第01講集合及其運算

目錄

01考情解碼?命題預警..........................................................1

02體系構(gòu)建?思維可視............................................................2

03核心突破?靶向攻堅............................................................3

知能解碼....................................................................3

知識點1元素與集合....................................................3

知識點2集合的基本關(guān)系.................................................3

知識點3集合的交集、并集、補集運算.....................................3

知識點4集合的運算性質(zhì)................................................4

題型破譯....................................................................4

題型1元素與集合的關(guān)系................................................4

【方法技巧】判斷元素與集合關(guān)系

題型2集合中元素的特征................................................4

題型3集合間的基本關(guān)系.................................................5

【方法技巧】利用集合間的關(guān)系求參數(shù)的關(guān)注點

【易錯分析】易忽略集合為空集

題型4（真）子集的個數(shù)........6

題型5Venn圖的運算..........6

題型6利用集合的運算結(jié)果求參數(shù)|重7

題型7集合的新定義問題難8

【方法技巧】集合新定義問題的“三定”

04真題溯源?考向感知.........................................................10

01

考情解碼-命題預警

考點要求考察形式2025年2024年2023年

(1)集合的概念與表示

第題元素與集合關(guān)系的

回單選題第1題補集運算第1題補集運算13

(2)集合的基本關(guān)系回填空題判斷

第15、16題集合新定義

(3)集合的基本運算□解答題

考情分析：

本節(jié)內(nèi)容是上海高考卷的必考內(nèi)容，考查形式多樣。填空題1題設(shè)題穩(wěn)定，難度較低，分值為4分，選擇題考查比

較綜合，分值為5分。

復習目標：

1.理解、掌握集合的表示方法，能夠判斷元素與集合、集合與集合的關(guān)系

2.掌握集合交集、并集、補集的運算和性質(zhì)

3.掌握集合與其他知識綜合應用及集合新定義問題

4.掌握邏輯用語與其他知識綜合應用

02

體系構(gòu)建-思維可視

■03

核心突破-靶向攻堅

PU

知識點1元素與集合

（1）集合元素的三大特性：確定性、無序性、互異性.

（2）元素與集合的兩種關(guān)系：屬于，記為且；不屬于，記為巴

（3）集合的三種表示方法：列舉法、描述法、Venn圖法.

（4）五個特定的集合

集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集

符號NN*或N+ZQR

|自主檢測|用“e”和表示,1N.

知識點2集合的基本關(guān)系

文字語言符號語言

相等集合A與集合B中的所有元素都相同—

集合間的子集集合A中任意一個元素均為集合B中的元素AQB

基本關(guān)系集合A中任意一個元素均為集合2中的元素，且集合B中

真子集Au5

至少有一個元素不是集合A中的元素

空?？占侨魏渭系淖蛹?是任何非空集合的真子集

|自主檢測已知集合A={0,。},3={La—L2a},若4=3,貝U。=（）

A.0B.1C.1D.0或1

知識點3集合的交集、并集、補集運算

集合的并集集合的交集集合的補集

若全集為U,則集合A的

符號表示

補集為入

圖形表示

AUBADB

集合表示{x\x^A,或工￡3}{正￡4且{x\x^U,且x&A}

自主檢測已知集合&=卜€(wěn)m（》一2）（＞3）40},8={可依一2=0},若43=A,則a的取值構(gòu)成的集合為（）

A.{0}B.{0,1}C.jl,||D.

知識點4集合的運算性質(zhì)

(l)AnA=A,AH0=0,AC\B=BHA.

(2)AUA=A,AU0=A,AUB=BUA.

(3)AA(A)=0,AU(不=U,A=A；

題型1元素與集合的關(guān)系

例1-11用適當符號填空:1{1,2}

例1-21已知集合于={1,2},。={2,3},若/={x|xe尸且x￡。},貝1］河=

例1-3|若集合卜加f+4尤+1=0}只含有一個元素，則實數(shù)匕的取值范圍為.

方法技巧判斷元素與集合關(guān)系

直接法：判斷該元素在已知集合中是否出現(xiàn)即可.

推理法：判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征即可.

______________________________________________________________________________________________，

【變式訓練1-1】已知集合&=上1+1］上+3J+6］,其中”0.若存在正數(shù)2,使得對任意aeA,都有

貝心的值是—.

【變式訓練1-2】已知關(guān)于1的不等式2等r-三541的解集為M,若3定則實數(shù)，的取值范圍是.

x-a

【變式訓練1-3］若關(guān)于x的不等式［（/+2卜+4（2丘+5左+1）＞0的解集是A,且AIZ只有1個元素，則實數(shù)

上的取值范圍是

題型2集合中元素的特征

例2-1（24-25高三下?上海?月考）已知集合{成,。}={。,1},貝!|。=.

例2-2|（24-25高三上?上海?月考）設(shè)aeR,若集合S={-1,凡"+2}中的最大元素為3,貝.

例"I?新角度]（24-25高三上?上海?期中）如圖，線段AD,3c相交于0,且AB,A￡>,BC,8長度構(gòu)成集合

{1,3,5,x},ZABO=NDCO=90°,則x的取值個數(shù)為.

【變式訓練2-1】已知集合A={2,0,/},B=[2,0,a},且A=B,則”

【變式訓練2-2]‘前新角度|已知I=他）Id+廳4Lq，aeZ},N={（%，%）U%區(qū)3,也|<3,a2,b2ezj,

P={（q+%斷+2）|（%仇）2）eN},我們記陽為集合尸中元素的個數(shù)，則|尸卜.

【變式訓練2-3]V新角度|已知一個三角形的三邊長為一個集合的3個元素，該三角形一定不可能是（）

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.等腰三角形

題型3集合間的基本關(guān)系

例3-1|（24-25高三下?上海寶山?月考）已知集合A={x|0<x<4},B={.x|x<a},若A^B，則。的取

值范圍是—.

忸]3-2|已知集合&={。,6},3={2a,2a4，且A=B,則集合A=.

例3-3|已知全集為U,若X8=8,則以下結(jié)論正確的有（填寫所有正確結(jié)論序號）

①A衛(wèi)8；（2）AcB；③AB=0.

方法技巧利用集合間的關(guān)系求參數(shù)的關(guān)注點

（1）此類問題通常借助數(shù)軸，利用數(shù)軸分析法，將各個集合在數(shù)軸上表示出來，以形定數(shù)，還要注意驗證端

點值.

（2）要注意“空集”的情況，空集是任何集合的子集.

易室昔分析易忽略集合為空集

空集是任何集合的子集，在涉及集合關(guān)系問題時，必須考慮空集的情況，否則易造成漏解.

【變式訓練3-1】已知集合4={-1,1,2},8={1石爐-對，且3=A,則上=.

【變式訓練3-2】已知〃x)=x2+tu+仇a、beR),記集合A={.7(x)W。},8={尤|+W。}.若

A=B^0,則。的取值范圍為.

【變式訓練3-3】關(guān)于x的不等式機(x+3)〈龍+機解集為空集，則實數(shù)根的值為.

題型4(真)子集的個數(shù)

例4-11滿足{a}^M{a,b,c}的集合M的個數(shù)為個.

-----[ax2-2

例4-2已知集合A=x—5=尤卜恰有兩個子集，則實數(shù)。取值集合為________.

-----x-3

方法技巧求集合的子集的兩個關(guān)注點

(1)要注意兩個特殊的子集：0和自身.

(2)按集合中含有元素的個數(shù)由少到多，分類一一寫出，保證不重不漏.

【變式訓練4-1]若全集A={x|0W尤W2,xwZ},則集合A的真子集共有個.

【變式訓練4-2】設(shè)集合/={1,3,5,7,9,11},若非空集合A同時滿足：①Aq/,②|A|Wmin⑷，(其中囿

表示A中元素的個數(shù)，min(A)表示集合A中最小的元素)，稱集合A為/的一個好子集，則/的所有好

子集的個數(shù)為.

題型5Venn圖的運算

例5-11對于非空集合河和N,把所有屬于M但不屬于N的元素組成的集合稱為河和N的差集,記為M-N,

那么(M-N)總等于()

A.McNB.MBNC.MD.N

例5-2如圖，設(shè)/為全集，則陰影部分所表示的集合是(請用各集合的交，并，補表示)

【變式訓練5-1】如圖，已知。是全集，A,民C是U的三個子集用交、并、補關(guān)系將圖中的陰影部分可表示

為.

【變式訓練5-2】設(shè)全集U={2,3,5,7},若兄門方={2},3e450民7€4門3，則A=.

【變式訓練5-3】某班有42名同學，參加物理競賽的有15人，參加化學競賽的有13人，兩科競賽都不參加

的有20人，則兩科競賽都參加的有人.

題型6利用集合的運算結(jié)果求參數(shù)

例6-1|24-25高三上?上海?月考)已知集合A={xeZ|x2<3},B<x<a+!|,若AcB有兩個元素,

則實數(shù)a的取值范圍是.

|例6-2|設(shè)。={2,3,5},A={|?-5|,2},A={5},則實數(shù)。的值是.

畫豆可已知aeR,集合4=卜上1401,8=卜，+(2-〃)尤-20<0}；

(1)當時，求A和8；

(2)已知AB=A,求實數(shù)。的取值范圍；

【變式訓練6-1](24-25高三下?上海?月考)已知q>0,對任意正整數(shù)〃，令

n+

-f?={x+y\x,y^q",q'^[4,/向]}.若存在〃，使得=[%聞[cn,dn]上,％],且勿<4,<乙,

則q的取值范圍是.

【變式訓練6-2】已知集合A={-1,1},8=伸x>a}.

(1)若Ac3={l},求實數(shù)。的取值范圍；

(2)若AB=A,求實數(shù)。的取值范圍.

【變式訓練6-3】已知集合人="|二42},集合8={M(x-a)(x-2a+l)W0}.

x+l''

⑴求集合4B；

(2)當ZcB時有且僅有一個整數(shù)解，求實數(shù)。的取值范圍.

題型7集合的新定義問題

例7-11新定義:若一個〃位正整數(shù)的所有數(shù)位上數(shù)字的〃次方和等于這個數(shù)本身，則稱這個數(shù)是自戀數(shù).已

知所有一位正整數(shù)的自戀數(shù)組成集合A,集合3=1|2工2-17X+21<。},則Ac3的子集個數(shù)為()

A.8B.16C.32D.64

例7-21集合尤卜+N=W尤4”,，且M、N者B是集合卜|?！丁?1}的子集，若把6—4

叫做集合〈耳的長度，那么集合McN的長度的最小值為()

A.2B.-LC.1D.A

312312

例7-3|定義集合a,e{0,l},z=l,2,...,n},對任意的x=(和x2,...,%),

產(chǎn)(%，%，…,然)€?！?，定義〃(%，)=|%-%|+尾-%|++|乙一%|，設(shè)A是?！暗闹辽俸袃蓚€元素的子集,

集合￡>={d(x,y)|xwy,x,ye4}中的最小值稱為A的特征，記作力(A).

⑴當〃=3時,直接寫出下述兩個集合的特征：A={(0,0,1),(1,1,1)},B={(0,0,0),(1,1,1),(1,0,1),(0,0,1))

(2)當〃=5時，設(shè)Aid且力5)=2,求A中元素個數(shù)的最大值；

⑶當〃=7時，設(shè)Au。,且2(4)=4,求A中元素個數(shù)的最大值.

方法技巧集合新定義問題的“三定”

(1)定元素：確定已知集合中所含的元素，利用列舉法寫出所有元素.

(2)定運算：根據(jù)要求及新定義運算，將所求解集合的運算問題轉(zhuǎn)化為集合的交集、并集或補集的基本運算

問題，或轉(zhuǎn)化為數(shù)的有關(guān)運算問題.

(3)定結(jié)果：根據(jù)定義的運算進行求解，利用列舉法或描述法寫出所求集合中的所有元素.

【變式訓練7-1】對于一個正整數(shù)，如果將它的各位數(shù)碼反向排列后與它本身相等，則稱這樣的數(shù)是“自戀

數(shù)”，例如6,121,2992都是自戀數(shù).設(shè)所有自戀數(shù)組成的集合為A,而8=｛xI)―就——(<0,則Ac3

I(X-30)(X-70)J

中有個元素.

【變式訓練7-2】設(shè)為A、8為兩個非空有限集合，定義"48)=震J，其中間表示集合S的元素個數(shù).某

學校甲、乙、丙、丁四名同學從物理、化學、生物、政治、歷史、地理這6門學科中自主選擇3門作為高

中學業(yè)水平等級性考試科目.設(shè)這四名同學的選考科目組成的集合分別為R、S?、邑、邑，已知｛物

理，化學，生物｝、邑=｛物理，化學，地理｝、$3=｛政治，歷史，地理｝.若/($54)<1/6，邑)=/區(qū)同)，

寫出一個符合條件的S4=.

【變式訓練7-3】若有限個正顰黎組成的集合A中至少有兩個元素，且對于任意的x,yeA(x>y),都有

2

則稱A為“雙1/集合”.

x-y

⑴判斷｛1,2,4｝是否為“雙J集合”，說明理由；

(2)若雙元素集M為“雙J集合”，且2eM,求所有滿足條件的集合加；

(3)求所有滿足條件的“雙J集合”.

04

真題溯源-考向感知

一.填空題

1.12025上海秋季高考】已知集合U={2WxW5,xeR）,集合4={2Wx<4,xeR）,則了=

2.12024上海秋季高考】設(shè)全集。={1,2,3,4,5},集合A={2,4},則]=.

3.（2023?上海春季高考）已知集合4={1,2},B