第二十四章圓單元測(cè)試2024-2025學(xué)年人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)

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學(xué)校:___________姓名：__________班級(jí)：___________考號(hào)：___________

一二、單選題

1.如圖，點(diǎn)A,B,C在OO上,ZABO=40°,則/C的度數(shù)是()

A.40°B.50°C.55°D.60°

2.如圖，點(diǎn)A,B,。在。。上，ZA=30°,ZB=58°,則NC=()

A

3.如圖，在半徑為20的。O中，弦的長(zhǎng)為4,則圓心。到A3的距離OE為（）

C.2D.272

4.如圖，在。。中，點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，C。垂直平分半徑。4,8。=2近，則該圓的半徑

為（）

AB

C.177D.不

A.4B.2

^AO=AB=BC,則ND的度數(shù)為（）

C.50°D.60°

6.如圖，AB是。O的直徑，點(diǎn)C、E均在G）O上，連接BE、CE,過(guò)點(diǎn)C作。。的切線交

AB的延長(zhǎng)線于D若NE=28。，則/。的度數(shù)為（）

D.56°

7.以下命題中，正確的命題個(gè)數(shù)是（）

①平行弦的直徑必定垂直于該弦；②圓的切線必定垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑;

③垂直于半徑的直線必定是圓的切線；④三點(diǎn)確定一個(gè)圓.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

8.如圖，VABC內(nèi)接于。。CE是。。的切線，連接CO并延長(zhǎng)交弦于點(diǎn)。.若於=80。，

ZACE=a（0°<a<90°）,則—CD3的度數(shù)為（）

A

D

CE

A.130°-aB.170°-<zC.80°+aD.40°+a

9.蜂巢結(jié)構(gòu)精巧，其巢房橫截面的形狀均為正六邊形.如圖，這是部分巢房的橫截面圖，

圖中全等的正六邊形不重疊且無(wú)縫隙，將其放在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P，。，M2,

M§，……均為正六邊形的頂點(diǎn).若點(diǎn)P，。的坐標(biāo)分別為（3,2古-3,0）,則點(diǎn)加3的坐

C.^—3,—4-\/3jD.4-\/3,—3j

10.劉徽是我國(guó)魏晉時(shí)期卓越的數(shù)學(xué)家，他在《九章算術(shù)》中提出了“割圓術(shù)”，利用圓的內(nèi)

接正多邊形逐步逼近圓來(lái)近似計(jì)算圓的面積.如圖，若用圓的內(nèi)接正十二邊形的面積H來(lái)

近似估計(jì)。o的面積S,設(shè)。。的半徑為1,則的值為（）（萬(wàn)。3.14）

11.如圖，在矩形ABCD中，以中點(diǎn)E為圓心，AD長(zhǎng)為半徑作半圓交BC于點(diǎn)尸，以點(diǎn)

廠為圓心，長(zhǎng)為半徑作半圓,兩半圓交于點(diǎn)G.若45=3.則圖中陰影部分的面積為（）

12.如圖，已知A3是。。的直徑，C,。是。。上的點(diǎn)，OC〃3D且與AD交于點(diǎn)E,連接

BC.若AB=8,ZABC=30°,則圖中陰影部分的面積為（）

16nr

D.—71-4^3

3

二、填空題

13.如圖，CD為。。的直徑，弦ABLCD于點(diǎn)E,￡>￡=25,46=10,那么該圓的半徑為

14.如圖，。。為VABC的外接圓，其中ZB=50。，點(diǎn)/為VABC的內(nèi)心，連接可并延長(zhǎng)交

于點(diǎn)。，連接/C，CD,則NZCD=—°.

15.如圖，正六邊形ABCDE/的一條邊長(zhǎng)為2,則該正六邊形的中心。到其中一邊的距離

為_(kāi)____

16.如圖，在矩形ABC。中，以點(diǎn)。為圓心，D4長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交BC邊于點(diǎn)E,連接DE.若

ZADE=30°,AB=4,則圖中陰影部分的面積為.(結(jié)果保留兀)

三、解答題

17.如圖，A8是。。的弦，點(diǎn)C為。。上一點(diǎn)，C。的延長(zhǎng)線垂直AB,垂足為H,點(diǎn)。為

弧AC上一點(diǎn)，且ZA5D=/0CB,延長(zhǎng)AD交0C的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接AC、BD、BC、CD.

(1)求證：XC1BD-,

(2)點(diǎn)尸為CE上一點(diǎn)，DF平分NCDE,RZDFC=450,求NOCE的度數(shù).

18.如圖，A3是。O的弦.尸是A3延長(zhǎng)線上一點(diǎn).

A__、

(1)過(guò)點(diǎn)尸作。。的切線尸C,切點(diǎn)C在直線A8的下方；(要求：尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留

作圖痕跡）

⑵在（1）的條件下，連接AC,BC.求證：ZPCB=ZBAC.

19.如圖，多邊形是正五邊形，請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺按要求完成作圖（保留作圖痕

跡）.

圖1圖2

（1）如圖1,作一個(gè)以為腰，頂角為36。的等腰三角形；

⑵如圖2,作一個(gè)底角為54。的等腰三角形.

20.如圖，在半圓。中，為直徑，BD為弦,C為BZ）的中點(diǎn)，CE//BD.

（1）求證：CE是。。的切線.

⑵若Cr>〃A3,OA=3.

①求EB的長(zhǎng);

②CO的長(zhǎng)是（結(jié)果保留兀）.

《第二十四章圓單元測(cè)試2024-2025學(xué)年人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)》參考答案

題號(hào)12345678910

答案BCCADCAABA

題號(hào)1112

答案DD

1.B

【分析】本題考查等邊對(duì)等角，三角形的內(nèi)角和，同弧所對(duì)的圓周角與圓心角的關(guān)系，掌握

知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

由半徑相等，可求出4Q4,再根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半，即可解答.

【詳解】解：,??ZABO=40。，OA=OB,

：.ZBAO=ZABO=40°,

ZBOA=180°-ZBAO-ZABO=100°,

/.ZC=-ZAOB=5Q°.

2

故選B.

2.C

【分析】本題考查了圓周角定理，三角形的內(nèi)角和定理，對(duì)頂角相等，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)

是解答本題的關(guān)鍵.

由圓周角定理得N3OC=2NA=60。，設(shè)AC與8。相交于點(diǎn)。，由三角形的內(nèi)角和定理和對(duì)

頂角相等得NA+/3=NC+/3OC，求出NC的度數(shù)即可.

【詳解】解：由題意得N3OC=2/4=60。，

設(shè)AC與3。相交于點(diǎn)。，

-.-ZA+ZB+ZADB=ZC+ZBOC+CDO=180°,ZADB=NCDO,

ZA+ZB=ZC+ZBOC,

又ZA=30°,ZB=58°,

,-.ZC=28°,

故選：C.

3.C

【分析】本題主要考查了垂徑定理、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握?qǐng)A中求線段長(zhǎng)的方法是解題

的關(guān)鍵.

先由垂徑定理得到AE=BE='AB=2,在RtaAOE中，由勾股定理求解即可.

2

【詳解】解：：弦的長(zhǎng)為4,OE±AB

由垂徑定理可知AE=BE=—AB=2,

2

在Rt^AOE中，0A=2五,

由勾股定理可得OE=^OA2-AE2=42拒j一2?=2.

故選：C.

4.A

【分析】本題考查了弧弦圓心角的關(guān)系，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等，連接

AC,BC,OB,由線段垂直平分線的性質(zhì)和弧弦圓心角的關(guān)系可得Q4=O8=OC=AC=BC,

即得AQ4C和△OBC是等邊三角形，可得NBCD=90。，再利用等邊三角形的性質(zhì)和勾股定

理解答即可求解，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：連接AC,BC,OB,

垂直平分半徑Q4,

AC=OC,

,點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，

AC=BC>

：.AC=BC,

：.OA=OB=OC=AC=BC,

：.AOAC和AOBC是等邊三角形,

，ZOCA=ZOCB=&)°,

T^OA^OB=OC=AC^BC=2a,

,：CDVOA,

AOD=-OA=a,ZOAD=-ZOCA=30°,

22

CD=^OC'-OD2=](2小人=島,/BCD=60°+30°=90°,

在RtABCD中，BC2+CD2=BD2,

解得。=2（負(fù)值舍去），

.?.04=2x2=4,即圓的半徑為4,

故選：A.

5.D

【分析】本題考查了圓周角定理，等邊三角形的判定和性質(zhì).先證明和△OBC都是

等邊三角形，求得NAO3=/BCO=60。，再利用圓周角定理求解即可.

【詳解】解：連接03,

VAO=AB=BC,OA^OB=OC,

：.OA=AB=OB,BC=OB=OC,

：.△OAB和△OBC都是等邊三角形,

ZAOB=/BCO=60°,

：.ZZ)=1ZAOC=；(60。+60°)=60°,

故選：D.

6.C

【分析】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑.也考查了圓周角定理.連

接OC,如圖，先根據(jù)圓周角定理求得/r>OC=56。，根據(jù)切線的性質(zhì)得到NOCD=90。，再

利用互余計(jì)算即可求解.

【詳解】解：連接0C,如圖,

NDOC=2NE=56。,

為。O的切線，

：.OC1CD,

ZOCD=90°,

：.Z.D=90°-Z.DOC=34°.

故選：C.

7.A

【分析】本題考查了垂徑定理的推論，切線的性質(zhì)，確定圓的條件，圓周角與弦的關(guān)系.根

據(jù)垂徑定理的推論可判斷①，根據(jù)切線的性質(zhì)可判斷②③，根據(jù)確定圓的條件可判斷④.

【詳解】解：①平行弦的直徑不一定垂直于該弦，原說(shuō)法錯(cuò)誤；

②圓的切線必定垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑，說(shuō)法正確；

③垂直于半徑且經(jīng)過(guò)半徑外端的直線必定是圓的切線，原說(shuō)法錯(cuò)誤；

④經(jīng)過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓，原說(shuō)法錯(cuò)誤.

故選：A.

8.A

【分析】本題考查了圓周角定理，切線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，掌握?qǐng)A周角定理，切線

的性質(zhì)是關(guān)鍵.

根據(jù)圓周角定理得到NA=40。，根據(jù)切線的性質(zhì)得到/。6=90。-&,由三角形外角和的性

質(zhì)即可求解.

CE

-5C=80。'

???ZBOC=8Q°,

AZA=-ZBOC=40°,

2

???CE是。。的切線，

???ZDCE=90。,

JZDCA=ZDCE-ZACE=90°-af

：.ZCDB=ZA+Zr>C4=40o+90o-a=130°-a,

故選：A.

9.B

【分析】本題主要考查了正多邊形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，設(shè)中間正六邊形的中心為。，連

接。3根據(jù)尸，。的坐標(biāo)分別為(3,26),(-3,0),得出AB=BC=2點(diǎn)。。=3,求出

QM、=MM=M2M3=AB=26,即可求出。限=6石，得出結(jié)果.

【詳解】解：如圖，設(shè)中間正六邊形的中心為。，連接。8.

：.AB=BC=2?OQ=3,

/.OA=OB=\/3.

???QM{=M[M2=M2M3=AB=2y/3,

QM3-6^3,

..?點(diǎn)知3的坐標(biāo)為卜3,-6A).

故選：B.

10.A

【分析】本題考查了正多邊形和圓，正確求出正十二邊形的面積是解題的關(guān)鍵，根據(jù)圓的面

積公式得到O。的面積5求得圓的內(nèi)接正十二邊形的面積S1=3,即可得出結(jié)論.

【詳解】解：的半徑為1,

「?的面積S=?,

???圓的內(nèi)接正十二邊形的中心角為360詈°=30°,

二?圓的內(nèi)接正十二邊形的面積，=12x；xlxg=3,

.?.S—S]=?—3。0.14,

故選：A.

11.D

【分析】本題考查扇形的面積的計(jì)算、矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，連接G尸、

GE,由題意易知△G￡F是等邊三角形，根據(jù)$陰=S扇形宓尸+S弓形纖計(jì)算即可解決問(wèn)題.

由題意易知△GEF是等邊二角形,

S陰二S扇形GEF+S弓形G尸

60^-x32'60^-x32

360360

故選：D.

12.D

【分析】本題考查了圓周角定理，勾股定理，垂徑定理，扇形面積，先根據(jù)是。。的直

徑，得NAT?=90。，因?yàn)镺C〃即，得ZAEO=ZADB=90。,AE=DE,運(yùn)用圓周角定

理得ZAO￡>=120。，￡0=2,則AE==26，AD=4幣,

S^o=^EOxAD=4y/3,即可算出陰影部分的面積.

【詳解】解：連接8,

???43是。。的直徑，

：.ZADB=90°f

?:OC//BD,

：.ZAEO=ZADB=90°fAE=DE,

則AC=CD，

???ZAOC=ZDOC,

9：AC=AC9

：.ZAOC=2ZABC=2x30。=60°,

???ZBAZ)=90°-60°=30°,ZAOD=2ZAOC=120°,

???AB=8,

???EO=-AO=-AB=2

24f

則AE=，4O2—E1。2=2。

AD=A6

S&ADnUo=-2E0xAD=2-x2x4^=4A/3,

貝1JS陰影=^x42x萬(wàn)一4-=：兀一4一，

3603

故選：D.

13.13

【分析】本題主要考查了垂徑定理、勾股定理等知識(shí).連接Q4,首先根據(jù)垂徑定理“垂直于

弦的直徑平分弦且平分這條弦所對(duì)的兩條弧”可得==再在Rt^OAE中，利用

勾股定理列式計(jì)算，即可獲得答案.

【詳解】解：如下圖，連接Q4,設(shè)該圓的半徑為x,

VABLCD,AB=IO,

：.AE=BE=-AB=5,

2

1DE=25,

OE=25-x,

在RtAOAE中，OA2=OE2+AE2,

即尤2=(25—x)2+5\

解得x=13

；?該圓的半徑為13,,

故答案為：13.

14.65

【分析】本題考查三角形內(nèi)切圓與外接圓的綜合，涉及三角形的內(nèi)心的性質(zhì)、圓周角定理、

三角形內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)和定理是解題的關(guān)鍵.由/是

VABC的內(nèi)心，得至l]ZBC￡>=ZR4r)=NCAr>=gza4C,ZACI=ZBCI=|ZACB,根據(jù)三

角形內(nèi)角和定理得到NA/C=115°,又根據(jù)圓周角定理，可知NA￡>C=NB=50。，最后由三

角形外角的性質(zhì)即可求出N/CD.

【詳解】解：是VABC的內(nèi)心，

AI,CI分別平分NBAC,ZBCA,

/BCD=/BAD=ZCAD=-ABAC,ZACZ=ZBCI=-ZACB；

22

,?ZB=50°,

/.ZIAC+ZICA=1(180°-ZB)=65°,

ZAIC=180°-(NIAC+ZZC4)=115°；

ZADC=ZB=50°,

NICD=NAIC-ZADC=65°.

故答案為：65.

15.0

【分析】本題考查了正六邊形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理，連接。4、OB,過(guò)

點(diǎn)。作0"LAB,可知AAC?是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AH=1,利用勾

股定理可得08=6.

【詳解】解：如下圖所示，連接。4、OB,過(guò)點(diǎn)。作O//JLAB,

六邊形ABCDEF是正六邊形，

:.OA=OB,ZAOB=-x360°=60°,

6

.?.△AO3是等邊三角形，

:.OA=OB^AB=2,

AH=BH=-AB=\,

2

在Rt^AOH中，OH=y/o^-OH2=至-F=V3-

故答案為：下.

16.32-—71-873

3

【分析】此題主要考查了矩形的邊角性質(zhì)，含30。的直角三角形的邊的性質(zhì)，扇形的面積計(jì)

算公式，熟練掌握把不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為求規(guī)則圖形的面積是解題的關(guān)鍵.

過(guò)點(diǎn)E作初，4)于點(diǎn)根據(jù)矩形ABCD四個(gè)角都是直角，推出四邊形ABE”是矩形,

四邊形是矩形，得至！JEW=AB=4,根據(jù)NADE=30。，得至I]AZ)=DE=8,EC=473,

然后根據(jù)S陰影=S矩形4BCD—S扇形3-SAECD求解即可.

【詳解】過(guò)點(diǎn)E作硝，AD,垂足為H,

四邊形A8CD為矩形,

，ZA=ZB=ZC=ZADC=90°,

四邊形ABEH是矩形，四邊形ASEH是矩形,

.-.EH=AB=CD=4.

■.■ZADE=30°,

:.AD=DE=2EH=8,

.-.EC=HD=yjED2-EH2=4A/3-

一S陰影=S矩形ABC。-S扇形-S-ECD

=4x8一萬(wàn)x8。x^---x4x4^

3602

=32-3萬(wàn)-8』.

3

故答案為：32-1■萬(wàn)-8>/3.

17.(1)證明見(jiàn)解析；

⑵N￡)CE=108°.

【分析】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形，三角形的內(nèi)角和定理，三角形

的外角性質(zhì)，垂直平分線的判定與性質(zhì)等知識(shí)，掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

(1)設(shè)AC與8。交于點(diǎn)M,由垂徑定理得,ZAHC=ZBHC=90°，則有AC=3C,

ZHAC=ZHBC,然后通過(guò)三角形的內(nèi)角和定理即可求證；

(2)由角平分定義可設(shè)NCDR=/￡EE=x,則NCDE=2x,通過(guò)圓內(nèi)接四邊形和平角定

義可得ZABC=NCDE,則有/ABC=/84C=/CDE=2x,ZACH=90°-2x,

ZACDZABD=90-ZBAC=90°-2x,最后由角度和差求出x的值即可.

【詳解】(1)證明：設(shè)AC與BD交于點(diǎn)

B

'：OC.LAB,

：.AH=BH,ZAHC=ZBHC=90°,

???AC=BC,

：./HAC=NHBC,

：.ZOCB=ZOCAf

?:ZABD=ZOCB,

：.NACO=NABD,

ZBAC+ZOC4=90°,

???ZABD+ZBAC=90°,

???NAMB=90。，

???AC1BD；

(2)解：?；DF平分/CDE,

：.ZCDF=ZEDF,

設(shè)/CDF=/EDF=x,貝!|NCDE=2x,

???四邊形ABC。是圓內(nèi)接四邊形，

ZABC+ZADC=180°,ZCDE+ZADC=180°,

:.ZABC=NCDE,

：.ZABC=ZBAC=ZCDE=2x,

JZACH=90°-2x,ZACD=ZABD=9Q-ZBAC=90°-2xf

：.ZOCD=ZACH-^-ZACD=180°-4x,

■:ZOCD=ZCDF+ZDFC,

.?.180°-4x=x+45°,解得％=27。,

???ZDCE=180°-x-45°=180°-27°-45°=108°.

18.(1)作圖見(jiàn)解析；

⑵證明見(jiàn)解析.

【分析】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖，切線的判定，圓周角定理等知識(shí)，掌握相關(guān)知識(shí)是解

題的關(guān)鍵.

(1)連接0P,作。尸的垂直平分線交0尸于點(diǎn)G,以G為圓心，OG為半徑作OG,交。。

于點(diǎn)C,連接OCPC,則尸C即為所求；

(2)連接設(shè)=根據(jù)切線的性質(zhì)，得到NOCP=90。，進(jìn)而得到

ZOCB=90°-a,根據(jù)。B=OC,得到/30。=180。-2/08=2c,根據(jù)圓周角定理得到

ZBAC=jN8OC=a,即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)解：連接0P,作OP的垂直平分線交0P于點(diǎn)G,以G為圓心，OG為半徑作

0G,交。。于點(diǎn)C,連接0cpC,則PC即為所求，如圖：

由作圖可得：NPCO=90。，

：.OC1PC,

PC為。。的切線；

(2)解：連接OBOC,如圖:

設(shè)4PCB=a,

1/PC是。。的切線,

ZOCP=90°,

ZOCB=90°-a,

'：OB=OC,

：.NBOC=180°-2NOCB=2a,

在O。中，ABAC=—Z.BOC=a,

2

APCB=Z.BAC.

19.(1)畫(huà)圖見(jiàn)解析

(2)畫(huà)圖見(jiàn)解析

【分析】(1)連接8D,CE,交于點(diǎn)K,則A3CK即為所求作的三角形；

(2)連接CE,交于點(diǎn)K,連接AK并延長(zhǎng)交CD于"，則AABK或AAEK即為所求;

【詳解】(1)解：如圖，連接3。，CE,交于點(diǎn)K,貝IJABCK即為所求作的三角形;

理由：?.?多邊形ABCDE是正五邊形,

360°

ACB=CD=DE,/BCD=/CDE=180。一一—=108°,

???ZCBD=1(180°-108°)=36°=ZDCE,

ZBCK=108。一36°=72°,ZBKC=180。一72°-36°=72°,

???BC