有1的，有10個；分別是214,234,254,

274,294,314,334,354,374,394；經(jīng)過步驟①之后十位含有7,百位為1,有10個；

分別是340,342,344,346,348,350,352,354,356,358.

重復(fù)354；總共有10+10-1=19個.

步驟①④③，經(jīng)過步驟①之后十位含有7,百位含有1,有10個；分別是340,342,344,

346,348,350,352,354,356,358

步驟③①④，③④①，都沒有

步驟④①③，個位數(shù)有1