專題15不定方程和不等方程的分析求解

小升初數(shù)學(xué)思維拓展數(shù)論問(wèn)題專項(xiàng)訓(xùn)練

(知識(shí)梳理+典題精講+專項(xiàng)訓(xùn)練)

融的梳理

1、不定方程。

(D不定方程的定義：不定方程，是指未知數(shù)的個(gè)數(shù)多于方程個(gè)數(shù)，且未知數(shù)受到某些限

制(如要求是有理數(shù)、整數(shù)或正整數(shù)等等)的方程或方程組.

(2)一般是求解一次不定方程：關(guān)于ax+by=c的不定方程，(a,b)為a,b的最大公約數(shù)，

如果有整數(shù)特解(x。,y.),則該方程所有整數(shù)解為：x=x0kb+(a,b),y=y?+ka4-(a,b),

k為整數(shù).

2、不等方程。

(1)幾個(gè)含有同一■個(gè)未知數(shù)的一元一次不等式合在一■起，就組成了一■個(gè)一元一■次不等式

組.幾個(gè)一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它們所組成的一元一次不等式組的解集.

(2)求不等式組的解集的過(guò)程，叫做解不等式組.

(3)解一元一次不等式組的步驟：

①分別求出不等式組中各個(gè)不等式的解集；

②利用數(shù)軸求出這些不等式的解集的公共部分，即這個(gè)不等式組的解集.

典教精餅

【典例一】某電視臺(tái)在時(shí)段的2分鐘廣告時(shí)間內(nèi)，計(jì)劃播長(zhǎng)度為15秒和30秒的兩種廣告.15

秒的廣告每播一次收費(fèi)0.6萬(wàn)元，30秒的廣告每播一次收費(fèi)1萬(wàn)元.若要求每種廣告播放

不少于兩次，則電視臺(tái)在播放時(shí)收益最大的播放方式是()

A、15秒的廣告播放4次，30秒的廣告播放2次

B、15秒的廣告播放2次，30秒的廣告播放4次

C、15秒的廣告播放2次，30秒的廣告播放3次

D、15秒的廣告播放3次，30秒的廣告播放2次

【分析】本題中的等量關(guān)系：15秒X次數(shù)+30X次數(shù)=2X60,根據(jù)這個(gè)等量關(guān)系列出方程，

然后再根據(jù)“要求每種廣告播放不少于2次，則電視臺(tái)在播放時(shí)收益最大”這個(gè)要求分析解

的情況.

【解答】解：設(shè)15秒的廣告播x次，30秒的廣告播y次.

則15x+30y=120,

因?yàn)槊糠N廣告播放不少于2次，

所以x=2,y=3,或x=4,y=2;

當(dāng)x=2,y=3時(shí)，

收益為：2X0.6+3X1=42（萬(wàn)元）；

當(dāng)x=4,y=2時(shí)，

收益為4X0.6+1X2=44(萬(wàn)元)，

所以電視臺(tái)在播放時(shí)收益最大的播放方式是：15秒的廣告播放4次，30秒的廣告播放2次.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】解題關(guān)鍵是弄清題意，找到合適的等量關(guān)系，合理分析得出結(jié)論.

【典例二】某商場(chǎng)促銷，小魚(yú)將促銷信息告訴了媽媽，小魚(yú)媽媽假設(shè)某一商品的定價(jià)為X,

并列出不等式為0.7X(2x100)<1000,那么小魚(yú)告訴媽媽的信息是()

A、買兩件等值的商品可減100元，再打3折，最后不到1000元

B、買兩件等值的商品可打3折，再減100元，最后不到1000元

C、買兩件等值的商品可減100元，再打7折，最后不到1000元

D、買兩件等值的商品可打7折，再減100元，最后不到1000元

【分析】根據(jù)0,7(2x100)<1000,可以理解為買兩件減100元，再打7折得出總價(jià)小于

1000元.

【解答】解：由關(guān)系式可知：

0.7(2x100)<1000,

由2x100,得出兩件商品減100元，以及由0.7(2x100)得出買兩件打7折，

故可以理解為：買兩件等值的商品可減100元，再打7折，最后不到1000元.

故選：0.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了由不等式聯(lián)系實(shí)際問(wèn)題，根據(jù)已知得出最后打7折是解題關(guān)鍵.

【典例三】有四個(gè)房間，每個(gè)房間里不少于4人，如果任意三個(gè)房間里的總?cè)藬?shù)不少于14

人，那么這四個(gè)房間里的總?cè)藬?shù)至少有()人.

A、18B、19C、20D、21

【分析】任意三個(gè)房間的總?cè)藬?shù)不少于14人，每個(gè)房間不少于4人，那就來(lái)推測(cè)一下，14

可以分成4、5、5,任意三個(gè)房間的總?cè)藬?shù)不少于14人，那第四個(gè)房間也應(yīng)該是5人，這

樣就可以完全的滿足已知條件了，所以應(yīng)該是14+5=19.

【解答】解：5X3+4=19(人)；

答：這四個(gè)房間的總?cè)藬?shù)至少有19人.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】求最少多少人，就按每個(gè)房間的人數(shù)在限度內(nèi)最少時(shí)計(jì)算.

【典例四】某旅游景點(diǎn)團(tuán)體門票票價(jià)如下:

購(gòu)票人數(shù)100人以上

每人門票(元)30元25元20元

今有甲、乙兩個(gè)旅行團(tuán)，已知甲團(tuán)人數(shù)少于50人，乙團(tuán)人數(shù)不超過(guò)100人.若分別購(gòu)票,

兩團(tuán)共計(jì)應(yīng)付門票費(fèi)3200元，若合在一起作為一個(gè)團(tuán)體購(gòu)票，總計(jì)應(yīng)付門票2400元.

(1)請(qǐng)你判斷乙團(tuán)的人數(shù)是否也少于50人？

(2)求甲乙兩個(gè)旅行團(tuán)各有多少人？

【分析】(1)首先假設(shè)乙團(tuán)的人數(shù)為50人，因?yàn)榧茁眯袌F(tuán)人數(shù)少于50人，計(jì)算出各自繳

費(fèi)所要交的錢數(shù)，與3200元比較即可；

【解答】解（1）假設(shè)乙團(tuán)的人數(shù)為50人，因?yàn)榧茁眯袌F(tuán)人數(shù)少于50人，

所以可得甲乙分別購(gòu)票所需的錢數(shù)小于3000,

又因?yàn)榉謩e購(gòu)票，兩旅行團(tuán)共計(jì)應(yīng)付門票費(fèi)3200元，

所以可得出乙團(tuán)的人數(shù)大于50人；

（2）設(shè)甲團(tuán)人數(shù)為x人，乙團(tuán)人數(shù)為y,由題意得：

②當(dāng)甲乙兩團(tuán)總?cè)藬?shù)在100人以上時(shí)，

答：甲旅行團(tuán)有40人、乙旅行團(tuán)有80人.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二元一次方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意判斷兩團(tuán)的人數(shù)，

一定要仔細(xì)分析，根據(jù)題目條件進(jìn)行推理計(jì)算.

專項(xiàng)制煉

選擇題（共8小題）

1.一個(gè)28人的旅游團(tuán)到租車公司租車。小汽車限坐4人，商務(wù)車限坐6人，如果每輛車都

坐滿，那么旅游團(tuán)要租（）

A.5輛小汽車和2輛商務(wù)車B.4輛小汽車和2輛商務(wù)車

C.3輛小汽車和3輛商務(wù)車

3.某單位舉行工會(huì)主席選舉，有三位候選人甲、乙、丙，由139名代表投票選舉一人，不

能棄權(quán)也不能多選，最終得票多的當(dāng)選.當(dāng)統(tǒng)計(jì)了100張選票時(shí)，甲已獲得45票，乙已獲

20票，丙已獲35票.甲至少要再得多少票才能確保當(dāng)選？（）

A.39B.15C.20D.13

4.大于200的自然數(shù)被47除，商和余數(shù)一樣，這樣的數(shù)有（）個(gè).

A.5B.42C.46D.無(wú)數(shù)

5.下列解關(guān)于x的不等式中正確的是（）

7.某電視臺(tái)在時(shí)段的2分鐘廣告時(shí)間內(nèi)，計(jì)劃播長(zhǎng)度為15秒和30秒的兩種廣告.15秒的

廣告每播一次收費(fèi)0.6萬(wàn)元，30秒的廣告每播一次收費(fèi)1萬(wàn)元.若要求每種廣告播放不少

于兩次，則電視臺(tái)在播放時(shí)收益最大的播放方式是（）

A.15秒的廣告播放4次，30秒的廣告播放2次

B.15秒的廣告播放2次，30秒的廣告播放4次

C.15秒的廣告播放2次，30秒的廣告播放3次

D.15秒的廣告播放3次，30秒的廣告播放2次

8.超市有4支裝和6支裝不同包裝的碳素筆，小明想買36支，有（）種不同的買法。

A.3B.4C.5

二.填空題（共8小題）

10.百葉龍是一種浙江長(zhǎng)興的傳統(tǒng)民俗活動(dòng)，是舞龍表演中最有特色的表演之一。百葉龍身

軀由同樣的大荷花組成，分9段層層聯(lián)結(jié)延伸，每段9朵荷花，每朵荷花由x片花瓣組成，

百葉龍身軀共有5103片花瓣。根據(jù)題意可解得》=o

11.商店里有2元和3元的兩種筆記本，小文買筆記本正好花了20元，可以有種不同

的買法。

12.將一根長(zhǎng)為374厘米的合金鋁管截成若干根36厘米和24厘米兩種型號(hào)的短管，加工損

耗忽略不計(jì)，問(wèn)：剩余部分的管子最少是厘米.

13.成語(yǔ)“愚公移山”比喻做事有毅力，不怕困難假設(shè)愚公家門口的大山有120萬(wàn)噸重，愚

公有兩個(gè)兒子，他的兩個(gè)兒子又分別有兩個(gè)兒子，依此類推，愚公和他的子孫每人一生能搬

運(yùn)150噸石頭.如果愚公是第1代，那么到了第代，這座大山可以搬完.

14.學(xué)校買來(lái)桌椅若干，共用去2500元，每把椅子50元，每張桌子150元.買椅子張.

15.旅行團(tuán)23人到旅館住宿，住3人間和2人間（每個(gè)房間不能有空床位），有種不

同的安排.

16.一個(gè)科普展覽會(huì)的門票價(jià)格是：普通票每人20元，團(tuán)體票20人以上（含20人）按八

折優(yōu)惠，最少人時(shí)買團(tuán)體票省錢.

三.計(jì)算題（共1小題）

四.解答題

19.五（2）班有37位同學(xué)，六一節(jié)老師要給每位同學(xué)買一支筆，商店里只有4支一盒或3

支一盒的包裝.不能打開(kāi)盒零售，也不能多買.老師有多少種不同的買法？

20.地球上的“逃逸速度”是11.2千米/秒，這意味著地球上的物體，如果速度大于11.2

千米/秒，它就能脫離地球的影響而飛出去.大到火箭，小到分子的任何物體都適用，現(xiàn)有

一個(gè)大氣分子，太陽(yáng)輻射把它的速度提高到15千米/秒，已知它與其他分子每碰撞一次，速

度依次減少到碰撞前的2,—,—,則至少碰撞次才能使它不“逃離”地球.

201918---------

21.55個(gè)蘋果分給甲、乙、丙三人，甲的蘋果個(gè)數(shù)是乙的2倍，丙最少但也多于10.丙得

到了多少個(gè)蘋果？

22.要修一條長(zhǎng)1800米的水渠，工作5天后，修了的占未修的!，照這樣的進(jìn)度修下去,

3

還要多少天才能修完這條水渠？

23.一種鋼筆有6支裝和8支裝兩種不同的包裝。張老師要買46支鋼筆作為學(xué)生獎(jiǎng)品，一

共有多少種不同的買法？（請(qǐng)一列舉出來(lái)。）

24.一次夏令營(yíng)活動(dòng)有21位學(xué)生參加，請(qǐng)你安排住宿，住3人間和2人間（每個(gè)房間不能

有空床位），有多少種不同的安排？（填表并找出答案）

3人間

2人間

答：一共有種不同的安排。

25.工程隊(duì)用載重量分別為3噸和5噸的兩種卡車給工地送黃沙.一共運(yùn)送了26噸，兩種

車各送了幾次？

26.用載質(zhì)量4噸和6噸的兩輛車運(yùn)沙子，如果每次每輛車都裝滿，怎樣安排能恰好運(yùn)完18

噸沙子？

參考答案

選擇題（共8小題）

1.【答案】B

【分析】根據(jù)題意，利用“小汽車限坐4人，商務(wù)車限坐6人”，而且“每輛車都坐滿”，

根據(jù)總?cè)藬?shù)及選項(xiàng)租車方案，利用嘗試法找到符合題意的答案即可。

故選：Bo

【點(diǎn)評(píng)】本題關(guān)鍵利用嘗試法解答，找到符合題意的租車方案。解答本題也可列方程。

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查利用加減消元法解方程組的方法，關(guān)鍵是把x、y的值代入原方程中，

得出關(guān)于左和6的方程組.

3.【答案】B

【解答】解：共139名代表投票，即有139票；

設(shè)甲至少還要得無(wú)票，可得：

解得：

x為正整數(shù)，所以x的最小值為15；

答：甲至少還要再得15票才能確保當(dāng)選.

故選：Bo

【點(diǎn)評(píng)】解答此題關(guān)鍵要明確剩下的39票要從最差情況考慮，即39票只選了兩人：甲和乙

或甲和丙.

4.【答案】B

【解答】解：設(shè)商和余數(shù)均為x,則

故選：Bo

【點(diǎn)評(píng)】考查了不等方程的分析求解，解題關(guān)鍵是得到商和余數(shù)的取值范圍.

5.【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)即可求解.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】考查了不等方程的分析求解，關(guān)鍵是熟練掌握不等式的基本性質(zhì).

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】主要考查不等式的性質(zhì)，應(yīng)注意不等號(hào)的方向什么時(shí)候改變.

【解答】解：設(shè)15秒的廣告播x次，30秒的廣告播y次.

因?yàn)槊糠N廣告播放不少于2次，

所以電視臺(tái)在播放時(shí)收益最大的播放方式是：15秒的廣告播放4次，30秒的廣告播放2次.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】解題關(guān)鍵是弄清題意，找到合適的等量關(guān)系，合理分析得出結(jié)論.

8.【答案】B

【分析】把36分成4的倍數(shù)與6的倍數(shù)的和，找出正好是36支的全部可能，從而解決問(wèn)

題。

所以買9盒4支裝或6盒4支裝和2盒6支裝或3盒4支裝和4盒6支裝或6盒6支裝。

答：有4種不同的買法。

故選：B。

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了整數(shù)的拆分，把36分成4的倍數(shù)和6的倍數(shù)相加的和是解答的關(guān)

鍵。

二.填空題（共8小題）

9.【分析】先利用不等式的性質(zhì)將原不等式進(jìn)行變形，再據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)得出A的取值

范圍，進(jìn)而求出A的數(shù)值，問(wèn)題得解.

故答案為：12、7.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)的靈活應(yīng)用.

10.【答案】63o

【分析】先用9乘9求出9段有多少朵荷花，再乘x就是百葉龍身軀共有多少片花瓣。據(jù)此

列方程解答即可。

答：每朵荷花由63片花瓣組成。

故答案為：63o

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了用方程解答應(yīng)用題的能力。

11.【答案】4。

【分析】2元筆記本為1本、4本、7本、10本，求出買完2元筆記本后剩下的錢數(shù)，根據(jù)

“數(shù)量=總價(jià)+單價(jià)”求出可以購(gòu)買3元筆記本的本數(shù)，最后列出表格，據(jù)此解答。

【解答】解：第1種：購(gòu)買1本2元筆記本。

=6（本）

第2種：購(gòu)買4本2元筆記本。

=4（本）

第3種：購(gòu)買7本2元筆記本。

=2（本）

第4種：購(gòu)買10本2元筆記本。

2元筆記本3元筆記本

第1種1本6本

第2種4本4本

第3種7本2本

第4種10本0本

由上可知，可以有4種不同的買法。

故答案為：4?

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查搭配問(wèn)題，按順序列舉做到不重復(fù)、不遺漏是解答題目的關(guān)鍵。

由上述計(jì)算可得，剩余部分的管子最少是2厘米.

故答案為：2.

【點(diǎn)評(píng)】解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)截得的兩種管子的長(zhǎng)度，求出截掉部分的長(zhǎng)度是12的倍數(shù)，

從而列出方程解決問(wèn)題.

13.

【解答】解：設(shè)到了第"代，這座大山可以搬完

答：到了第13代，這座大山可以搬完.

故答案為：13.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查學(xué)生對(duì)不等方程的分析與求解的能力.

【解答】解：設(shè)買椅子尤把，買桌子y張，

所以買椅子2、5、8、11、14、17、20、23、26、29、32、35、38、41、44、47把.

答：買椅子2、5、8、11、14、17、20、23、26、29、32、35、38、41、44、47把.

故答案為：2、5、8、11、14、17、20、23、26、29、32、35、38、41、44、47.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了不定方程的分析求解，考查了分類討論思想的應(yīng)用，弄清題意，找

出合適的等量關(guān)系，進(jìn)而列出方程是解答此類問(wèn)題的關(guān)鍵.

【解答】解：設(shè)有x間3人房間，y間2人房間，根據(jù)題意可得方程：

3人間/間1357

2人間/間10741

答：綜上所述，23人到旅館住宿，住3人間和2人間（每個(gè)房間不能有空床位），有4種

不同的安排.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了利用不定方程的整數(shù)解，解決實(shí)際問(wèn)題的靈活應(yīng)用，這里要注意討論X、

y的取值范圍.

16.【分析】已知團(tuán)體票20人以上(含20人)按八折優(yōu)惠，八折意思是團(tuán)體票的價(jià)格是普

通票價(jià)格的80%,把普通票的價(jià)格看作單位“1”，根據(jù)題意列不等式解答比較簡(jiǎn)便.

【解答】解：設(shè)至少x人時(shí)買團(tuán)體票要比買普通票省錢.

答：若買團(tuán)體票，至少17人時(shí)買團(tuán)體票要比買普通票省錢.

故答案為：17.

【點(diǎn)評(píng)】此題解答關(guān)鍵是把普通票的價(jià)格看作單位“1”，八折即普通票價(jià)的80%,以此列

式解答即可.

三.計(jì)算題(共1小題)

17.【分析】先根據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)化簡(jiǎn)，再根據(jù)不等式的性質(zhì)，兩邊同時(shí)乘15,再去括

號(hào)、合并、系數(shù)化1即可.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了不等方程的分析求解，關(guān)鍵是掌握解題步驟.

四.解答題

【解答】解：設(shè)以后幾天平均每天修路x千米，根據(jù)題意得：

答：以后幾天內(nèi)該工程隊(duì)平均每天至少要修路0.8千米.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出

的條件，找出合適的不等關(guān)系列出一元一次不等式，再求解.

【解答】解：設(shè)4支一盒的x盒，3支一盒的y盒，得：

所以有3種買法：

(1)4支一■盒的有1盒，3支一■盒的有11盒；

(2)4支一盒的有4盒，3支一盒的有7盒；

(3)4支一盒的有7盒，3支一盒的有3盒.

答：老師有3種不同的買法.

【點(diǎn)評(píng)】此題解答的關(guān)鍵在于根據(jù)等量關(guān)系：4x盒數(shù)+3x盒數(shù)=總支數(shù)37,列出等式，然

后求解.

【解答】解：設(shè)至少碰撞〃次才能使它不逃離地球：

56

"75'

"是整數(shù)，"最小取值就是6;

答：至少碰撞6次才能使它不“逃離”地球.

故答案為：6.

【點(diǎn)評(píng)】本題關(guān)鍵是找出碰撞〃次之后的速度是原速度的幾分之幾的求解方法，以及求出逃

逸速度是原速度的幾分之幾，列出不等方程，求出〃的取值即可.

利用數(shù)軸表示這個(gè)不等式組的解集為：

,-------1—6?0--------1---------->

1213141516

=13（個(gè)）,

答：丙得到了13個(gè)蘋果.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查理解題意能力，關(guān)鍵是根據(jù)等量關(guān)系列出不等式組求解.

22.

【分析】根據(jù)題意，“工作5天后，修了的占未修的也就是已修的占這條水渠總長(zhǎng)的

3

—,根據(jù)一個(gè)數(shù)乘分?jǐn)?shù)的意義，用乘法求出5天修了多少米，再根據(jù)工作量+工作時(shí)間=

1+3

工作效率，求出平均每天的工作效率，進(jìn)而求出一共用多少天完成，然后再減