第3講解析幾何的綜合問題專題五

解析幾何板塊三專題突破核心考點[考情考向分析]江蘇高考解析幾何的綜合問題包括：探索性問題、定點與定值問題、范圍與最值問題等，一般試題難度較大.這類問題以直線和圓錐曲線的位置關系為載體，以參數(shù)處理為核心，需要綜合運用函數(shù)與方程、不等式等諸多知識以及數(shù)形結合、分類討論等多種數(shù)學思想方法進行求解，對考生的代數(shù)恒等變形能力、計算能力等有較高的要求.熱點分類突破真題押題精練內容索引熱點分類突破例1

(2018·南通模擬)已知橢圓C：

＝1(a>b>0)的左頂點，右焦點分別為A，F(xiàn)，右準線為m，(1)若直線m上不存在點Q，使△AFQ為等腰三角形，求橢圓離心率的取值范圍；熱點一最值、范圍問題解答解設直線m與x軸的交點是R，依題意FR≥FA，解答因為B是橢圓C上一點，處理求最值的式子常用兩種方式(1)轉化為函數(shù)圖象的最值.(2)轉化為能利用基本不等式求最值的形式.若得到的函數(shù)式是分式形式，函數(shù)式的分子次數(shù)不低于分母時，可利用分離法求最值；若分子次數(shù)低于分母，則可分子、分母同除分子，利用基本不等式求最值(注意出現(xiàn)復雜的式子時可用換元法).思維升華解答(1)求橢圓C的標準方程；解得a2＝4，b2＝1，解答(2)若直線l交橢圓C于P，Q兩點，線段PQ的中點為H，O為坐標原點，且OH＝1，求△POQ面積的最大值.解設l與x軸的交點為D(n,0)，直線l：x＝my＋n，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，Δ＝16(m2－n2＋4)＞0，n2(y1－y2)2＝n2[(y1＋y2)2－4y1y2]設t＝4＋m2(t≥4)，所以△POQ面積的最大值為1.熱點二定點問題例2

(2018·全國大聯(lián)考江蘇卷)如圖，已知A，B是橢圓

＝1的長軸頂點，P，Q是橢圓上的兩點，且滿足kAP＝2kQB，其中kAP，kQB分別為直線AP，QB的斜率.證明(1)求證：直線AP和BQ的交點R在定直線上；證明根據題意，可設直線AP的方程為y＝kAP(x－2)，直線BQ的方程為y＝kQB(x＋2)，因此直線AP和BQ的交點R在定直線x＝6上.(2)求證：直線PQ過定點.證明證明由(1)，可設點R的坐標為(6，m)，如果要解決的問題是一個定點問題，我們可以根據特殊情況先找到這個定點，明確解決問題的目標，然后再進行一般性證明.思維升華解答(1)求k1k2的值；解答(2)記直線PQ，BC的斜率分別為kPQ，kBC，是否存在常數(shù)λ，使得kPQ＝λkBC？若存在，求λ值；若不存在，說明理由；設P(xp，yp)，設B(xB，yB)，證明(3)求證：直線AC必過點Q.故直線AC必過點Q.綜上可知，直線AC必過點Q.熱點三定值問題解答(1)求橢圓M的方程；解答(2)設直線l與橢圓E交于A，B兩點，且與橢圓M僅有一個公共點，試判斷△ABO的面積是否為定值(O為坐標原點)？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.解當直線l的斜率存在時，設直線l:y＝kx＋b.令Δ＝64k2b2－4(3＋4k2)(4b2－12)＝0得，b2＝3＋4k2.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，當直線l的斜率不存在時，l：x＝2或x＝－2，則AB＝6，原點O到直線l的距離d＝2，∴S△ABO＝6.綜上所述，△ABO的面積為定值6.(1)從特殊開始，求出定值，再證明該值與變量無關：(2)直接推理、計算，在整個過程中消去變量，得定值.思維升華解答(1)求橢圓的標準方程；解答解由(1)知C(0,1)，設D(x0，y0)，證明(3)求證：x1x2為定值.因為點N(x2，y2)在直線BD上，從而x1x2＝2為定值.真題押題精練解答(1)求橢圓E的標準方程；解設橢圓的半焦距為c.(2)若直線l1，l2的交點Q在橢圓E上，求點P的坐標.解答解由(1)知，F(xiàn)1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0).設P(x0，y0)，因為P為第一象限的點，故x0＞0，y0＞0.當x0＝1時，l2與l1相交于F1，與題設不符.因為l1⊥PF1，l2⊥PF2，解答(1)求橢圓C的方程；所以b2＝a2－c2＝1.解答(2)若點P的坐標為(0，b)，求過P，Q，F(xiàn)2三點的圓的方程；